2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题

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绝密资料高中数学直线与圆的位置关系

第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或23、若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [－3，－1]B. [－1，3]C. [－3，1]D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．5、直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．6、(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A. 6B.5C．－ 6 D．－57、(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝()A．2 B．48、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)变式2、已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．考点二圆的弦长问题例2、已知直线ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为32，求实数a的值．变式1、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线3x－y＋1－3＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．变式2、（1）过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为25，则直线l的方程为_（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.考点三圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A. B. C. D.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +125、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（）A ．2B ．2C D 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（）A ．B ．C ．5+D ．3+7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

2020年中学数学30 排列、组合(原卷版)

考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷(时量：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上．1．123lim 221-+-→x x x x 等于 ( A ) A ．21- B ．21 C ．1 D ．0 2．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的 ( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a < 0，b < -1，则下列不等式成立的是 ( C )A ．a >b a >2b a B ．2ba >b a > a C ．b a >2b a > a D ．b a > a >2b a 4．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列四个命题： ① 若m ⊥ α，m ⊥ β，则α //β ② 若m ⊂ α，n ⊂ β，m // n ，则α //β ③ 若m // n ，m ⊥ α，则n ⊥ α ④ 若m ⊥ α，m ⊂ β，则α ⊥ β其中正确命题的个数是 ( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数y = cos(2x -4π)的一条对称轴的方程是 ( B ) A ．x = -2π B ．x =8π C ．x = -8π D ．x = π 6．已知a r 、b r 是非零向量且满足条件：(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r rr ，则a r 与b r 的夹角是 ( B )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．将函数cos y x x =+的图象沿x 轴向左平移a 个单位(a > 0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为 ( D )A ．76πB ．2πC ．6πD ．3π 8．在123(2)na a --(n ∈ N *)的展开式中 ( D )A ．一定没有常数项B ．当且仅当n = 5时，展开式中有常数项C ．当且仅当n = 4k (k ∈ N *)时，展开式中有常数项D ．当且仅当n = 7k (k ∈ N *)时，展开式中有常数项B MF ED B A C C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答卷相应题号的横线上．9．不等式21x x+-< 0的解集为________________． {x | x < - 2或x > 1} 10．设函数f (x ) = x a log (a > 0，a ≠ 1)满足f (9) = 2，则f -1 (2log 9)等于______11．已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125π，则x =_____10_____．(球的表面积公式S = 4πR 2，其中R 表示球的半径) 12．正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图所示)，M 是矩形AEFD 内一点，如果∠MBE = ∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为12，那么点M 到直线EF 的距离为．13．设函数f (x )是定义域为R 的函数，且f (x + 2)[1 - f (x )] = 1 + f (x )，又f则f (2020) =___________________ ．提示：可推得f (x + 4) = -1()f x ，f (x + 8) = f (x )，从而f (2020) = f (6) = -1(2)f． 14．定义运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘．如：可将1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ … ⨯ n记作1ni i =P ，(n ∈ N *)．已知T n =1n i i a =P ，(n ∈ N *)，其中a i 为数列{a n }(n ∈ N *)中的第i 项． ① 若a n = 2n - 1，则T 5 = _________. 945② 若T n = n 2 (n ∈ N *)，则a n =_________. 21,1(),21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 在ΔABC 中，A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．设a 、b 、c 满足条件b 2 + c 2 - bc = a 2和12c b =A 和tan B 的值．解法一：由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，………………………3分因此，A = 60︒，……………………………………………………………5分在△ABC 中，C = 180︒ - A - B = 120︒ - B ．……………………………6分由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+sin120cos cos120sin 1sin 2B B B B ︒-︒==+，……………………………11分解得cot B = 2，从而1tan 2B =．…………………………………………13分解法二：由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，………………………3分因此，A = 60︒，……………………………………………………………5分由b 2 + c 2 - bc = a 2，得221115()1()13424a c cb b b =+-=+-，所以.215=b a ①…………………………………………………8分由正弦定理sin sin b B A a ===．……………………10分由①式知a > b ，故B < A ，因此，B 为锐角，于是cos B =，……………………………………11分从而sin 1tan cos 2B B B ==．………………………………………………13分16．(本小题满分12分)中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是23． (Ⅰ) 若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(Ⅱ) 若5人中恰有r 人合格的概率为80243，求r 的值； (Ⅲ) 记测试合格的人数为ξ，求ξ 的期望和方差．解：(Ⅰ) 体育教师不坐后排记为事件A ，则13161()2C P A C ==．………… 4分 (Ⅱ) 每位考生测试合格的概率23p =，测试不合格的概率为113p -=，ξ ～2(5,)3B ，则55580()(1)243r r r P r C p p -=-=，即555522180()()332433r r r r r C C -==， ∴5280r r C =，r = 3或r = 4．