2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题
北京市清华大学附属中学2024学年高三练习三(全国卷)数学试题
北京市清华大学附属中学2024学年高三练习三（全国卷）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10CD ．22．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．433．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 4．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e5．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>6．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．233C ．305D ．528．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．10．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-12．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市清华附中高考数学三模试卷(文科)
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：i=1，S＞1000 否，i=2，S=2+1=3， i=2，S＞1000 否，i=3，S=6+1=7， i=3，S＞1000 否，i=4，S=14+1=15， i=4，S＞1000 否，i=5，S=30+1=31， i=5，S＞1000 否，i=6，S=62+1=63， i=6，S＞1000 否，i=7，S=126+1=127， i=7，S＞1000 否，i=8，S=254+1=255， i=8，S＞1000 否，i=9，S=510+1=511， i=9，S＞1000 否，i=10，S=1022+1=1023， i=10，S＞1000 是，输出 i=10， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
11. 设 θ 为第二象限角，若 tan（θ+ ）= ，则 sinθ+cosθ=______．
12. 已知 ， 为单位向量且夹角为 ，设
，
，则 在 方向上的投影为
________． 13. 《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛
每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵 味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《 清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙 》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用 数字作答）．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， ∴2c=a
清华附中第二学期高三数学理科第三次统练试卷 新课标 人教版
ABCDA 1B 1C 1D 1E F 清华附中第二学期高三数学理科第三次统练试卷 新课标 人教版本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．函数3x y =的反函数是 ( ) A ．3y x = B ．3y x =C ．3log y x =D ．1()3x y =2．已知向量b a ,，且b a BC b a AB 65,2+-=+=，b a CD 27-=，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D3．正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与 BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°4．设命题p ：若a b >，则11a b <；:00aq ab b<⇔<． 给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝；④q ⌝．其中真命题的个数有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．35．若直线l ：ax +by =1与圆C ：x 2+y 2=1有两个不同的交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 6．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是 ( ) A ．①、② B ．③、④ C ．①、③ D ．①、④7．某校5名文科生和10名理科生报名参加暑假英语培训，现按分层抽样的方式从中选出6名学生进行测试，则不同的选法有( )种A ．616C B ．41025A A C ．31035C C D ．41025C C 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )A ．2002B ．2004C ．2006D ．2008二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，有两空者，前空2分后空3分．9．曲线y = x 3 - 3x 2+ 1在点(1，- 1)处的切线方程是 __________________． 10．设22,0,0,1y x y x y x +≥≥=+则的取值范围是________________．11．若α为第二象限角，cos α =45-，则2[sin(180)cos(360)]tan(180)ααα-+-=+________． 12．已知222lim2x x cx a x →++=-，则c =_____________， a = _______． 13．已知P (- 13是圆{cos sin x r y r θθ==(θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π)上的点，则圆的普通方程 为___________________，过点P 的圆的切线方程是________________．14．设函数f (x )的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使| f (x )| ≤ M |x |对一切实数x 都成立，则称函数f (x )为有界泛函，在函数① f (x ) = 2x ，② g (x ) = x 2，③h (x ) = x sin x 中，属于有界泛函的有_______________(写出你认为正确的所有函数的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7(0)10P ξ>=．(I) 求文娱队的人数；(II) 写出ξ的概率分布列并计算E ξ．16．(本小题满分12分)已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列． (I) 求q 的值；(II) 设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥ 2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由．已知函数f(x) = mx3 + nx2 (m、n∈R，m ≠ 0)，函数y = f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，(I) 用关于m的代数式表示n；(II) 求函数f(x)的单调递增区间；(III) 若x1 > 2，记函数y = f(x)的图象在点M(x1，f(x1))处的切线为l，设l与x轴的交点为(x2，0)，证明：x2 ≥ 3．18．(本小题满分14分)如图，直三棱柱A1B1C1－ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别是棱C1C、B1C1的中点，(I) 求点B到平面A1C1CA的距离；(II) 求二面角B－A1D－A的大小；(III) 在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．19．(本小题满分14分)双曲线C：22221x ya b-=(a > 0，b > 0)的离心率为2，且22224||||||||3OA OB OA OB+=⋅，其中A(0，-b)，B(a，0)．(I) 求双曲线C的方程；(II) 若双曲线C上存在关于直线l：y = kx + 4对称的点，求实数k的取值范围．设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x) -x= 0有实数根；②函数f(x)的导数f '(x)满足0 < f '(x) < 1．”(I) 判断函数sin()24x xf x=+是否是集合M中的元素，并说明理由；(II) 集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n] ⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f(n) -f(m) = (n-m) f '(x0)成立”．试用这一性质证明：方程f(x) -x = 0只有一个实数根；(III) 设x1是方程f(x) -x = 0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3，当| x2-x1| < 1，且| x3-x1| < 1时，| f(x3) -f(x2)| < 2．[参考答案]题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABCCBDA二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 9． y = - 3x + 2_； 10．]1,21[； 11．475-； 12．_- 3_；_1_； 13．_ x 2 + y 2= 4_；_x -3y + 4 = 0_； 14．_①③_．三、解答题：(本大题共6小题，共80分) 15．(本小题满分13分)解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7 - x )人，那么只会一项的人数是(7 - 2x )人．(I)∵7(0)(1)1(0)10P P P ξξξ>=≥=-==，∴3(0)10P ξ==．………… 3分 即27227310x x C C --=．∴(72)(62)3(7)(6)10x x x x --=--．∴x = 2．…………………………… 5分 故文娱队共有5人． ………………………………………………7分(II) ξξ 012P103 35101 112325C C 3(1)C 5P ξ⋅===，…………9分2225C 1(2)C 10P ξ===，………… 11分 ∴33101210510E ξ=⨯+⨯+⨯=35．…………………………13分16．(本小题满分12分)解：(I) 由题设2a 3 = a 1 + a 2，即2a 1q 2= a 1 + a 1q ，∵a 1 ≠ 0，∴2q 2- q - 1 = 0，∴q = 1，或q = -12． …………………………4分 (II) 若q = 1，则2(1)32122n n n n nS n -+=+⋅=，当n ≥ 2时，1(1)(2)02n n n n n S b S --+-==>，故S n > b n ．……………………8分若q = -12，则2(1)192()224n n n n n S n --+=+-=， 当n ≥ 2时，1(1)(10)4n n n n n S b S ----==-，故对于n ∈ N *，当2 ≤ n ≤ 9时，S n > b n ；当n = 10时，S n = b n ；当n ≥ 11时，S n < b n ． …………………………12分17．(本小题满分13分)解：(I) ∵f (x ) = mx 3 + nx 2，∴f '(x ) = 3mx 2+ 2nx ，………………2分由已知条件得：f '(2) = 0，∴3m+ n = 0，即n = - 3m ．………………4分(II) ∵n = - 3m ，∴f (x ) = mx 3 - 3mx 2，………………5分∴f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，………………6分令f '(x ) > 0得3mx 3- 6mx > 0，当m > 0时，x < 0或 x > 2， ………………7分 ∴函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，综上：当m > 0时，函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)． ………………9分(III) 由(I)得：f (x ) = mx 3 - 3mx 2，f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，l ：32211111(3)(36)()y mx mx mx mx x x --=--，…………10分令y = 0，由m ≠ 0，x 1 > 2，得21121233(2)x x x x -=-，………………11分2221111211123212182(3)333(2)3(2)3(2)x x x x x x x x x --+--=-==---， ∵x 1 > 2，(x 1 - 3 )2≥ 0，∴x 2 - 3 ≥ 0，即：x 2 ≥ 3．……………………13分18．(本小题满分14分)解法一：(I) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴CC 1⊥底面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵AC ⊥CB ， ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，……………2分 ∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离， ∵BC = 2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2．………………4分(II) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影，∴BM ⊥A 1G ， ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角，………………6分 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点， ∴CG = 2，DC = 1，在直角三角形CDG 中，25CM =∴tan 5GMB =，……………………8分即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．………………9分(III) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ， ………………10分 其位置为AC 中点，证明如下： ………………11分 ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(I)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点， ∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ， ………13分同理可证EF ⊥BD ，∴EF⊥平面A 1BD ， …………………14分 ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面，∴ 点F 唯一． 解法二：(I) 同解法一．……………………4分(II) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，C 1C = CB = CA = 2， AC ⊥CB ，D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点． 建立如图所示的坐标系得C (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，2，0)， C 1(0，0，2)，B 1(2，0，2)，A 1(0，2，2)，D (0，0，1)，E (1，0，2)，………………6分∴BD = (- 2，0，1)，1BA = (- 2，2，2)，设平面A 1BD 的法向量为n = (1，λ，μ)，∴10201222020n BD n BA μλλμμ⎧⋅=-+==-⎧⎧⎪⎨⎨⎨-++==⋅=⎩⎩⎪⎩即得，∴n = (1，- 1，2)， …………8分 平面A 1C 1CA 的法向量为m = (1，0，0)，16cos ,66n m <>==，…………9分 即二面角B －A 1D －A 的大小为66arccos．………………10分 (III) 在线段AC 上存在一点F ，设F (0，y ，0)使得EF ⊥平面A 1BD ，……11分欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(II)知，当且仅当n //FE ，………………………12分 ∵EF = (1，- y ，2)，∴y = 1， ………………………………………13分 ∴存在唯一一点F (0，1，0)满足条件，即点F 为AC 中点． ………………………………………………14分19．(本小题满分14分)解：(I) 依题意有：22222222,4,3.c a a b a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：a = 1，b 3c = 2，所求双曲线的方程为2213y x -=． ………………………6分 (II) 当k = 0时，显然不存在． …………………………………7分 当k ≠ 0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称， 由l ⊥ MN ，直线MN 的方程为1y x m k=-+， 则M 、N 两点的坐标满足方程组22133y x mkx y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 .0)3(2)13(2222=+-+-k m kmx x k ……………………9分显然0132≠-k ，∴2222(2)4(31)[(3)]0km k m k ∆=---+>， 即.013222>-+k m k ①设线段MN 中点D (x 0，y 0)，则0220231331km x k k m y k -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， ∵D (x 0，y 0)在直线l 上，∴2222343131k m k mk k -=+--， 即2231k m k =-， ② 把②代入①中得2220k m mk +>，解得m > 0或m < - 1．∴22310k k -> 或 22311k k -<-， 则3||k >1||2k <，且k ≠ 0， ∴k 的取值范围是3113(,(,0)(0,)(,)223-∞-+∞．………………14分20．(本小题满分14分) 解：(I) 因为11()cos 24f x x '=+， …………………………2分所以13()[,]44f x'∈满足条件0 < f '(x) < 1，………………………………3分又因为当x = 0时，f(0) = 0，所以方程f(x) -x = 0有实数根0．所以函数sin()24x xf x=+是集合M中的元素．…………………………4分(II) 假设方程f(x) -x = 0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f(α) -α = 0，f(β) -β = 0，………………………5分不妨设α < β，根据题意存在实数c∈ (α，β)，使得等式f(β) - f(α) = (β-α)f '(c)成立，……………………………7分因为f(α) = α，f(β) = β，且α≠β，所以f '(c) = 1，与已知0 < f '(x) < 1矛盾，所以方程f(x) -x = 0只有一个实数根；…………9分(III) 不妨设x2 < x3，因为f '(x) > 0，所以f(x)为增函数，所以f(x2) < f(x3)，又因为f '(x) - 1 < 0，所以函数f(x) -x为减函数，…………………………10分所以f(x2) - x2 > f(x3) -x3，……………………………………………11分所以0 < f(x3) -f(x2) < x3-x2，即| f(x3) -f(x2)| < | x3-x2|，………………12分所以| f(x3) -f(x2)| < | x3-x2| = | x3-x1- (x2-x1)| ≤ | x3-x1| + | x2-x1| < 2．…………………………14分。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第三次联考数学文试题
