菲涅尔衍射

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菲涅耳直边衍射图样
• 一个平面光波或柱面光 波通过与其传播方向垂 直的不透明直边(刀片的 直边)后，将在观察屏幕 上呈现出左图所示的衍 射图样； • 在几何阴影区的一定范 围内，光强度不为零， 而在阴影区外的明亮区 内, 光强度出现有规律 的不均匀分布。
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1.振幅矢量加法
• S为一个垂直于图 面的线光源，其 波面AB是以光源 为中心的柱面， MM’是垂直于图面 有一直边的不透 明屏，并且直边 与线光源平行。 • 观察屏上各点的光强度取决于波阵面上露出部分在该点 产生的光场; • 屏上与线光源S平行方向上的各观察点具有相同的振幅。
r3=r2+λ/2 S r2=r1+λ/2 B3
ϕ
B 0 P = r0
r1=r0+λ/2
●
B1 P − B 0 P = B 2 P − B1 P
= B3 P − B 2 P …
= B N P − B N −1 P =
B2
O
R
B1 B0
r0
P
λ
2
这样分成的环形波带 称为菲涅耳半波带 菲涅耳半波带。 称为菲涅耳半波带。
波带特点 P点的振幅
• 各波带在P点的光场复振幅， 当波带序数N的增大时，迅速 下降； –波带面积减小、到P点的距 离增大、倾角θ加大。 • 不能应用环形波带的有关公式 进行讨论。如何做？ • 微积分思想： –将每个直条波带按相邻波 带间相位差相等的原则，再 分成若干个波带元。 –先求出每个波带元在P点的 光场再合成求出整个波带在 P点的光场。
(2)、(3)两式分别微 (2)、(3)两式分别微 dS 分，并化简可得 r
N
2 π Rdr N = , (4) R + r0
由于r 远大于λ /2， 由于rN远大于λ，故drN≈λ/2， ∆ S N = π R λ , ( 5 ) dS看作是半波带的面积 看作是半波带的面积， dS看作是半波带的面积，则有 rN R + r0 由此可见， 无关，则各个半波带对A 由此可见，∆SN/rN与N无关，则各个半波带对AN的影 响仅与倾斜因子K( 有关； K(θ 响仅与倾斜因子K(θN)有关； K(θ 的增大( 增大)而缓慢减小， 将随N K(θN)随N的增大(θ增大)而缓慢减小，故aN将随N的增 大而缓慢减小。 大而缓慢减小。
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(2)ρN对衍射现象的影响
当波长λ 点的位置r 当波长λ、P点的位置r0、 圆孔位置R给定后， 圆孔位置R给定后，由
2 ρN 1 1 N = ( + ) λ r0 R
N与圆孔的大小ρN有关，孔大，露出的的波带多， 与圆孔的大小ρ 有关，孔大，露出的的波带多， 衍射效应不显著，孔小，露出的的波带少，衍射效 衍射效应不显著，孔小，露出的的波带少， 应显著； 应显著； 当孔趋于无限大当孔趋于无限大- -即 a N → 0 , A ∞ = a 1 2 没有光阑时， 没有光阑时， • 即整个波面对P点的作用等于第一半波带在该点作用的 λ = 500 nm , R = r = 1mm 一半。 • 由于半波带的面积非常小， 时ρ1 ≈ 0.5mm 所以没有遮蔽的整个波面的光能传播， 所以没有遮蔽的整个波面的光能传播，几乎可以 看作是沿直线OP进行的－－ OP进行的 看作是沿直线OP进行的－－光在没有遇到障碍物
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(4) 轴外点的衍射
• 对于轴外任意点Q的光强度，原则上也可以用同样的方 法进行讨论。 • 方法：图3-27所示，为了确定不在轴上的任意点Q的光 强。
– 先设想衍射屏不存在，以M0为中心，对于P点作半波带； – 然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为O。 – 这时由于圆孔和波面对P点的波带不同心，波带的露出部分如图 3-28所示，图中为了清楚起见，把偶数带画上了斜线。 – 这些波带在Q点引起振动的振幅大小，不仅取决于波带的数目， 还取决于每个波带露出部分的大小。 – 精确计算Q点的合成振动振幅是很复杂的，但可以预计，当Q点 逐渐偏离P点时，有的地方衍射光会强些， 有些地方会弱些。
• 结论：各个波带所发次波，传到P点时
–振幅aN，随N的增大而缓慢减小； –相位逐个相差π。
P点的合振幅
所有次波在P 所有次波在P点的合振幅为
AP = 1 [ a 1 + ( − 1) N +1 a 2
