十双线性函数与正交空间,辛空间

课外作业：
P513：2、1)；3；4；5
V*中任取一个向量 ，比较左右两边的函数在αj上的函数值得
．(8)
这表明f在基f1，f2，…，fn下的坐标的第j个分量等于f(αj)．因此
．(9)
例5设V=M2(F)，在V中取一个基E11，E12，E21，E22，求它的对偶基f11，f12，f21，f22，并求V上任一线性函数f的表达式．
解从(4)得
进而考虑数域F上n维向量空间V上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见
定理10.1.1设V是F上一个n维向量空间，α1，α2，…，αn是V的一个基，a1，a2，…，an是F中任意取定的n个数，则存在V上唯一确定的线性函数f，使得
f(αi)=ai，i=1，2，…，n．(3)
因此， ∈V，则β在f下的象为 ．
，i=1,2,…,n．
它们满足pi(aj)=δij，因此p1(x)，p2(x)，…，pn(x)线性无关．因为由
c1p1(x)+x2p2(x)+…+cnpn(x)=0，
用ai代入，即得
，i=1，2，…，n．
又V是n维的，所以p1(x)，p2(x)，…，pn(x)是V的一组基．
设Li∈V*(i=1，2，…，n)是在ai点的取值函数：
这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，fn，其中fi(1≤i≤n)在基向量上的函数值为
fi(αj)=δij，(4)
这里δij是Kronecker记号．
现在我们断言f1，f2，…，fn是线性无关的．设
k1f1+k2f2+…+knfn=0，(5)
并作用αj，则得k1f1(αj)+k2f2(αj)+…+knfn(αj)=0．于是由(4)推得kj=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，fn线性无关．
我们来讨论有限维向量空间V上的线性函数f的表达式．
设V是数域F上的n维向量空间，f是V上的一个线性函数．在V中取一个基 ．由于f可以看成是向量空间V到向量空间F的一个线性映射，因此f完全被它在V的一个基 上的作用所决定．即只要知道 ，就可以知道V中任一向量 在f作用下的象
．(2)
(2)就是线性函数f在基α1，…，αn下的表达式．它表明，f在β上的函数值f(β)是β的坐标x1，…，xn的一次齐次多项式．
V≌V**．(18)
V**叫做V的双重对偶空间．
进而求V到V**的一个同构映射，在V中取一个基α1，…，αn，设它的对偶基是f1，…，fn．任取V中一个向量 ，则由上讨论有V到V*的一个同构映射σ1，它把α映成f．对V*，有V*到V**的一个同构映射σ2，它把f映成α**，其中α**(f)等于f与f在基f1，…，fn下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有 ．因此
1.2对偶空间
设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V)．
以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有
．(19)
这样，我们找到了V到V**的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V中向量α映成V**中元素α**，其中
α**(f)=f(α)， f∈V*．(20)
因此证得
定理10.1.4设V是F上的n维向量空间，V**是V的双重对偶空间，则
V≌V**；
并且V到V**的一个同构映射是σ：α α**，其中α**(f)如(20)所示．
设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，fn∈V*是α1，α2，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，αn下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，fn
下的坐标．设 ，由(4)得
，(6)
即β在基α1，…，αn下的坐标的第i个分量等于fi(β)．因此
．(7)
所以矩阵的迹是Mn(F)上的一个线性函数．
例3在数域F上的一元多项式环F[x]中，未定元x用F中的一个元素t代入，它把每一个多项式f(x)对应F中的元素f(t)．由于未定元x用t代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x用t(t∈F)代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．
例4给定F中的n个元素a1，a2，…，an，( )∈Fn，规定
，(1)
容易验证f保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f是Fn上的一个线性函数．
请注意，在数学分析中，把形如 的n元函数g叫做线性函数．若b≠0，则g不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．
证由已知条件，有
(β1，…，βn)=(α1，…，αn)A(11)
于是 ．(12)
设f1，…，fn到g1，…，gn的过渡矩阵为B=(bij)nn，则
(g1，…，gn)=(f1，…，fn)B(13)
于是 ．将此式的两边作用于βi，并注意到 ，则得
．(14)
因此，AB=In．故B=(A)－1=(A－1)．
必须指出，V到V**的上述同构映射不依赖于V中基的选择．因为上面在V中取定一个基α1，…，αn，我们找到了V至V**的一个同构映射σ：α α**，其中α**(f)=f(α)，f∈V*，即σ(α)f
=f(α)，f∈V*．
又在V中另取一个基β1,…,βn，设它的对偶基是g1,…,gn．则类似地有V到V*的一个同构映射τ1,它把V中向量 映成g；且有V*到V**的同构映射τ2，它把g映成τ2(g)，其中τ2(g)f等于g与f在基g1，…，gn下的坐标的对应分量乘积之和．因为 ，并且f= ，所以
综上所述，f1，f2，…，fn是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到
