平行线的证明

平行线的证明

1、平行线的判断

公理：同位角相等，两直线平行．

定理：同旁内角互补，两直线平行；

内错角相等，两直线平行．

推理：平行于同一直线的两直线平行；

垂直于同一直线的两直线平行．

2、平行线的特征

公理：两直线平行，同位角相等．

定理：两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补．

典题精炼

1、定义与命题

【例1】下列语句是命题的是（）

A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C

C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？

【变式练习1】下列语句不是命题的是（）

A．相等的角不是对顶角 B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线【变式练习2】下列说法中，错误的是（）

A．所有的定义都是命题 B．所有的定理都是命题

C．所有的公理都是命题D．所有的命题都是定理

【例2】下列命题中，属于假命题的是（）

A．若a⊥c，b⊥c，则a⊥b B．若a∥b，b∥c，则a∥c

C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c

【变式练习1】“一次函数y=kx-2，当k>0时，y随x的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）．

【变式练习2】下列命题为假命题的是（）

A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边C．三角形两边的平方和等于第三边的平方

D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半

【例3】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）A．垂直B．两条直线

C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线

【变式练习1】把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果，那么”．

【变式练习2】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，再从以下三个条件①AB=DE，②AC=DF，③CM=FN中任取两个条件做为条件，另一个条件做为结论，能构成一个真命题，那么题设可以是，结论是．（只填序号）

【例4】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）

A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50°

C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°

【变式练习1】证明命题“若x（1-x）=0，则x=0”是假命题的反例是．

【变式练习2】用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．证明的第一步应是（）

A．假设CD∥EF B．假设CD不平行于EF

C．假设AB∥EF D．假设AB不平行于EF

【例5】下列说法正确的是（）

A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题

C．真命题都是公理 D．定理都是真命题

【变式练习1】“两点之间线段最短”是_________（填“定义”或“公理”或“定理”）．

【变式练习2】“两条直线相交成直角，就叫做两条直线相互垂直”这句子是（）

A．定义 B．命题 C．公理 D．定理

2、平行线的判定和性质

【例1】（2013年辽宁抚顺）如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件，不能判断直线l1∥l2的是（）

A．∠1=∠3 B．∠5=∠4 C．∠5+∠3=180° D．∠4+∠2=180°【变式练习1】（2013年贵州铜仁）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（）

A．∠DAC=∠BCA B．∠DCB+∠ABC=180° C．∠ABD=∠BDC D．∠BAC=∠ACD

【变式练习2】如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等

【变式练习3】学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【例2】（2013年贵州遵义）如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（）

A．60° B．65° C．70° D．80°【变式练习1】如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（）

A．20° B．40° C．70° D．80°

【变式练习2】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）

A．14° B．15° C．20° D．30°【例3】如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积

是．

【变式练习1】如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB=∠AOG=108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD+∠OEF= （这里∠OCD，∠OEF均小于180°）．

【变式练习2】已知射线AB∥射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上．

（1）如图1，点P在线段EF上，若∠A=25°，∠APC=70°时，则∠C= ；（2）如图1，若点P在线段EF上运动（不包括E、F两点），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系

是，证明你的结论；

（3）①如图2，若点P在射线FE上运动（不包括线段EF），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系

是；②如图3，若点P在射线EF上运动（不包括线段EF），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是．

【变式练习3】如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．