桁架结构优化设计

桁架结构优化设计

一般所谓的优化，是指从完成某一任务所有可能方案中按某种标准寻找最佳方案。结构优化设计的基本思想是，使所设计的结构或构件不仅满足强度、刚度与稳定性等方面的要求，同时又在追求某种或某些目标方面（质量最轻，承载最高，价格最低，体积最小）达到最佳程度。

对于图1-1的结构，已知L=2m，x b=1m，载荷P=100kN，桁架材料的密度r=7.7x10-5N/mm3，[δt]=150Mpa，[δc]=100Mpa，y b的范围：0.5m≦y b≦1.5m。

图1-1 桁架结构

设计变量与目标函数（质量最小）

预定参数（设计中已确定，设计者不能任意修改的量）：L ， x b ，P ，r ，[δt ] ，[δc ]

设计变量（可由设计者调整的量）y b ，A 1，A 2 约束条件（对设计变量的约束条件） （1） 强度条件约束（截面、杆件的强度） （2） 几何条件约束（B 点的高度范围） 目标函数：桁架的质量W （最小）

解：1. 应力分析

0sin sin 02112=--=∑θθN N F x

0cos cos 02112=---=∑P N N F

y

θθ

由此得：

)sin(sin 2111θθθ+=

p N )

sin(sin 212

2θθθ+-

=p N

由正弦定理得：

l

y l x p

N B B 2

1)

(2

-+=

l

y x p

N B

B 2

22

+=

由此得杆1和2横截面上的正应力

1

2

1)

(2

lA y l x p

B B -+=

σ

2

2

22

lA y x p

B B +=

σ

2.最轻质量设计

目标函数（桁架的质量）

))((2

2

2

1

2

2

B B y x A y l x A W B B ++-+=γ

（1-1）

约束条件

[][]⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬⎫⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤+≤-+c B t B lA y x p lA y l x p B B σσ2

2

1

2

22

)

( （1-2）

0.5≦y b ≦1.5（m ） （1-3） （于是问题归结为：在满足上述约束条件下，确定设计变量y b ，A 1，A 2，使目标函数W 最小。） 3．最优解搜索

采用直接实验法搜索。首先在条件（1-3）所述范围内选取一系列y b 值，由强度条件（1-2）确定A 1与A 2，最后根据式（1-2）计算相应W ，在y b -W 曲线中选取使W 最小的y b 与相应的A 1与A 2，即为本问题的最优解。 4．利用MA TLAB 编程 （1）分析目标函数和约束条件

由已知L=2m ，x b =1m ，载荷P=100kN ，桁架材料的密度r=7.7x10-5N/mm 3，[δt ]=150Mpa ，[δc ]=100Mpa ，y b 的范围：0.5m ≦y b ≦1.5m 。

利用约束条件（1-2）。可以分析最优解时：

A 1与A 2取最小面积时，约束条件即取等号。即（1-2）中两不等式取等号。如下

]

[]

[)

(2

2

2

1

2

2

c b b t b b lA y x p

lA y l x p

σσ=+=-+ (1-4)

代人已知条件得：

200

1300)

2(12

22

1b b y A y A +=

-+=

（1-5）

将（9-25）代人（9-21）得

)200

)1(300

)

)2(1((

107.72

2

4

b b y y W ++

-+⨯= （1-6）

0.5≦y b ≦1.5（m ）

式（1-6）即为所求目标函数，求出其最小值，就是本问题的最优解。所以采样二次插值法求极值 （3） 流程图 如图1-2

图1-2二次插值法程序框图

（3）MA TLAB程序

程序中F为目标函数W，而x为y b。目标函数化为计算机认识的函数为：

F=256.66667*(5-4*x+x^2)^1.5+385*(1+x^2)^1.5;

利用二次插值法求极小值。

function eccz

syms x;%定义

f=256.66667*(5-4*x+x^2)+385*(1+x^2);%目标函数a1=0.5;a2=1.5;%区间0.5≦y b≦1.5

a3=1;%中间点

k=0;

while (abs(a3-a1)>1.0e-7)%精度为10-7

f1=subs(f,x,a1);%循环内为二次插值过程

f2=subs(f,x,a2);

f3=subs(f,x,a3);

C1=(f3-f1)/(a3-a1);

C2=((f2-f1)/(a2-a1)-C1)/(a2-a3);

ap=0.5*(a1+a3-C1/C2);

fp=subs(f,x,ap);

if ap>a2;

if f2>=fp

a1=a2;

f1=f2;

a2=ap;

f2=fp;

else

a3=ap;