2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题
绝密资料高中数学直线与圆的位置关系
第49讲直线与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.三、自主热身、归纳总结1、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系为()A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 位置不确定2、直线kx－y－4k＋3＝0与圆x2＋y2－6x－8y＋21＝0的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 1或23、若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A. [－3，－1]B. [－1，3]C. [－3，1]D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．5、直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．6、(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()A. 6B.5C．－ 6 D．－57、(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝()A．2 B．48、(2019·湖南长沙月考)设直线l：(m－1)x＋(2m＋1)y＋3m＝0(m∈R)与圆(x－1)2＋y2＝8相交于A，B两点，C为圆心，且△ABC的面积等于4，则实数m＝________.四、例题选讲考点一、直线与圆的位置关系例1、(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离D．m⊥l，且l与圆相离变式1、(1)(2020·杭州模拟)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)(2)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)变式2、已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为1∶3的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．考点二圆的弦长问题例2、已知直线ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为32，求实数a的值．变式1、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线3x－y＋1－3＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．变式2、（1）过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，若弦AB的长为25，则直线l的方程为_（2）已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.考点三 圆的切线问题例3、（徐州一中2019届模拟）已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程．变式1、已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1) 求过点P 的圆C 的切线方程；(2) 求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．变式2、已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．五、优化提升与真题演练1、【2020年天津卷】知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．2、【2020年浙江卷】.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．3、【2020年全国2卷】.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A. B. C. D.4、【2020年全国3卷】若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12 C. y =12x +1 D. y =12x +125、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．2C D 6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+7、【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．8、 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
2020年中学数学30 排列、组合(原卷版)
考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一 排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。
2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷
清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上．1．123lim 221-+-→x x x x 等于 ( A ) A ．21- B ．21 C ．1 D ．0 2．已知命题p 、q ，则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的 ( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知a < 0，b < -1，则下列不等式成立的是 ( C )A ．a >b a >2b a B ．2ba >b a > a C ．b a >2b a > a D ．b a > a >2b a 4．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列四个命题： ① 若m ⊥ α，m ⊥ β，则α //β ② 若m ⊂ α，n ⊂ β，m // n ，则α //β ③ 若m // n ，m ⊥ α，则n ⊥ α ④ 若m ⊥ α，m ⊂ β，则α ⊥ β其中正确命题的个数是 ( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数y = cos(2x -4π)的一条对称轴的方程是 ( B ) A ．