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第三次联考数学文试题 创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．i 是虚数单位,复数3i 1i+-等于( ) A.1+2i B.2+4i C.-1-2iD.2-i 2. 在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为…( )A.2B.6C.7D.8 3．52>>x x 是的（ ）A ．充分不必要条件。
B.必要不充分条件C ．充分且必要条件D 既不充分又不必要条件4．设命题p: 函数x y 2sin =的最小正周期为2π；命题q: 函数x y cos =的图像关于直线2π=x 对称，则下列判断正确的是（ ）A. P 为真B. q ⌝为假C ．q p ∧为假 D. q p ∨为真5.若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 的定义域为（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 C.()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,00,21 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21 6.已知变量x,y 满足约束条件 20170x y x x y -+≤,⎧⎪≥,⎨⎪+-≤,⎩则y x 的取值范围是( ) A.9[6]5, B.9(][6)5-∞,⋃,+∞C.(3][6)-∞,⋃,+∞ D.(3,6] 7．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )8.在20,ABC AB BC AB ABC ∆⋅+=∆中，若则是 ( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D . 等腰直角三角形9.已知椭圆221169y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点,P 为直角顶点,则点P 到x 轴的距离为( ) A.95 B.3 C.977 D.9410．.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法正确的是( ) A.甲获胜的概率是16B.甲不输的概率是12C.乙输了的概率是23D.乙不输的概率是1211．若x 的不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是( )A )2,2(-B ]2,2(-C ()(),22,-∞-+∞D )2,(-∞12．设曲线1()n y x n +=∈*N 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201120122201212012log log log x x x +++ 的值为A ．2011log 2012-B ．1-C ．()12011log 2012-D ．1二. 填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.若集合A={x|1x ≥},B={x|24x ≤},则A B ⋂=..14．已知抛物线C ：22y px =(0)p >上一点(4,)A m 到其焦点的距离为174， 则p 的值是______15.定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1,2]，则区间[a ，b]的长度的最大值与最小值的差为________．16. 设函数()x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使()x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称()x f 为“倍约束函数”。
清华附中2020届高三第二学期第三次统考数学试题及答案详解
清华附中2020届高三第二学期第三次统考数学试题一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3B.2 C. 33 D. 228.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（ ）A . a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n ng x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）A. 8B. 11C. 14D. 18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断： ①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地A BCDE批发价格 150 160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论） 19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.清华附中2020届高三第二学期第三次统练数学试题答案详解一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 6.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】 【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤. 故选：D .【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3 B.2 C. 3或－3D. 2和－2【答案】C 【解析】 【分析】直线过定点，直线y=kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】 依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =， 所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）A. 8B. 11C. 14D. 18【答案】C 【解析】 【分析】 令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+L .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤， 故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤-L ，因为()5314n h x ≤≤ 故5314n -≤，故max 14n =. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.【答案】12【解析】 【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==r r，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．【答案】223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______. 【答案】30- 【解析】 【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ， 故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-. 故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=u u u r u u u r ，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=， 所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解， 即满足12BC BA ⋅=u u u r u u u r的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+， 整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】 【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项. 若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-， 故()()111n n n S nS n n --=--. 当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S S n n --=--， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n =+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列. 若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<， 故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题. 17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（227. 【解析】 【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE .因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥. 因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥. 因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ， 因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角， 因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，13,0,22AN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()1,0,0MN =u u u u r .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =u r，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u u v v 即300y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =1z =，所以()3,1m =u r.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =r，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3030v w u w ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取1w =，则3,3u v ==， 故()3,3,1n =r，所以27cos ,=47m n m n m n⋅==⨯u r ru r r u r r ，因为二面角A NP M --的平面角为锐角， 故二面角A NP M --的余弦值为277. 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地A BCDE批发价格 150 160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论） 【答案】（1）0.6；（2）①5， ②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】 【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=. （2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===， 所以X 的分布列为：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=. （3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++， 其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比， 则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题. 19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值. 【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=. 【解析】 【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值. 【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++， 故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数. 取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点. 设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数； 当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221211221242M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=， 所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->， 又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+， 故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈； ②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -. 【解析】 【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值. 【详解】（1）因为()41T A =， 故1234,,,x x x x 只有一个逆序对， 则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况： ①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<L L ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个.②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<L L L .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，21我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯， 所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -. 【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.。
清华附中高三考试试卷数学
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[0,2]上单调递增，则f(0)的值为（）A. -3B. 0C. 3D. 62. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，且cosA=1/2，则sinB的值为（）A. √3/2B. √3/4C. √3/6D. √3/83. 设复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 线段4. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a4 +a5 = 24，则d的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 下列命题中正确的是（）A. 对于任意的实数x，都有x^2 ≥ 0B. 对于任意的实数x，都有x^3 ≥ xC. 对于任意的实数x，都有x^2 = |x|D. 对于任意的实数x，都有x^3 = |x|6. 已知函数f(x) = e^x + 1，若f(x)在区间[0,1]上单调递减，则x的取值范围是（）A. x ∈ (0,1)B. x ∈ (0,∞)C. x ∈ (-∞,1)D. x ∈ (-∞,0)7. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为Q，则Q的坐标是（）A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)8. 若函数f(x) = x^2 - 2ax + a^2在区间[0,a]上单调递减，则a的取值范围是（）A. a ≤ 0B. 0 < a ≤ 1C. a > 1D. a ≥ 29. 已知函数f(x) = log2(x+1)，若f(x)在区间[0,1]上单调递增，则x的取值范围是（）A. x ∈ [0,1]B. x ∈ (-1,1]C. x ∈ [0,∞)D. x ∈ (-∞,∞)10. 在等比数列{an}中，若首项a1=1，公比q=2，则第n项an=（）A. 2n-1B. 2nC. 2^nD. 2^(n-1)二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则f(x)的极小值为______。