……………………………………………… 8分(Ⅲ) ∵ξ ～2(5,)3B ， ∴ ,310325=⨯=ξE 91031325=⨯⨯=ξD ………………………………12分 17．(本小题满分14分) 已知1||1e =u r ，2||2e =u u r ，1e u r 与2e u u r 的夹角为90︒，122a ke e =+r u r u u r ，122b e ke =+r u r u u r ． (1) 若a b ⊥r r ，求实数k 的值； (2) 若a r 与b r 共线同向，求实数k 的值．解：(1) ∵12e e ⊥u r u u r ，∴120e e ⋅=u r u u r ，………………………………………… 2分 ∵a b ⊥r r ， ∴0a b ⋅=r r ， ∴1212(2)(2)0ke e e ke +⋅+=u r u u r u r u u r ，即：222121222(4)0ke ke k e e +++⋅=u r u u r u r u u r ，………………………………… 4分 121,2e e ==u r u u r Q ，∴k = 0． ……………………………………………… 6分 (2) ∵a r 与b r 共线同向，∴(0)a b λλ=>r r ，………………………………… 8分 ∵122a ke e =+r u r u u r ，122b e ke =+r u r u u r ，∴12122(2)ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r ，又12,e e u r u u r 为不共线向量，∴22k k λλ=⎧⎨=⎩，∴12k λ=⎧⎨=⎩或12k λ=-⎧⎨=-⎩，…………… 12分又λ > 0，∴k = 2．……………………………………………………… 14分18．(本小题满分14分)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是AC 的中点，∠C 1DC = 60°．(Ⅰ) 求证：AB 1∥平面BC 1D ；(Ⅱ) 求二面角D －BC 1－C 的大小．解法一：(Ⅰ) 连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO ．∵在△AB 1C 中，O 、D 均为所在边的中点，∴AB 1∥DO …………………………3分∵AB 1 ⊄平面BC 1D ，DO ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．…………………6分(Ⅱ) 设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1．∵∠C 1DC = 60°，∴CC 1 =3．作DE ⊥BC 于E ．∵平面BCC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面BCC 1B 1，作EF ⊥BC 1于F ，连结DF ，则 DF ⊥BC 1，∴∠DFE 是二面角D - BC 1 - C 的平面角………10分在Rt △DEC 中，DE =31,2EC =，在Rt △BFE 中，EF = BE ·sin ∠C 1BC =33332727⨯=， ∴在Rt △DEF 中，tan ∠DFE =327733DE EF =⋅=， ∴二面角D - BC 1 - C 的大小为arctan 7………14分解法二：以AC 的中点D 为原点建立空间直角坐标系如图，设| AD | = 1，∵∠C 1DC = 60°，∴| CC 1| =3．则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (- 1，0，0)，A 1(1，0，3)，B 1(0，3，3)，C 1(- 1，0，3)，(Ⅰ) 连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO ，则O 1(2-，1AB u u u u r =2DO u u u r ， ∵AB 1与DO 不重合，∴AB 1∥DO ．又AB 1 ⊄平面BC 1D ，DO ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．……………………………8分 (Ⅱ)1DC u u u u r = (- 1，0)，1C B u u u u r = (1，，设平面BC 1D 的法向量为n r = (x ，y ，z )，则1100n DC n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r r ，即00x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，则有y = 0，令z = 1，则n r，0，1)…………………………………………………………10分设平面BCC 1B 1的法向量为m r = (x '，y '，z ')，则1100m CC m C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即00x '='''=⎪⎩， ∴z ′ = 0，令y = -1，解得m r，-1，0)，二面角D - BC 1 -C 的余弦值为cos ＜n r ，m r ＞= 34n m n m ⋅=⋅， ∴二面角D - BC 1- C 的大小为arc cos 34………………………………………14分19．(本小题满分14分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对于所有的正整数n ，有2n a =． (Ⅰ) 写出数列{a n }的前三项；(Ⅱ) 求数列{a n }的通项公式，并写出推证过程；(Ⅲ) 令14n n n b a a +=⋅，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与12的大小．解：(Ⅰ) 由题意，当n = 1时，有a 1= 2，S 1 = a 1，∴a 1= 2，解得a 1 = 2，当n = 2时，有2a= 2 ，S 2 = 1a +2a ，将a 1 = 2代入，整理得(a 2 - 2)2 = 16，由a 2 > 0，解得a 2 = 6，当n = 3时，有a 3= 2 ，S 1 = a 1 + a 2 + a 3，将a 1 = 2，a 2 = 6代入，整理得(a 3 - 2)2 = 64，由a 3 > 0，解得a 3 = 10，所以该数列的前三项分别为2，6，10．………………………………4分(Ⅱ) 由a n= 2 (n ∈N *)，整理，得S n =18(a n + 2)2，则S n + 1 =18(a n + 1 + 2)2， ∴a n + 1 = S n + 1 - S n =18[(a n + 1 + 2)2 - (a n + 2)2]，整理，得(a n + 1 + a n )( a n + 1 - a n - 4) = 0，由题意知a n + 1 + a n ≠ 0，∴a n + 1 - a n = 4，∴即数列{a n }为等差数列，其中首项a 1 = 2，公差d = 4， ……………9分∴a n = a 1 + (n – 1)d = 2 + 4(n – 1)，即{a n }的通项公式为a n = 4n – 2，n ∈N *．………………………………10分 (Ⅲ) b n =14n n a a +⋅=411(42)(42)4242n n n n =--+-+， T n = b 1 + b 2 + … + b n=111111()()()266104242n n -+-++--+L =24121+-n <12．………14分 20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x ) = ax 3 - 2bx 2 + cx + 4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图象关于原点对称，且x = 1时，f (x )取极小值25-． (Ⅰ) 求f (x )的解析式；(Ⅱ) 当x ∈[- 1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(Ⅲ) 若x 1，x 2∈[- 1，1]时，求证：| f (x 1) - f (x 2)| ≤45．解：(Ⅰ) ∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴f (0) = 0，即4d = 0，∴d = 0，又f (-1) = - f (1)，即 - a - 2b - c = - a + 2b – c ，∴b = 0，∴f (x ) = ax 3 + cx ，f ′(x ) = 3ax 2 + c ．∵x = 1时，f (x )取极小值25-，∴ 3a + c = 0，且 a + c =25-，解得a =15，c =35-，∴f (x ) =31355x x -．……………………… 5分 (Ⅱ) 当x ∈[- 1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．假设图象上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x ) =35(x 2 - 1)知两点处的切线斜率分别为k 1 =213(1)5x -， k 2 =223(1)5x -，且22129(1)(1)25x x --= - 1 (*) ∵x 1，x 2∈[- 1，1]，∴21x -1 ≤ 0，22x -1 ≤ 0，∴(21x - 1)(22x - 1) ≥ 0，此与(*)矛盾，故假设不成立，即当x ∈[- 1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．……… 9分(Ⅲ) 证明：f ′(x ) =35(x 2 - 1)，令f ′(x ) = 0，得x = ± 1， ∴x ∈(- ∞，- 1)或x ∈(1，+ ∞)时，f ′(x ) > 0，x ∈(- 1，1)时，f ′(x ) < 0，∴f (x )在[- 1，1]上是减函数，且f max (x ) = f (- 1) =25，f min (x ) = f (1) =25-. ∴在[- 1，1]上| f (x )| ≤25，于是x 1，x 2∈[- 1，1]时， | f (x 1) - f (x 2)| ≤ | f (x 1) | + | f (x 2)| ≤224555+= …………………………13分。

