双线性函数及其应用
白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数
i 1
i 1
则 g( , ) x1 x2
y1
xn
B
y2
,
yn
是V上的一个双线性函数. 为满射.
§10.3 双线性函数
若双线性函数 f ( , ) g( , ), 但 ( f ) ( g).
设 f ( , ) A f (i , j ) ,
第十章 双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数 二、度量矩阵 三、非退化双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数
定义 设V 是数域 P上的n 维线性空间，映射 f :V V P 为 V上的二元函数. 即对 , V , 根据 f 唯一地对应于P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质:
易证 f g, kf 仍为V上双线性函数.
并且 ( f g)(i , j ) f (i , j ) g(i , j )
f g A B f (i , j ) g(i , j ) kf kA k f (i , j )
§10.3 双线性函数
而 A' X 0只有零解 A' 0. 即 A 0, 即 A 非退化.
推论： V , 由 f ( , ) 0 可推出 0,
则 f 非退化.
§10.3 双线性函数
例、设 A P mm , 定义 Pmn 上的一个二元函数 f ( X ,Y ) Tr( X ' AY )nn, X ,Y P mn (1) 证明 f 是 Pmn上得双线性函数； (2) 求 f ( X ,Y ) 在基 E11, , E1n , E21, , E2n , , Em1, , Emn 下的度量矩阵.
高等代数(第三版)10.3双线性函数
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７ 设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 当＝ 时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
(完整版)第十章双线性函数
第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。
并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。
3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。
称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。
定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。
如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。
高等代数【北大版】10-4
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 命题 上 上双线性函数 是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意 的任意 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取 的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质 定理6 维线性空间V上反对称 定理 设 f (α , β ) 为 n 维线性空间 上反对称 双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基 则存在 的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,
则
A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .
第十章 双线性函数
第十章 双线性函数§10.1 线性函数1．设V 是数域F 上的一个线性空间, f 是V 到F 的一个映射, 若f 满足:(1)()()();(2)()(),f f f f k kf αβαβαα+=+=式中,αβ是V 中任意元素, k 是F 中任意数, 则称f 为V 上的一个线性函数.2．简单性质:设f 是V 上的线性函数 （1） (0)0,()().f f f αα=−=−（2）11221122()()()()t t t t f k k k k f k f k f αααααα+++=++L L例1 对数域F 上的任意方阵()ijn nA a ×=, 我们已定义1122()nn tr A a a a =+++L为A 的对角元之和, 称为A 的迹. 容易验证映射 :,()n n tr A tr A ×→→F F满足条件:(1)()()(),,;(2)()(),,.n n n ntr A B tr A tr B A B tr kA k tr A A k ××+=+∀∈=∀∈∈ F F F因此tr 是n n×F的线性函数.例2 设[]V F x =, a 是F 中一个取定的数. 定义[]F x 上的函数a L 为: (())(),()[],a L f x f a f x F x =∈即(())a L f x 为()f x 在a 点的值, (())a L f x 是[]F x 上的线性函数.如果V 是数域F 上的一个n 维线性空间， 取定V 的一组基12,,,n εεεL . 对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α:1122n n x x x αεεε=+++L都有1122()()()()n n f x f x f x f αεεε=+++L因此, ()f α由12(),(),,()n f f f εεεL 的值唯一确定. 反之, 任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 用下式定义V 上一个函数f :11()n ni ii ii i f x a x ε===∑∑这是一个线性函数, 而且(),1,2,,i i f a i n ε==L我们有:3. 设V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一组基12,,,n εεεL , 对于任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 存在唯一的V 上线性函数f 使(),1,2,,i i f a i n ε==L .