2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题
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21．设 为给定的大于2的正整数，集合 ，已知数列 ： ， ，…， 满足条件：
①当 时， ；
②当 时， .
如果对于 ，有 ，则称 为数列 的一个逆序对.记数列 的所有逆序对的个数为 .
（1）若 ，写出所有可能的数列 ；
（2）若 ，求数列 的个数；
（3）对于满足条件的一切数列 ，求所有 的算术平均值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，则点 到抛物线焦点的距离为（）
A．2B．3C．4D．5
6．函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
绝密★启用前
2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．复数的 （）
评卷人
得分
三、双空题
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
参考答案
1．C
【解析】源自文库
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
2．D
【解析】
【分析】
集合 是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
4．C
【解析】
【分析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
5．D
【解析】
试题分析：抛物线 焦点在 轴上，开口向上，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为 ，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
19．已知函数 ，其中 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的最小值为-1，求实数 的值.
20．已知椭圆 ： ，上下两个顶点分别为 ， ，左右焦点分别为 ， ，四边形 是边长为 的正方形，过 作直线 交椭圆于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：四边形 对角线交点的纵坐标与 ， 两点的位置无关.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设 、 为两个同高的几何体， 、 的体积不相等， 、 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知， 是 的（ ）
12．已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．
13．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，则 ______.
14．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高为 ；
③ 不可能是9.
其中判断正确的序号是______.
（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；
（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地 ， 共抽取 箱，求 的值；②从这 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 表示来自产地 的箱数，求 的分布列和数学期望.
（3）产地 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱 元，明年丑橘的平均批发价为每箱 元，比较 ， 的大小.（只需写出结论）
【详解】
解：由题意，若 、 的体积不相等，则 、 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之， 、 在等高处的截面积不恒相等，但 、 的体积可能相等，例如 是一个正放的正四面体， 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
9．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
10．函数 ， .若存在 ，使得 ，则 的最大值是（）
A．8B．11C．14D．18
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于______.
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
评卷人
得分
四、解答题
16．已知数列 的前 项和为 ， ，______.指出 、 、… 中哪一项最大，并说明理由.
从① ， ，② 是 和 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
17．在如图所示的三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ， 是 的中位线， 为线段 的中点.
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C． 或－ D． 和－
8．函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向右平移 个单位
（1）证明： .
（2）若二面角 为直二面角，求二面角 的余弦值.
18．丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：
产地
批发价格
150
160
140
155
170
市场份额
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
①当 时， ；
②当 时， .
如果对于 ，有 ，则称 为数列 的一个逆序对.记数列 的所有逆序对的个数为 .
（1）若 ，写出所有可能的数列 ；
（2）若 ，求数列 的个数；
（3）对于满足条件的一切数列 ，求所有 的算术平均值.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，则点 到抛物线焦点的距离为（）
A．2B．3C．4D．5
6．函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
绝密★启用前
2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．复数的 （）
评卷人
得分
三、双空题
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
参考答案
1．C
【解析】源自文库
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
2．D
【解析】
【分析】
集合 是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
3．A
【解析】
【分析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
4．C
【解析】
【分析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
5．D
【解析】
试题分析：抛物线 焦点在 轴上，开口向上，所以焦点坐标为 ，准线方程为 ，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为 ，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
19．已知函数 ，其中 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的最小值为-1，求实数 的值.
20．已知椭圆 ： ，上下两个顶点分别为 ， ，左右焦点分别为 ， ，四边形 是边长为 的正方形，过 作直线 交椭圆于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：四边形 对角线交点的纵坐标与 ， 两点的位置无关.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设 、 为两个同高的几何体， 、 的体积不相等， 、 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知， 是 的（ ）
12．已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．
13．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，则 ______.
14．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高为 ；
③ 不可能是9.
其中判断正确的序号是______.
（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；
（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地 ， 共抽取 箱，求 的值；②从这 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 表示来自产地 的箱数，求 的分布列和数学期望.
（3）产地 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱 元，明年丑橘的平均批发价为每箱 元，比较 ， 的大小.（只需写出结论）
【详解】
解：由题意，若 、 的体积不相等，则 、 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之， 、 在等高处的截面积不恒相等，但 、 的体积可能相等，例如 是一个正放的正四面体， 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
9．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
10．函数 ， .若存在 ，使得 ，则 的最大值是（）
A．8B．11C．14D．18
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于______.
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
评卷人
得分
四、解答题
16．已知数列 的前 项和为 ， ，______.指出 、 、… 中哪一项最大，并说明理由.
从① ， ，② 是 和 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
17．在如图所示的三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ， 是 的中位线， 为线段 的中点.
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C． 或－ D． 和－
8．函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向右平移 个单位
（1）证明： .
（2）若二面角 为直二面角，求二面角 的余弦值.
18．丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：
产地
批发价格
150
160
140
155
170
市场份额
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.