x = -2π B ．x =8π C ．x = -8π D ．x = π 6．已知a r 、b r 是非零向量且满足条件：(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r rr ，则a r 与b r 的夹角是 ( B )A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．将函数cos y x x =+的图象沿x 轴向左平移a 个单位(a > 0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为 ( D )A ．76πB ．2πC ．6πD ．3π 8．在123(2)na a --(n ∈ N *)的展开式中 ( D )A ．一定没有常数项B ．当且仅当n = 5时，展开式中有常数项C ．当且仅当n = 4k (k ∈ N *)时，展开式中有常数项D ．当且仅当n = 7k (k ∈ N *)时，展开式中有常数项B MF ED B A C C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答卷相应题号的横线上．9．不等式21x x+-< 0的解集为________________． {x | x < - 2或x > 1} 10．设函数f (x ) = x a log (a > 0，a ≠ 1)满足f (9) = 2，则f -1 (2log 9)等于______11．已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125π，则x =_____10_____．(球的表面积公式S = 4πR 2，其中R 表示球的半径) 12．正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图所示)，M 是矩形AEFD 内一点，如果∠MBE = ∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为12，那么点M 到直线EF 的距离为 ．13．设函数f (x )是定义域为R 的函数，且f (x + 2)[1 - f (x )] = 1 + f (x )，又f则f (2020) =___________________ ． 提示：可推得f (x + 4) = -1()f x ，f (x + 8) = f (x )，从而f (2020) = f (6) = -1(2)f． 14．定义运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘．如：可将1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ … ⨯ n记作1ni i =P ，(n ∈ N *)．已知T n =1n i i a =P ，(n ∈ N *)，其中a i 为数列{a n }(n ∈ N *)中的第i 项． ① 若a n = 2n - 1，则T 5 = _________. 945② 若T n = n 2 (n ∈ N *)，则a n =_________. 21,1(),21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 在ΔABC 中，A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ．设a 、b 、c 满足条件b 2 + c 2 - bc = a 2和12c b =A 和tan B 的值． 解法一：由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，………………………3分因此，A = 60︒，……………………………………………………………5分 在△ABC 中，C = 180︒ - A - B = 120︒ - B ．……………………………6分 由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+sin120cos cos120sin 1sin 2B B B B ︒-︒==+，……………………………11分 解得cot B = 2，从而1tan 2B =．…………………………………………13分解法二：由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，………………………3分 因此，A = 60︒，……………………………………………………………5分由b 2 + c 2 - bc = a 2，得221115()1()13424a c cb b b =+-=+-， 所以.215=b a ①…………………………………………………8分由正弦定理sin sin b B A a ===．……………………10分 由①式知a > b ，故B < A ，因此，B 为锐角，于是cos B =，……………………………………11分 从而sin 1tan cos 2B B B ==．………………………………………………13分16．(本小题满分12分)中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是23． (Ⅰ) 若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(Ⅱ) 若5人中恰有r 人合格的概率为80243，求r 的值； (Ⅲ) 记测试合格的人数为ξ，求ξ 的期望和方差．解：(Ⅰ) 体育教师不坐后排记为事件A ，则13161()2C P A C ==．………… 4分 (Ⅱ) 每位考生测试合格的概率23p =，测试不合格的概率为113p -=，ξ ～2(5,)3B ， 则55580()(1)243r r r P r C p p -=-=，即555522180()()332433r r r r r C C -==， ∴5280r r C =，r = 3或r = 4．……………………………………………… 8分(Ⅲ) ∵ξ ～2(5,)3B ， ∴ ,310325=⨯=ξE 91031325=⨯⨯=ξD ………………………………12分 17．(本小题满分14分) 已知1||1e =u r ，2||2e =u u r ，1e u r 与2e u u r 的夹角为90︒，122a ke e =+r u r u u r ，122b e ke =+r u r u u r ． (1) 若a b ⊥r r ，求实数k 的值； (2) 若a r 与b r 共线同向，求实数k 的值．