北京市清华附中高考数学三模试卷(理科)解析版
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.已知m，n∈R，i是虚数单位，若（1+mi）（1-i）=n，则|m+ni|的值为（）A. 1B.C.D.4.已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A. -2B. 0C. 2D. 45.数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足，若函数F （x ）=f （x ）-m 有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A. B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知直线l 1：x -y +1=0与l 2：x +ay +3=0平行，则a =______，l 1与l 2之间的距离为______ 10. 已知函数f （x ）=（x +t ）（x -t 2）是偶函数，则t =______11. 著名的“3n +1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n +1猜想，则输出的n 为______12. 某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：A 团队说：C 第一，B 第二； B 团队说：A 第三，D 第四；C 团队说：E 第四，D 第五； D 团队说：B 第三，C 第五；E 团队说：A 第一，E 第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是______团队．13. 已知平面内两个定点M （3，0）和点N （-3，0），P 是动点，且直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （a ≠0），设点P 的轨迹为C ．①存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值； ②存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值； ③不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值．其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）14. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠DCA =2∠BAC ，若=x +y （x ，y ∈R ），则x -y 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求sin（2B+A）的值．16.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，，E、F分别为BC、BB1的中点，点D为线段AB上一点，（1）求证：AC1∥平面DEF；（2）若AC1⊥EF，求二面角F-DE-B的余弦值．17.某工厂生产A、B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95] A零件8 12 40 30 10B零件9 16 40 28 7（Ⅰ）试分别估计A、B两种零件为正品的概率；（Ⅱ）生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：（i）设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．18.已知函数f（x）=ln x-，a∈R．（Ⅰ）当a=1，函数y=f（x）图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数．19.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．20.对于给定的奇数m，（m≥3），设A是由m×m个数组成的m行m列的数表，数表中第i行，第j列的数a ij∈{0，1}，记c（i）为A的第i行所有数之和，r（j）为A的第j列所有数之和，其中i，j∈{1，2，…，m}．对于i，j∈{1，2，…，m}，若且同时成立，则称数对（i，j）为数表A的一个“好位置”（Ⅰ）直接写出所给的3×3数表A的所有的“好位置”；（Ⅱ）当m=5时，若对任意的1≤i≤5都有c（i）≥3成立，求数表A中的“好位置”个数的最小值；（Ⅲ）求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2m-2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，∴a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．3.【答案】D【解析】解：由（1+mi）（1-i）=（1+m）+（m-1）i=n，得，即m=1，n=2．∴|m+ni|=|1+2i|=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，∵⊥，||=，||=t，∴B（，0），C（0，t），∵P点是△ABC所在平面内一点，且=+，∴=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），∴=（，-1），=（-1，t-1），∴=-+1-t+1=2-（），∵=2，∴的最大值等于0，当且仅当t=，即t=1时，取等号．故选：B．以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（，0），C（0，t），P（1，1），从而=（，-1），=（-1，t-1），由此能求出的最大值．本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1-1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4-1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．由a n+1=，a1=∈[，1），可依次求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律，继而可得a2018的值．本题考查数列的递推式，由数列{a n}满足的关系式a n+1=，a1=可求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律是解决问题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．根据随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，设这堆货物总价是S n=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①，由①×可得S n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②，由①-②可得S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=10-（10+n）•（）n，∴S n=100-10（10+n）•（）n，∵这堆货物总价是万元，∴n=10，故选：D．由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，根据错位相减法求和即可求出．本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）=f （x）-m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，且0不是函数F（x）=f（x）-m的零点，即当x＞0时，f（x）=m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）=x2-=（x-）2-，当x≥1时，f（x）=，则f′（x）==当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）=，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y=m与y=f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选C．9.【答案】-1【解析】解：直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则1•a-（-1）•1=0，解得a=-1，直线l2：x-y+3=0；则l1与l2之间的距离为d==．故答案为：-1，．根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．10.【答案】0或1【解析】解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，为二次函数，其对称轴为x=，若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，解可得t=0或1；故答案为：0或1．根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】6【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故答案为：6．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】D【解析】解：由实际上每个名次都有人猜对，①若A第一，则D第四，与E第四矛盾，故此情况不符题意，②若B第一，则C第五，E第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，③若C第一，则B第三，D第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，故答案为：D．按照①若A第一；②若B第一；③若C第一，三种情况进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．13.【答案】②④【解析】解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2-9），若a=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）-9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=-，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】-1【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC=α，则∠ACD=2α，∠ACB=90°-α，∴∠DCM=180°-2α-（90°-α）=90°-α．∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴，∵=x+y，∴x==k，y===k+1，∴x-y=-1．故答案为：-1．过D作DM⊥BC，则Rt△ABC∽Rt△DMC，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，．化简得，b2+c2-a2=bc．由余弦定理得，．又0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又a=3，，∴sin B==．又b＜a，,∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=1-2sin2B=-，∴sin（2B+A）=sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=．【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理cos A的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sin B，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．16.【答案】（1）证明：取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴OC⊥AB，OM⊥平面ABC，以O为原点，以OA，OC，OM为坐标轴建立空间坐标系如图所示，∵，∴D是OB的中点，又E是BC的中点，∴DE∥OC，DE=OC．设等边三角形ABC的边长为a，则D（-，0，0），E（-，a，0），F（-，0，），A（，0，0），C1（0，，2），取EF的中点N，则N（-，a，），∴=（-，a，），=（-，a，2）．∴=4，∴∥，∴AC1∥DN，又AC1⊄平面DEF，DN⊂平面DEF，∴AC1∥平面DEF．（2）解：=（-，-a，），∵AC1⊥EF，∴=0，即-+4=0，解得a=4，∴BD=1．∵OC∥DE，OC⊥平面AA1B1B，∴DE⊥平面AA1B1B，∴DE⊥DB，DE⊥DF，∴∠BDF为二面角F-DE-B的平面角，∵BD=1，BF=，∴DF=，∴cos∠BDF==，即二面角F-DE-B的余弦值为．【解析】（1）建立坐标系，取EF的中点N，利用向量证明DN∥AC1得出结论；（2）根据AC1⊥EF得出底面边长，证明DE⊥平面AA1B1B得出∠BDF为二面角F-DE-B 的平面角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．本题考查线面平行的判定，二面角的计算，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为=0.8，元件B为正品的概率约为=0.75；（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次；∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；∵P（X=110）=0.8×0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×（1-0.75）=0.2，P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；计算数学期望为0.05=78.25；（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．依题意得60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，所以取n=4或n=5；设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A，则P（A）=•0.754•0.25+•0.755=0.638125≈0.64．【解析】（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，f′（x）===≥0．∴当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）由f（x）=ln x-，得f′（x）==，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（x）=ln x-=ln x-2+，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞0时，f′（x）=．令g（x）=x2+（2a2-4a）x+a4．当a≥1时，△=16a2（1-a）≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当0＜a＜1时，由g（x）的对称轴方程为x=2a-a2＞0，由g（x）=0，解得＞0，＞0．可知g（x）在（0，）∪（，+∞）上大于0，在（，）上小于0，∴f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上单调递减，∴，而=＜0，∴存在，，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．故函数y=f（x）的零点个数为3．综上，当a≤0或a≥1时函数y=f（x）的零点个数为1个，当0＜a＜1时，有3个．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，求其导函数，由f′（x）≥0，可知当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）求出原函数的导函数然后对a分类分析原函数的单调性，结合函数零点的判定定理得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x 的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．y1+y2=8m，y1y2=-16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．【解析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．|AB|=，同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）“好位置”有：（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）．（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．5×5此数表的“好位置”的个数恰好为9，综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9．（Ⅲ）证明：当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，则数表A可以分成如下四个子表：其中A1是p行q列，A3是p行m-q列，A2是m-p行q列，A4是m-p行m-q列，设A1，A2，A3，A4中1的个数分别为x1，x2，x3，x4，则A1，A2，A3，A4中0的个数分别为pq-x1，q（m-p）-x2，p（m-q）-x3，（m-p）（m-q）-x4，则数表A中好位置的个数为x1+（m-p）（m-q）-x4个，而，x3+x4，所以，所以x1+（m-p）（m-q）-x4，而（m-p）（m-q）+p×==p×=（p-）（q-）-=（p-）（q-），显然当（p-）（q-）取得最小值时，上式取得最小值，因为0≤p，q≤m，所以（p-）（q-），（p-）（q-）+，当p=m时，数表A中至少含有个1，而，所以q至少为2，此时（p-）（q-）=2m-1．当p=m-1时，数表A中至少含有（m-1）×个1，而（m-1）×，所以q至少为1，此时（p-）（q-）≥[（m-1）-]（1-）=2m-2，下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为2m-2．【解析】（Ⅰ）按定义直接写出即可；（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．继而列表得解；（Ⅲ）当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c （i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，继而再分成子列表讨论得解．本题考查数列的递推公式，涉及的知识比较多，属于选做题，难度大．。
