高中数学- 四种命题 四种命题间的相互关系

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四种命题及其关系

四种命题及其关系
分析:搞清四种命题的定义及其关系,注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解:逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0。 否命题:若m>0且n>0, 则m+n>0. (真) (真)
逆否命题:若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结:在判断四种命题的真假时,只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价,逆否命题与原命 题真假等价。
(对)
(对) (错) (错)
如:原命题:若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题:若A∩B=φ,则A∪B=A。 否命题:若A∪B≠A,则A∩B≠φ。 逆否命题:若A∩B≠φ,则A∪B≠A。
(假) (假) (假) (假)
例题讲解
例1:设原命题是:当c>0时,若a>b, 则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们 的真假。
(假)
课文例4,证明:若x2+y2=0,则x=y=0
直接入手难,可以间接证明,先证明他 的逆否命题成立,从而说明原命题成立。
1、四种命题之间的 关系
原命题
若p则q 互 否 互逆
逆命题
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
2.四种命题的真假
看下面的例子: 1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 逆命题:若ab=0, 则a=0。 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 3) 原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 逆命题:若ac2>bc2,则a>b。 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。 (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (真 ) (假 ) (假 ) (真 ) (假) (真) (真) (假)

1.1.3 四种命题间的相互关系

1.1.3 四种命题间的相互关系

(二)四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假,并总结规律。 原命题:若a>b,则a+c>b+c 真 (1) 逆命题:若a+c>b+c,则a>b 真 原命题:若四边形是正方形,则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题:若四边形两对角线垂直,则四边形是正方形。 假 原命题:若a>b,则ac2>bc2 假 (3) 逆命题:若ac2>bc2,则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 + q2 =2,则p + q ≤ 2”视为原命题, 要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q >2,则p2 + q2 ≠2”为真命题, 从而达到证明原命题为真命题的目的.
例1:
证明:若p2 + q2 =2,则p + q ≤ 2.
(1)设原命题:若a+b ≥2,则a,b 中至少 有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假 情况是( A ) A.原命题真,逆命题假 B.原命题假,逆命题真 C.原命题与逆命题均为真命题 D.原命题与逆命题均为假命题
(2) 命题“若a>b则ac>bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题,否命题、逆否命 题中,真命题的个数为( D )
(1)两个命题互为逆否命题,它们有 相同的真假性. (2)两个命题互为逆命题或互为否命 题,它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性,所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时,可以 通过证明它的逆否命题为真命题, 来间接地证明原命题为真命题.
例1:
证明:若p2 + q2 =2,则p + q ≤ 2.

四种命题间的相互关系 课件

四种命题间的相互关系  课件

它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√

1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系

1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系

2.由原命题“若p,则q”写其他三种命题的方法:
(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q,则p”,即为逆命题;
(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)
得到“若������ p,则������ q”,即为否命题;
(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条
答案C (2)解法பைடு நூலகம்:原命题的逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0. ∵x2+x-a=0无实根,∴Δ=1+4a<0,解得a<- 1 ,
4
∴原命题的逆否命题为真命题. 法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴对于方程x2+x-a=0,根的判别式 Δ=1+4a>0,∴方程x2+x-a=0有实根,故原命题为真命题. ∵原命题与其逆否命题等价,∴原命题的逆否命题为真命题.
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
















(2)四种命题的真假性之间的关系: ①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
课前篇自主预习
【做一做3】 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、 逆否命题中,真命题的个数为( )
探究一
探究二
当堂检测
课堂篇探究学习
延伸探究若将本例改为:判断命题“若a≥0,则x2+x-a>0恒成立”的
真假.
解若x2+x-a>0恒成立,则Δ=1+4a<0,解得a<-