解：(1) ∵12e e ⊥u r u u r ，∴120e e ⋅=u r u u r ，………………………………………… 2分 ∵a b ⊥r r ， ∴0a b ⋅=r r ， ∴1212(2)(2)0ke e e ke +⋅+=u r u u r u r u u r ， 即：222121222(4)0ke ke k e e +++⋅=u r u u r u r u u r ，………………………………… 4分 121,2e e ==u r u u r Q ，∴k = 0． ……………………………………………… 6分 (2) ∵a r 与b r 共线同向，∴(0)a b λλ=>r r ，………………………………… 8分 ∵122a ke e =+r u r u u r ，122b e ke =+r u r u u r ，∴12122(2)ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r ，又12,e e u r u u r 为不共线向量，∴22k k λλ=⎧⎨=⎩，∴12k λ=⎧⎨=⎩或12k λ=-⎧⎨=-⎩，…………… 12分 又λ > 0，∴k = 2．……………………………………………………… 14分18．(本小题满分14分)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，D 是AC 的中点，∠C 1DC = 60°．(Ⅰ) 求证：AB 1∥平面BC 1D ；(Ⅱ) 求二面角D －BC 1－C 的大小．解法一：(Ⅰ) 连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO ．∵在△AB 1C 中，O 、D 均为所在边的中点，∴AB 1∥DO …………………………3分∵AB 1 ⊄平面BC 1D ，DO ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．…………………6分(Ⅱ) 设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1．∵∠C 1DC = 60°，∴CC 1 =3．作DE ⊥BC 于E ．∵平面BCC 1⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面BCC 1B 1，作EF ⊥BC 1于F ，连结DF ，则 DF ⊥BC 1，∴∠DFE 是二面角D - BC 1 - C 的平面角………10分在Rt △DEC 中，DE =31,2EC =， 在Rt △BFE 中，EF = BE ·sin ∠C 1BC =33332727⨯=， ∴在Rt △DEF 中，tan ∠DFE =327733DE EF =⋅=， ∴二面角D - BC 1 - C 的大小为arctan 7………14分 解法二：以AC 的中点D 为原点建立空间直角坐标系如图，设| AD | = 1，∵∠C 1DC = 60°，∴| CC 1| =3．则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (- 1，0，0)，A 1(1，0，3)，B 1(0，3，3)，C 1(- 1，0，3)，(Ⅰ) 连结B 1C 交BC 1于O ，则O 是B 1C 的中点，连结DO ，则O 1(2-，1AB u u u u r =2DO u u u r ， ∵AB 1与DO 不重合，∴AB 1∥DO ．又AB 1 ⊄平面BC 1D ，DO ⊂平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D ．……………………………8分 (Ⅱ)1DC u u u u r = (- 1，0)，1C B u u u u r = (1，， 设平面BC 1D 的法向量为n r = (x ，y ，z )，则1100n DC n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r r ，即00x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，则有y = 0，令z = 1， 则n r，0，1)…………………………………………………………10分 设平面BCC 1B 1的法向量为m r = (x '，y '，z ')， 则1100m CC m C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即00x '='''=⎪⎩， ∴z ′ = 0， 令y = -1，解得m r，-1，0)，二面角D - BC 1 -C 的余弦值为cos ＜n r ，m r ＞= 34n m n m ⋅=⋅， ∴二面角D - BC 1- C 的大小为arc cos 34………………………………………14分19．(本小题满分14分)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对于所有的正整数n ，有2n a =． (Ⅰ) 写出数列{a n }的前三项；(Ⅱ) 求数列{a n }的通项公式，并写出推证过程；(Ⅲ) 令14n n n b a a +=⋅，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与12的大小． 解：(Ⅰ) 由题意，当n = 1时，有a 1= 2，S 1 = a 1，∴a 1= 2，解得a 1 = 2，当n = 2时，有2a= 2 ，S 2 = 1a +2a ，将a 1 = 2代入，整理得(a 2 - 2)2 = 16，由a 2 > 0，解得a 2 = 6，当n = 3时，有a 3= 2 ，S 1 = a 1 + a 2 + a 3，将a 1 = 2，a 2 = 6代入，整理得(a 3 - 2)2 = 64，由a 3 > 0，解得a 3 = 10，所以该数列的前三项分别为2，6，10．………………………………4分(Ⅱ) 由a n= 2 (n ∈N *)， 整理，得S n =18(a n + 2)2， 则S n + 1 =18(a n + 1 + 2)2， ∴a n + 1 = S n + 1 - S n =18[(a n + 1 + 2)2 - (a n + 2)2]， 整理，得(a n + 1 + a n )( a n + 1 - a n - 4) = 0，由题意知a n + 1 + a n ≠ 0，∴a n + 1 - a n = 4，∴即数列{a n }为等差数列，其中首项a 1 = 2，公差d = 4， ……………9分∴a n = a 1 + (n – 1)d = 2 + 4(n – 1)，即{a n }的通项公式为a n = 4n – 2，n ∈N *．………………………………10分 (Ⅲ) b n =14n n a a +⋅=411(42)(42)4242n n n n =--+-+， T n = b 1 + b 2 + … + b n=111111()()()266104242n n -+-++--+L =24121+-n <12．