§10.2 对偶空间1．对偶空间定义设V 是数域F 上的n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记为*V .*V 上定义加法与数乘：()()()(),f g f g V αααα+=+∈.()()(()),.kf k f V ααα=∈则,f g kf +都是线性函数, 故*V 成为F 上的线性空间. *V 称为V 的对偶空间3．对偶基取定V 的一组基12,,,n εεεL ，定义V 上的n 个线性函数(1,2,,)i f i n =L 如下: ()i j ij f εδ= 则12,,,n f f f L 是*V 中线性无关的向量组, 构成*V 的一组基. 我们称之为12,,,n εεεL 的对偶基.4．对偶空间的维数*dim dim V V n ==.5．对偶基之间的关系 设12,,,n εεεL 及12,,,n ηηηL 是线性空间V 的两组基, 它们的对偶基分别是12,,,n f f f L 及12,,,n g g g L . 再设由12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为A , 那么由12,,,n f f f L 到12,,,n g g g L 的过渡矩阵为1()T A −.6．V 到**V 的同构（1）取定V 中一个向量x , 定义*V 的一个函数**x 如下: ***()(),x f f x f V =∈.（2）函数**x 具有下列性质 z****x V ∈z 若**()0x f =对一切x V ∈成立, 则0f =;z 若**()0x f =对一切*f V ∈成立的充分必要条件是0x =. （3）同构V 是一个线性空间, **V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射 **x x → 是一个同构映射.如果把V 与**V 在这个同构下等同起来, 则V 可以看成*V 的对偶空间. 这样V 与**V 具有同等的地位, 它们互为对偶.§10．3 双线性函数一、 双线性函数的定义与矩阵1．定义设V 是数域F 上一个线性空间, (,)f αβ是V 上一个二元函数, 即将V 中任意两个向量,αβ对应于F 中一个数(,)f αβ, 并且满足如下条件:1122112211221122(1)(,)(,)(,);(2)(,)(,)(,)f k k k f k f f k k k f k f αββαβαβααβαβαβ+=++=+这里121212,,,,,;,V k k αααβββ∈∈F . 我们称(,)f αβ是V 上一个双线性函数.注：将V 中一个变元固定时的映射 :,(,)f V f αβαβ→a F 和:,(,)V αϕβϕβα→a F都是V 上的线性函数, 就是说,f ααϕ都是V 的对偶空间*V 中的向量.2． 定理（双线性函数的形式）设在数域F 上的线性空间V 上定义了双线性函数f ,12,,,n εεεL 是V 的任意一组基.则任意,V αβ∈在f 下的值(,)f αβ可以由,αβ在该基下的坐标,X Y 按下列公式计算: (,)Tf X AY αβ=，其中()ij n n A a ×=由(,)ij i j a f εε=组成, 称为双线性函数f 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵.3．简单性质设,f g 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵分别是,A B , 则 （1）f g +在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是A B +； （2）kf 在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是kA 。
考研高数总复习第十章线性函数第三节(讲义)
n
n
推论 2
容易计算出
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩 阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的两组基： (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C.
则称 f ( , ) 为
对称双线性函数.
f ( , ) = - f ( , ) ，
如果对 V 中
任意两个向量 , 都有
则称 f ( , ) 为
反对称双线性函数.
设 f ( , ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性
函数，对 V 的任一组基 1 , 2 , … , n ，由于
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.A .
xi i , yi i ,
i 1 i 1
n
n
f ( , ) 有表达式 f ( , ) = d 1 x 1 y 1 + d 2 x 2 y 2 + … + d n x n y n . 这个表示式也是 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量 矩阵为对角形的充分条件.
( 4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的
度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
§10.3 双线性函数
§10.3 双线性函数
一,双线性函数 二,度量矩阵 三,非退化双线性函数
第十章 双线性函数
一,双线性函数 定义1 设V是数域F上的一个线性空间,f (α , β ) 是V上一个二 元函数,即对 α , β ∈ V , f 确定F中唯一的数 f (α , β ) 与之对应. 若对 α , α 1 , α 2 , β , β 1 , β 2 ∈ V , k1 , k2 ∈ F , f (α , β ) 满足以下两点: (1) f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ); (2) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β ) . 则称 f (α , β ) 为V上的一个双线性函数. 由定义知:双线性函数是这样一个二元函数 f (α , β ) :对每 个变元,它都是线性函数.