2020北京清华附中高三(下)第三次统练数学含答案
2020北京清华附中高三（下）第三次统练数学一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T Ç=（）A.∅B.1{|}2x x <- C.5{|}3x x > D.15{|}23x x -<<3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（）A.2B.3C.4D.56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦B.(],0-∞ C.10,3⎛⎤⎥⎝⎦ D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为()A. B.C. D.8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（）A.向左平移12π个单位 B.向右平移4π个单位C.向左平移4π个单位 D.向右平移34π个单位9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（）A.a b c<< B.a c b << C.c a b << D.c b a<<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+ ，()2,3b x =- ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD ∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABCDE批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F 是边长为的正方形，过()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件：①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ；（2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.2020北京清华附中高三（下）第三次统练数学参考答案一、选择题（共10小题；共40分）1.【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.2.【答案】D 【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.【答案】A 【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.4.【答案】C 【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图.故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.6.【答案】D 【解析】【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a >⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.【答案】C 【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．8.【答案】A 【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系.【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =，所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题.10.【答案】C【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.【答案】12【解析】【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =.故答案为：12.【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.12.【答案】223144x y -=【解析】由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.【答案】30-【解析】【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ，故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-.故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题.14.【答案】(1).130.(2).15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.【答案】③【解析】【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =，由余弦定理得2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-，故()()111n n n S nS n n --=--.当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S S n n --=--，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n=+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列.若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<，故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题.17.【答案】（1）见解析；（2）7.【解析】【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE .因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥.因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥.因为2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ，因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，13,0,22AN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,0,0MN = .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取y =，则1z =，所以()m =.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00v u ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取1w =，则u v ==故)n =，所以27cos ,7m n m n m n⋅==，因为二面角A NP M --的平面角为锐角，故二面角A NP M --的余弦值为277.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.【答案】（1）0.6；（2）①5，②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=.（2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===，所以X 的分布列为：X12P110353101336012105105EX =⨯+⨯+⨯=.（3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++，其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比，则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.19.【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=.【解析】【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值.【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++，故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数.取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点.设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数；当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+，由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=，所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+，故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -.【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值.【详解】（1）因为()41T A =，故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况：①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<< ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个.②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<< .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.21/21（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --.考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -.【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.点我，下载更多2020三模word 试卷。
北京市清华大学附属中学2020届高三数学下学期第三次模拟考试试题文(含解析)
2020 年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）一、 （本大 共8 小 ，共40.0 分）1. 若会合{ x | 2x＞2 2} { x | log 1 x a＜0}， 数 a 的 （）21 B. 23 D. 1A.C.22【答案】 A【分析】 【剖析】依据指数函数与 数函数的性 ，利用会合相等的性 列方程求解即可．【 解】由33 x2 2 22 ，解得 x；22由log1 x alog 11解得 x a1，22因{ x | 2x＞2 2} { x |log 1 x a ＜0} ，2因此 1 31A，解得 a．故22【点睛】本 考 了指数函数与 数函数的性 与 用以及会合相等的性 ，意在考 灵巧运用所学知 解答 的能力，是基 ．2. 已知数据 x 1 , x 2 , x 3, , x n 是宜昌市 n ( n 3, n N ) 个一般 工的年收入，n 个数据的中位数 x ，均匀数 y ，方差 z ，假如再加上世界首富的年收入x n 1 ， n1个数据中，以下 法正确的选项是（）A. 年收入均匀数可能不 ，中位数可能不 ，方差可能不B. 年收入均匀数大大增大，中位数可能不 ，方差 大C. 年收入均匀数大大增大，中位数可能不 ，方差也不D. 年收入均匀数大大增大，中位数必定 大，方差可能不【答案】 B 【分析】 解：∵数据x 1， x 2， x 3，⋯， x n 是上海一般 工n （n ≥3，n ∈N * ）个人的年收入，而 x n+1 世界首富的年收入x n+1 会 大于x 1， x 2， x 3，⋯， x n ，故这 n+1 个数据中，年收入均匀数大大增大，但中位数可能不变，也可能略微变大，但因为数据的集中程序也遇到 x n+1比较大的影响，而更为失散，则方差变大应选 B3. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）1B.3C.3D.6A.2244【答案】 A【分析】【剖析】依据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，得出2c a ，而后求得离心率c 1e即可 .a 2【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点组成一个正三角形，即 2c a因此离心率ec 1a2应选 A【点睛】此题主要考察了椭圆的简单性质，熟习性质是解题的要点，属于基础题.log2 x， x14. 已知函数f（x） =1，则不等式 f （ x）≤1 的解集为（）， x＜11xA.,2B.,0 (1，2]C. 0,2D.,01,2【答案】 D【分析】【剖析】对 x 议论，当x 1时，当x 1时，运用分式函数和对数函数的单一性，解不等式，即可获得所求解集．【详解】解：当x 1 时， f x 1 ，即为：log 2 x1，解得 1x2；当 x1时， f x1，即为：11，解得x0．1 x综上可得，原不等式的解集为,01,2 ．应选：．D【点睛】此题考察分段函数的运用：解不等式，注意运用分类议论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单一性，考察运算能力，属于基础题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.2B.181688 33C.3D.3 3333【答案】 D 【分析】【剖析】依据三视图可知该几何体是1球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出1球与三棱44锥的体积，从而可得结果．【详解】依据三视图可知，该几何体是半径为 2 的1球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为44的等腰直角三角形，高为2，以下图：则该几何体的体积为 V142311 4 2 288433233,应选 D．【点睛】此题考察了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，依据三视图的特点找出几何体结构特点是要点．解三视图有关问题的要点在于依据三视图复原几何体，要掌握常有几何体的三视图，比方三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄理解几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时还能够利用外面补形法，将几何体补成长方体或许正方体等常有几何体.6. 在数列{ a n}中，已知a11，且对于随意的 m,n N *，都有 a m n a m a n mn ，则数列 { a n}的通项公式为（）A. a n nB.a n n 1n(n 1)D.C. a n2n(n1)a n2【答案】 D【分析】【剖析】令 m=1得a n 1a n n1，再利用累加法求数列a n的通项公式 .【详解】令m=1,得a n 1an n1,an 1a n n 1,a2 a12, a3a2 3,L , a nan 1n ，因此 a n 1 2 3 4 L n, a nn(n1) 1 2 3 4 L n.2应选： D【点睛】此题主要考察累加法求数列的通项，考察等差数列乞降，意在考察学生对这些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.7. 若椭圆x2y2 1 和双曲线x2-y21的共同焦点为F1， F2，P是两曲线的一个交点，251645则 PF1PF2的值为( )A.21B.84C.3D.21 2【答案】 D【分析】【剖析】依据意作出像，分利用及双曲定列方程，解方程即可求解。
北京市清华附中2019-2020学年第二学期高三自主综合练习数学试(无答案)