………14分 20．(本小题满分13分)已知定义在R 上的函数f (x ) = ax 3 - 2bx 2 + cx + 4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图象关于原点对称，且x = 1时，f (x )取极小值25-． (Ⅰ) 求f (x )的解析式；(Ⅱ) 当x ∈[- 1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(Ⅲ) 若x 1，x 2∈[- 1，1]时，求证：| f (x 1) - f (x 2)| ≤45． 解：(Ⅰ) ∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴f (0) = 0，即4d = 0，∴d = 0，又f (-1) = - f (1)，即 - a - 2b - c = - a + 2b – c ，∴b = 0，∴f (x ) = ax 3 + cx ，f ′(x ) = 3ax 2 + c ．∵x = 1时，f (x )取极小值25-，∴ 3a + c = 0，且 a + c =25-， 解得a =15，c =35-，∴f (x ) =31355x x -．……………………… 5分 (Ⅱ) 当x ∈[- 1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．假设图象上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x ) =35(x 2 - 1)知两点处的切线斜率分别为k 1 =213(1)5x -， k 2 =223(1)5x -，且22129(1)(1)25x x --= - 1 (*) ∵x 1，x 2∈[- 1，1]，∴21x -1 ≤ 0，22x -1 ≤ 0，∴(21x - 1)(22x - 1) ≥ 0，此与(*)矛盾，故假设不成立，即当x ∈[- 1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．……… 9分(Ⅲ) 证明：f ′(x ) =35(x 2 - 1)，令f ′(x ) = 0，得x = ± 1， ∴x ∈(- ∞，- 1)或x ∈(1，+ ∞)时，f ′(x ) > 0，x ∈(- 1，1)时，f ′(x ) < 0，∴f (x )在[- 1，1]上是减函数，且f max (x ) = f (- 1) =25，f min (x ) = f (1) =25-. ∴在[- 1，1]上| f (x )| ≤25，于是x 1，x 2∈[- 1，1]时， | f (x 1) - f (x 2)| ≤ | f (x 1) | + | f (x 2)| ≤224555+= …………………………13分。
2019_2020学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考数学试卷
A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
”是“函数 为奇函数”的（ ）． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知
，
，则
的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
的解集为
，求实数 的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
．
1 ）分别写出一个单调递增的 阶和 阶“期待数列”；
2 ）若某 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
3 ）记 阶“期待数列”的前 项和为
，试证：
．
A.
B.
C.
D.
8. 已知定义在 上的函数
则 的取值范围是（ ）．
A.
B.
，若方程 C.
有两个不相等的实数根， D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
9. 已知函数
的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数
在
处取得极值．
10.
，，
三个数中最大的数字是
．
11. 在
中，
，
，则
．
12. 去年某地的月平均气温 （ ）与月份 （月）近似地满足函数
17. 已知
的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
1 ）求
的值．
2 ）若
，
的面积为 ，求边长 ．
，且角 为锐角．
18. 已知函数 1 ）当 2 ）当
2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷(附参考答案)
【解析】
解：根据题意，分 2 步进行分析： ①，将除甲乙之外的 2 人全排列，有 A22=2 种情况，排好后有 3 个空位； ②，在 3 个空位中，任选 2 个，安排甲乙 2 人，有 A32=6 种情况， 则甲乙不相邻的排法有 2×6=12 种；
故选：B．
根据题意，分 2 步进行分析：①，将除甲乙之外的 2 人全排列，排好后有 3 个空位；②，在 3 个 空位中，任选 2 个，安排甲乙 2 人，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 4.【答案】C
A.
[4 3,
3
5]
B.
[3 2,
2
5]
C.
[4 3,
3
6]
D.
[3 2,
2
6]
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
9.
已知双曲线
C：������2
‒
������2 4
=
1，则双曲线
C
的一条渐近线的方程为______．
10.
������ 二项式（
+
1
������2）6
的展开式中，常数项为______．
B. ������ = ������3
C.
������ =
‒1
������
D. ������ = ������ ‒ 1
3. 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（ ）
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
4. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入 a 的值为 16，b 的值为 24，则执行该程序框图
北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题
1,2,3,…,n，试证：
S
(3)记n阶“期待数列”的前k项和为Sk
.