f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = f1 (α ) f 2 ( k1 β 1 + k2 β 2 )
= f1 (α )[k1 f 2 ( β 1 ) + k2 f 2 ( β )] = k1 f1 (α ) f 2 ( β 1 ) + k2 f1 (α ) f 2 ( β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = f1 ( k1α 1 + k2α 2 ) f 2 ( β ) = [ k1 f1 (α 1 ) + k2 f1 (α 2 )] f 2 ( β )= k1 f1 (α 1 ) f 2 ( β ) + k2 f1 (α 2 ) f 2 ( β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β )
双线性函数和二次型
双线性函数和二次型双线性函数中有两个特例，即对称双线性函数和反对称双线性函数，而二次型又 是对称双线性函数的特例.二次型在数学和物理中的应用极其广泛，如线性二次型的最优控制是一种常用的最优控制系统设计方法；在动力学中遇到的许多问题都是由两个实二次型描述的等许多应用.因此，研究双线性函数和二次型是非常重要的，具有极高的应用价值.1 双线性函数1.1 双线性函数的定义 定义1.1.1[]()4061P V 是数域P 上一个线性空间，()βα,f 是上一个二元函数，即对V中任意两个向量α,β ,根据f 都唯一地对应于P 中一个数()βα,f .如果()βα,f 有下列性质：（1）()()()22112211,,,βαβαββαf k f k k k f +=+ （2）()()()βαβαβαα,,,22112211f k f k k k f +=+其中α,1α，2α，β，1β，2β是V 中任意向量，1k ，2k 是P 中任意数，则称()βα,f 为V 上一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数()βα,f ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.如欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.1.2 度量矩阵取V 上的一组基n εεε,,,21Λ,设'X =(n x x x ,,,21Λ),Y '=(n y y y ,,21Λ),再设α= (n εεε,,,21Λ)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x M 21 = (n εεε,,,21Λ) X ,β= (n εεε,,,21Λ)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y M 21 = (n εεε,,,21Λ) Y,则 ()βα,f =f (∑=n i ii x 1ε,∑=nj jjy 1ε)=()j in i nj jiyx f ∑∑==11,εε (1)令ij a =()j i f εε,, i,j=1,2, …,n,A=111n n1nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K M O M L , 则（1）就成为()Y X ,f ＝∑∑==n i nj j i ijy x a11（2）也可以表示为()Y X ,f =AY X ' （3）则（2）或（3）式实际上就是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数()βα,f 的一般形式.即()Y X ,f 是nP 上的一个双线性函数.定义1.2.1[]()4081P 设()βα,f 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 叫做()βα,f 在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.经过上面的讨论，取定V 的一组基后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21Λ下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定。
第10章 双线性函数
第十章双线性函数一、线性函数与双线性函数定义：V K ，:f V K →，若f 满足：（1）()()(),,f f f V αβαβαβ+=+∀∈，（2）()(),,f k kf V k K ααα=∀∈∈，称f 是V 上的线性函数。
定义：V K ，1,,n εε⋯为V 的一组基，则（1）V 上的任一双线性函数(,)f αβ完全由其在基1,,n εε⋯上的作用决定。
(,)(,)(,)i j i j g f g αβεεεε∃=，，则(,)(,)f g αβαβ=。
（2）()(,)n A M K f αβ∀∈∃存在唯一，!，使得(,)i j ij f a εε=。