高一数学教案:四种命题之间的相互关系及真假判断

高一数学教案:四种命题之间的相互关系及真假判断

四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标(一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系.2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性.(二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.4.培养学生的逻辑推理能力.(三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活,学习和工作中,基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具.2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力.●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性.●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用.●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上,通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系,并利用四种命题形式上的相对性,由学生讨论回答出:把其中任何一个命题看作原命题时,和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题,使学生灵活掌握四种命题之间关系,以突破四种命题真假关系的难点.●教具准备多媒体课件或投影片3张第一张:(记作§1.7.2 A)第二张:(记作§1.7.2 B)原命题“若a=0,则ab=0,”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.第三张:(记作§1.7.2 C)[例2]设原命题是:“当c>0时,若a>b,则ac>bc.”写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.●教学过程Ⅰ.复习回顾[师]什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题?[生]若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”,否命题是“若┐p则┐q”,逆否命题是“若┐q则┐p.”[师]回答正确,本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断.Ⅱ.讲授新课§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系:(师用多媒体课件或投影片§1.7.2 A投影出四个命题)[师]请同学们讨论后回答下列问题:(1)哪些之间是互逆关系?(2)哪些之间是互否关系?(3)哪些之间是互为逆否关系?[生]原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系.原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系.原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系.(在学生回答时,教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系.)[师]我们已明确了四种命题之间的关系,下面继续研究讨论:(板书)2.四种命题的真假之间的关系:[师]请看例题:(投影片§1.7.2 B)原命题:“若a=0,则ab=0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.[生]逆命题是:“若ab=0,则a=0.”原命题“若a=0则ab=0”为真命题;逆命题:“若ab=0则a=0”为假命题.[师]原命题与逆命题的真假关系如何?生甲:由上例可知:原命题为真,它的逆命题一定为假.生乙:上述结论不一定成立.真假关系应是:原命题为真,它的逆命题不一定为真.[师]第二位回答正确.那么它的否命题呢?[生]它的否命题是“若a≠0,则ab≠0”为假命题.[师]你认为原命题与它的否命题的真假关系如何?[生]原命题为真,它的否命题不一定为真.[师]正确.它的逆否命题呢?[生]它的逆否命题是:“若ab≠0,则a≠0”,为真命题.[师]原命题与它的逆否命题的真假关系如何?(由学生充分讨论,例证后回答)[生]原命题为真,它的逆否命题一定为真.[师]请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何?[生]因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系,所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真.[师]由上述讨论情况,请一学生归纳:(生归纳时,师板书)[生](1)原命题为真,它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真,它的否命题不一定为真.(3)原命题为真,它的逆否命题一定为真.[师]归纳正确.由上述归纳可知:两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时,可转化为判断其逆 否命题的真假.下面看例题:(师应强调分析:“c >0”是大前提,写其他命题时应保留,原命题的条件是“a >b ”,结论是“ac >bc ”.)[生]逆命题:“当c >0时,若ac >bc ,则a >c .”逆命题为真.否命题:“当c >0时,若a ≤b ,则ac ≤bc ”,否命题为真.逆否命题:“当c >0时,若ac ≤bc ,则a ≤b ”,逆否命题为真.[师]回答正确.请看练习题.Ⅲ.课堂练习课本P32 1、2(略)(学生回答后,教师加以评述).Ⅳ.课时小结[师]本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断,即:1.四种命题之间的关系:(投影片§1.7.2 A)2.四种命题的真假关系:⎪⎩⎪⎨⎧逆否命题一定为真否命题不一定为真逆命题不一定为真原命题为真Ⅴ.课后作业(一)书面作业:课本P33 3、4题.(二)1.预习内容:课本P32~P332.预习提纲:(1)什么叫做反证法?(2)反证法证明命题的一般步骤是什么?●板书设计§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断1.四种命题之间的相互关系.2.四种命题的真假之间的关系.小结:(略)。

四种命题间的相互关系课件PPT

四种命题间的相互关系课件PPT

2.与命题“已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0∥l,则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0唯一,则l0∥l (B)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0不唯一,则l0∥l (C)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0不平行于l,则l0不唯一 (D)已知点A,直线l0,l,A∈l0,若l0∥l,则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法?此种方法的思路是什么? 提示:用的方法是排除法,这种方法的思路是:首先将选择支 进行合理分类,再选择比较简单的一类作出判断,依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难,或者在判断真假时涉及到分 类讨论时,通常转化为判断它的逆否命题的真假,因为互为逆 否命题的真假是等价的,也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上,互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中,只有命题“若p,则q”和“若 p,则 q” 是互否命题吗? 提示:不是,如命题“若q,则p”和“若q,则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗? 提示:不一定,如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线,则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.

四种命题 四种命题间的相互关系

四种命题 四种命题间的相互关系

否命题:若 m·n≥0,则方程 mx2-x+n=0 没有实数 根,假命题.
逆否命题:若方程 mx2-x+n=0 没有实数根,则 m·n ≥0,真命题.
(2)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的 弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.
否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.
3.四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假 性没有关系.
温馨提示 在四种命题中,真命题的个数可能为 0,2,4 个,不 会出现奇数个.
1.下列判断中不正确的是( ) A.命题“若 A∩B=B,则 A∪B=A”的逆否命题 为真命题 B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C.“已知 a,b,m∈R,若 am2<bm2,则 a<b”的逆 命题是真命题 D.“若 x∈N*,则(x-1)2>0”是假命题
解析:A 中,逆否命题“若 A∪B≠A,则 A∩B≠B” 是真命题,正确;B 中,否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题,正确;C 中,逆命题“已知 a,b,m∈R,若 a<b,则 am2<bm2”是假命题.所以 C 错误,符合题意.D 中,因为 x=1 时,(1-1)2=0,所以 是假命题,正确.
答案:C
2.命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为 ___________________________________________. 解析:否命题为“若¬ p,则¬ q”,则否命题为“若 a≤b,则 2a≤2b-1”. 答案:“若 a≤b,则 2a≤2b-1”
3.下列命题: ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题; ②“若 k>0,则 x2+2x-k=0 有实根”的逆否命题; ③“全等三角形的面积相等”的否命题; ④“若 ab≠0,则 a≠0”的否命题; 其中真命题的序号为________. 解析:①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”,真命题;②逆否命题“若 x2+2x-k=0 没有实 根,则 k≤0”,因为Δ=4+4k<0,所以 k<-1,满足 k