2019_2020学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考数学试卷

A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
”是“函数为奇函数”的（）． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知
，
，则
的值为（）．
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
的解集为
，求实数的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
．
1 ）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”；
2 ）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
3 ）记阶“期待数列”的前项和为
，试证：
．
A.
B.
C.
D.
8. 已知定义在上的函数
则的取值范围是（）．
A.
B.
，若方程 C.
有两个不相等的实数根， D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
9. 已知函数
的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数
在
处取得极值．
10.
，，
三个数中最大的数字是
．
11. 在
中，
，
，则
．
12. 去年某地的月平均气温（）与月份（月）近似地满足函数
17. 已知
的内角，，所对的边分别为，，，
1 ）求
的值．
2 ）若
，
的面积为，求边长．
，且角为锐角．
18. 已知函数 1 ）当 2 ）当

2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷(附参考答案)

解答本题的关键． 3.【答案】B
【解析】
解：根据题意，分 2 步进行分析： ①，将除甲乙之外的 2 人全排列，有 A22=2 种情况，排好后有 3 个空位； ②，在 3 个空位中，任选 2 个，安排甲乙 2 人，有 A32=6 种情况，则甲乙不相邻的排法有 2×6=12 种；
故选：B．
根据题意，分 2 步进行分析：①，将除甲乙之外的 2 人全排列，排好后有 3 个空位；②，在 3 个空位中，任选 2 个，安排甲乙 2 人，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 4.【答案】C
A.
[4 3,
3
5]
B.
[3 2,
2
5]
C.
[4 3,
3
6]
D.
[3 2,
2
6]
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
9.
已知双曲线
C：��2
‒
��2 4
=
1，则双曲线
C
的一条渐近线的方程为______．
10.
�� 二项式（
+
1
��2）6
的展开式中，常数项为______．
B. �� = ��3
C.
�� =
‒1
��
D. �� = �� ‒ 1
3. 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（）
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
4. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入 a 的值为 16，b 的值为 24，则执行该程序框图

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题

1
1,2,3,…,n，试证：
S
(3)记n阶“期待数列”的前k项和为Sk
.
2
k
k
清华附中高三
年月月考试卷数学
201910
一、选择题
，B＝{x|(x1)(x3)0}
，则A∩B=（）
1.已知集合
1}
{x|2x3}
A.{x|x
C.{x|1
B.
D.
x3}
{x|x2x1}
或
【答案】B
【解析】
试题分析：B{x|(x1)(x3)0}{x|1xx3}
ABABADBCAD
ABBCAB1
331818
3
12
3
12
18
.考点：平面向量的数量积.
【此处有视频，请去附件查看】
14.如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且
=2，为线段
上一动点，点绕点C
CBA
AC
P
旋转后与点绕点旋转后重合于点．设
B
=x，
的面积为f(x)．则f(x)的定
CPD
P
D
CP
义域为
；f(x)的零点是
③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．
（3）等价转化法：
p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．
3
cos,(,0)
，则sin2的值为（）
5.已知
4
2
3
37
8
3
37
8
A.
B.
C.
D.
8
8
【答案】D
【解析】
3
7
sin22sincos
，所以
sin1cos1()

精品解析：北京市北京大学附属中学2019-2020学年高三上学期月考(12月)数学试题(原卷版)

北大附中2020届高三阶段性检测一、选择题共9小题，共40分.第1～5题每题4分，第6～9题每题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅2.已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（）A.-1B.1C.2D.-23.已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.22a b <B.11a b>C.a b< D.22a b>4.已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=（）A .-1B.C.1D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A .B.C.12+ D.17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里8.已知函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A.()00f = B.0a =时，()f x 的值域为R C.()f x 在R 上单调递增时，0a =或1a ≥ D.方程()2f x =有解时，a <9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A.1Q ，1P B.1Q ，2P C.2Q ，1P D.2Q ，2P 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10.抛物线216x y =的准线方程为______.11.已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）12.在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______.13.方程sin cos 2x x =在区间[],ππ-上的解集为______.14.设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．15.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义α 和β 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅.若非零的平面向量a ，b 满足：a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合3|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥ .设a 与b 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=______.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.18.已知M 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点.（1）求M 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）.19.已知函数()22xf x e x ax=-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21.已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.。

2020年12月北大附中高三数学月考

北大附中2021届高三阶段性检测数学 2020.12.18本试卷150分，考试时间120分钟。

请考生务必将试题的答案填涂、作答在答题卡规定区域内，在试卷上作答无效。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若(1)2z i i +=+，则在复平面内z 对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上存在零点的是（） A. 1y x =+ B. 1y x x=+C. 3y x x =-D. sin y x x =-3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点36(,)-，则cos()πα-=（） A. 3-B. 3C. 6-D. 6 4. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=. 若12l l ∥，则实数a 的值是（） A. 0 B. 3- C. 0或3- D. 2或1-5. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A. 6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D. 侧面四个三角形都是直角三角形6. 已知a ，b 是非零向量，则“a ，b 不是共线向量”是“a b a b -<+”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知O 为坐标原点，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线W 于两点P ， Q ，则POQ ∆的面积（）A. 有最大值且有最小值B. 有最大值且无最小值C. 无最大值且有最小值D. 无最大值且无最小值8. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为（）A. 4800元B. 4900元C. 5000元D. 5200元 9. 已知圆22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（）A. (1,1)-B. [1,1]-C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1][1,)-∞-+∞ 10. 已知2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，其中,,a b c R ∈. 记集合{}()0S x R f x =∈=，{}()0T x R g x =∈=，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A. 1S =且0T =B. 1S =且1T =C. 2S =且2T =D. 2S =且3T = 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题

