菲涅尔衍射

菲涅尔衍射常用计算方法的研究
菲涅尔衍射积分有多种计算方法，其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法，本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下，从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]。

2.4.1 傅里叶变换算法（S-FFT 算法）
由式（3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程
()()()()()222200000exp j j ,exp y 2j ,exp 2kd k U x y x jd d k U x y x y d λℑ⎡⎤
=
+⎢⎥⎣⎦
⎫
⎧⎡⎤⨯+⎨⎬
⎢⎥⎣⎦⎩
⎭ （2.4.1）
式中，ℑ表示傅里叶变换。

这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下我们简称S-FFT 算法（single fast Fourier transform algorithm ）。

如果对式（2.4.1）进行离散化处理，则
()()()()()()()()
()
2
2
2
2
000000000exp j j ,exp j 2j ,exp 2kd k U m x n y m x n y d d
k
U m x n y m x n y d λℑ⎡⎤∆∆=
∆+∆⎢⎥⎣⎦
⎫
⎧⎡⎤⨯∆∆∆+∆⎨⎬⎢
⎥⎣⎦⎩
⎭
（2.4.2）
式中，0x ∆，0y ∆是衍射面的抽样间隔，x ∆，y ∆是观察面的抽样间隔，0m ，0n ，
m ，n 分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且001,2,,m M =，001,2,
,n N =，
01,2,
,m M =，01,2,
,n N =。

0M ，0N 和M ，N 分别为衍射面和观察面上的
总抽样点数。

在进行S-FFT 计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸。

现在仅讨论沿x 轴方向的情况，其结果可直接扩展到y 轴方向。

如果实际空间长度为0x L 米的空间取样且有x N 个抽样点，由抽样定理得知，得到其最高空间频率为
max 2x
x N u L =
(2.4.3)
这些衍射光对应的空间频率方向为
max
max cos 1u X αλ
=
=
(2.4.4)
图2.4.1衍射屏最大尺寸示意图
由图2.4.1和式（2.4.4）得
max sin(π/2)
u αλ
-=
=
（2.4.5）
由式（2.4.3）和式（2.4.5）联立可得观察面的最大计算尺寸为
max x L =
（2.4.6）
因为是傍轴计算，式（2.4.5）还可以近似为
()
max max sin π/2/21.x L u d
αλ
λ-=
≈
（2.4.7） 同样的式（2.4.6）可以化简为
max 0
x x x N d L L λ=
（2.4.8）
这个结果表明：使用S-FFT 计算法，衍射观察面的尺寸不但是波长的函数，而且是取样点数和衍射距离的函数，当衍射距离d 很小时，如果保持取样数不变，则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域。

因此，该算法主要适用于衍射距离d 较大的情况。

为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理，所以抽样间隔必须满足
0/x L
20x
d
x N λ∆≤
（2.4.9）
2x
d
x N λ∆≤
（2.4.10）
将式（2.4.10）代入式（2.4.8）得
20x
d
x N λ∆≥
（2.4.11）
式（2.4.9）和式（2.4.11）是一对矛盾，只有当
0x
d
x x N λ∆=∆= （2.4.12）
才能完全满足奈奎斯特抽样定理。

同理，y 轴方向采样间隔应满足
0y
d
y y N λ∆=∆= （2.4.13）
数值模拟计算时，取衍射面计算尺寸为005mm x y L L ==，抽样点数512512⨯，衍射图像为一“光”字，如下图2.4.1所示
图2.4.1衍射物
用一束波长632.8nm λ=的平行光照射，且衍射距离取80mm d =，则由式（3.2.8）观察面尺寸0
5mm x x x N d
L L λ=
= 05mm y y
y N d L L λ==，则模拟计算得到衍射图像为
图2.4.2 衍射图
2.4.2 T-FFT 算法
由式（2.4.1）知，我们可以通过使用卷积的形式对菲涅尔衍射积分进行化简，由卷积定理得知，空域的卷积运算可以由傅里叶变换转化为空域的乘积来进行计算，具体计算步骤如下：
第一步，进行傅里叶变换，转换到频域进行计算，得到乘积结果
()(){}()22000j ,,exp 2k U U x y x y d ξηℑℑ⎧⎫
⎡⎤=⨯+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （2.4.14）
第二步，将乘积结果逆傅里叶变换回到空域，完成衍射计算
()()
(){}-1exp j ,,j kd U x y U d
ℑξηλ=
⨯ （2.4.15） 式（2.4.14）和（2.4.15）中，,ξη是频域坐标，-1
ℑ表示逆傅里叶变换。

整个运算过程采用了三次傅里叶变换，称为卷积算法，以下我们简称T-FFT 算法（triple fast Fourier transform algorithm ）。

在T-FFT 算法中，观察面的尺寸与衍射面的尺寸是相同的，主要是因为
()000,U x y 与()22j exp 2k x y d ⎡⎤
+⎢
⎥⎣⎦
的频谱在里相乘，要求是相同频率的频谱成分相乘，其最高频率也就必须相等，由于抽样数是一样的，当然要求对应的几何尺寸
相等，即
00,x x y y L L L L == （2.4.16）
对于T-FFT 算法 ，仅考虑菲涅尔传递函数的傅里叶变换式的离散抽样，根
据奈奎斯特抽样定理得22
0,x
y
d
d
x y N N λλ∆≤∆≤。

数值模拟计算时，取与S-FFT 同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mm x y L L ==，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为
图2.4.3 衍射图
2.4.3 D-FFT 算法
经研究表明，
()()22exp j j exp j 2kd k x y d d ℑλ⎧⎫
⎡⎤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩
⎭可以直接通过计算得到 ()()222,exp j 12H kd λξηξη⎧⎫⎡⎤⎪⎪
=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎭⎩
（2.4.17）
所以，菲涅尔衍射积分公式化简为
()()}{
()2-1
22000,exp j 12U x,y U x y kd λℑℑξη⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎨⎬⎬⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎭⎪⎪⎩⎭⎩
（2.4.18）
由于在计算过程中，需要进行一次傅里叶变换和一次逆傅里叶变换，被称为角谱重建算法，以下我们简称D-FFT 算法（Double fast Fourier transform
algorithm ）。

同样的，其观察面的尺寸需满足式（2.4.16）[33-36]。

数值模拟计算时，取与S-FFT 同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mm x y L L ==，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为
图2.4.4衍射图。