北京市清华附中2019－2020学年第二学期高三自主综合练习数学试卷一、选择题：（共10小题，每小题4分）1．复数11iz =+的共轭复数是（） （A ）11i 22+（B ）11i 22-（C ）1i +（D ）1i -2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（） （A ）{1}（B）（C ）{1,1}-（D）3．设命题p ：(0,),ln 1x x x ∀∈+∞-≤，则p ⌝为（） （A ）(0,),ln 1x x x ∀∈+∞>- （B ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞-≤ （C ）(0,),ln 1x x x ∀∉+∞>-（D ）000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞>-4．下列函数中，同时满足：①图象关于y 轴对称；②1212,(0,)()x x x x ∀∈+∞≠，2121()()0f x f x x x ->-的是（）（A ）1()f x x -=（B ）2()log ||f x x =（C ）()cos f x x = （D ）1()2x f x +=5．已知α和β是两个不同平面，l αβ=I ，12l l ,是与l 不同的两条直线，且1l α⊂，2l β⊂，12l l ∥，那么下列命题正确的是（）（A ）l 与12,l l 都不相交（B ）l 与12,l l 都相交 （C ）l 恰与12,l l 中的一条相交（D ）l 至少与12,l l 中的一条相交6．已知12,F F 为椭圆22212x y M m +=：和双曲线2221x N y n-=：的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（） （A（B ）1（C）2（D ）127．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形，其中(0,0)A ,(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（） （A ）6（B ）8（C ）10（D ）128. 已知函数()sin f x x ω=（0ω>），则“函数()f x 的图象经过点π(,1)4”是“函数()f x 的图象经过点π(,0)2”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知点P 是边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，若||1AP AB AD --=u u u r u u u r u u u r，则||AP u u u r的最大值是（） （A）1 （B）C）1（D）210．某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（） （A ）12辆（B ）11辆（C ）10辆（D ）9辆二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分.11.已知平面向量(13)=-，a ，(2,)m =-b ，且∥a b ，那么m =____．12．若ABC △的面积为，且3A π=，则AB AC =u u u r u u u r g ____．13．已知函数()cos(2)(0)2f x x ϕϕπ=+-<<．①函数()f x 的最小正周期为____； ②若函数()f x 在区间4[,]33ππ上有且只有三个零点，则ϕ的值是____． 14．已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ，都有*n a ∈N ，且131,,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数.①当18a =时，2019a =____；②若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =____．15. 已知集合0{|01}A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合1{(),}n n A y y f x x A -==∈,若1n n A A -=∅I 对任意的n *∈N 成立，则称函数()y f x =具有性质“P ”. （Ⅰ）具有性质“P ”的一个一次函数的解析式可以是 _____； （Ⅱ）给出下列函数：①1y x=；②2+1y x =；③πcos()22y x =+，其中具有性质“P ”的函数的序号是_____.(写出所有正确答案的序号) 三、解答题：共6道小题，共85分.16.（本小题13分）已知ππ()cos cos()cos()44f x x x x x =-+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，若1()(,1]2f x ∈-，求x 的取值范围．18.（本小题14分）某快餐连锁店招聘外卖骑手.该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单快开始，每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该连锁店骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为13，选择方案（2）的概率为23.若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）17.（本小题14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，BC P AD ,CE AD ⊥，垂足为E ,33AD BC ==,1EC =.将△DEC 沿CE 折起到△1D EC 的位置，使平面1D EC⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点.图1 图2（Ⅰ）当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG P 平面1D CE ； （Ⅱ）求证：AB ⊥平面1D EB ；（Ⅲ）是否存在点G ，使得二面角1G BE D --？若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由.EBA CDABCD 1E19.（本小题满分15分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点A 与上顶点B （Ⅰ）求椭圆C 的方程和焦点的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若△PAQ 为等边三角形，求点P 的横坐标.20.（本小题满分15分） 已知函数22()e ()a x a f x x a+=-,其中0a ≠. (Ⅰ) 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角； (Ⅱ) 若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分14分）对于给定的奇数．．m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数ij a ∈{0,1}，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和为，其中,{1,2,...,}i j m ∈.对于,{1,2,...,}i j m ∈，若,|()|2i j m ma c i -<且,|()|2i j mma r j -<同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”. (Ⅰ)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”；(Ⅱ) 当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(Ⅲ) 求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -.。
北京市清华附中2023届高三统练二数学试题(含答案解析)
北京市清华附中2023届高三统练二数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知集合{10},{2,1,1,2}A xx B =+>=--∣，则A B = （）A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,1,2}-D ．{2,1,1,2}--2．己知复数(1i)(2i)(R)z a a =-+∈在复平面对应的点在虚轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．已知a b ，为平面向量，若(1,),(2,1)a m b m ==-+ ，若a b ∥，则实数m =（）A ．13-B ．13C ．1D ．2-4．已知抛物线22y px =的焦点为(2,0)，直线4x =与该抛物线交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．4B．C ．8D．5．若双曲线22221y x a b-=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（）A．2BCD．36．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．107．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa =1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0khp p e -=（0.000126k =m -1），0p 是海平面大气压强.已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln 20.693≈）A ．550mB ．1818mC ．5500mD ．8732m8．已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成三棱锥A BCD -则在折叠过程中，不可能出现（）A ．AB CD⊥B ．AC BD⊥C ．三棱锥A BCD -的体积为3D ．平面ABD ⊥平面BCD10．函数()f x x =，2()3g x x x =-+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ，则n 的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题11．已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．12．不等式32log (1)(2)0x x x --->的解集为__________．13．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，那么常数ω的一个取值____．14．已知函数()2,,x m x m f x x x m⎧+≤=⎨>⎩①函数()f x 的零点个数为__________．②若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是__________．15．对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00 f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，现新定义：若0x 满足()00 f x x =-，则称0x 为()0f x 的次不动点，有下面四个结论①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当312a ≤≤时，函数()2()log 421x xf x a =-⋅+在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m ，使得函数()f x =在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为__________．三、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，AB PA =，PA ⊥底面ABCD ，3ABC π∠=，E 是PC 上任一点，AC BD O = .（1）求证：平面EBD ⊥平面PAC ：（2）若E 是PC 的中点，求ED 与平面EBC 所成角的正弦值.17．在△ABC 中，5b a =，cos 10A =.(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一，求b 的值.条件①：π6B ∠=；条件②：△ABC 的面积为152；条件③：AB 边上的高为3.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；(2)从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，估计这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率；(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第k 天传统艺术活动的概率为(12345)k P k =,,,,，当k P 取得最大值时，写出k 的值．（直接写出答案即可）19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的短轴长为3．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 与圆2232x y +=相切，与椭圆E 交于不同的两点,A B ，求OAB 的面积的最大值．20．已知函数()f x=(1)求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)若方程()f x ax =a 的取值范围．21．若无穷数列{}n a 满足n *∀∈N ，11n n a a n +-=+，则称{}n a 具有性质1P ．若无穷数列{}n a 满足n *∀∈N ，2421n n n a a a +++≥，则称{}n a 具有性质2P ．(1)若数列{}n a 具有性质1P ，且10a =，请直接写出3a 的所有可能取值；(2)若等差数列{}n a 具有性质2P ，且11a =，求2223a a +的取值范围；(3)已知无穷数列{}n a 同时具有性质1P 和性质2P ，53a =，且0不是数列{}n a 的项，求数列{}n a 的通项公式．参考答案：1．B【分析】根据交集运算求解.【详解】因为{10}{1}A xx x x =+>=>-∣∣，所以A B = {1,2}，故选:B.2．D【分析】根据复数的运算法则，纯虚数的定义即可求解.【详解】依题意，()()(1i)(2i)22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在虚轴上，所以20a +=，解得2a =-.故选：D.3．A【分析】由//a b，利用向量共线坐标公式即可求解.【详解】因为向量(1,),(2,1)a m b m ==-+，且//a b ，所以1(1)(2)0m m ⨯+-⨯-=，解得13m =-.故选：A 4．D【分析】根据题意可得抛物线的方程，从而可得,A B 坐标，从而得到AB .【详解】因为抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则242pp =⇒=，所以抛物线方程为28y x =，设()()124,,4,A y B y ，不妨令120,0y y ><，则可得232y y =⇒=±12y y ==-，所以11||AB y y =-=故选:D 5．A【分析】根据双曲线渐近线和离心率的公式即可.【详解】渐近线方程为y；aa b∴；c ∴==；e c a ∴==故选：A.6．D【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列{}n a 前10项都是负数，从而得到结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由性质知7436a a d -==，则2d =，且119a =-，则()()111912221n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，令0n a >，得212n >，即前10项都是负数，所以10S 最小，所以10m =.故选:D 7．C【分析】根据0khp p e -=以及指数的运算即可求解.【详解】在某高山12,A A 两处海拔高度为12,h h ，所以()1122012012kh k h h kh p e p e p p e ----===，所以()121ln ln 22k h h --==-，所以120.69355000.000126h h -≈=（m ）.故选：C 8．A【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n nnn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A 9．A【分析】根据题意，由线面垂直的性质定理即可判断AB ，由三棱锥的体积公式即可判断C ，由二面角的定义即可判断D.【详解】对于A ，若AB CD ⊥，因为BC CD ⊥，AB BC B CD ⋂=∴⊥面ABC ，所以CD AC ⊥，而2,2CD AD ==，即直角边长与斜边长相等，显然不对，故A错；对于B ，取BD 中点O ，因为,AO BD CO BD ⊥⊥，AO CO O ⋂=所以BD ⊥面AOC ，所以BD AC ⊥，故B 对；对于C ，当折叠所成的二面角150o AOC ∠=时，顶点A 到底面BCD的距离为2，此时11233A BCD V Sh -==⨯=，故C 对；对于D ，当沿对角线BD 折叠成直二面角时，有平面ABD ⊥平面CBD ，故D 对；故选:A 10．D【分析】构造函数()()()h x g x f x =-，研究()h x 的单调性．【详解】方程1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x 变形为：112211()()(()())(()())(()())n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x ---=-+-++- ，设()()()h x g x f x =-，则121()()()()n n h x h x h x h x -=+++ ，22()()()23(1)2h x g x f x x x x =-=-+=-+在[0,1]上递减，在9[1,]2上递增，∴572()4h x ≤≤，∴121()()()n h x h x h x -+++ 的值域是57[2(1),(1)]4n n --，若存在129,,...,[0,2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x -=+++ ，则5722(1)4n ≤-≤，6528n ≤≤，∴n 的最大值为8．故选：D ．【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数()()()h x g x f x =-，把问题转化为“存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x -=+++ ”，这样利用()h x 的值域就可以解决问题．11．9【分析】按照二项式定理展开，再根据对应项系数确定3a 和4a 的值，代入计算即可.【详解】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.12．{}13x x <<【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可.【详解】由3312log (1)(2)0log (1)(2)2x x x x x x --->⇒>--，在同一直角坐标系内画出函数()()31log ,(1)(2)2f x xg x x x ==--的图象如下图所示：因为()()331f g ==，所以由函数的图象可知：当(1,3)x ∈时，有()()f x g x >，故答案为：{}13x x <<13．12ω=（答案不唯一）【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得2,(3242ππππωω⋅≤⋅-≥-,由此求得正数ω的范围，任取此范围内常数即可.【详解】()()2sin (0)f x x ωω=>在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则2,(3242ππππωω⋅≤⋅-≥-,304ω∴<≤，取一个该范围内的值即可，如12ω=．