桁架结构优化设计

桁架结构优化设计
一般所谓的优化，是指从完成某一任务所有可能方案中按某种标准寻找最佳方案。

结构优化设计的基本思想是，使所设计的结构或构件不仅满足强度、刚度与稳定性等方面的要求，同时又在追求某种或某些目标方面（质量最轻，承载最高，价格最低，体积最小）达到最佳程度。

对于图1-1的结构，已知L=2m，x b=1m，载荷P=100kN，桁架材料的密度r=7.7x10-5N/mm3，[δt]=150Mpa，[δc]=100Mpa，y b的范围：0.5m≦y b≦1.5m。

图1-1 桁架结构
设计变量与目标函数（质量最小）
预定参数（设计中已确定，设计者不能任意修改的量）：L ， x b ，P ，r ，[δt ] ，[δc ]
设计变量（可由设计者调整的量）y b ，A 1，A 2 约束条件（对设计变量的约束条件） （1） 强度条件约束（截面、杆件的强度） （2） 几何条件约束（B 点的高度范围） 目标函数：桁架的质量W （最小）
解：1. 应力分析
0sin sin 02112=--=∑θθN N F x
0cos cos 02112=---=∑P N N F
y
θθ
由此得：
)sin(sin 2111θθθ+=
p N )
sin(sin 212
2θθθ+-
=p N
由正弦定理得：
l
y l x p
N B B 2
1)
(2
-+=
l
y x p
N B
B 2
22
+=
由此得杆1和2横截面上的正应力
1
2
1)
(2
lA y l x p
B B -+=
σ
2
2
22
lA y x p
B B +=
σ
2.最轻质量设计
目标函数（桁架的质量）
))((2
2
2
1
2
2
B B y x A y l x A W B B ++-+=γ
（1-1）
约束条件
[][]⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤+≤-+c B t B lA y x p lA y l x p B B σσ2
2
1
2
22
)
( （1-2）
0.5≦y b ≦1.5（m ） （1-3） （于是问题归结为：在满足上述约束条件下，确定设计变量y b ，A 1，A 2，使目标函数W 最小。

） 3．最优解搜索
采用直接实验法搜索。

首先在条件（1-3）所述范围内选取一系列y b 值，由强度条件（1-2）确定A 1与A 2，最后根据式（1-2）计算相应W ，在y b -W 曲线中选取使W 最小的y b 与相应的A 1与A 2，即为本问题的最优解。

4．利用MA TLAB 编程 （1）分析目标函数和约束条件
由已知L=2m ，x b =1m ，载荷P=100kN ，桁架材料的密度r=7.7x10-5N/mm 3，[δt ]=150Mpa ，[δc ]=100Mpa ，y b 的范围：0.5m ≦y b ≦1.5m 。

利用约束条件（1-2）。

可以分析最优解时：
A 1与A 2取最小面积时，约束条件即取等号。

即（1-2）中两不等式取等号。

如下
]
[]
[)
(2
2
2
1
2
2
c b b t b b lA y x p
lA y l x p
σσ=+=-+ (1-4)
代人已知条件得：
200
1300)
2(12
22
1b b y A y A +=
-+=
（1-5）
将（9-25）代人（9-21）得
)200
)1(300
)
)2(1((
107.72
2
4
b b y y W ++
-+⨯= （1-6）
0.5≦y b ≦1.5（m ）
式（1-6）即为所求目标函数，求出其最小值，就是本问题的最优解。

所以采样二次插值法求极值 （3） 流程图 如图1-2
图1-2二次插值法程序框图
（3）MA TLAB程序
程序中F为目标函数W，而x为y b。

目标函数化为计算机认识的函数为：
F=256.66667*(5-4*x+x^2)^1.5+385*(1+x^2)^1.5;
利用二次插值法求极小值。

function eccz
syms x;%定义
f=256.66667*(5-4*x+x^2)+385*(1+x^2);%目标函数a1=0.5;a2=1.5;%区间0.5≦y b≦1.5
a3=1;%中间点
k=0;
while (abs(a3-a1)>1.0e-7)%精度为10-7
f1=subs(f,x,a1);%循环内为二次插值过程
f2=subs(f,x,a2);
f3=subs(f,x,a3);
C1=(f3-f1)/(a3-a1);
C2=((f2-f1)/(a2-a1)-C1)/(a2-a3);
ap=0.5*(a1+a3-C1/C2);
fp=subs(f,x,ap);
if ap>a2;
if f2>=fp
a1=a2;
f1=f2;
a2=ap;
f2=fp;
else
a3=ap;
f3=fp;
end
else
if f2>=fp;
a3=a2;
f3=f2;
a2=ap;
f2=fp;
else
a1=ap;
f1=fp;
end
end
k=k+1
a=ap
ff=subs(f,x,ap)%输出循环次数k，最优解x以及最小值ff）
end
MA TLAB程序输出最后结果如下：
k =
24
a =
0.8000
ff =
125.7667（最小值）
即目标函数最优解为：
y b=0.8m时，桁架重量最轻
W min=125.7667N
由（1-5）得
1，2杆横截面分为
A1=521mm2
A2=640mm2
下面程序为用MA TLAB画出Yb与W的函数关系曲线如图1-3 画图程序：
y=0:0.01:1.5;%范围及步长
w=25.666667*(5-4*y+y.^2)+38.5*(1+y.^2);%目标函数
plot(y,w,'-r')%坐标点
title('Yb与W的函数关系 ')%标题
xlabel('Yb的函数值')%x轴
ylabel('质量W的值')%y轴
图1-3 Yb与W的函数关系。