定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．
若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，…，fn是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．
dimHom(V，F)=dimFn1=n．
这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．
在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．
由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)=…=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α2)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存在V上唯一的线性函数fn，使得fn(αn)=1，fn(αj)=0，j≠n．
1.3 双重对偶空间
考察V到V*的一个同构映射．因为V和V*都是n维的，所以它们都与Fn同构．我们知道，在数域F上一个n维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n维向量空间到Fn的一个同构映射．于是，在V中取一个基α1，α2，…，αn，而f1，f2，…，fn∈V*是α1，α2，…，αn的对偶基，则有V到Fn的一个同构映射σ1：
由于V到V**存在自然同构，因此我们可以把V**与V等同，从而可以把V看成V*的对偶空间，这样V与V*就互为对偶空间．这就是为什么把V*称为V的对偶空间的原因．
由于V可以看成是V*的对偶空间V**，而V**是V*上所有线性函数组成的空间，因此任一n维向量空间可以看成是某个n维向量空间上所有线性函数组成的空间．
第十章双线性函数与正交空间、辛空间
引言
本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．
§1 对偶空间
教学目的通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．
f11(E11)=1，f11(E12)=f11(E21)=f11(E22)=0，
f12(E12)=1，f12(E11)=f12(E21)=f12(E22)=0，
f21(E21)=1，f21(E11)=f21(E12)=f21(E22)=0，
f22(E22)=1，f22(E11)=f22(E12)=f22(E21)=0．
．
又有Fn到V*的一个同构映射σ2：
．
从而有V到V*的一个同构映射σ=σ2σ1：
．(15)
设 ，记σ(α)= ，则由(15)得
．(16)
对于V中任一向量 ，由(16)、(15)得
．(17)
因此，α在上述同构映射下的象 在β上的函数值 (β)等于α与β的坐标的对应分量乘积之和．
以上的讨论是在F上任一n维向量空间进行的．因此对于F上n维向量空间V，我们也可以考虑V*上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V*，F)(也记成T1(V*))，它是V*的对偶空间，简记成V**．据定理10.1.2得，dimV**=dimV*=dimV．因此
教学内容
本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．
1.1 线性函数
设V是数域F上的一个向量空间．
定义1设f∈Hom(V，F)，即，∈V，k∈F，都有
f(α+β)=f(α)+f(β)，f(kα)=kf(α)，
则称f为V上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．
由于f∈Hom(V，F)，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．
任取A=(aij)22∈M2(F)，由于 ，所以f11(A)=a11，f12(A)=a12，
f21(A)=a21，f22(A)=a22．于是，对于V上的任意一个线性函数f,设f(Eij)=cij，i，j=1，2，则由(9)得
．(10)
例6考察实数域R上的n维向量空间V=R[x]n．对任意取定的n个不同实数a1，a2，…，an，根据Lagrange插值公式，得到n个多项式
(21)
于是得到V到V**的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V中向量α映成τ(α)，其中
τ(α)f=(τ2τ1(α))f=τ2(g)f=f(α)，f∈V*．
因此σ(α)f=τ(α)f，f∈V*．由此得出
σ(α)=τ(α)，α∈V．
故σ=τ．wenku.baidu.com就证明了
V到V**的同构映射：α α**，其中α**(f)=f(α)不依赖于V中基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．
线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．
例1定积分使每一个连续函数f(x)对应一个实数 ,并
且满足
．
所以定积分是C[a，b]上的一个线性函数．
例2矩阵的迹把数域F上每一个n阶矩阵A=(aij)nn对应F中的一个元素 ,并且有
Tr(A+B)=TrA+TrB，Tr(kA)=kTrA．
Li(p(x))=p(ai)p(x)∈V，i=1，2，…，n，
则线性函数Li满足
Li(pj(x))=pj(ai)=δij．
因此，L1，L2，…，Ln是 的对偶基．
V中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是
定理10.1.3设V是数域F上n维向量空间，α1，…，αn与β1，…，βn是V的两个基．设它们的对偶基分别是f1，…，fn与g1，…，gn．若V中基α1，…，αn到基β1，…，βn的过渡矩阵是A=(aij)nn，则V*中基f1，…，fn到基g1，…，gn的过渡矩阵为 ．