111平面上点的坐标
晶体学基础
图 六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
4.晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴 设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数 （hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属 于以[uvw]为晶带轴的晶带。→晶带定律 （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]：
简单晶胞计算公式
正交晶系
dhkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
的一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不
同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
eg： 立方晶系中
[111 ], [1 11], [1 1 1], [11 1][11 1], [1 11][1 1 1], [111 ] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
六方晶系的晶向指数和晶面指
数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而 a1轴与a2轴的夹角为120度，c 轴与a1，a2轴相垂直。但这种 方法标定的晶面指数和晶向指 数，不能显示六方晶系的对称 性，同类型 晶面和晶向，其指 数却不相雷同，往往看不出他 们的等同关系。
根据六方晶系的对称特点，对六 方晶系采用a1，a2，a3及c四个
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.七个晶系
2. 十四种布拉菲点阵 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通 常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。
道路缓和曲线任意点坐标及方位角的计算方法
求点与 ZH 点的距离, ΑZH - P 表示直线 ZH - P 的坐
标方位角 1
要求得 P 点的坐标, 关键是要正确求得 D ZH - P 和 ΑZH - P 1 依据 (7) 可以求得 D ZH - P 1
对于 ΑZH - P 有 ΑZH - P = ΑZH - r + 360°成立, 其中 ΑZH 为路线走向方向或 ZH 点切线方向的坐标方位
参考文献:
[ 1 ] 何景华 1 公路勘测[M ]1 北京: 人民交通出版社, 19981 [ 2 ] 刘延伯 1 工程测量[M ]1 北京: 冶金工业出版社, 19841
T 2= 20. 13 m
466 824. 034 Η= 11°29′37″
简要计算如下:
中点的里程为 K0+ 313. 755 m , 终点的里程为
K0 + 343. 84 m , 起 点 切 线 的 走 向 方 位 角 ΑZH =
54°14′51″, 对于点 K0+ 313. 755 处, l= 30. 085 m
点 号 起点 (直缓点) 切交点 (JD )
表 1 部分设计数据
Ta b le 1 P a rt de s ign da te
里程桩号 K0+ 283. 67 K0+ 323. 87
xm 3 081 965. 940 3 081 989. 428
ym
切线长和夹角
T 1= 40. 20 m 466 791. 410
A bs tra c t: O n the d ifficu lties in com pu tation and setting of coo rd ination in dem u lcen t cu rre, a new com putation m ethod of the coo rdination of any po in t in dem ulcen t curve of viatical figuration is p ropo sed. B ased on the theo ry of coo rdination com putation, the calculating fo rm ulas is derived. It is useful in the setting of dem ulcen t curve in h igh class h ighw ay’ s adert.
土木工程测量6_计算题库及参考答案
计算题库及参考答案1、设A 点高程为15.023m ，欲测设设计高程为16.000m 的B 点，水准仪安置在A 、B 两点之间，读得A 尺读数a=2.340m ，B 尺读数b 为多少时，才能使尺底高程为B 点高程。
【解】水准仪的仪器高为=i H 15.023+2.23=17.363m ，则B 尺的后视读数应为b=17.363-16=1.363m ，此时，B 尺零点的高程为16m 。
2、在1∶2000地形图上，量得一段距离d =23.2cm ，其测量中误差=d m ±0.1cm ，求该段距离的实地长度D 及中误差D m 。
【解】==dM D 23.2×2000=464m ，==d D Mm m 2000×0.1=200cm=2m 。
3、已知图中AB 的坐标方位角，观测了图中四个水平角，试计算边长B →1，1→2，2→3，3→4的坐标方位角。
【解】=1B α197°15′27″+90°29′25″-180°=107°44′52″=12α107°44′52″+106°16′32″-180°=34°01′24″=23α34°01′24″+270°52′48″-180°=124°54′12″=34α124°54′12″+299°35′46″-180°=244°29′58″4、在同一观测条件下，对某水平角观测了五测回，观测值分别为：39°40′30″，39°40′48″，39°40′54″，39°40′42″，39°40′36″，试计算：① 该角的算术平均值——39°40′42″； ② 一测回水平角观测中误差——±9.487″； ③ 五测回算术平均值的中误差——±4.243″。
2020年春数学中考一轮复习11.重庆数学 第11讲函数基础与平面直角坐标系
03 考场 ·笑傲全国题
一、选择题
1.(2019·眉山)函数y= xx−+12中自变量x的取值范围是( A)
A.x≥-2且x≠1 B.x≥-2 C.x≠1 D.-2≤x＜1
2.(2019·海南)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，-1)，
平移线段AB，使点A落在点A1(-2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为( C )
乙车到B地时，甲车距B地的距离为120-100＝20(千米)，
乙车返回与甲相遇时间为20÷(120+100)=111 (时)， 因此甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是3+111=3141. 故选A.
