高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程

一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.

二、知识结构 1.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是

⎩

⎨

⎧+=+=a t y y a

t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=

a

b

的直线的参数方程是 ⎩⎨

⎧+=+=bt

y y at

x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2

+b 2

=1,②即为标准式，此

时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2

≠1，则动点P 到定点P 0的距离是

22b a +｜t ｜.

直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是

⎩

⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）

若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;

(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=

2

2

1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2

2

1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

2.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨

⎧+=+=ϕ

ϕ

sin cos r b y r a x (φ是参数)

φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)

(2)椭圆 椭圆122

22=+b

y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是

⎩⎨

⎧==ϕϕ

sin cos b y a x (φ为参数)

椭圆 122

22=+b

y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是

⎩⎨

⎧==ϕ

ϕ

sin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)

极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合

③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩

⎪

⎨⎧≠=+=)

0(2

22x x y

tg y x θρ 三、知识点、能力点提示

(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

例1 在圆x 2+y 2

-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

解： 将圆的方程化为参数方程：

⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离

d=

2

2

3

430

sin 15cos 120+++θθ

故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).

(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.

例2 极坐标方程ρ=θ

θcos sin 321

++所确定的图形是（ ） A.直线

B.椭圆

C.双曲

D.抛物

线

解： ρ=

)

6

sin(12

11)]cos 2

1

23(

1[21

π

θθ+

+⋅=

++

(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨

⎧Φ

+-=Φ

+=y x （ ）

A.(-3，5)，(-3，-3)

B.(3，3)，(3，-5)

C.(1，1)，(-7，1)

D.(7，-1)，(-1，-1)

解：化为普通方程得

125

)1(9)3(2

2=++-y x ∴a 2

=25,b 2

=9,得c 2

＝１６,c=4.

∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)

∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.

例4 参数方程

表示)20()sin 1(212

sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，

2

1

) B.抛物线的一部分，这部分过(1，

2

1)