高中数学 同步教学 四种命题 四种命题间的相互关系

高中数学 同步教学 四种命题 四种命题间的相互关系
否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等
高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1<x<2.
否命题:若x≤1或x≥2,
则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具
有单向性.
首页
π
3
1
2
【做一做 1】 已知命题 p:若 x= ,则 cos x= ,则命题 p 的逆命题

p 的逆否命题为
;命题 p 的否命题为
;命题
.
1
2
π
3
答案:若 cos x= ,则 x=
π
3
1
2
若 x≠ ,则 cos x≠
1
2
π
3
(填
命题.(填
,其真
首页
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)有的命题没有逆命题. (
)
(2)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. (
)
(3)互逆命题的真假性一定相反. (
)
(4)在原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数一
定是偶数. (
x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶
角”,是假命题.
法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不
相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆

四种命题间的相互关系

四种命题间的相互关系

1.1.3四种命题间的相互关系学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系?答案原命题与其逆命题是互逆关系;原命题与其否命题是互否关系;原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.(1)两个互逆命题的真假性相同.(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.(√)(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(×)类型一 四种命题间的关系及真假判断例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假. (1)若ab ≤0,则a ≤0或b ≤0; (2)若a 2+b 2=0,则a ,b 都为0. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题:若a ≤0或b ≤0,则ab ≤0.它为假命题. 逆否命题:若a >0且b >0,则ab >0.它为真命题.所以原命题的逆命题与否命题为假命题,逆否命题为真命题.(2)原命题与其逆命题“若a ,b 都为0,则a 2+b 2=0”均为真命题,所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题.反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同,准确判断两个命题之间的关系是解题的关键.跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A .“若x 2+y 2≠0,则x ,y 不全为0”的否命题 B .“正三角形都相似”的逆命题C .“若m >0,则x 2+x -m =0有实根”的逆否命题D .“若x -2是有理数,则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B解析 A 中,原命题的否命题为“若x 2+y 2=0,则x ,y 全为0”,是真命题.B 中,原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形”,是假命题.C 中,原命题的逆否命题为“若x 2+x -m =0无实根,则m ≤0”,∵方程无实根,∴Δ=1+4m <0,∴m <-14,∴原命题的逆否命题是真命题.D 中,原命题的逆否命题为“若x 不是无理数,则x -2不是有理数”,∵x不是无理数,∴x是有理数,又2是无理数,∴x-2是无理数,不是有理数,∴原命题的逆否命题是真命题.类型二 等价命题的应用例2 设m ,n ∈R ,证明:若m 2+n 2=2,则m +n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2+n 2=2,则m +n ≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m +n >2,则m 2+n 2≠2”. 因为m +n >2,所以m 2+n 2≥12(m +n )2>12×22=2.所以m 2+n 2≠2,所以原命题得证.反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的命题具有等价性,因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练2 证明:若a 2-4b 2-2a +1≠0,则a ≠2b +1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2-4b 2-2a +1≠0,则a ≠2b +1”的逆否命题为“若 a =2b +1,则a 2-4b 2-2a +1=0”.由a =2b +1,得a 2-4b 2-2a +1=(2b +1)2-4b 2-2×(2b +1)+1=4b 2+4b +1-4b 2-4b -2+1=0,显然原命题的逆否命题为真命题,所以原命题也为真命题.故原命题得证.1.命题“若(綈p ),则q ”的逆否命题为( ) A .若p ,则(綈q ) B .若(綈q ),则(綈p ) C .若(綈q ),则pD .若q ,则p考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 答案 C2.下列命题为真命题的是( ) A .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题 B .命题“若x =1,则x 2>1”的否命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若x 2>1,则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 对A ,即判断:若x >|y |,则x >y 的真假,显然是真命题.3.命题“若x >1,则x >0”的逆命题是________________,逆否命题是__________________. 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 若x >0,则x >1 若x ≤0,则x ≤1 4.有下列命题:①“若k >0,则方程x 2+2x +k =0有实根”的否命题; ②“若1a >1b ,则a <b ”的逆命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题. 其中是假命题的是________. 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 ①②解析 对于①,其否命题为:若k ≤0,则方程x 2+2x +k =0无实根,显然为假命题;对于②,若a <b ,则1a >1b ,为假命题;③则为真命题,故假命题为①②.5.已知命题p :“若ac ≥0,则二次不等式ax 2+bx +c >0无解”. (1)写出命题p 的否命题; (2)判断命题p 的否命题的真假. 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为:“若ac <0,则二次不等式ax 2+bx +c >0有解”. (2)命题p 的否命题是真命题.判断如下: 因为ac <0,所以-ac>0,Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根⇒ax2+bx+c>0有解,所以该命题是真命题.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q,则命题“若p,则q”为真;确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明即可.一、选择题1.以下说法错误的是()A.如果一个命题的逆命题为真命题,那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题,那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中,真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2.一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数不可能为()A.0 B.1C.2 D.4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同.3.“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 C解析只有其逆命题、否命题为真命题.4.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是()A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题.5.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是()A.若x<y,则x2<y2B.若x≤y,则x2≤y2C.若x>y,则x2>y2D.若x≥y,则x2≥y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.6.给出下列四个命题:①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是()A.①②B.②③C.③④D.②④考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题;根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直,则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”,可知④是真命题.7.原命题为“若a n+a n+12<a n,n∈N*,则{an}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A .真、真、真 B .假、假、真 C .真、真、假D .假、假、假考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手,a n +a n +12<a n ⇔a n +1<a n ⇔{a n }为递减数列,即原命题、逆命题都为真命题,则其逆否命题、否命题也为真命题. 8.有下列四个命题:①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q ≤1,则x 2+2x +q =0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为( )A .①②B .②③C .①③D .③④ 考点 四种命题间的关系题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 C解析 ①逆命题为“若x ,y 互为相反数,则x +y =0”,真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,假命题;③当q ≤1时,Δ=4-4q ≥0,所以原命题是真命题,其逆否命题也是真命题;④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假命题.故选C. 二、填空题9.命题“若a >b ,则ac 2>bc 2(a ,b ∈R )”的否命题的真假性为________.(填“真”或“假”) 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 真解析 其否命题为:若a ≤b ,则ac 2≤bc 2,它为真命题.10.已知命题p :若a >b >0,则12log a <12log b +1,则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________. 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析 ∵a >b >0,∴12log a <12log b ,∴命题p 为真命题,其逆命题为“若12log a <12log b +1,则a >b >0”,∵当a =2,b =2时,12log a <12log b +1成立,而a =b ,∴逆命题为假命题.∵原命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题互为逆否命题, ∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(只填序号) 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ②解析 ①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC 1为模型来观察:上底面A 1B 1C 1D 1中任何三个顶点都不共线,但A 1,B 1,C 1,D 1四点共面,所以①的逆命题是假命题.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.易知其是真命题. 三、解答题12.判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形; (2)若x ∉A ∩B ,则x ∉A 且x ∉B ; (3)若x 2+y 2≠0,则xy ≠0. 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形,则它的对角线相等”,它为真命题,故原命题为真.(2)该命题的逆否命题是“若x ∈A 或x ∈B ,则x ∈A ∩B ”,它为假命题,故原命题为假. (3)该命题的逆否命题是“若xy =0,则x 2+y 2=0”,它为假命题,故原命题为假. 13.判断命题:“若b ≤-1,则关于x 的方程x 2-2bx +b 2+b =0有实根”的逆否命题的真假.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为b≤-1,所以Δ≥4>0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1”.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0,所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真.四、探究与拓展14.已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素;②M 中有不属于P 的元素;③M 中有属于P 的元素;④M 中的元素不都是P 的元素.A .1B .2C .3D .4考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M ⊆P ”为假命题,故M 中至少有一个元素不属于P ,∴②④正确.M 中可能有属于P 的元素,也可能都不是P 的元素,故①③错误.故选B.15.已知条件p :|5x -1|>a >0,其中a 为实数,条件q :12x 2-3x +1>0,请选取一个适当的a 值,利用所给出的两个条件p ,q 分别作为集合A ,B ,构造命题“若A ,则B ”,并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题,这样的一个原命题可以是什么? 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x -1|>a >0,得5x -1<-a 或5x -1>a ,即x <1-a 5或x >1+a 5. 由12x 2-3x +1>0,得2x 2-3x +1>0, 解得x <12或x >1. 为使“若A ,则B ”为真命题,而其逆命题为假命题,则需A B .令a =4,得p :x <-35或x >1, 满足题意,故可以选取a =4,此时原命题是“若|5x -1|>4,则12x 2-3x +1>0”.。