绝密★启用前北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩ðU B ＝（） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2} 2．1x <是12log 0x >的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y －＝的单调递增区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)4．△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A ．x 225+y 29=1 B ．y 225+x 29=1（y≠0） C ．x 216+y 29=1(y ≠0)D ．x 225+y 29=1（y≠0）5．(2016高考新课标III ，理3)已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32) ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√32,12), 则∠ABC = A ．30∘B ．45∘C ．60∘D ．120∘6．若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（） A ．(x −2)2+(y ±2)2=3 B ．(x −2)2+(y ±√3)2=3线…………线…………C．(x−2)2+(y±2)2=4D．(x−2)2+(y±√3)2=47．向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b与c共线,则实数λ=A．2-B．1-C．1D．28．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是（）A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0D．S15>09．在ABC∆中，,,a b c分别为,,A B C的对边，如果,,a b c成等差数列，30B=︒，ABC∆的面积为32，那么b=（）A B．1+C D．210．若1a>，设函数()4xf x a x=+-的零点为(),log4am g x x x=+-的零点为n，则11m n+的取值范围是( )A．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．[)1,+∞C．()4,+∞D．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设向量,a b是互相垂直的单位向量，向量a bλ+r r与2a b+r r垂直，则实数λ=_______12．已知点(2,0),(0,2)A B-，若点C是圆222x x y-+＝0上的动点，ABC∆的面积的最大值为．13．在等比数列{}n a中，14a=，公比为q，前n项和为nS，若数列{}2nS+也是等比数列，则q等于14．若圆()()22229x y-+-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b+-=>>对称，则19a b+的最小值为__________.○……○……15．已知点,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16．已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ，则λ的取值范围是__________. 三、解答题17．已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+= (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12?··f f f n +++19．已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u rg ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求k 的值20．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m:x =1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点．判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由．22．对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S （A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．参考答案1．A【解析】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故ðU B ＝{x|x ＜1} 所以A∩ðU B ＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 2．B 【解析】【分析】解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】 ∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <， ∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B ．点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2xy =是单调递增的． 4．D 【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2a =10,c =4∴b 2=9∴ x 225+y 29=1(y ≠0)，选D.5．A【解析】试题分析：由题意，得cos∠ABC =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=12×√32+√32×121×1=√32，所以∠ABC =30°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为a ⋅b ＝|a||b|cosθ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0∘≤θ≤180∘；（2）由向量的数量积的性质知|a|=√a ·a ，，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 6．D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±√3，选D. 7．D 【解析】【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案．【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=. 答案为D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题． 8．C【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7>0,S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0，故选C.考点：1. 等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9．B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式． 10．B 【解析】【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y x =对称，直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++…，当2m n ==等号成立，而4m n +=，故111m n+…，故所求的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 11．2- 【解析】【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值. 【详解】∵向量,a b r r是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===r r r r，∵a b λ+r r 与2a b +r r垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=-r r r r r r r r . 故答案为：2-. 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1. 12．32+ 【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系． 13．3解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s 2+2）2=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得 q=3 14．16 【解析】【分析】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值．【详解】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=．所以119()()101061699b aa b a b a b a b+=++=+++=…，当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16. 【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 15．4 【解析】【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论．【详解】① 若只有,,164A B ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()6πω=g ，sin()14πω=g ，sin 02πω≠g ，则22,2,6332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=g ，sin()02πω=g ，sin()14πω≠g ，故有22,2,6363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4． ③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 62πω≠g，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论. 16．(],1-∞- 【解析】【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围．【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y x λ==----=--+=-+u u u r u u u u r g g ．Q 0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题. 17．(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x取到最小值- 【解析】【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x取到最小值-【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目． 18．(1)121,3n n n a n b -=-=;(2) ()11312n m -=+，3214n n +-【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+； ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭ 3214n n +-=. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19．(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =- 【解析】【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ，因为P 为弦AB 的中点，则 OP AB ⊥，因为0AC BC =u u u r u u u rg ，则AC BC ⊥，所以222OP PC OB +=，即()()2222420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆，方程为22( 2) 6x y -+=. (2)Γ的圆心()2,0到1l的距离1|20|2d == Γ被1l截得的弦长为=； Γ的圆心()2,0到2l的距离2d =，Γ被2l截得的弦长为=由题可知=:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用. 20．（1）3e 2e 0x y ++=. （2）1a ≤-或a 2e 4≥-. 【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2xfx x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x '=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2xf x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题. 方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 21．(1)x 24+y 23=1；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，ca =12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:y =12x +n ，n≠1．设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由{x 24+y 23=1y =12x +n，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB ，MC 关于直线m 对称．试题解析： (Ⅰ)由题意得c ＝1, 由＝可得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，)，所以由题意可设直线l ：y ＝x ＋n ，n ≠1. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22．（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论．【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}．（2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +剟．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1．因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ）的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-L ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20，而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3．假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7，（i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26，解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意．当A ={1，2，8}时，T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。

2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考(12月)数学试题(解析版)