变式训练
5.(2018·重庆模拟)今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过 程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用的时间为t(分钟)，所走
变式训练
3.(2018·重庆模拟)函数y=
x 中x的取值范.x≥-2且x≠0
B.x＞-2且x≠0
C.x＞-2
D.x≠0
4.(2018·重庆模拟)下列各曲线中表示y是x的函数的是( D )
焦点3 实际问题与函数图象的关系
样题3 甲、乙两车分别从A地、C地同时向B地匀速行驶(C在A、B两地之
A.(-1，-1) B.(1，0) C.(-1，0) D.(3，0)
3.(2019·随州)第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很 不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌 龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列
函数图象可以体现这次比赛过程的是( B )
5.(2019·日 照 ) 如 图 ， 在 单 位 为 1 的 方 格 纸 上 ， △ A1A2A3 ， △ A3A4A5 ， △A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角 三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，1)，A3(0，0)，则
平面直角坐标系与点的坐标
平面直角坐标系与点的坐标平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上的点的位置。
它由两个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一、直角坐标系的定义与特点直角坐标系是由两条相互垂直的直线构成，它们通常被称为x轴和y轴。
这两个轴分别代表了水平方向和垂直方向。
在这个坐标系中，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的一个点P，其中x表示点P在x 轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
直角坐标系的特点有以下几点：1. 坐标原点：直角坐标系中的原点O位于x轴和y轴的交点处，它的坐标为(0, 0)。
2. 坐标轴：x轴和y轴相互垂直，并且共同构成了整个平面。
3. 坐标值：每个点P在直角坐标系中都有唯一的坐标表示。
x轴的坐标值是实数集上的所有数，y轴的坐标值也是实数集上的所有数。
二、点的坐标表示方法在直角坐标系中，点P的坐标可通过以下方法求得：1. 水平和垂直距离：假设点P的水平距离为x，垂直距离为y，则点P的坐标为(x, y)。
2. 垂直和水平投影：假设点P的垂直投影在x轴上的坐标为x，水平投影在y轴上的坐标为y，则点P的坐标为(x, y)。
例如，点A位于x轴上，其坐标为(3, 0)；点B位于y轴上，其坐标为(0, 5)；点C位于第一象限，其坐标为(2, 4)；点D位于第四象限，其坐标为(-1, -2)。
三、坐标系的应用举例直角坐标系在数学和科学领域中有广泛的应用。
以下是一些具体的应用举例：1. 几何图形：通过直角坐标系，我们可以方便地描述几何图形的位置、形状和大小，如直线、抛物线、圆等。
2. 数据分析：直角坐标系可以用于绘制数据图表，帮助我们分析和比较数据，如折线图、柱状图、散点图等。
3. 物理学：在物理学中，直角坐标系可以用于描述力、速度、加速度等物理量的方向和大小。
4. 工程应用：直角坐标系可以应用于工程领域，如建筑设计、城市规划等，帮助确定位置、测量距离等。
总结：平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的数学工具，由x轴和y轴组成。
沪科版数学八年级上册111 平面直角坐标系 课件共26张
如图点P可以这样来表示；由点 P向x轴作垂线，垂足 M在x
轴上的坐标是 -2 ，由点P向y轴作垂线，垂足为 N在y轴上
的坐标为3.则点P的横坐标是－ 2，纵坐标是 3。记作
（－2 ，3）叫做点P在平面直角坐标系中的坐标 ，简称点
P的坐标，表示为 P（－2，3）
【发现规律】
根据点所在的位置，用“＋”“－”或“0” 填表．
+
+
-
+
-
-
+
-
+
0
-
0
0
+
0
-
0
0
6：知识应用
例1．已知点A（2a+6,a-3）在第四象限，求a 的取值范围。
6：知识应用
例2．如图，正方形 ABCD的边长为6，如果以点 A为
原点，AB所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系，那 么y轴是哪条线？写出正方形的顶点 A，B，C，D的坐 标．
的点不属于任何象
限．
Ⅲ 第三象限
第一象限
Ⅰ
第四象限 Ⅳ
（2）从上面的操作可以发现直 角坐标系上每一个点的位置都能用 一对有序实数表示，反之，任何一 对有序实数在直角坐标系上都有唯 一的一个点和它对应．也就是说 直 角坐标系上的点和有序实数对是一
一对应的．
你能说出这句话的 含义吗 ?