高二数学四种命题的相互关系

高二数学四种命题的相互关系

练习:分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。
(1)若q<1,则方程 x2 2x q 0 有实根.
(2)若ab=0,则a=0或b=0.
1.1.3
四种命题的相互关系
? 观察与思考
1)若f (x)是正弦函数,则f (x)是周期函数。 2)若f (x)是周期函数,则f (x)是正弦函数。
原结论 反设词 原结论
反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 大于或等于至多有n个 至少有(n+1)个
对所有x, 存在某x,对任何x, 存在某x,
成立 不成立 不成立
成立
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2.原命题:若a=0,则ab=0. 3.原命题:若a>b,则 ac2>bc2.
4.原命题:若整数a是素数,则 a是奇数.
一般地,四种命题的真假性,有 而且仅有下面四种情况:
原命 逆命 否命 逆否 题 题 题 命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假
原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
练一练
判断下列说法是否正确。 1.一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真. 2.一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 3.一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假. 4.一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假.
2.四种命题真假的个数可能为( )个. 答:0个、2个、4个。
顿写一封内容尖刻的信回敬那家伙。 “可以狠狠地骂他一顿。”林肯说。 斯坦顿立刻写了一封措辞强烈的信,然后拿给总统看。 “对了,对了。”林肯高声叫好,“要的就是这个!好好训他一顿,真写绝了,斯坦