2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考（12月）数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2【答案】B【解析】化简复数z ,求出其实部,虚部,列式求解即可. 【详解】1(1)()()bi bi i z b i i i i --⋅-===--⋅-, 因为复数z 的实部和虚部相等, 所以1b -=-,即1b =, 故选:B. 【点睛】本题考查复数,属于简单题.3．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．22a b <B ．11a b> C ．a b < D ．22a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质逐一判断选项正误即可. 【详解】若0a b >>,则22a b >,11a b<,a b >,故A,B,C 选项错误; 因为2xy =在R 上递增,所以22a b >,故D 选项正确; 故选:D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题. 4．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，可得“04πθ<≤”等价于“01k <≤”,再判断充要性即可. 【详解】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则04πθ<≤等价于“01k <≤.故“04πθ<≤”是“1k ≤”的充分不必要条件,故选:A. 【点睛】本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.5．已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r（）A ．-1B ．C ．1 D【答案】C【解析】运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可. 【详解】在正方形ABCD ,有AC =,()()cos 14OC OB AB AD BC AC AD AC AD AC π∴-⋅+=⋅=⋅=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选:C. 【点睛】本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A BC D 1【答案】A【解析】根据题意求出渐近线的斜率,从而得到,a b 之间的等量关系,进而求出离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=垂直, 所以该渐近线的斜率为12, 所以12b a =,即12b a =,所以ce a===,故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,难度不大.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（） A ．96里 B ．48里 C ．192里 D ．24里【答案】A【解析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,设该数列为{}n a,其前n项和为n S则有6161(1())2378112aS-==-,解得1192a=,故2196a a q==,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键. 8．已知函数()2,,x x af xx x a≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A．()00f=B．0a=时，()f x的值域为R C．()f x在R上单调递增时，0a=或1a≥ D．方程()2f x=有解时，2a<【答案】D【解析】作出2(),()g x x h x x==的图像,结合图像一一分析选项正误即可.【详解】作出2(),()g x x h x x==的图像如下图所示:当0x=时,(0)0,(0)0g h==,故不论a取何值,()00f=,故A选项正确;当0a=时,()2,0,0x xf xx x≤⎧=⎨>⎩,其值域为R,故B选项正确;若()f x 在R 上单调递增,结合上图可知0a =或1a ≥,故C 选项正确; 若方程()2f x =有解,结合上图可知2a ≥或2a <,故D 选项错误;故选:D. 【点睛】本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A ．1Q ，1PB ．1Q ，2PC ．2Q ，1PD ．2Q ，2P【答案】A【解析】根据题意可知:i i Q A =的纵坐标i B +的纵坐标,i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论. 【详解】①因为i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则11Q A =的纵坐标1B +的纵坐标;22Q A =的纵坐标2B +的纵坐标; 33Q A =的纵坐标3B +的纵坐标;结合图像可知:1Q ,2Q ,3Q 中的最大值为1Q ;②因为i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数, 则i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,结合上图可知:1P ,2P ,3P 中的最大值是1P ; 故选:A. 【点睛】本题考查函数的图像,能明确i Q ,i P 的几何意义是解题关键.二、填空题10．抛物线216x y =的准线方程为______. 【答案】4y =-【解析】利用抛物线方程确定p ,即可求出准线方程. 【详解】抛物线216x y =的焦点在y 轴上,且42p=, 故其准线方程为:4y =-, 故答案为:4y =-. 【点睛】本题考查抛物线方程,属于基础题.11．已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）【答案】①③(或①④)【解析】作出函数的图像,分别判断交点个数即可.作出函数图像如下图所示:结合图像可知:①y x =-与③3y x =,④12y x =均只有一个交点,故答案为:①③(或①④) 【点睛】本题考查函数的图像及其交点个数问题,属于简单题. 12．在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______. 27+【解析】根据等差中项的性质,列出等式求解q ,进而得出结论. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q , 由1a ,12,3a ,22a 成等差数列, 可得21311223111111222222a a a a q a a a q a q +=⎧+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩, 解得273q +=或273q =(舍), 所以4327a q a +==, 故答案为27+本题考查等差中项的性质应用,结合等比数列的相关知识,需要一定的计算能力. 13．方程sin cos2x x =在区间[],ππ-上的解集为______. 【答案】5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】利用二倍角公式将原方程化为关于sin x 的二次方程求解,再结合x 的范围求解sin x 即可.【详解】2sin cos212sin x x x ==-,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 因为[],x ππ∈-, 所以6x π=或56x π=或2x π=-, 故答案为:5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查解三角函数相关的方程,需要一定的计算能力,属于简单题.14．设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．【考点】方程组的思想以及基本不等式的应用．15．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αu r 和βur 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅u r u ru r u r u r u r .若非零的平面向量a r ，b r 满足：a b ⊗r r 和b a ⊗r r都在集合|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥r r .设a r 与b r 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=r r ______.【答案】23【解析】化简1cos a a b b θ⋅⊗==r r r r,2cos b b a aθ⋅⊗==rr r r ,则2121()()cos 3a b b a k k θ⊗⋅⊗==r r r r ,因此依据θ的范围即可求出12k k 的范围,进而确定其值,求出()sin a b θ⊗r r.【详解】11cos cos ()3a b a a b a b k k Z b b b b bθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 22cos cos ()3b a b b a b a k k Z a aa a aθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 2121()()cos 3a b b a k k θ∴⊗⋅⊗==r r r r ,,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,213cos (,)24θ∴∈,1239(,)24k k ∴∈,12,k k Z ∈Q ,122k k ∴=,22cos 3θ=,sin θ=, a b ≥r rQ ,12k k ∴>,即122,1k k ==,()2sin 3a b θ∴⊗=r r ,故答案为:23.【点睛】本题以新定义为背景考查向量数量积的应用,结合了三角函数的相关知识,需要学生有一定的分析计算能力.