2
k
k
清华附中高三
年月月考试卷数学
201910
一、选择题
，B＝{x|(x1)(x3)0}
，则A∩B=（）
1.已知集合
1}
{x|2x3}
A.{x|x
C.{x|1
B.
D.
x3}
{x|x2x1}
或
【答案】B
【解析】
试题分析：B{x|(x1)(x3)0}{x|1xx3}
ABABADBCAD
ABBCAB1
331818
3
12
3
12
18
.考点：平面向量的数量积.
【此处有视频，请去附件查看】
14.如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且
=2，为线段
上一动点，点绕点C
CBA
AC
P
旋转后与点绕点旋转后重合于点．设
B
=x，
的面积为f(x)．则f(x)的定
CPD
P
D
CP
义域为
；f(x)的零点是
③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．
（3）等价转化法：
p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．
3
cos,(,0)
，则sin2的值为（）
5.已知
4
2
3
37
8
3
37
8
A.
B.
C.
D.
8
8
【答案】D
【解析】
3
7
sin22sincos
，所以
sin1cos1()
精品解析：北京市北京大学附属中学2019-2020学年高三上学期月考(12月)数学试题(原卷版)
北大附中2020届高三阶段性检测一、选择题共9小题，共40分.第1～5题每题4分，第6～9题每题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅2.已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（）A.-1B.1C.2D.-23.已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.22a b <B.11a b>C.a b< D.22a b>4.已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=（）A .-1B.C.1D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A .B.C.12+ D.17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里8.已知函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A.()00f = B.0a =时，()f x 的值域为R C.()f x 在R 上单调递增时，0a =或1a ≥ D.方程()2f x =有解时，a <9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A.1Q ，1P B.1Q ，2P C.2Q ，1P D.2Q ，2P 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10.抛物线216x y =的准线方程为______.11.已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）12.在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______.13.方程sin cos 2x x =在区间[],ππ-上的解集为______.14.设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．15.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义α 和β 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅.若非零的平面向量a ，b 满足：a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合3|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥ .设a 与b 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=______.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.18.已知M 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点.（1）求M 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）.19.已知函数()22xf x e x ax=-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21.已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.。
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清华附中高三2019年12月月考试卷数学
一、选择题（共8小题；共40分）
1.已知集合{}1,0,1A =-，2
{1}B x x =< ，则A B =U （ ）
A. {}1,1-
B. {}1,0,1-
C. {}
11x x -≤≤
D. {}
1x x ≤
2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
3.若12
2log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b =
B. 2b a =
C. 4a b =
D. 4b a =
4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是(
)
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C. 四棱锥
D. 四棱柱
5.已知直线0x y m -+=与圆O ：2
2
1x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）
A.
2
B.
2
-
6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫
=+ ⎪+⎝⎭
为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.函数()log a x x f x x
=
（01a <<）的图象大致形状是（ ）
A. B.
C.
D.
8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛
C. 8号学生进入30秒跳绳决赛
D. 9号学生进入30秒跳绳决赛
二、填空题（共6小题；共30分）
9.直线y x =
被圆22
(2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠=
，，则b
c
=_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.
13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动
点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r
的最小值是________.
14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2
2
20AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r
，则||BD uuu r 的最大值为______．
三、解答题（共6小题；共80分）
15.已知数列{}n b ，满足14b =且1
2(2)1
n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；
(2)求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- （（）求()f x 的单调递增区间； （（）若()f x 在区间[,
]6
m π
上的最小值为2-，求m 的最大值.
17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD
△等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，
1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .
(1)证明：AC ⊥平面P AD ；
(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；
(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出
PE
PD
的值；若不存在，请说明理由. 18.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，
离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △
，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
19.已知函数221
()(1)2
x
f x a x e
ax a x -=-----，其中()a a ∈R 常数.
(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.
20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．
（1）若数列{}n a 的通项公式为5,14
1,5n n n a n -≤≤⎧=⎨
≥⎩
，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *
∀∈<”的充要条件；
（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．。