四种命题间的相互关系

四种命题间的相互关系
──它其实是反证法的一种特殊表现: ──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发, 引出矛盾( 如 证明结论的条 ( 件不成立), ),从而证明命题成立的推理方法. 件不成立), .
反证法: 反证法:
要证明某一结论A是正确的, 要证明某一结论 是正确的,但不直接证 是正确的 而是先去证明A的反面 的反面( 明 , 而是先去证明 的反面 ( 非 A) 是错 ) 误的,从而断定A是正确的 是正确的。 误的,从而断定 是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论 来达到肯定命题的结论, 矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的 论证的一种数学证明方法。 论证的一种数学证明方法。
2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 , 以 2 2 (2)x ≠ 0且=, x > 0 y = y 0 则 , 0
2 2 2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 , 以 2 2 (3)x 0 y ≠ 0 则 =, > 0 =且 , x 0 y
2 2 2 2
∴x + y > 0 所 x + y ≠ 0 , 以
新课讲授
若p则q 则 原命题 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
逆否命题 若¬ q则¬ p 则
新课讲授
若p则q 则 原命题 互逆 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
逆否命题 若¬ q则¬ p 则
新课讲授
若p则q 则 原命题 互 否 互逆 若q则p 则 逆命题
否命题 若¬ p则¬ q 则
否命题与逆命题之间的真假关系

最新人教版高中数学选修2-1第一章《四种命题间的相互关系》知识导学

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1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课标解读1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系,并会判断四种命题的真假性.3.掌握反证法证题的一般步骤,并会用反证法证明简单的数学问题.学会思考1.用通俗易懂的语言来表述逆命题、否命题、逆否命题.2.你认为哪些类型的问题常用反证法证明?答案:1.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题.(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.以下几种形式的命题常用反证法证明:(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等;(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现;(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明;(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.自学导引1.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________和_________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做_________(o r iginal p r opo s i t ion),另一个叫做原命题的_________(in v e rs e p r opo s i t ion).2.若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为_________.3.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的_________和 _________ ,把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的_________(nega t i v e p r opo s i t ion).4.若原命题为“若p则q”,则它的否命题为“________”.5.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_________和_________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个叫做原命题,则另一个叫做原命题的_________(in v e rs e and nega t i v e p r opo s i t ion).6.若原命题为“若p则q”,则它的逆否命题为“_________”.7.两个命题互为逆否命题,它们是_________具有_________.8.两个命题为_________或_________,它们的真假性没有关系.9.用反证法证明命题的一般步骤是:(1)___________________________;(2)___________________________;(3)___________________________.答案:1.结论条件原命题逆命题2.若q则p3.条件的否定结论的否定否命题4.若⌝p则⌝q5.结论的否定条件的否定逆否命题6.若⌝q则⌝p7.等价的相同的真假性8.互逆命题互否命题9.(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确典例启示知识点1四种命题的概念,并判断真假【例1】在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.(把符合要求的命题的序号都填上)解析:①的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面;显然不正确.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点;为真命题.答案:②启示:本题考查点共线、点共面和异面直线的基本知识,考查命题的有关概念.【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,为假命题.否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题.逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.启示:在判断命题的真假性时,应充分利用原命题与逆否命题,逆命题和否命题是等价的 这一知识.【例3】写出下列命题的否定和否命题.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等;(2)零的平方等于0.解析:本题的关键是弄清命题的否定,即 p与否命题的区别,命题的否定是对命题的结论加以否定,而否命题是对命题的条件和结论都加以否定.答案:(1)命题的否定:正n边形(n≥3)的n个内角不全相等;否命题:不是正n边形(n≥3)的n个内角不全相等.(2)命题的否定:零的平方不等于零;否命题:不等于零的数的平方不等于零.启示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语.下面把常用的一些知识点2 反证法的应用【例4】 若a 、b 、c 均为实数,且a =x 2-2y +2π,b =y 2-2z +3π,c =z 2-2x +6π,求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.分析:利用反证法证明.证明:(反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a ≤0,b ≤0,c ≤0,则a +b +c ≤0,而a +b +c =x 2-2y +2π+y 2-2z +3π+z 2-2x +6π=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+π-3. ∵π-3>0,且(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2≥0,∴a +b +c >0.这与a +b +c ≤0矛盾, 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.启示:含有“至多、至少”类型的命题常用反证法 证明.【例5】 已知a 、b 、c 是一组勾股数,即a 2+b 2=c 2,求证:a 、b 、c 不可能都是奇数. 分析:利用反证法证明.证明:假设a 、b 、c 都是奇数.∵a 、b 、c 是一组勾股数,∴a 2+b 2=c 2.①∵a 、b 、c 都是奇数,∴a 2、b 2、c 2也都是奇数.∴a 2+b 2是偶数,这样①式的左边是偶数右边是奇数,产生矛盾. ∴a 、b 、c 不可能都是奇数.启示:命题以否定的形式出现常选用反证法证明. 随堂训练1.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的…( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题 解析:依逆命题定义易得. 答案:A2.命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题是( ) A.上述四个命题 B.原命题与逆命题 C.原命题与逆否命题 D.逆命题与否命题解析:因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题. 答案:C3.用反证法证明命题“32+是无理数”时,假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设32+是有理数4.命题“若A ∪B =A ,则A ∩B =B ”的否命题是…( )A.若A∪B≠A,则A∩B≠BB.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠B,则A∪B≠AD.若A∪B≠A,则A∩B=B答案:3.D 4.A5.命题“若a>1,则a>0”的逆命题是_______,逆否命题是_______.答案:若a>0,则a>1若a≤0,则a≤16.给定下列命题:①“若k>0,则方程x2+2x-k=0”有实根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“矩形的对角线相等”的逆命题;④“若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是_______.解析:①Δ=4+4k>0,∴是真命题.②否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,是真命题.③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”,是假命题.④否命题:“若xy≠0,则x、y都不为零”,是真命题.答案:①②④。