三、解答题16．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈;（2）[1,)-+∞ 【解析】(1)化简()f x ,再用整体法求出其单调减区间即可; (2)根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即可求出()f x 的值域,再令min ()0f x ≥即可求解. 【详解】(1)()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos cos 22x x x x x a =+-++cos x x a =++2sin()6x a π=++,令322()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 解得422()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 因此()f x 的单调递减区间为4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈, (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2[,]663x πππ+∈, 1sin()[,1]62x π∴+∈,()[1,2]f x a a ∴∈++,又()0f x ≥恒成立, 所以10a +≥,即1a ≥-, 所以a 的取值范围为:[1,)-+∞. 【点睛】本题考查复合型三角函数求单调区间及其相关的恒成立问题,难度不大.解决此类恒成立问题的关键是将其转化为最值问题.17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（23【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan 3A =- 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果.试题解析：（1）sin 30,tan 3A A A +=∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 72cos 77AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=132ABD ABC S S ∆∆∴==18．已知M e 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点. （1）求M e 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M e 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）. 【答案】(1)22(1)(2)25x y ++-=;(2)72【解析】(1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可;(2)先求出圆心M 到直线l 的距离,再利用垂径定理求出弦长DE ,进而可求MDE ∆的面积. 【详解】(1)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=, 因为M e 过()1,7A -,()2,6B ,()1,3C --三点,所以1+497024362604193020D E F D D E F E D E F F -++==⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+--+==-⎩⎩,所以圆M 的方程为2224200xy x y ++--=,所以圆M 的标准方程为22(1)(2)25x y ++-=; (2)圆心2()1,M -到直线l的距离为2d ==,则DE ===所以MDE ∆的面积为1172222S DE d =⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与圆相交的相关性质,难度不大.一般遇见直线与圆相交的题时,常用上垂径定理.19．已知函数()22xf x e x ax =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【答案】(1)(12)10a x y +-+=;(2)证明见详解【解析】(1)求出()f x ',再根据切点求切线方程即可; (2)分别对其充分性和必要性进行分析即可. 【详解】(1)()22xf x e x a '=-+,所以(0)1,(0)12f f a '==+,所以()f x 在点()0,1处的切线方程为:1(12)y a x -=+, 即(12)10a x y +-+=;(2)当0x >时,()22xf x e x a '=-+,()2xf x e ''=-,令()0ln 2f x x ''>⇒>,则()f x '在(ln 2,)+∞上单调递增;令()00ln 2f x x ''<⇒<<,则()f x '在(0,ln 2)上单调递减;所以min ()(ln 2)22ln 22f x f a ''==-+ ①若0a >,则min ()22ln 220f x a '=-+>, 故()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以()(0)1f x f >=, 即“0a >”⇒“()1f x >”;②由①可知,只要min ()22ln 220f x a '=-+>,即ln 21a >-时,()f x 即在(0,)+∞上单调递增,即有()1f x >,因此“()1f x >”⇒“0a >”;故“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程,还结合了充要性考查导数的相关性质,属于中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=;（2）(4,0)-,证明见详解【解析】(1)由题意可得11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,1b =,进而得到椭圆方程;(2)设出直线PQ 的方程和P ,Q 的坐标,则可知1P 的坐标,进而表示出1PQ 的直线方程,再联立PQ 方程与椭圆方程,即可把0y =代入1PQ 求得x ,结合韦达定理进行化简,进而得出直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【详解】(1)由题意可得1(0,)B b ,2(0,)B b -,1(,0)F c -, 11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,22b =,即1b =,则椭圆的方程为2214x y +=;(2)由题可知直线PQ 的斜率不为0,故设直线PQ 的方程为:1x my =-,联立22144x my x y =-⎧⎨+=⎩, 得22(1)44my y -+=,即22(4)230m y my -+-=(0m ≠), 设1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y ,则11(P x ,1)y -, 又12224m y y m +=+,12234y y m =-+, 经过点11(P x ,1)y -,2(Q x ,2)y 的直线方程为121121y y y y x x x x ++=--, 令0y =,则211221112112x x x y x y x y x y y y y -+=+=++g , 又111x my =-,221x my =-.当0y =时,1221121212(1)(1)21my y my y my y x y y y y +==-++--2264131424mm m m -+=-=--=-+. 故直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题,属于中档题.21．已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.【答案】(1)4,1,3,2或4,2,1,3;(2)证明见详解;(3)7n =时不存在,8n =时存在,理由见详解【解析】(1)根据题意直接写数列即可;(2)假设11a =,则110a -=,那么i a i -最多有1n -个结果,无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P ,题设得证;(3)根据两组1,2,3,…,n 中的奇偶个数,可以推导i a i -的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而得出结论. 【详解】(1)若4n =,且14a =,则具有性质P 的数列A 有两个, 分别是4,1,3,2或4,2,1,3;(2)数列A :1a ,2a ,3a ,…,()4n a n ≥为1,2,3,…,n 的一个排列, 则i a i -最多有n 个结果,分别是0,1,2,,1n -L , 若11a =,则110a -=,2i ≥时,i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L ,因此,若11a =,则i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L , 无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P , 因此,若数列A 具有性质P ,则11a ≠; (3)当7n =时,不存在具有性质P 的数列A ; 当8n =时,存在具有性质P 的数列A . 证明如下:当7n =时,A :1a ,2a ,3a ,…,7a 为1,2,3,…,7的一个排列, 若其具有性质P ,则i a i -的结果应该分别是0,1,2,,6L , 包含3个奇数,4个偶数,而两组1,2,3,…,7中,包含8个奇数,6个偶数,其中,3个奇数与3个偶数相减能得到结果中的3个奇数,但剩下的5个奇数和3个偶数组合无法减出4个偶数,n=时,不存在具有性质P的数列A;因此7n=,则两组1,2,3,…,8中包含8个奇数,8个偶数,若8L,这4个偶数,4个奇数,可以组合相减得到0,1,2,,7n=时,存在具有性质P的数列A.因此8【点睛】本题以新定义为背景考查数列,结合了排列组合的相关知识,需要学生有一定的分析推理能力.。