故答案为：12ω=.14．1()()0,2,2⋃-∞-【分析】第一空，分类讨论m ，无论R m ∈，函数都一个零点；第二空，由第一空讨论0m >，0m =，0m <值的情况，从而可得满足题意的m 的范围.【详解】第一空：当0m >时，可知()f x 有一个零点x m =-；当0m =时，()f x 有一个零点0x =；当0m <时，可知()f x 有一个零点x m =-；综上函数()f x 的零点个数为1个.第二空：如图所示，当0m >时，若要满足题意需22>m m ，得()0,2m ∈；当0m =时，不符题意；如图所示，当0m <时，若要满足题意需22m m >-，得2m <-；综上m 的取值范围是：()()0,2,2⋃-∞-故答案为：1；()()0,2,2⋃-∞-15．②③【分析】举反例偶函数2()f x x =，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断①；对于②结合奇函数定义及性质即可判断；对于③首先利用“不动点”定义得到4212x x x a -⋅+=及利用“次不动点”的定义得14212x x xa -⋅+=，再分离变量，利用函数单调性即可求得a 的取值范围；对于④利用“不动点”x ，分离变量后得到21e 2x a x x =--，将问题转化为函数零点问题即可求解.【详解】对于①:取函数2()f x x =，(0)0f =，0既是()f x 的不动点，又是()f x 的次不动点，故①错误；对于②:定义在R 上的奇函数满足(0)0f =，故②正确；对于③:当()2log 421x x a x -⋅+=时，4212x x x a ∴-⋅+=，即1212xxa =+-.令2x t =，[1,2]t ∈，11a t t ∴=+-在区间[]1,2上单调递增，1212xx a =+-在[]0,1上单调递增，满足()2log 421x xa x -⋅+=有唯一解；当()2log 421x x a x -⋅+=-时，14212x xxa ∴-⋅+=即211222xx x a =+-.令2x t =，[1,2]t ∈，211a t t t ∴=+-在区间[]1,2上单调递增，211222xx x a =+-在[]0,1上单调递增，满足()12log 421x x a x -⋅+=有唯一解；综上312a ≤≤时函数()f x 在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正确;对于④:假设函数()f x =[]0,1上存在不动点，则()f x x =在[]0,1上有解，即21e 2x a x x =--在[]0,1上有解，令21()e 2xm x x x =--，则1()e 22x m x x '=--，再令1()e 22x n x x =--，则()2x n x e '=-，令()0n x '=，解得ln2x =，所以()n x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,1)上单调递增，所以32min 13()(ln2)22ln22ln2lne ln4022n x n ==--=-=-=>，所以()0m x '>在[]0,1上恒成立，所以()m x 在[]0,1上单调递增，所以min ()(0)1m x m ==，()()max 31e 2m x m ==-，所以实数a 满足31e 2a ≤≤-，存在正整数1a =满足条件，故④错误：故答案为：②③【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解16．（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）依题意可得AC BD ⊥，再由线面垂直的性质得到PA BD ⊥，即可得到BD ⊥平面PAC ，从而得到BDE ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA BD ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC ；（2）取BC 的中点F ，连接AF ，因为底面ABCD 为菱形且3ABC π∠=，所以ABC 为等边三角形，所以AF BC ⊥，所以AF AD ⊥，如图建立空间直角坐标系，令2AB PA ==，则()0,2,0D ，()3,1,0C，()3,1,0B-，31,,122E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以33,,122DE ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭ ，()0,2,0BC =uu u r ，31,,122EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z = ，所以·0·0BC n EC n ⎧=⎨=⎩ 即2031022y x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令2x =则0y =，3z =，所以()2,0,3n =，设直线ED 与平面EBC 所成角为θ，则()222223213221sin 73323122DE nDE nθ⨯+⨯===⎛⎫⎛⎫+⨯-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线ED 与平面EBC 所成角的正弦值为217【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.17．(1)证明见解析；(2)详见解析.【分析】（1）把105b a =a 、b 之间的倍数关系，把10cos 10A =转化为三边a 、b 、c 之间的关系，综合可得证；（2）条件①,与已知cos 10A =矛盾，三角形无解，不可选；条件②，通过三角形面积公式解得a ，可使△ABC 存在且唯一；条件③，通过转化条件，可使△ABC 存在且唯一.【详解】（1）在△ABC中，由5b a =，可得5b a =则由cos A =2222a c =+-⨯即()(35)0a c a c -+=，故有c a =故△ABC 为等腰三角形.（2）选择条件①：π6B ∠=时，由（1）知c a =，则有512A C π∠=∠=，此时5cos coscos()1264A πππ===，与已知矛盾，三角形无解.不能选；选择条件②：△ABC 的面积为152时，由cos 10A =得，3sin sin(2)2sin cos 210105B A A A π=-==⨯⨯=故有21315252a ⨯=，解得5a =，5c =,b =三角形存在且唯一，可选.选择条件③：AB 边上的高为3.由cos 10A =得，3sin sin(2)2sin cos 210105B A A A π=-==⨯⨯=可得3353sin 5a B ===，则有5c =,b =三角形存在且唯一，可选.综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，b =选择条件③时，三角形存在且唯一，b 18．(1)712(2)0.29(3)2k =【分析】（1）结合古典概型可直接求解；（2）先求出样本中这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率，再利用样本估计总体概率；（3）结合相互独立事件概率公式求出12345,,,,P P P P P ，即可求解.【详解】（1）由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A 为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为()175730012P A ==.（2）从高一、高二、高三年级的体验学生中各随机选取1名学生，这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率为：0.20.20.250.80.80.250.80.20.750.29⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，估计这三名学生中恰有一名参加戏曲体验的概率为0.29.（3）由题可知，10.80.40.150.048P =⨯⨯=，20.450.60.50.135P =⨯⨯=，30.550.60.40.132P =⨯⨯=，40.20.80.750.12P =⨯⨯=，50.450.40.30.054P =⨯⨯=，故15432P P P P P <<<<．所以当k P 取得最大值时，2k =.19．(1)22162x y +=【分析】（1）由题意可得2b c e a ⎧=⎪⎪⎨===⎪⎪⎩（2）当直线l 斜率不存在时，可得13222OAB S =⨯ ，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y kx m =+，联立椭圆方程根据韦达定理及弦长公式可表示出OAB ，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得：2b c e a ⎧=⎪⎪⎨===⎪⎪⎩2a b c ===.故椭圆E 的标准方程为：22162x y +=；（2）圆的方程为2232x y +=，圆心为()0,0，半径为2，①当直线l 斜率不存在时，l的方程为2x =或2x =-，直线x =,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，OAB的面积为1322OAB S = ，根据对称性，直线2x =-时，OAB的面积为13222OAB S =⨯ ；②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y kx m =+，2=得()22231m k =+，由22162y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x kmx m +++-=，则()()222Δ(6)413360km k m =-+->，得22620k m +->.因为()22231m k =+，所以()22312m k =+，所以2910k +>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222636,1313km m x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ===，所以12OABSAB == 令20t k =≥，则OAB 的面积为32OAB S =令()()()()()()()2222244133119+1910133=131313t t t t t t y t t t +++-+++==+++，令()1013n n t =≠+，224441441333233y n n n ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭,所以3322OAB S =≤= 32>，从而OAB综上，OAB 20．(1)210x y -+=(2)单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,∞+(3)(),0∞-【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；（3）分离参数，转化为函数32ln 1t y t+-=与直线y a =有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可.【详解】（1）由题()f x =()0x >，所以()f x ='()0x >，所以()112f '=，又()11f =，所以曲线()y f x =在()1,1处的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=；（2）令()0f x '=>得ln 1x <，所以0e x<<，令()0f x '=<得ln 1x >，所以e x >，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,∞+，（3）因为方程()fx ax =ax =+t =，()0t >，则方程22ln 1tat t +=有解，所以a =()0t >有解，记32ln 1t y t +=，()0t >，则函数32ln 1t y t +-=与直线y a =有公共点，y ='()6ln 1g t t =--，62()t g t t t=='，令()0g t '>得t >()0g t '<得0t <<，所以函数()6ln 1g t t =--在)∞+上单调递增，在上单调递减，所以()6ln 156ln 33ln 20g t g ≥=-=-+>，所以0'>y ，所以函数32ln 1t y t+-=在(0,)+∞上单调递增，记()2ln 1h t t =+，2)()t h t tt=='，令()0h t '>得0t <<令()0h t '<得t >()2ln 1h t t =+在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以()ln 210h t h ≤=-<，所以32ln 10t y t +-=<，作出y =图象，如图：由图可知，函数y =y a =有公共点时a<0，即实数a 的范围为(),0∞-.【点睛】方法点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.也可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题.21．(1)3a 的可能取值有：5-、1-、1、5(2)125,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)1,2,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数【分析】（1）根据题中定义可得出122a a -=，233a a -=，可依次求得2a 、3a 的取值；（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据2421n n n a a a +++≥可求得d 的取值范围，再利用二次函数的基本性质可求得2223a a +的取值范围；（3）根据性质1P 可得出1n a ≥，根据24210n n n a a a ++≥-≥可推导出n a 、()4n k a k *+∈N 必同号，再利用性质2P 可得出312a ≠，利用反证法可证得：34a ≠，则32a =，再证明出21a =-，由此可知n *∀∈N ，20n a <都成立，可猜测数列{}n a 的通项公式，再利用反证法证明数列{}n a 的唯一性即可.【详解】（1）解：因为数列{}n a 具有性质1P ，则1222a a a -==，所以，22a =±，当22a =-时，由2333223a a a a -=--=+=，所以，31a =或5-，当22a =时，由23323a a a -=-=，所以，31a =-或5.综上所述，3a 的可能取值有：5-、1-、1、5.（2）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()22242222122141n n n n n n a a a d a d a d a ++++++=-++=-+≥，即241d ≤，所以，1122d -≤≤，所以，()()2222222331112562555a a d d d d d ⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎝⎭，因为1122d -≤≤，则131110510d ≤+≤，所以，22223311255,5544a a d ⎛⎫⎡⎤+=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（3）解：根据性质1P ，n *∀∈N ，都有n a ∈Z ，又因为0n a ≠，所以，1n a ≥，于是24210n n n a a a ++≥-≥，因为n a 、4n a +必同号，进而n a 、()4n k a k *+∈N 必同号，若30a <，由性质1P ，必有42a =-，36a =-，23a ≤-，11a ≤-，这与21531a a a +≥矛盾，所以，30a >，进而n *∀∈N ，210n a +>，讨论可知32a =或4或12，仅有这三种可能.若312a =，则48a =，215a ≤，116a ≤，这与21531a a a +≥矛盾，因此，312a ≠.下面证明：34a ≠，则32a =，利用反证法：假设34a =，则48a =，又因为215133116a a a a =+≥=，所以，15a ≥，若21a =，则11a =-或3，与15a ≥矛盾，则21a ≠，所以，27a =，则15a =或9，于是无论哪种情况，n *∀∈N ，0n a >，由656a a -=且60a >可得69a =，此时满足22641a a a +≥，所以，716a =，则824a =，933a =，所以，25971a a a +<，矛盾，综上可知，34a ≠，所以，32a =，42a =-，下面证明：21a =-，利用反证法，如不然，只能25a =，所以，60a >，则69a =，由于40a <，所以，80a <，只能有72a =，86a =-，这与23751a a a +≥矛盾，总之，21a =-，再由10a >可得11a =，进而n *∀∈N ，20n a <都成立，可以猜测数列{}n a 的通项为1,2,2n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，可验证此时1P 、2P 两条性质均成立，符合题意，如另有其它数列{}n b 符合题意，则至少前5项必为：1、1-、2、2-、3，仍满足210n b ->，()20n b n *<∈N ，设()*∈N m b m 是第一个违反上述通项公式的项()6m ≥，若()23,m k k k *=≥∈N ，则21k b k -=，20k b <，所以，2k b k =-，符合通项公式，矛盾；若()213,m k k k *=+≥∈N ，则2k b k =-，210k b +>，所以，211k b k +=+，也符合通项公式，矛盾.综上所述，数列{}n a的通项公式必为1,2,2nn nan n+⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数.【点睛】思路点睛：本题考查了数列新定义问题，按着某种规律新生出另一个数列的题目，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好的考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据定义进行逻辑推理，进而解决问题.。
北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第三次联考文科数学试题