四种命题之间的相互关系

四种命题之间的相互关系

2.四种命题真假旳个数可能为( 答:0个、2个、4个。
)个。
如:原命题:若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题:若A∩B=φ,则A∪B=A。 否命题:若A∪B≠A,则A∩B≠φ。 逆否命题:若A∩B≠φ,则A∪B≠A。
(假) (假) (假) (假)
例题讲解
例1:设原命题是:当c>0时,若a>b, 则ac>bc. 写出它旳逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们旳真假。
例:证明:若p2+q2=2,则p+q 2
巩固练习;P 9练习
小结:
1、本节内容: (1)四种命题旳关系 (2)四种命题旳真假关系
(3) 一种思想
作业:P10 A组 3(2)、4
(两个命题为互逆命题或互否命题,它们旳真假性 没有关系).
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1)一种命题旳逆命题为真,它旳逆否命题不一定为真;(对) 2)一种命题旳否命题为真,它旳逆命题一定为真。 (对) 3)一种命题旳原命题为假,它旳逆命题一定为假。 (错) 4)一种命题旳逆否命题为假,它旳否命题为假。 (错)
3)若f (x)不是正弦函数,则f (x)不是周期函数。 4)若f (x)不是周期函数,则f (x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间旳关
系吗?
1、四种命题之间旳 关系
原命题
若p则q
互逆 逆命题
若q则p




否命题
逆否命题
若﹁p则﹁q
互逆 若﹁q则﹁p
2.四种命题旳真假
看下面旳例子:
3、互为逆否命题:假如第一种命题旳条件和 结论分别是第二个命题旳结论旳否定和条件旳否定, 那么这两个命题叫做互为逆否命题。

(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系

(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系

四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。

3、会用命题的等价性解决问题。

【核心扫描】:1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。

(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。

(重点)3、等价命题的应用。

(难点)1、四种命题的概念(1) 互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫原命题,另一个叫做原命题的逆命题。

若原命题为“若p,则q”则逆命题为“若q,则P”(2) 互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题。

也就是说,若原命题为若p,则q”则否命题为若非p,则非q。

(3) 互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题叫做互为逆否命题。

如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题•也就是说,若原命题为若p,则q”,则逆否命题为若非q,则非p。

任何一个命题的结构都包含条件和结论,通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:⑵四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.在四种命题中,真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题,逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0, 2, 4.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用非p和非q分别表示p与q的否定,则四种命题的形式可表示为:原命题:若P,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若非P,则非q;逆否命题:若非q,则非p.(1) 关于四种命题也可叙述为:①交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2) 已知原命题,写出它的其他三种命题:首先,将原命题写成若p,则q”的形式,然后找出条件和结论,再根据定义写出其他命题。