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷(时量：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上.X 2 3x 22x 1 22. 已知命题p 、q ，贝UA .充分不必要条件 C .充要条件A 一定没有常数项B 当且仅当 n = =5时，展开式中有常数项C 当且仅当 n = =4k (k N*)时，展开式中有常数项D 当且仅当 n : =7k (kN*)时，展开式中有常数项 N*)的展开式中1. lim x 1C . 11 B.—2"命题p 或q 为真”是"命题p 且q 为真”的B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件3. 已知a < 0 , b < 1,则下列不等式成立的是a aA . a >> ~2b b a aC . —> -2 > a b b 24. 已知m , n 是不重合的直线， ①若m , m ，则〃 ③若m // n , m ，贝U n 其中正确命题的个数是 A . 1个a a 2 > > ab b a a bb 2是不重合的平面，给出下列四个命题: ②若m ④若m,m // n ,则，则// 函数 y = cos(2x ―)的一条对称轴的方程是46. 角是A . x =2已知a 、b 是非零向量且满足条件: C . (a 2b)8r (b2a) A .—67.将函数y. 3sinx轴对称，则a 的最小值为A .乙 6B .—3cosx 的图象沿C .— 3x 轴向左平移a 个单位 b ，贝U a 与b 的夹(B )D .6 (a > 0)，所得图象关于y(D )C. 6等于1& 在(a 2 2a 3)n (n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答卷相应题号的横线上.9 .不等式£二< 0的解集为 ___________________ . {x | x < 2或x > 1}1 x10. _________________________________________________________________ 设函数f(x) = log a x (a > 0, a 工1)满足f(9) = 2，则 f 1 (log9 2)等于 ____________________ .迈11. 已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3,4, x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125，则x = ______ 10 ___ .(球的表面积公式S = 4 R2,其中R表示球的半径)12. 正方形ABCD的边长为2, E、F分别是AB和CD 的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图所示),M是矩形AEFD内一点，如果MBE =MBC , MB和平面BCF所成角的正切值为丄，那么点M至煩线EF的距离为.2 --------------------------------------------------------------_2~213. 设函数f(x)是定义域为R的函数，且f(x + 2)[1 f(x)]= 1 + f(x),又f(2) = 2 + 2 ,则f(2020) = _________________ .提示：可推得f(x + 4) = 1, f(x + 8) = f(x),从而f(2020) =f(6) = - = ―2.f(x) f(2) 214•定义运算符号：“ ”，这个符号表示若干个数相乘•如：可将 1 2 3 … n n记作P i ,(nN*).n已知T n = P a i, (ni = 1N*)，其中a i为数列{ a n}( n N*)中的第i项①若a n=2n 1,贝U T5= .9451, n 1②若T =n2(n N*)，贝U a n = a n n nn()2, n 2n 1三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解得cotB = 2，从而tan B2bc15. (本小题满分13分)在c满足条件b2 + c2 bc = a2和- b 解法一：由余弦定理cosA A ABC中，A、B、C所对的边长分别为1 2 b2因此，A = 60 , ...................................... 在厶ABC 中，C = 180 A B = 120A由已知条件，应用正弦定理-• 32sin120 cosB cos120 sin Bsin B 2otB2 11分13分3, 求A和tanB的值.a、b、c.设a、b、B.……sin Csin Bsin (120 B)sin B因此，A = 60，b b b 424a V15所以① ................................................................ 8分b 2由①式知a > b ,故B < A ,因此，B 为锐角,16. （本小题满分12分）中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已17.（本小题满分uri 14分）ir unrur nn IT unr已知lei 1， 61 2 , e 与e ,的夹角为90 , a(n )2B(5,3)，则 P 5(r)C 5rP r(1 Pl竺，即 C 5r (-)r (-)5 r 洱243 3 33580243，80 , T = 3 或 T = 4 .2（川厂〜B(5,；),32 10 ••• E5 ,D3 35r r二 C 5 210解法由余弦定理cosA,2 2 2b c a2bc222 a 2c 2 c 1115由 b + c bc = a ，得()1(—)13 33 由正弦定理bsinA 2 虫1 ..............................................a 15 2 .510分于是 cos B . 1 _sin 2 B2 .15，11分从而tan Bsin B cosB13分知每位考生测试合格的概率都是3. 3若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各 3个座位，求体育教师不坐后排的概率;80 若5人中恰有T 人合格的概率为一一，求T 的值；243 记测试合格的人数为，求的期望和方差.C 31（I ）体育教师不坐后排记为事件 A ,则P （A ）〒 C6(I )(n )(川) 解:2r bLnek（1）若a b，求实数k的值；r r（2）若a与b共线同向，求实数k的值.ur uu 解：⑴••• e , e,,r r r r ■/ a b , ••• a b U 2 UU 2即：2ke 2ke 21,e 2r r(2) ••• a 与b 共线同向，•r ur uu r ur T a ke , 2e 2， b 2e ur uu又e 1,e 2为不共线向量，•又 > 0 , • k = 2 ....... ............................................................ 18. (本小题满分14分)如图，已知正三棱柱 ABC — A I B I C I , D 是AC 的中点, / C i DC = 60 /(I )求证：AB i //平面 BC i D ; (n )求二面角 D — BC i — C 的大小.解法一：(I )连结B i C 交BC i 于O,则O 是B i C 的中点，连结DO . •••在△ AB i C 中，O 、D 均为所在边的中点， •- AB i / DO ....................................... 3 分T AB i 平面 BC i D , DO 平面 BC i D ,• AB i / 平面 BC i D. ............................. 6 分 (n )设正三棱柱底面边长为 2，则DC = i .•••/ C i DC = 60 ° • CC i = 3 . 