证明：（1）1111,(,,),(,,),,n n n n x y V X Y X Y x y αβαεεβεε⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟∀∈====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⋯⋯⋮⋮，(,)(,)(,)(,)(,)i i i i i j i j i j i j f f x y f x y g x y g αβεεεεεεαβ====∑∑∑∑∑∑（2）设'(,)f X AYαβ='''1122112211221122(,)()(,)(,)f k k k X k X AY k X AY k X AY k f k f ααβαβαβ+=+=+=+0(,)(0,,1,,0)10i j ijif A a j εε⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋮⋯⋯⋮注：1称()((,))ij i j A a f εε==为(,)f αβ在基1,,n εε⋯下的矩阵2内积是特殊的双线性函数3线性函数(,)f Hom V K ∈4(,)f A αβ↔5'(,)f X AYαβ=推论：设,()n A B M K ∈，对任两个n 维列向量,X Y ，若''X AY X BY =，则A B =。
证明：''(,),(,)f X AY g X BY A B αβαβ==⇒=二、双线性函数在不同基下的矩阵11(,),,,,n n f αβεεηη⋯⋯，，，11(,,)(,,)n n Tηηεε=⋯⋯1,,(,)((,))n i j f A f εεαβεε⎯⎯⎯→=⋯，1,,(,)((,))ni j f B f ηηαβηη⎯⎯⎯→=⋯11(,,)(,,)n n X X αεεαηη==⋯⋯，，11(,,)(,,)n n Y Y βεεβηη==⋯⋯，X T X Y TY ==，，'''(,)f X AY X T ATY X BYαβ==='B T AT∴=三、对称双线性函数1、定义：设(,)f αβ为V 上的双线性函数，,V αβ∀∈，(,)(,)f f αββα=，称(,)f αβ为对称双线性函数。
双线性函数
证先证rad 满秩．设α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，则f(α,β)=XAY．从而
radLV=0
由f(α,β)=0，β∈V，可推出α=
由XAY=0，Y∈Fn，可推出X=0
由XA=0可推出X=0
由AX=0可推出X=0
N(A)=0
rankA=nrankA=n．
同理可证：radRV=0A满秩．因此，f非退化A可逆．
推论10.2.2设f是F上有限维向量空间V上的一个双线性函数，则f的左根等于零子空间当且仅当f的右根等于零子空间．
2.4对称、反对称情形
．(5)
(5)右端的表达式
(6)
称为x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型．(5)表明，任一双线性函数能够用坐标x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型表示．
请注意，双线性型指的是表达式(6)，而双线性函数指的是V×V到F的映射．
下面讨论V上的同一个双线性函数f在V的不同基下的度量矩阵之间的关系．
二次函数q()在基1,…,n下的表达式(13)的矩阵A也称为二次函数q在基1,…,n下的矩阵．
课外作业：
P518：1；2；P525：1；2．
T2(V)=S2(V)2(V)．(9)
考虑有限维向量空间中对称(或反对称)双线性函数的度量矩阵，设f是F上n维向量空间V的一个双线性函数．在V中取一个基α1，…，αn，设f在这个基下的度量矩阵为A．
若f是对称的，则
f(αi,αj)=f(αj,αi)，i，j=1，…，n．
因此A是对称矩阵．反之，若A是对称矩阵，则对于V中任意两个向量α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，有
双线性方程求解及其应用研究
双线性方程求解及其应用研究双线性方程在数学、物理、工程以及计算机等领域中有着广泛的应用。
因此，研究双线性方程的求解方法以及其在实际问题中的应用具有重要的意义。
本文将从双线性方程的定义、求解方法以及应用等方面进行介绍和探讨。
一、双线性方程的定义双线性方程是指包含两个变量的二次方程，其中两个变量相乘的项具有线性关系。
形式化表示为：$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$其中，$a,b,c,d,e$和$f$均为实数，并且 $a,b,c$ 不全为 $0$。
二、双线性方程的求解方法1.变量代换法变量代换法是求解双线性方程的常用方法之一。
通过将双线性方程进行代换，将其转化为关于一个变量的一次方程，然后可以利用一次方程的解法求解。
常见的变量代换包括以下几种：（1）$t=x+y$的代换将$t = x+y$代入双线性方程中，则方程变为：$(a+c)t^2 + (d+e+b)t + f = 0$然后根据一次方程的求解方法解出$t$的值，再利用$t=x+y$所得到的方程求解。
（2）$t=x-y$的代换同样，将$t=x-y$代入双线性方程中，得到：$(a-c)t^2 +(d-b)t + f = 0$然后按一次方程的求解方法求解$t$的值，再利用$t=x-y$解出$x$和$y$的值。