5：发现规律
（1）四个象限内点的坐标的符号有什么规律？
问你题的座2 位在吗第第教？第853室列列列里第第第，二六四行你行行能找到
六
行五
四
三 二
一 12
34
56
列
新北师大版八年级数学上册第三章位置与坐标知识点总结和典型例题分析
新北师大版八年级数学上册第四章位置与坐标一、生活中确定位置的方法（重难点）1、行列定位法把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。
2、方位角加距离定位法此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。
在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。
特别需要注意的是中心位置的确定。
3、方格定位法在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。
需要两个数据确定物体位置。
4、区域定位法是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。
此方法简单明了，但不够准确。
A1区，D3区等。
5、经纬度定位法利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。
二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念（重点）在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。
水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。
两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。
2、点的坐标表示（重点）在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。
过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。
3、特殊位置上点的坐标特点（难点）（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。
（2）余坐标轴平行直线上点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。
111平面内点的坐标讲解
学习目标：1、 通过生活中的实例，认识到可以用有序数对表示点的位置。
2、 会用有序数对确定平面内的点。
注意强调数对的 有序”。
3、 让学生感受到可以用数量表示图形位置，形成形数结合的意识。
重点：理解有序数对的概念，用有序数来表示位置。
难点：理解有序数对是“有序的”，并用它解决实际问题。
预习案一、情境1:在一条笔直的街道边，竖着一排等距离的路灯，小华、小红、小明的位置 如图1所示，你能根据图示确切地描述他们三个人的位置关系吗？j j \\ I I _ I. I >1不知小阴通1情境2:我们到电影院看电影时，每个人都需要一张电影票，你是怎么根据电影票上的 数子找到位置的？1. 有 的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作2. (a,b)与(b.a)的顺序不同，含义就不同，如(3,4)表示的座位是 (4,3)表示的座次是 。
二、填空1、 有序数对a,b 正确的表示方法是 。
2、 用1, 2, 3可以组成有序数对有 对。
3、 课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说： “如果我的位置用(0, 0)表示，小军的位置用(2, 1)表示， 那么你的位置可以表示成()”A 、 (5, 4)B 、 (4, 5)C 、 (3, 4)D 、 (4, 3)4、在电影票上，将“7排6号”简记为(7, 6),则6排7号可表示为 (8, 6)表示的意义是。
5、 如图的棋盘中，若“帅”位于点(1, 一2)上， “相”位于点(3, 一 1)上，则“炮”位于点 .6、 某阶梯教室共有12排座位，第一排有16个座位，后面每 排都比前一排多1个座位，若每排座位数为 m 排数为n.(3)用含有 n 的代数式表示 mi ： .7、某人在车间里工作的时间 t 与工作总量y 组成有序数对(t, y),若他的工作效率是 不变的，其中两组数对分别为(4, 80), (7, y)，则y =.8 、 如图所示，A 的位置为(2,6), 小明从 A 出发，经 (2.5) 7(3,5) 7(4,5) 7(4,4) ^(5,4) ^(6,4),小刚也从 A 出发，经(3.6) 7(4,6) 7(4,7) 7(5,7) ^(6,7),则此时两人相距几个格？探究案1、如图所示，从2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法？2、 阅读教材第47页的“用经纬度表示地理位置” 一文.3、 你有没有见过用其他的方式来表示位置的？1)如有的电影院分楼上楼下两层，这时就要在电影票上写明是楼上几排几号了；又如 在一些大型会场，往往把场地分为 A 、B C 等区，这时就要在座位票上写明是哪个区、几排 几号了2)、我们规定：沿正北方向顺时针旋转 9角并前进a 个单位，记作(9 , a),那么你能说明下列有序数对所表示的图形的含义吗？ (1) (45度，6)(2) (120度，8)(一)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。
2019新人教A版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结(复习必背)
2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结（复习必背）第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++（3）数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=（其中x +y =1）（4）与a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ，y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
人教A版高中数学高三一轮第十一章选修内容111坐标系【素材】
