第十章 双线性函数

第十章 双线性函数

一 内容概述 1 线性函数

ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①

f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V

② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-

(2)

如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(

定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意

n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2

线性函数空间

设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()

p k p V f ∈∈∀,,τ

则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称()

p V ,τ 为V 的对偶空间。 3

对偶基

设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨

⎧≠=i

j i j 0

1

，则n f f f ,,,21Λ是()

P V ,τ的一组基。称

n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。

定理 ()

P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()

P V ,τ 的一组基

定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与

n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A

4. 双线性函数

设V 是数域 P 上一个线性空间。),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,都唯一地对应P 中的一个数。记为),(βαf 。如果),(βαf 有以下性质： ①f ()2211,ββαk k +=k 1f ()1,βα+k 2f ()2,βα

②),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+ V ∈∀2121,,,,,βββααα p k k ∈∀21,

则称 f ()βα, 为 V 上的双线性函数。

设 f ()βα, 是数域 上 维线性空间V 上的一个双线性函数，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵

A=()()()()()()()

()()⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεε,,,,,,,,,212221

212111Λ

Λ

ΛΛΛΛΛ

叫做f ()βα,在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵。 5 对称双线性函数

f ()βα,是线性空间 V 上一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量 都有

f ()βα,=f ()αβ,

则称f ()βα,为对称双线性函数。如果对V 中任意两个向量βα,都有

f ()βα,=━f ()αβ,

则称 f ()βα, 为反对称双线性函数。

定理 设V 是数域P 上维线性空间。 f ()βα,是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基

n εεε,,,21Λ使f ()βα,在这组基下的度量矩阵为对角阵。

推论1 设 V 是复数域上n 维线性空间，f ()βα,是 V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量α=

∑=n

i i

i x 1

ε

，β=

∑=n

i i

i y 1

ε

，有

f ()βα,=∑=r

i i i y x 1

(0n r ≤≤)

推论2 设 V 是实数域上 维线性空间，f ()βα, 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量 α=

∑=n

i i

i x 1

ε

，β=

∑=n

i i

i y 1

ε

，有

r r p p p p y x y x y x y x f ---++=++ΛΛ1111),(βα )0(n r p ≤≤≤

定理 设 f ()βα, 是 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基

s r r ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--,使

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧=∈=≠+===--s

k V f j i f r i f k j i i i ΛΛ2,1,0),(00

),(2,11),(αηαεεεε 设V 是数域 P 上的一个线性空间，在上V 定义了一个非退化的双线性函数，则V 称为一个双线性度量空间。特别地当V 为 维实线性空间，f ()βα,是V 上非退化对称双线性函数时， V 称为伪欧氏空间。

二 例题选讲

例 1 设V 是一个线性空间，s f f f ,,,21Λ 是*

-V 中非零向量，试证：存在∈αV 使

f

()0≠αi

,i =1,2,K S

证 对 S 用数学归纳法 当 S=1 时f

1

0≠ 所以存在∈αV 使f

()01

≠α 即 S=1 使命题成立

假定当 S=K 时命题成立。即存在∈αV 使 f ()0≠=i

i

a α i=1,2,K K

下证S=K+1时，命题成立 若f ()01

≠+αK 则命题得证。

若f ()01

=+αK 但由01≠+k f 知存在V ∈β使b f k =+)(1β设i i d f =)(β()K i Λ,2,1= 总可取

数C

使a

,i =1,2,K K 令V c d ∈+=γβαγ, 且

0)(≠+=i i i cd a f γ()K i Λ,2,1=

0)(1≠=+cb f k γ