（3）$t=ax+by$的代换将$t=ax+by$代入双线性方程中，得到：$at^2 + (ae+bd)t + (be+cf) = 0$同样可以按照一次方程的求解方法解出$t$的值，再代入$t=ax+by$中解出$x$和$y$的值。
2.齐次化方法齐次化方法是利用相似变换的思想将双线性方程转化为齐次二次方程的方法。
具体步骤如下：首先，将双线性方程形式化表示为：$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$然后令$x=uy$，代入上式中可得：$$a(u^2)y^2 + b(uy^2)y + cy^2 + d(uy) + e(y) + f =0$$因此，上式可以写成：$$(au^2 + bu + c)y^2 + (du+e)y + f = 0$$当$au^2+bu+c=0$时，方程就是一个齐次二次方程，此时可以利用一次方程的求解方法求解。
双线性函数与二次型
汇报人：XXX
优化算法：随着优化算法的不断发展和改进，双线性函数与二次型在求解优化问题中将发挥更 大的作用。
机器学习模型：双线性函数与二次型可以作为机器学习模型的重要组成部分，用于构建更加复 杂、精确的预测模型。
信号处理：在信号处理领域，双线性函数与二次型可以用于信号的降噪、压缩和特征提取等方 面，提高信号处理的效果和效率。
线性回归分析：双线性函数在回归分析中用于拟合数据，并预测未来的趋 势和结果。
特征转换：双线性函数可以用于特征转换，将原始特征转换为新的特征空 间，有助于提高模型的分类准确率。
图像处理：双线性函数在图像处理中用于平滑图像、降噪和锐化等操作， 提高图像质量。
数值计算：在某些数值计算问题中，双线性函数可以作为近似函数使用， 简化计算过程。
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双线性函数与二次函数、线性函数的区别：双线性函数是两个变量的线性函数的乘积，而二次函 数和线性函数分别是单个变量的二次函数和线性函数。
PART THREE
二次型是由一个或多个二次多项式组成的数学对象 二次型的一般形式为$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F$ 二次型的系数是实数 二次型可以用矩阵表示
XXX,a click to unlimited possibilities 汇报人：XXX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
双线性函数是两个变量的线性函数，形式为f(ax+by)=af(x)+bf(y)。 双线性函数满足交换律和分配律，即f(x+y)=f(x)+f(y)和f(ax)=af(x)。 双线性函数在数学、物理和工程等领域有广泛应用，如描述磁场、电场、弹性力等物理现象。 双线性函数是二次型的一部分，与二次型一起构成了多变量函数的重要基础。
线性代数中的对称双线性型与正定性
线性代数中的对称双线性型与正定性在线性代数的学习中，对称双线性型和正定性是重要的概念。
对称双线性型是一种特殊的双线性型，而正定性则涉及到矩阵的特征和性质。
本文将详细介绍对称双线性型和正定性的概念、特性以及应用。
一、对称双线性型对称双线性型是指一个定义在向量空间V上的函数f：V×V→R，满足以下两个性质：1.对于任意的u、v∈V，f(u,v)=f(v,u)。
即函数的值与变量的次序无关，这使得对称双线性型具有对称性。
2.对于任意的u、v、w∈V以及a∈R，f(au+v,w)=af(u,w)+f(v,w)。
即对线性组合的齐次性与加法的线性性质成立。
对称双线性型在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，动能和势能的双线性型就是对称双线性型。
在经济学中，供给曲线和需求曲线的交叉就是对称双线性型。
对称双线性型的应用不胜枚举，它在描述各种线性关系中起到了重要的作用。
二、正定性正定性是指一个实对称矩阵A具有特定的性质。
设x为一个非零向量，如果对于所有的非零向量x，都有x^TAX>0，那么矩阵A就是正定的。
正定性是对称矩阵重要的性质之一，具有以下特点：1.正定矩阵的特征值一定大于0，即λ>0。
2.正定矩阵的所有主子式都大于0。
3.正定矩阵的行列式大于0。
正定性在矩阵计算和优化问题中具有重要的应用。
在最小二乘法中，正定性用于判断一个线性规划问题是否可行。
在数值计算中，正定矩阵可以保证解的唯一性和稳定性。
正定性在信号处理、图像处理等领域也有广泛的应用。
三、对称双线性型与正定性的关系对称双线性型与正定性之间存在着紧密的联系。
一个对称双线性型可以通过一个实对称矩阵A来表示，即f(u,v)=u^TAv。
反之，给定一个实对称矩阵A，可以通过A的双线性函数f(u,v)=u^TAv来定义一个对称双线性型。
当A是正定矩阵时，该对称双线性型满足以下性质：1.对于任意的非零向量u，f(u,u)=u^TAu>0。
第十部分双线函数与二次型教学课件
例1.线性空间 V 上的内积即为一个双线性函数.
f :V V P, f (, ) (, ),, V
例2. V上两个线性函数 f1, f2 :V P, 定义 f :V V P, f ( , ) f1( ) f2( ) 证明: f 是V上的一个双线性函数.