北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第三次联考文科数学试题创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知U ＝{y|y ＝lnx ，x>1}，1|,3A y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则∁U A ＝( ) A. )31,0( B.()0，＋∞ C. ),31+∞⎢⎣⎡ D.(]－∞，0∪),31+∞⎢⎣⎡2．已知x 为实数，若复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数，则31x i i++的值为( )A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．已知在等比数列}{n a 中，45,106431=+=+a a a a ，则等比数列}{n a 的公比q 的值为( ) A ．41B ．21C ．2D ．8 4．设22222log 3log 3,log 9log 3,log 3,a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ．a b c >> 5．在ABC ∆中，已知3=，则AD =( )A ．3132+B ．3132-C ．1233AB AC +D ．1233AB AC - 6．直线l 经过点A （2,1）和B （1，2m ）（ ）m R ∈，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0απ≤<B ．04πα≤≤或2παπ<<C ．04πα≤≤D ．42ππα≤<或2παπ<<7．已知命题p ：函数23x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(－2,4)点；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧ B. p q ⌝∧⌝ C. p q ∧⌝ D. p q ⌝∧8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进行防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（ ）.（π取3.14）A. 1.13千克B. 1.45千克C. 1.57千克D. 1.97千克9.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．1629B ．815C ．1631D ． 1210.设F 1，F 2是双曲线12422=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且||4||321PF PF =，则21F PF ∆的面积等于（ ） A ． 24B ．38C ．24D ．4811．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.2]=1，[－1.2]=－2；则函数f(x)＝[x [x]]在(－1,1)上( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是增函数12.已知a ＞0，且a ≠1，则函数2()(1)2xf x a x a =+--的零点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 与a 有关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．若向量()cos ,1a α=，()1,2tan b α=，且//a b ，则sin α=． 14．设,0,9x y x y >+=，则15x y +++的最大值为．15．点(,)a b 在两直线2y x =-和4y x =-之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22222a ab b a b -++-的最小值与最大值的和为．16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点在一个球面上，则该球的表面积为_______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【数学】北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试试卷(文)(解析版)
北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|log 0}＞＜=-xx x x a ，则实数a 的值为（ ） A.12B. 2C.23 D. 1【答案】A【解析】由3222x>=，解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜， 所以312a +=，解得21=a ．故选A ．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 【答案】B【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大 故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.12B.C.D.【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， 即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A4.已知函数f （x ）=21111log x x x x≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）A. (],2-∞B. (],0(1-∞⋃，2] C. []0,2 D. ][(,01,2⎤-∞⋃⎦【答案】D【解析】当x 1≥时，()1f x ≤，即为：2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；当1x <时，()1f x ≤，即为：111x≤-，解得x ≤0． 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⋃⎦． 故选：D ．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.233π-B.133π- C.81633π- D.8833π- 【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 6.在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. n a n =B. 1n a n =+C. 2)1(-=n n a n D. 2)1(+=n n a n 【答案】D 【解析】令m =1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=. 故选：D7.若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 ( ) A.212B. 84C. 3D. 21【答案】D【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程2212516x y +=可得：2125a =，15a =由椭圆定义可得：121210PF PF a +== (1)， 由双曲线方程22145x y -=可得：224a =，21=a ，由双曲线定义可得：12224PF PF a -==…（2） 联立方程（1）（2），解得：127,3PF PF ==， 所以123721PF PF ⋅=⨯= 故选：D.8.如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n 片金片总共需要的次数为a n ，可推得a 1=1，a n +1=2a n +1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】由程序框图知，i ＝1时，S =1； i ＝2时,S ＝1×2+1＝3； i ＝3时，S ＝3×2+1＝7； i ＝4时，S ＝7×2+1＝15； i ＝5时，S ＝15×2+1＝31； i ＝6时，S ＝31×2+1＝63； i ＝7时，S ＝63×2+1＝127； i ＝8时，S ＝127×2+1＝255； i ＝9时，S ＝255×2+1＝511； i ＝10时,S ＝511×2+1＝1023； 程序运行结束，输出的结果是i ＝10． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量()()()12113a b x c ===，，，，，，若()a b c +⊥，则=x ______． 【答案】-10【解析】因为()()()12113a b x c ===，，，，，所以(1,3)a b x +=+； 又()a b c +⊥；()190a b c x ∴+⋅=++=；10x ∴=-，故答案为10-．10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为S c b a ,,,为ABC ∆的面积，()sin A C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______． 【答案】6π【解析】在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，222sin(A C)S b c +=-，即为22sin sin ac BB b c =-，即有22b c ac =+，由余弦定理可得ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2，即有2,ac b ==，222222cos 22a b c C ab +-===， 由C 为三角形的内角，可得21≥+xx ，故答案为6π．11.设θ第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=______．【答案】5-【解析】因为θ为第二象限角，1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， tan 11tan 41tan 2πθθθ+⎛⎫∴+== ⎪-⎝⎭，1tan 3θ∴=-，而22222cos 1cos sin cos 1tan θθθθθ==++， θ为第二象限角，cos sin 1010θθ∴==-==，则sin cos 10105θθ+=-=-，故答案为. 12.已知1e ，2e 为单位向量且夹角为23π，设1232a e e =+，23b e =，则a 在b 方向上的投影为____【答案】12【解析】()12223cos 32391cos632a b a b e e e πθ⋅==+⋅=⋅⋅+=， 即3cos 2a b θ=，又3b = 所以1cos 2a θ=13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答） 【答案】144【解析】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》， 分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共14C =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以22A =2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种） 故答案为：144．14.直线y =x +1是曲线f （x ）=x +1alnx x-（a ∈R ）切线，则a 的值是______． 【答案】1-【解析】设切点的横坐标为0x ，()20221111'11a x ax f x x a x x x a x --=--==⇒=-⇒-=， 则有：()00000001110f x x alnx x lnx x x =+-=+⇒-+=， 令()()11'101h x lnx x h x x x=-+⇒=-=⇒=，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-； 故答案为：1-．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.在△ABC 中，3sinA =2sinB，tanC =（1）求cos 2C ；（2）若AC -BC =1，求△ABC 的周长． 解：（1）∵tanC =1cosC 6=， ∴2117cos2C 21618⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. （2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c . ∵3sinA 2sinB =，∴3a 2b =，∵AC BC b a 1-=-=，∴a 2=，b 3=.由余弦定理可得222c a b 2abcosC 13211=+-=-=，则c =ΔABC的周长为5.16.已知正项数列{a n }的前n 项和为214411n n n S S a n a ，，=+-=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }是递增数列，11n n n b a a +=⋅，T n 为数列{b n }的前n 项和，若6n m T ≤恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）2n ≥时，()221144441411n n n n n a S S a n a n --⎡⎤=-=+--+--⎣⎦，化为：()2212n n a a --=，0na >. ∴12n n a a --=，或12n n a a -+=，12n n a a --=时，数列{}n a 是等差数列，()12121n a n n =+-=-. 12n n a a -+=，∵11a =，可得1n a =．（2）{}n a 是递增数列，∴21n a n =-.()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和1111111...23352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， ∵6n m T ≤恒成立，∴126m≤，解得3m ≥.∴实数m 的取值范围是[)3,+∞. 17.如图，在平行四边形ABCD中，45,2,A AB BC BE AD ∠===⊥于点E ，将ABE ∆沿BE 折起，使90AED ∠=，连接,AC AD ，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点P 在线段AB 上，直线PD 与平面BCD 所成角的正切值为15，求三棱锥BCD P -的体积．（1）证明：∵BE ⊥AE ，DE ⊥AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，以ED ，EB ，EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A （0，0，1），B （0，1，0），C （2，1，0），D （1，0，0）， 设AC 的中点为M ，则M （1，12，12），∴DM=（0，12，12），=（0，1，-1），BC=（2，0，0），∴DM AB⋅=0，DM BC⋅=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN∴tan∠PDN=PNDN=15，解得x=14，即PN=14．∵BD，CD=AB，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD=12BD CD⋅⋅=1，∴三棱锥P-BCD的体积V=13⋅S△BCD•PN=11134⨯⨯=112．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++ 解：（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）2×2列联表如下图：22500(14012018060)200300320180K ⨯-⨯⨯⨯⨯=≈5.208＞2.706， 所以有12的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 19.已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：（Ⅰ）由已知可得：222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩； 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=． （Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -． 设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=． 则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C m x n =+； 同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D n y m =+．所以()()()2221121212212221ABCD m n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++ 22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++． 即四边形ABCD 的面积为定值2．20.已知函数)ln )2()(2R a x a x a x x f ∈--+=（．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()0f x >，求的最大整数值．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()22a f x x a x =+--' ()222x a x a x+--= ()()12x x a x +-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得2a x >，令()0f x '<，得02a x <<， ()f x ∴在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由（1）知，当0a ≤时()f x 在()0,+∞上单调递增，又()130f a =->，所以当1x ≥时，()()10f x f ≥>，满足题意. 由（1）知，当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 若012a <≤，即02a <≤，()f x 在[)1,+∞上单调递增， 所以当1x ≥时，()()130f x f a ≥=->，满足题意. 若12a >，即2a >，()f x 1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ()()22min 2ln ln 242242a a a a a a f x f a a a a ⎛⎫∴==+-⋅-=-- ⎪⎝⎭()0f x > ()min0f x ∴>即2ln 042a a a a --> 1ln 042a a ∴--> 令()1ln ln 1ln2(2)424a a a g a a a =--=--++>， ()1104g a a∴=--<'， ()g a ∴在()2,+∞上单调递减，又()1202g =>，()133ln 042g =-<， ()g a ∴在()2,3上存在唯一零点0x ，02a x ∴<< 0(23)x <<综上所述，a 的取值范围为()0,x -∞，故a 的最大整数值为2.。