坐标系与曲线的极坐标方程1．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离．解 ∵直线l 的极坐标方程可化为y ＝3，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为2. 2．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解化为平面直角坐标系：圆：x 2－2x ＋y 2＝0，即：(x －1)2＋y 2＝1. 直线：3x ＋4y ＋a ＝0. ∵直线和圆相切，∴|3＋a |32＋42＝1， ∴a ＝2或a ＝－8.3．在极坐标系中，已知点O (0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．解 设点Q (ρ，θ)为以OP 为直径的圆上任意一点(不包括端点)，在Rt △OQP 中，ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，故所求圆的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.4．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程． 解 设动点P 的坐标为(ρ，θ)，则M (ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝12ρ. 又M 在直线ρcos θ＝4上，∴12ρcos θ＝4， ∴ρ＝3cos θ.这就是点P 的轨迹方程．5．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos (θ－π6)上的动点，试求PQ 的最大值． 解∵ρ＝12sin θ.∴ρ2＝12ρsin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos (θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴有x 2＋y 2－63x －6y ＝0， 即(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋（33）2＋（－3）2＝18.6．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为 ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．7．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解 (1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 得⊙O 1，⊙O 2的直角坐标方程分别为 x 2＋y 2－4x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0.(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，①②①－②得－4x －4y ＝0，即x ＋y ＝0为所求直线方程． 8．求圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．解 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)， 则OP ＝ρ，∠POA ＝θ－π6， OA ＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，OP ＝OA ×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 9．已知A 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，B 是曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，试求线段AB 长的最大值．解 曲线ρ＝12sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36， 其圆心为(0,6)，半径为6；曲线ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36，其圆心为(33，3)，半径为6. 所以AB 长的最大值＝(33－0)2＋(3－6)2＋6＋6＝18.10．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解 (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 11．已知圆锥曲线C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程，并求焦点到准线的距离． 解 由ρ＝8sin θ1＋cos 2θ，得ρcos 2θ＝4sin θ，ρ2cos 2θ＝4ρsin θ.又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，故所求曲线的直角坐标方程是x 2＝4y ，故焦点到准线的距离为2. 12．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解 (1)消去参数，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1. ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)．得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(x －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2， 所以直线l 和⊙C 相交．13．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.14．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝3 2.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，求P 到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(2)P 为椭圆C ：x 216＋y 29＝1上一点，设P (4cos α，3sin α)，其中α∈[0,2π)，则P 到直线l 的距离 d ＝|4cos α－3sin α＋6|2＝|5cos (α＋φ)＋6|2，其中cos φ＝45，所以当cos(α＋φ)＝1时，d 的最大值为112 2.。
北师大版八年级数学上册3.2平面直角坐标系_教案
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平面直角坐标系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要确定位置的情况？”（例如，在地图上找到学校的位置）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索坐标系在定位中的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调第一象限和第四象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的特殊情况。对于难点部分，我会通过图示和实际例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与坐标系相关的问题，如如何在坐标系中表示一些日常生活中的位置信息。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平面直角坐标系的基本概念。平面直角坐标系是由横轴和纵轴组成的，它能够帮助我们精确地确定平面内的点的位置。这是解决几何问题的重要工具，广泛应用于科学、工程和日常生活中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用坐标系来确定平面内的点的位置，以及如何通过坐标解决几何问题。