证： f ( , k11 k22 ) f1( ) f2(k11 k22 ) k1 f ( , 1 ) k2 f ( , 2 ),
②一个对称双线性函数只能导出一个二次型.
n
此时， f ( , ) X ' AX aij xi x j .
i , j1
aij a ji
此即为以前学过的二次型.
而二次型与对称矩阵1-1对应.
(2) f (k11 k22 , ) k1 f (1, ) k2 f (2 , ) 其中 ,1,2 , , 1, 2 V , k1, k2 P 则 f ( , ) 称为 V上的一个双线性函数.
注
对于线性空间V上的一个双线性函数 f ( , ) 当固定一个向量 (或 )不变时，可以得出一
f ( , ) f ( , ) 则称 f ( , )为对称双线性函数.
定义2.
设 f ( , ) 为数域P上线性空间V上的一个双线 性函数，如果对V中任意向量 , 均有
( f ( , ) f ( , )) 则称 f ( , )为反对称双线性函数.
定理1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数
空间 V 上双线性函数 f ( , ) 的一般形式.
设 1, 2 , , n 为数域 P上线性空间V的一组基，
设 x11 x2 2 xn n (1 2 (1 2 n )X
x1
n
)
x2
xn
10.3双线性函数
且不同双线性函数对应的在 1 , 2 , , n 下的 度量矩阵不同. 事实上，若 f , g 在 1 , 2 , , n 下的度量矩阵分别为
A
f (
i
, j ) ,
B
g (
i
, j )
且 f g 时 A B.
f ( i , j ) g ( i , j ),
f g A B
kf kA k
f (
i
i
, j ) g ( i , j )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (
, j )
命题2 n 维线性空间V上同一双线性函数，f ( , )
在V 的不同基下的矩阵是合同的.
证：设 f ( , ) 在V 的基 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n
若矩阵 A与B合同，则存在一个双线性函数
f ( , )
及V上两组基，使 f ( , ) 在这两组基
下的度量矩阵为 A , B .
三、非退化双线性函数
1、定义
设 f ( , ) 是线性空间V上的一个双线性函数， 如果从 f ( , ) 0 , V 可推出 0. 则称
y1 y2 yn ,
则
f ( , )
x1
x2 xn
其中
f ( 1 , 1 ) A f ( , ) n 1
f ( 1 , n ) . f ( n , n )
二、度量矩阵
1、定义设 f ( , ) 是数域 P 上任意上的 n 维线性
n
bilinear函数的用法及含义
bilinear函数的用法及含义
bilinear函数是一种双线性插值算法，主要用于缩放扩展和图像缩放技术。
计算机图像处理中有很多图像放缩算法，其中bilinear函数可以被广泛使用。
通常，bilinear函数可以用来改变图像大小，或将一个图像从一个尺寸缩小到另一个尺寸，而不失真。
bilinear函数的具体运算步骤如下：
首先，设想现有这样一幅图像：它有一定的宽度和高度，并且像素值有所不同。
bilinear函数会先把这幅原图像用运算函数把它放大或缩小，以达到我们想要的尺寸大小。
随后，bilinear函数会根据原图片的每个像素点与新尺寸对应的每个像素点之间的距离，来计算新像素点的像素值。
该算法运行过程中，会考虑到原图片像素点四周像素值，利用双线性插值算法，再用插值法计算新像素点的新像素值。
总的来说，bilinear函数的作用是在不改变图像的形状的情况下，将原有大小的图像改变为新尺寸的图像，同时也尽量保留原有的颜色和细节信息。
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双线性函数及其应用本科生毕业论文(设计)题目：双线性函数及其应用专业：数学与应用数学学号:学生姓名：目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)前言 (2)1 常用的欧式空间 (1)2 双线性函数 (2)2.1 线性函数的简单性质 (2)2.1.1 线性函数的定义 (2)2.1.2 线性空间的性质 (3)2.1.3 对偶基 (3)2.2 双线性函数的内容及性质 (3)2.2.1 双线性函数的性质 (3)2.2.2 双线性函数的内容 (3)3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4)3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4)3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5)4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6)4.1双线性函数与辛空间 (7)4.2双线性函数与对偶空间 (10)5双线性函数的应用领域 (13)6 结束语 (14)参考文献 (14)致谢 (1)双线性函数及其应用摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。
近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。
这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。
例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。
本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。
主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。
文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和签名长度上有一定的优势;(3)本文对这样一种情况提出了解决方案:多个用户将加密数据(使用Alice的公钥)发送到不完全可信的数据存储服务器上(例如邮件服务器和文件服务器等)。
如果Alice想让服务器能够查询加密文档是否含有某些单词并反馈结果,但同时又不希望给予服务器解密数据的能力。
在这种情况下,需要特殊的技术来处理。
本文构造了一个可查询的、基于公钥并与流密码结合的、使用双线性配对函数的加密系统,它能让服务器进行查询,而又不失数据的机密性。
在该方案中,服务器并不能了解比查询结果更多的关于明文的信息;且当只给定密文时,不被信任的服务器不能得到关于明文的信息。
(4)提出了一个盲聚合签名方案,它结合了盲签名和聚合签名两者的优点,使生成的盲签名聚合为一个聚合签名,节省了时间和存储空间,也降低了对传输带宽的要求。