北京市2020〖京教版〗高三数学复习试卷第三次联考·数学试卷
北京市2020年〖京教版〗高三数学复习试卷第三次联考·数学试卷创作人：百里此前创作日期：202B.03.31审核人：北堂的公创作单位：雅礼明智德学校第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M＝{x|x2＋x－6＜0},N＝{x|1≤x≤3},则M∩(R N)等于A.(－2,1)B. (－2,3]C.(－3,1)D.(－1,2]2.已知数列{a n}为等差数列,若a3＋a7＝20,则数列{a n}的前9项和S9等于A.40B.45C.60D.903.若tanθ＝1,则sin2θ的值为A. B.1C. D.4.下面四个条件中,使a＞b成立的充分不必要条件是A.a＞b＋1B.a＞b－1C.a＋1＞b＋1D.a2＞b25.已知在等比数列{a n}中,a3＋a6＝6,a6＋a9＝,则a8＋a11等于A. B. C. D.6.已知平面向量a、b,|a|＝3,|b|＝2且a－b与a垂直,则a与b的夹角为A. B. C. D.7.在各项均为正数的等比数列{a n}中,≤2,则下列结论中正确的是A.数列{a n}是递增数列B.数列{a n}是递减数列C.数列{a n}有可能是递增数列也有可能是递减数列D.数列{a n}是常数列8.若函数f(x)＝a x－k－1(a＞0,a≠1)过定点(2,0),且f(x)在定义域R上是减函数,则g(x)＝log a(x＋k)的图象是9.若0＜x＜1,则＋的最小值为A.24B.25C.36D.7210.已知在各项为正的等比数列{a n}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3＋a7取最小值时首项a1等于A.8B.4C.2D.111.在数列{a n}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N*满足a n＋T＝a n,则称{a n}是周期数列,T叫做它的周期.已知数列{x n}满足x1＝1,x2＝a(a≤1),x n＋2＝|x n＋1－x n|,若数列{x n}的周期为3,则{x n}的前项的和为A.1344B.1343C.1224D.122312.已知log3(x＋y＋4)＞log3(3x＋y－2),若x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是A.(－∞,10]B.(－∞,10)C.(10,＋∞)D.[10,＋∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知a＞0,b＞0,ab＝4,当a＋4b取得最小值时,＝▲.14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最大值为▲.15.函数y＝a x＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx＋ny＋1＝0上,其中mn＞0,则＋的最小值为▲.16.设S n是等差数列{a n}的前n项和,S6≥21且S15≤120,则a10的最大值是▲.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2－kx＋k－1.(1)当k为何值时,不等式f(x)≥0恒成立;(2)当k∈R时,解不等式f(x)＞0.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且满足sinA＋sinB＝2sinC,a＝2b.(1)求cosA的值;(2)若△ABC的面积S△ABC＝,求△ABC三边的长.19.(本小题满分12分)已知正项等比数列{b n}(n∈N*)中,公比q＞1,且b3＋b5＝40,b3·b5＝256,a n＝log2b n＋2.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)若c n＝,求数列{c n}的前n项和S n.20.(本小题满分12分)某公司新研发了甲、乙两种型号的机器,已知生产一台甲种型号的机器需资金30万元,劳动力5人,可获利润6万元,生产一台乙种型号的机器需资金20万元,劳动力10人,可获利润8万元.若该公司每周有300万元的资金和110个劳动力可供生产这两种机器,那么每周这两种机器各生产多少台,才能使周利润达到最大,最大利润是多少?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax2－1)·e x,a∈R.(1)若函数f(x)在x＝1时取得极值,求a的值;(2)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间.22.(本小题满分12分)各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n＋＜2.证明:(1)x n＜x n＋1;(2)1－＜x n＜1.参考答案1.C由题知集合M＝{x|－3＜x＜2},R N＝{x|x＜1或x＞3},所以M∩(R N)＝{x|－3＜x＜1}.2.DS9＝＝＝＝90.3.Bsin2θ＝＝＝1.4.A根据题意可知,选项A、C都能推出a＞b成立,但是根据a＞b不能推出A选项成立,故答案选A.5.C＝q3＝,q＝,a8＋a11＝(a6＋a9)q2＝×＝.6.A因为a－b与a垂直,所以(a－b)·a＝0,所以a·a＝b·a,所以cos a,b ＝＝＝＝,所以a,b ＝.7.D由题意可知,a3＋a11≥2＝2a7,所以有2≤≤2,从而＝2,当且仅当a3＝a11时取得等号.此时数列{a n}是常数列.8.A由题意可知f(2)＝0,解得k＝2,所以f(x)＝a x－2－1,又因为是减函数,所以0＜a＜1.此时g(x)＝log a(x＋2)也是单调减的,且过点(－1,0).故选A符合题意.9.B因为0＜x＜1,所以＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝4＋9＋＋≥13＋2＝25,当且仅当＝,即x＝时取得等号.10.C由题意知a2a8＝82＝,即a5＝8,设公比为q(q＞0),所以4a3＋a7＝＋a5q2＝＋8q2≥2＝32,当且仅当＝8q2,即q2＝2时取等号,此时a1＝＝2.11.B由x n＋2＝|x n＋1－x n|,得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a,x4＝|x3－x2|＝|1－2a|,因为数列{x n}的周期为3,所以x4＝x1,即|1－2a|＝1,解得a＝0或a＝1.当a＝0时,数列为1,0,1,1,0,1…,所以S＝2×671＋1＝1343.当a＝1时,数列为1,1,0,1,1,0,…,所以S＝2×671＋1＝1343.12.D要使不等式成立,则有,即,设z＝x－y,则y＝x－z.作出不等式组对应的可行域如图所示的阴影部分(不包括左右边界):平移直线y＝x－z,由图象可知当直线y＝x－z经过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z最大,由,解得,代入z＝x－y得z＝x－y＝3＋7＝10,又因为可行域不包括点B,所以z＜10,所以要使x－y＜λ恒成立,则λ的取值范围是λ≥10,即[10,＋∞).13.4a＋4b≥2＝8,当且仅当a＝4b时取等号,结合a＞0,b＞0,ab＝4,所以a＝4,b＝1,＝4.14.23作出可行域,如图所示:当目标函数z＝2x＋3y经过x－y＋1＝0与2x－y＝3的交点(4,5)时,有最大值2×4＋3×5＝23.15.8函数y＝a x＋2－2(a＞0,a≠1)的图象恒过定点A(－2,－1),所以(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1,又mn＞0,所以＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.当且仅当＝,即m＝,n＝时取等号.16.10法一:S6＝6a1＋15d≥21,S15＝15a1＋105d≤120,∴2a1＋5d≥7,a1＋7d≤8.又a10＝a1＋9d＝－(2a1＋5d)＋(a1＋7d)≤－×7＋×8＝10.法二:设a1＝x,d＝y,,目标函数a10＝z＝x＋9y,画出平面区域知a10＝z＝x＋9y在点(1,1)处取到最大值10.17.解:(1)由f(x)≥0恒成,立即x2－kx＋k－1≥0恒成立,所以Δ＝k2－4(k－1)＝(k－2)2≤0,所以k＝2.5分(2) 当k∈R时,f(x)＞0等价于x2－kx＋k－1＞0⇔(x－1)[x－(k－1)]＞0.由k－1＝1,得k＝2.∴当k＝2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞),当k＜2时,不等式的解集为(－∞,k－1)∪(1,＋∞),当k＞2时,不等式的解集为(－∞,1)∪(k－1,＋∞).10分18.解:(1)因为sinA＋sinB＝2sinC,由正弦定理得a＋b＝2c.又a＝2b,可得a＝c,b＝c,所以cosA＝＝＝－.6分(2)由(1)cosA＝－,A∈(0,π),所以sinA＝,所以S△ABC＝bcsinA＝×c×c×＝,得c2＝9,即c＝3 ,所以b＝2,a＝4.12分19.解:(1)由知b3,b5是方程x2－40x＋256＝0的两根,注意到b n＋1＞b n,得b3＝8,b5＝32,因为q2＝＝4,所以q＝2或q＝－2(舍去),所以b1＝＝＝2,所以b n＝b1q n－1＝2n,a n＝log2b n＋2＝log22n＋2＝n＋2.因为a n＋1－a n＝[(n＋1)＋2]－[n＋2]＝1,所以数列{a n}是首项为3,公差为1的等差数列.7分(2)因为a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2,所以c n＝,所以S n＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝.12分20.解:设每周生产甲种机器x台,乙种机器y台,周利润z万元,则目标函数为z＝6x＋8y.作出不等式组表示的平面区域,且作直线l:6x＋8y＝0,即3x＋4y＝0,如图:6分把直线l向右上方平移至l3的位置时,直线l3过可行域上的点M时直线的截距最大,即z取最大值,解方程组(x≥0,y≥0,x,y∈Z)得,所以点M坐标为(4,9),将x＝4,y＝9代入目标函数z＝6x＋8y得最大值z＝6×4＋8×9＝96(万元).所以每周应生产甲种机器4台、乙种机器9台时,公司可获得最大周利润为96万元.12分21.解:(1)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·e x,x∈R.2分依题意得f'(1)＝(3a－1)·e＝0,解得a＝.经检验符合题意.4分(2)f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·e x,设g(x)＝ax2＋2ax－1.①当a＝0时,f(x)＝－e x,f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.5分②当a＜0时,方程g(x)＝ax2＋2ax－1＝0的判别式为Δ＝4a2＋4a,令Δ＝0, 解得a＝0(舍去)或a＝－1.1°当a＝－1时,g(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0,即f'(x)＝(ax2＋2ax－1)·e x≤0,且f'(x)在x＝－1两侧同号,仅在x＝－1时等于0,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.2°当－1＜a＜0时,Δ＜0,则g(x)＝ax2＋2ax－1＜0恒成立,即f'(x)＜0恒成立,则f(x)在(－∞,＋∞)上为单调减函数.3°a＜－1时,Δ＝4a2＋4a＞0,令g(x)＝0,得x1＝－1＋,x2＝－1－,且x2＞x1.所以当x＜－1＋时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－∞,－1＋)上为单调减函数;当－1＋＜x＜－1－时,g(x)＞0,f'(x)＞0,f(x)在(－1＋,－1－)上为单调增函数;当x＞－1－时,g(x)＜0,f'(x)＜0,f(x)在(－1－,＋∞)上为单调减函数.综上所述,当－1≤a≤0时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,＋∞);当a＜－1时,函数f(x)的单调减区间为(－∞,－1＋),(－1－,＋∞),函数f(x)的单调增区间为(－1＋,－1－).12分22.证明:(1)因为x n＞0,x n＋＜2,所以0＜＜2－x n,所以x n＋1＞,且2－x n＞0.因为－x n＝＝≥0.所以≥x n,所以x n≤＜x n＋1,即x n＜x n＋1.5分(2)下面用数学归纳法证明:x n＞1－.①当n＝1时,由题设x1＞0可知结论成立;②假设n＝k时,x k＞1－,当n＝k＋1时,由(1)得x k＋1＞≥＝1－.由①,②可得x n＞1－.8分下面先证明x n≤1.假设存在自然数k,使得x k＞1,则一定存在自然数m,使得x k＞1＋.因为x k＋＜2,x k＋1＞≥,x k＋2＞≥,…,x k＋m－1≥2,与题设x k＋＜2矛盾,所以x n≤1.若x k＝1,则x k＋1＞x k＝1,根据上述证明可知存在矛盾.所以x n＜1成立.12分。
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2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一二Biblioteka 三四总分得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．复数的 （）
（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；
（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地 ， 共抽取 箱，求 的值；②从这 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 表示来自产地 的箱数，求 的分布列和数学期望.
（3）产地 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱 元，明年丑橘的平均批发价为每箱 元，比较 ， 的大小.（只需写出结论）
评卷人
得分
三、双空题
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
（1）证明： .
（2）若二面角 为直二面角，求二面角 的余弦值.
18．丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：
产地
批发价格
150
160
140
155
170
市场份额
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
12．已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．
13．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，则 ______.
14．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高为 ；
③ 不可能是9.
其中判断正确的序号是______.
4．C
【解析】
【分析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
5．D
【解析】
试题分析：抛物线 焦点在 轴上，开口向上，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为 ，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
19．已知函数 ，其中 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的最小值为-1，求实数 的值.
20．已知椭圆 ： ，上下两个顶点分别为 ， ，左右焦点分别为 ， ，四边形 是边长为 的正方形，过 作直线 交椭圆于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：四边形 对角线交点的纵坐标与 ， 两点的位置无关.
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C． 或－ D． 和－
8．函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向右平移 个单位
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设 、 为两个同高的几何体， 、 的体积不相等， 、 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知， 是 的（ ）
参考答案
1．C
【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
2．D
【解析】
【分析】
集合 是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
【详解】
解：由题意，若 、 的体积不相等，则 、 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之， 、 在等高处的截面积不恒相等，但 、 的体积可能相等，例如 是一个正放的正四面体， 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
9．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
10．函数 ， .若存在 ，使得 ，则 的最大值是（）
A．8B．11C．14D．18
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
11．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于______.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，则点 到抛物线焦点的距离为（）
A．2B．3C．4D．5
6．函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
评卷人
得分
四、解答题
16．已知数列 的前 项和为 ， ，______.指出 、 、… 中哪一项最大，并说明理由.
从① ， ，② 是 和 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
17．在如图所示的三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ， 是 的中位线， 为线段 的中点.
21．设 为给定的大于2的正整数，集合 ，已知数列 ： ， ，…， 满足条件：
①当 时， ；
②当 时， .
如果对于 ，有 ，则称 为数列 的一个逆序对.记数列 的所有逆序对的个数为 .
（1）若 ，写出所有可能的数列 ；
（2）若 ，求数列 的个数；
（3）对于满足条件的一切数列 ，求所有 的算术平均值.