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1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念,掌握四种命题的形式;初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假.2.过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力.3.情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性,优化学生的思维品质,培养学生勤于思考,勇于探索的创新意识,感受探索的乐趣.●重点、难点重点:四种命题之间相互的关系.难点:正确区分命题的否定形式及否命题.通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位,从而引发学生学习四种命题的兴趣,然后主要通过对概念的讲解和分析,并配以适量的课堂练习,让学生掌握四种命题的概念,会写四种命题,并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假;最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题,让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题,从而突破重难点.(教师用书独具)●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的,因此采用以讲解和练习强化为主要方法,并在讲解过程中引导和启发学生的思维,让学生充分地思考和动手演练.宜采取的教学方法:(1)启发式教学.这能充分调动学生的主动性和积极性,有利于学生对知识进行主动建构,从而发现数学规律;(2)讲练结合法.这样更能突出重点、解决难点,让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高.学习方法:(1)由特殊到一般的化归方法:学习中学生在教师的引导下,通过具体的实例,让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括;(2)讲练结合法:让学生知道数学重生在运用,从而检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救.通过本节的学习,了解命题的四种形式及其关系,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题,渗透由特殊到一般的化归数学思想.●教学流程创设问题情境,给出四个命题,引出问题:四个命题的条件与结论有何区别与联系?⇒引导学生观察、比较、分析,得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题,层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练,使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究,使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)给出以下四个命题:(1)对顶角相等;(2)相等的两个角是对顶角;(3)不是对顶角的两个角不相等;(4)不相等的两个角不是对顶角;1.你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗?【提示】它们的条件和结论恰好互换了.2.命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系?命题(1)与(4)呢?【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这两个命题叫做互逆命题,如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.1.为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”,如果原命题是“若p,则q”,那么它的逆命题,否命题,逆否命题该如何表示?【提示】逆命题:若q,则p.否命题:若綈p,则綈q.逆否命题:若綈q,则綈p.2.原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?原命题的逆命题与其否命题呢?【提示】互逆、互否、互为逆否.四种命题的相互关系1.知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的?【提示】(1)真命题,(2)假命题,(3)假命题,(4)真命题.2.如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?它的逆否命题呢?【提示】原命题为真,其逆命题不一定为真,但其逆否命题一定为真.1.在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是逆否命题.2.两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关系.(对应学生用书第5页)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)全等三角形的对应边相等;(2)当x=2时,x2-3x+2=0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么?(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题?【自主解答】(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.逆命题:若两个三角形三边对应相等,则两个三角形全等.否命题:若两个三角形不全等,则两个三角形三边对应不相等.逆否命题:若两个三角形三边对应不相等,则这两个三角形不全等.(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0,逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2,否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0,逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.1.给出一个命题,写出该命题的其他三种命题时,首先考虑弄清所给命题的条件与结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,应改写成“若p,则q”的形式.2.把原命题的结论作为条件,条件作为结论就得到逆命题;否定条件作为条件,否定结论作为结论便得到否命题;否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)负数的平方是正数;(2)若a>b,则ac2>bc2.【解】(1)原命题可以改写成:若一个数是负数,则它的平方是正数;逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数;否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数;逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数.(2)逆命题:若ac2>bc2,则a>b;否命题:若a≤b,则ac2≤bc2;逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断真假.(1)菱形的对角线互相垂直;(2)等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直,则它是菱形,是假命题.否命题:若一个四边形不是菱形,则它的对角线不互相垂直,是假命题.逆否命题:若一个四边形的对角线不互相垂直,则这个四边形不是菱形,是真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高,是真命题.否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等,是真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高,是假命题.(3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,是假命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧,是假命题.逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题.1.本例题目中命题的条件和结论不明显,为了不出错误,可以先改写成“若p,则q”的形式,再写另外三种命题,进而判断真假.2.要判定四种命题的真假,首先,要正确理解四种命题间的相互关系;其次,正确利用相关知识进行判断推理.若由“p经逻辑推理得出q”,则命题“若p,则q”为真;确定“若p,则q”为假时,则只需举一个反例说明.3.互为逆否命题等价.当一个命题的真假不易判断时,可通过判定其逆否命题的真假来判断.下列命题中正确的是( )①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正三角形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.A.①②③B.①③C .②③D .①【解析】 ①原命题的否命题为“若x 2+y 2=0,则x ,y 全为零”.真命题. ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形.”假命题. ③原命题的逆否命题为“若x 2+x -m =0无实根,则m ≤0”. ∵方程x 2+x -m =0无实根, ∴判别式Δ=1+4m <0,m <-14.故m ≤0,为真命题. 故正确的命题是①,③选B. 【答案】 B若a 2+b 2=c 2,求证:a ,b ,c 不可能都是奇数.【思路探究】 (1)a ,b ,c 不可能都是奇数包含几种情况? (2)它的反面是什么?能否考虑证它的逆否命题?【自主解答】 若a ,b ,c 都是奇数,则a 2,b 2,c 2都是奇数,所以a 2+b 2为偶数,而c 2为奇数,即a 2+b 2≠c 2.即原命题的逆否命题为真命题,故原命题为真,所以若a 2+b 2=c 2,则a 、b 、c 不可能都是奇数.1.因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况,而其否定只有一种情况,即“a、b、c都是奇数,”故应选择证明它的逆否命题为真命题,以使问题简单化.2.当判断一个命题的真假比较困难,或者在判断真假时涉及到分类讨论时,通常转化为判断它的逆否命题的真假,因为互为逆否命题的真假是等价的,也就是我们讲的“正难则反”的一种策略.3.