关键词：双线性函数；矩阵的合同；矩阵的相似Abstract：In the past the cryptography studies, bilinear pairing function (Weil pairing Tate and matching) are usually used in analysis in learning, password: through the use of matching function, can will some of the elliptic curve discretelogarithm problem about reduced to a limited domain of discrete logarithm problem. In recent years, cryptography, home found that, if properly to visual function changes, and application in some appropriate elliptic curve, it can be constructed out of the low bandwidth, can prove safe (provable secure), based on bilinear pairings function of encryption, signatures and key agreement protocol, etc. These breakthrough for the construction of the password agreement opened up a new train: because bilinear pairings is the features of a function, can be used to design some has certain types of password agreement, these agreements with other method very hard commonly, or even can realize, its efficiency and no based on bilinear pairings function of high. For example, three square round short signature of key agreement protocol, identity based encryption scheme. This paper makes a study of the bilinear pairings function in the construction of newpassword agreement applications. The main research contents include: (1) summarized the bilinear pairings function concept, has the characteristics, and introduced the diffie-hellman problem and bilinear pairings function in the application of cryptography; (2) put forward a using bilinear pairings of function to safety before digital signature scheme: in a based on bilinear pairing the signature scheme based on the structure of a prior to the safety of the signature scheme. In this paper the safety of the scheme are analyzed, and some have to safety before the signature schemes are compared, and the results show that the scheme in efficiency and signature length have a certain advantages; (3) in this paper put forward such a solution: multiple users will be encrypted data (use Alice public key) sent to not completely reliable data storage server (such as mail servers and file servers, etc.). If Alice wants to let the server can inquires documentation iscontain certain words encryption and feedback result, but at the same time and don't want to give the server decrypt data ability. In this case, the need for special technology to deal with. This paper constructs a can inquire, based on public key and and flow of the combination of the password, using bilinear pairings function encryption system, it can make the query server, and do not break data confidentiality. In this scheme, the server and can't understand the results more than inquires about expressly information; And when only a given ciphertext, not trusted server can't get about expressly information. (4) put forward a blind signature scheme polymerization, it combines blind signature and polymerization signature advantage of the two, to generate the blind signature polymerization as a signature polymerization, saving time and storage space, also reduced of transmission bandwidth requirements.Key words ：Double linear function , and thematrix of the contract , the matrix of the similar前言双线性函数是线性代数理论的一个重要内容．它涉及很多内容，如对称阵、反对称阵、二次型、正交阵、辛阵等，特别地双线性函数与线性函数有密切关系．由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。