作DE 丄BC 于E . •••平面BCC i 丄平面ABC ,• DE 丄平面BCC i B i , 作EF 丄BC i 于F ，连结DF ，贝U DF 丄BC i ,• / DFE 是二面角D BC i C 的平面角 ........... i0分在Rt A DEC 中，DE =亟 EC 丄2' 2 '解法二：以AC 的中点D 为原点建立空间直角坐标系如图，设| AD | = 1,V Z C i DC = 60 ,° • | CC i | =73 .ur ur•- q e ,0, ..........................................ur ur ur ur0 , • (ke , 2e 2) (2q ke 2) 0, ur uu(k 2 4)e e 2 0, .......................... r r a b(0) ° ..........uu ir uu ur ur ke 2 ° • ke i 2e 2 (2e i ke 2)k 2 1亠1•或k 2k 2k 22分4分 6分 8分12分•••在 Rt A DEF 中，tan DFE = C i B C3— ____23_73、32、・7 'DE 3 2、7 7 EF 2 3 3 3 °•二面角D BCi C 的大小为a 「如于14分在 Rt A BFEi4分则A(1 ° 0° 0)° B(0° 3 ° 0)° C( 1° 0° 0)°A i(1 ° 0 ° .3) °B i(0 ° 3 ° .3) °C i( 1° 0 ° . 3) °(I )连结B i C交BC i于O°则O是B i C 的中点°19. （本小题满分14分）设｛a n ｝是正数组成的数列，其前（I ）写出数列｛ a n ｝的前三项；（n ）求数列｛a n ｝的通项公式，并写出推证过程；41（川）令h，数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,试比较T n 与的大小.a n a n 12解：（I ）由题意，当 n = 1 时，有 a 1 = 2 2S 1 2, Si = a 1,•- a 1 =2 2a / 2,解得 a 1 = 2,当 n = 2 时，有 a 2 = 2 2S 2 2 , S 2 = a 1 + a 2,将a 1 = 2代入，整理得（a 2 2）2 = 16，由a 2 > 0,解得a 2 = 6, 当 n = 3 时，有 a 3 = 2 2S 3 2 , S 1 = a 1 + a 2 + a 3,将 a 1 = 2, a 2 = 6 代入，整理得（a 3 2）2 = 64，由 a 3 > 0，解得 a 3 = 10, 所以该数列的前三项分别为2, 6, 10. ....................................... • (4)分 (n )由 a n = 2.2S n 「2 (n € N*),整理，得 S n = — (a n + 2) 2,81 则 S n + 1 = (a n + 1 + 2) 2,…a n +1 : 12 =S n + 1 S n = [(a n + 1 + 2) 8 (a n + 2)2], 整理，得(a n + 1 + a n )( a n + 1 a n 4) =0,由题意知 a n + 1 + a n 0,二 a n + 1 a n = 4,uuuc uur,AB 1 = 2DO ,连结 DO ,则 0 (T AB 1 与 DO 不重合，• AB 1// DO .又AB 1 平面BC 1D , DO 平面BC 1D ,•- AB 1/平面 UUUU (n ) DC 1 = ( 1,BC 1D. .................................UULU0 , ■3) , C 1B = (1 , 3 ,设平面BC i D 的法向量为n =（X , y , z ），则 •- 8分3),r UUUir n DC 1 0r UULU, n GB 0即 x [3z，则有 y = 0 ,令 z = 1,x J 3y .3z 0则 n =(3, 0 , 1) ..................... , .............设平面 ’10分BCC 1B 1 的法向量为 m = (x , y , z),UULUlCC 1 0 UUUrC 1B 01，解得 '3z 0 x J 3y m = ( .3 ,1, ，即0),••• z'= 0,.面角D BC iC 的余弦值为cos v n , •二面角D BC i C 的大小为 3 arc cos-414分n 项和为3,且对于所有的正整数 n ,有a n 2 2S^2•即数列｛a n｝为等差数列，其中首项a1 = 2，公差d = 4, ........................ 9分二 a n = a i + (n -1)d = 2 + 4(n T), 即｛a n ｝的通项公式为 a n = 4n -2, n € N* . ................................................................................................... 10分4 4⑴)bn = a n a n 1 = (4n 2)(4n 2)20. (本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f(x) = ax 3 2bx 2 + ex + 4d (a , b , c , d € R)的图象关于原点对称，且x = 1时，f(x)取极小值-.5(I )求f(x)的解析式；(n )当x € [ 1, 1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；4(川)若 X 1, x 2 € [ 1 , 1]时，求证：I f (X 1)f (X 2)| W-5解：(I 厂•函数f(x)的图象关于原点对称，••• f(0) = 0,即4d = 0,二d = 0,又 f( 1) = f(1), 即卩 a 2bc = a + 2b —c ,「. b = 0,• f(x) = ax 3 + cx , f ' x) = 3ax 2 + c .••• x = 1 时，f(x)取极小值 -,•••3a + c = 0,且 a + c =-, (n )当x € [ 1, 1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立. 假设图象上存在两点 A (X 1, y 1), B(x 2, y 2),使得过此两点处的切线互相垂直,则由f 'x ( = 3(x 21)知两点处的切线斜率分别为 k 1 = -(x' 1),553 29 22k 2 = ：(x 2 1)，且丁(人 1)(X 21)= 1 (*)5 252 2T X 1, X2€ ［ 1, 1］,.・・ X 1 1 <0, X 2 1 <0,2 2•- ( X 11)( X 2 1) >0,此与(*)矛盾，故假设不成立，即当x € ［ 1, 1］时，图象上不存在这样的两点使得结论成立. ... 9分 (川)证明：f z x) = 3 (x 2 1),令 f'x) = 0 ,得 x = ±,5• x € ( s, 1)或 x € (1 , + s 时，f'x (> 0 , x € ( 1, 1)时，f'x)< 0 ,221 14n 2 4n 2 T n = b 1 + b 2 + …+ b n1 1 1 1 =( )( )L2 6 6 10(4n 21 1< .4n 2 214分55解得a =5,c =3 ,•f(x)=5x3 |x .............................. ................................ 5分•- f(X)在［1 , 1］上是减函数，且f max (x) = f( 1) = , f min(x) = f(1)= .5 52•••在［1, 1］上I f(x)| <—,于是X1 , X2€ ［ 1, 1］时，52 2 4I f (X1) f (X2)| <(X 1) | + | f (X2)| < ................................. 13 分5 5 52每位考生测试合格的概率P 3，测试不合格的概率为。