a1 a3 a5
N
] =
1 (a1 ± a 2
a1 a3
N
＋： N 奇数 ), －： N 隅数
max
ρN = λR
称为菲涅耳数， 称为菲涅耳数，它是一个描述圆孔 衍射效应的很重要的参量。 衍射效应的很重要的参量。
此后，随着r 的增大， 此后，随着r0的增大，P点光强不再出现明暗交替 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区 夫朗和费衍射区。 的变化，逐渐进入夫朗和费衍射区。 而当r 很小时， 很大，衍射效应不明显。 而当r0很小时，N很大，衍射效应不明显。当r0小 到一定程度时，可视光为直线传播。 到一定程度时，可视光为直线传播。- -几何区
1.菲涅耳波带法
(1)菲涅耳波带 - -菲涅耳半波带 (2)合振幅的计算 (3)波带数N与圆孔半径ρN间的关系
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(1) 菲涅耳半波带
点光源O发出球面波， DD 调制后为一球冠 调制后为一球冠S OP与 点光源O发出球面波，经DD’调制后为一球冠S，OP与S交 －－P对波面S 于B0点－－P对波面S的极点 为圆心的环形波带，并使： 将波面S分成许多以B0 为圆心的环形波带，并使：
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T 3-27 328
图3-27 轴外点波带的分法
图3-28 轴外点带的分布
3. 圆屏衍射
• P点的振幅
S
r0
P
–设圆屏遮蔽了开始N个波带，从第N+1个波带起，其余 所有波带发出的光（次波）均能到达P点。故P点的合 振幅为
Ak = a k +1 − a k + 2 + a k + 3
1 − ... + 0 = a k + 1 2
P点的振幅与P点的位置r0有关，即移动观察屏，P 点的振幅与P点的位置r 有关，即移动观察屏， 点出现明暗交替变化； 点出现明暗交替变化； 增大， 减小，菲涅耳衍射效应显著； 随r0增大，N减小，菲涅耳衍射效应显著； 当r0大到一定程度时，r0→∞，露出的波带数N不 大到一定程度时， →∞，露出的波带数N 变化， 变化，且为 2 N =N
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光强介于最大 和最小之间
2.菲涅耳圆孔衍射
圆孔衍射
S
*
H
P
(1)r0对衍射现象的影响 (2)ρN对衍射现象的影响 (3)光源对衍射现象的影响 (4)轴外点Q的衍射
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当波长λ 圆孔位置R 当波长λ、圆孔位置R、大 给定后， 小ρh给定后，由
(1)r0对衍射现象的影 响
2 ρN 1 1 ( + ) N = λ r0 R
时是沿直线传播的。 时是沿直线传播的。
(2)ρN对衍射现象的影响
当孔趋于无限大当孔趋于无限大- -即没 有光阑时， 有光阑时，
a n → 0, A∞ a1 = 2
• 若圆孔具有一定大小，对观察点P，仅有一个半波带露 出，则有Ap=a1， • 与不用光阑相比，此时P点的光强是不用光阑时的4倍。
亦即有光阑比没光阑时还要亮,小光阑具有聚光本领。
S = 2π R ⋅ R (1 − cos φ ), ( 2 )
R
2
由余弦定理可得 cos φ =
+ ( R + r 0 ) 2 − r N2 , (3) 2 R ( R + r0 )
S = 2πR ⋅ R (1 − cos φ ), ( 2)
接上页
cos φ =
R
2
+ ( R + r0 ) 2 − r k2 , (3) 2 R ( R + r0 )
S λ O
D
N个完整菲涅
耳半波带数
A rN r0
·
ρN R B B0
· P
BB0 = h
D’
h << r0
首先考虑通过圆孔N个完整菲涅耳半波带。 首先考虑通过圆孔N个完整菲涅耳半波带。图中
r N = r0 + N ⋅ λ 2
由几何知识可得
2 2 ρ N = rN − ( h + r0 ) 2 = ( r0 + N ⋅ λ 2 ) 2 − ( r0 + h ) 2
= Nr 0 λ − 2 r0 h , (略去二阶小量 h 2 , N 2 λ 2 )
2 ρ N = Nr 0 λ − 2 r0 h
又 ρ
2 N
= R
2
− (R − h)
2
ρ ⇒ h =
2 N
2R
由以上两式可得
讨论：
2 ρ N 1 1 ( + ) N = λ r0 R
▲ 对 P 点若S 恰好分成 N 个半波带时： 个半波带时：