四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视.“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a <2”,判断其逆否命题的真假.【解】∵a,x∈R,且x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集.∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)<0,则4a -7<0,解得a <74.因此a <2,原命题是真命题.又互为逆否命题的命题等价,故逆否命题是真命题.(对应学生用书第6页)因否定错误致误写出命题“若x 2+y 2=0,则x ,y 全为零”的逆命题、否命题,并判断它们的真假.【错解】逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,是真命题;否命题:若x2+y2≠0,则x,y全不为零,是假命题.【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误.对“x,y全为零”的否定,应为“x,y不全为零”,而不是“x,y全不为零”.【防范措施】要写出一个命题的否命题,需要既否定条件,又否定结论,否定时一定要注意一些词语,如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”等等.【正解】逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,是真命题;否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为零,是真命题.1.写出四种命题的方法:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题.2.四种命题的真假关系:若原命题为真,它的逆命题、否命题不一定为真,它的逆否命题一定为真;互为逆否命题的两个命题的真假性相同.因此,若一个命题的真假不易判断时,我们可借助它的逆否命题进行判断.(对应学生用书第7页)1.(福州检测)已知a ,b ∈R ,命题“若a +b =1,则a 2+b 2≥12”的否命题是( )A .若a 2+b 2<12,则a +b ≠1B .若a +b =1,则a 2+b 2<12C .若a +b ≠1,则a 2+b 2<12D .若a 2+b 2≥12,则a +b =1【解析】 “a +b =1”,“a 2+b 2≥12”的否定分别是“a +b ≠1”,“a 2+b 2<12”,故否命题为:“若a +b ≠1,则a 2+b 2<12”.【答案】 C2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题.【答案】 A3.命题“当x=2时,x2+x-6=0”的逆否命题是____.【解析】原命题结论的否定作条件,条件的否定作结论,写出逆否命题即可.【答案】当x2+x-6≠0时,x≠2.4.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断命题的真假.(1)若mn<0,则方程mx2-x+n=0有实数根;(2)若ab=0,则a=0或b=0.【解】(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则mn<0.假命题;否命题:若mn≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根.假命题;逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则mn≥0.真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.真命题;否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0.真命题;逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0.真命题.一、选择题1.命题“若綈p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则綈q B.若q,则綈pC.若綈q,则p D.若綈q,则綈p 【解析】若“綈p,则q”的逆否命题是“若綈q,则p”,又互为逆否命题真假性相同.∴“若綈q,则p”一定是真命题.【答案】 C2.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确【解析】设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”,故q与r为互逆命题.【答案】 A3.(台州检测)已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.故选B.【答案】 B4.(大庆检测)下列判断中不正确的是( )A.命题“若A∩B=B,则A∪B=A”的逆否命题为真命题B.“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C.“已知a,b,m∈R,若am2<bm2,则a<b”的逆命题是真命题D.“若x∈N*,则(x-1)2>0”是假命题【解析】若A∩B=B,则有B⊆A,从而有A∪B=A,∴A正确;B中的逆否命题:“若一个四边形两条对角线不相等,则它不是矩形”为真命题∴B正确.C中的逆命题为:“已知a,b,m∈R,若a<b,则am2<bm2为假命题,故C不正确.D中x=1时,(x-1)2=0显然是假命题.故D正确.【答案】 C5.下列命题中,不是真命题的为( )A.“若b2-4ac≥0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”的逆否命题B.“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C.“若x2=9,则x=3”的否命题D.“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题,其逆否命题也为真命题;B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”,为真命题;C 中命题的否命题为“若x 2≠9,则x ≠3”为真命题;D 中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题.【答案】 D 二、填空题6.命题“若A ∪B =B ,则A ⊆B ”的否命题是________. 【答案】 若A ∪B ≠B ,则A ⃘B .7.已知命题“若m -1<x <m +1,则1<x <2”的逆命题为真命题,则m 的取值范围是________.【解析】 由已知得,若1<x <2成立,则m -1<x <m +1也成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1≤1m +1≥2,∴1≤m ≤2.【答案】 [1,2]8.(菏泽检测)给定下列命题: ①若a >0,则方程ax 2+2x =0有解. ②“等腰三角形都相似”的逆命题;③“若x -32是有理数,则x 是无理数”的逆否命题;④“若a >1且b >1,则a +b >2”的否命题. 其中真命题的序号是________.【解析】 显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x -32是有理数,则x 是无理数”为假命题,∴逆否命题为假命题.对于④中,“若a >1且b >1,则a +b >2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1,则a +b ≤2”为假命题.【答案】 ① 三、解答题9.设原命题是“当c >0时,若a >b ,则ac >bc ”,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.【解】 原命题是真命题.逆命题是“当c >0时,若ac >bc ,则a >b ”,是真命题. 否命题是“当c >0时,若a ≤b ,则ac ≤bc ”,是真命题. 逆否命题是“当c >0时,若ac ≤bc ,则a ≤b ”,是真命题.10.已知命题p :“若ac ≥0,则二次方程ax 2+bx +c =0没有实根”. (1)写出命题p 的否命题;(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.【解】(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.(2)命题p的否命题是真命题,证明如下:∵ac<0,∴-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根.∴该命题是真命题.11.已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥0,求证:a +b≥0.【证明】假设a+b<0,则a<-b.∵f(x)在R上是增函数.∴f(a)<f(-b),又∵f(x)为奇函数.∴f(-b)=-f(b),∴f(a)<-f(b).即f(a)+f(b)<0.∴原命题的逆否命题为真,故原命题为真.(教师用书独具)判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.【解】∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=22-4×1×(-3m)=4+12m>0,∴原命题“若m >0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.又∵原命题与它的逆否命题等价,∴“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题为真.已知ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.【证明】设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则2a2+2b2+2c2+2d2+2ab+2bc+2cd-2ad -2bc+2ad=2,即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2+2ad-2bc=2,若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2=0,则a=b=c=d=0,于是ad-bc<1;若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2≠0,则(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2为正数,所以必有ad-bc<1.综上,命题“若a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则ad-bc≠1”成立,由原命题与它的逆否命题等价,知原命题也成立,从而原命题得证.21。

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