可见，不管圆屏的大小、位置如何。 可见，不管圆屏的大小、位置如何。圆屏几何影子 的中心都有光到达， 是始终是亮点。 的中心都有光到达，即P是始终是亮点。 - - 泊松斑
讨论
• 圆屏的面积↓→N↓→ak↑→Ap↑：P点变亮； • 圆屏与光源间或圆屏与光屏间距离变化时，N随之 改变，P点的光强也将改变； • 若圆屏足够小，仅遮蔽中心半波带的一部分，则 光可完全绕过它，除在圆屏“影子”的中心有亮 点外，光屏上没有任何影子； • 光屏中心亮斑－泊松斑 • 圆屏衍射图样：以P为中心，在其周围有一组明暗 交替的衍射环。 • 互补屏菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射有何区别？
N为奇数 A P 1 A P = ( a1 ± a N ) 2 N为偶数 A P
1 = ( a 1 + a N ) 最大 2 1 = ( a 1 − a N ) 最小 2
还含有不完整的半波带时： ▲ 对P 若S中还含有不完整的半波带时：
1 1 (a1 − a N ) < A P < (a1 + a N ) 2 2
– 振幅可以用基尔霍夫衍射公式(3-18)式计算求得;; – 也可以采用振幅矢量加法处理。
振幅矢量加法
• 基本思想：
–先把直边外的波面相对P点分成若干直条状波带， 然后将露出直边的各个条状波带在P点产生的光场 复振幅进行矢量相加。
• 具体方法：
–先将直边屏MM’拿 掉，如图3-32(a) 所示，以SM0P0为 中线Biblioteka Baidu将柱面波 的波面分成许多 直条状半波带。
a5 aN AP a6
结 论
a2
a4 N是偶数
aN AP a2
a4
N是奇数
• 应用惠更斯－菲涅耳原理来计算从点光源发出的光传 播到任一点P时的振幅，只要把球面波相对于P分成半 波带，将第一个和最后一个（第N个）带所发出的次波 的振幅相加或相减即可。
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(3) N与ρN间的关系
• 图示O为点光源，DD’为 光阑，其上有一半径为 ρN的圆孔，S为通过圆 孔的波面－球冠(球冠 的高为h)，P为圆孔对 称由上任意一点。
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(3)光源对衍射的影响
• 波长对衍射的影响
2 ρN 1 1 N = ( + ) λ r0 R
– 当波长增大时，N减少。即在ρN、R、r0一定的情况 下，长波长光波的衍射效应更为显著，更能显示出其 波动性。 。
• 若S不是理想的点光源－－扩展光源（实际光源）
–光源上的每一点均要产生自己的衍射图样，各图样间 是不相干的，若某些点的亮纹落在另外一些点的暗纹 上，叠加后整个图样就模糊了。 –这就是通常情况下，不易见到光的衍射现象的原因之 一。
(2) 合振幅的计算
O
φ
Rh
R
B0
r0
P
• N个半波带的发次波在P点叠加 的合振幅AN
AN = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 + ... + (−1) N +1 a N
个半波带所发在P aN：第N个半波带所发在P点的次波振幅 相邻两个半波带所发次波到达P “－”：相邻两个半波带所发次波到达P点相位差为 讨论aN 讨论aπ的大小 K (θ N ) ∆ S N , (1 ) 按惠更斯－ 按惠更斯－菲涅耳原理 a N ∝ rN aN 为 球冠的面积为
3.3 菲涅耳衍射
3.3.1 菲涅耳圆孔衍射- -菲涅耳波带法
1.菲涅耳波带法 2.菲涅耳圆孔衍射 3.菲涅耳圆屏衍射
3.3.2 菲涅耳直边衍射- -振幅矢量加法
1.振幅矢量加法 2.*菲涅耳直边衍射 3.*菲涅耳单缝衍射
返回第3章
菲涅耳衍射
• 菲涅耳衍射是在菲涅耳近似条件成立的距离范围内所观 察到的衍射现象； • 照射到衍射屏上的光波和离开衍射孔到达观察屏上的波 面都不能当作平面来处理。 • 直接运用菲涅耳-基尔霍夫公式定量分析菲涅耳衍射，数 学处理非常复杂；- -可用计算机进行数值运算 • 半定量法分析菲涅耳衍射 –代数加法- -波带法(半波带法) –振幅矢量加法- -图解法
任意相邻波带所发的次波到达P点时的光程差为λ/2;亦即它们同时 任意相邻波带所发的次波到达P点时的光程差为λ/2;亦即它们同时 到达P点时的相位差为π 到达P点时的相位差为π。 半波带与观察点P的位置、圆孔的大小、波长等有关。 半波带与观察点P的位置、圆孔的大小、波长等有关。
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S Bn
θN rN