5.引导学生自主探究、发现规律，培养他们的数学抽象和数学建模的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解平面直角坐标系的概念，明确坐标轴、坐标点等基本元素；
-掌握坐标平面内各个象限的点的坐标特征，横坐标与纵坐标的正负关系；
-学会使用坐标描述点的位置，理解点、线、图形在坐标平面上的表示方法；
-能够应用平面直角坐标系解决简单的实际问题。
5.应用平面直角坐标系解决简单的实际问题。
二、核心素养目标
1.让学生通过探究平面直角坐标系的概念和性质，培养直观想象和逻辑推理的核心素养；
初中数学八年级第12章平面直角坐标系
第12章平面直角坐标系12.1平面上点的坐标第一课时平面上点的坐标（—）教学内容本节主要学习平面上的点的坐标，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限等，能从坐标中写出点的坐标。
反之，能根据坐标标出坐标系中的点。
教学目标1.知识与技能理解和掌握平面直角坐标系的有关知识，领会其特征。
2.过程与方法经历现实生活中有关有序实数对的例子，让学生充分体会平面直角坐标系是构建有序实数对的平台。
3.情感、态度与价值观认识直角坐标系的作用，体现现实生活中的坐标的应用价值，激发学习的兴趣。
重、难点与关键1.重点：认识直角坐标系，感受有序实数对的应用。
2.难点：对有序实数对的理解。
3.关键：通过实例例子，认识有序实数对的特征，充分体回有序实数对在实际中的应用。
教学准备1.教师准备：投影仪，投影片，补充引入资料。
2.学生准备：收集一些现实中有关有序实数对的图片。
教学过程—、创设情境，导入新知1.回顾交流。
教师提问：什么叫做数轴？实数与数轴建立了怎样的关系？学生思考后回答：（1）规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
（2）数轴上的点同实数建立了——对应的关系。
教师引伸：实际上这个实数可以称为这个点在数轴上的坐标。
（一维坐标）2．问题提出。
提问：请同学们观看屏幕投影片，你发现了什么？投影显示有关有序实数对的情境（1）情境1.我们都去电影院看电影的经历。
大家知道，影剧院对观众的所有座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在剧院中的位置，这样观众就能根据入场券上的“排数”和“号数”准确地“对号入座”。
学生活动：通过观察，发现了电影院中的“几排几号”是有序实数对。
（2）情境2.请以下座位的同学今天放学后参加英语口语测试：（1，4），（2，3），（5，4），（2，2），（5，7）。
教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：确定一个位置需要两个数据，体会约定的重要性。
二、建立表象，数形结合我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，这样就组成平面直角坐标系。
地理坐标知识
地理坐标知识ArcGIS中坐标系统⼩议要明确两个概念：Geographic coordinate system和projected coordinate system的区别。
1、⾸先理解Geographic coordinate system，Geographic coordinate system 直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。
很明显，Geographic coordinate system是球⾯坐标系统。
我们要将地球上的数字化信息存放到球⾯坐标系统上，如何进⾏操作呢？地球是⼀个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的⽅法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的⼀个椭球体。
这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。
具有长半轴，短半轴，偏⼼率。
以下⼏⾏便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。
Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.300000000000010000然⽽有了这个椭球体以后还不够，还需要⼀个⼤地基准⾯将这个椭球定位。
在坐标系统描述中，可以看到有这么⼀⾏：Datum: D_Beijing_1954表⽰，⼤地基准⾯是D_Beijing_1954。
有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使⽤。
完整参数：Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000)Datum: D_Beijing_1954Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.3000000000000100002、接下来便是Projection coordinate system（投影坐标系统），⾸先看看投影坐标系统中的⼀些参数。
坐标经纬度的基本运算（2个坐标经纬度的距离、中心点坐标经纬度范围内的坐标计算）
坐标经纬度的基本运算（2个坐标经纬度的距离、中⼼点坐标经纬度范围内的坐标计算）现在的应⽤⼤都居于LBS服务，⽤户地理位置的获取（经纬度坐标、所属⾏政区域），提供服务场所的地理位置也有⾏政区域信息和坐标信息。
⽤户与服务场所的联系，就近服务原则的设计，服务场所相对于⽤户的排序。
⼀个简单的案例的设计：根据⽤户定位获取服务场所，按距离排序。
⽤户端提供信息：居于经纬度的坐标信息（例如：纬度23.03057,经度113.75213），区域信息（省市区）服务场所信息：经纬度，区域信息相关概念：⽬前国内主要有以下三种坐标系：WGS84：为⼀种⼤地坐标系，也是⽬前⼴泛使⽤的GPS全球卫星定位系统使⽤的坐标系。
GCJ02：⼜称⽕星坐标系，是由中国国家测绘局制订的地理信息系统的坐标系统。
由WGS84坐标系经加密后的坐标系。
BD09：为百度坐标系，在GCJ02坐标系基础上再次加密。
其中bd09ll表⽰百度经纬度坐标，bd09mc表⽰百度墨卡托⽶制坐标。
⾮中国地区地图，服务坐标统⼀使⽤WGS84坐标。
*这⾥我们先不考虑个坐标系的差异，按统⼀的公式计算。
地理知识和相关三⾓函数计算：地球是⼀个近似于圆形的球体，半径6378137⽶。
在地球经线上，1纬度为111km左右，在地球纬线上，1经度为111cosα（α表⽰该纬线的纬度.在不同纬线上,经度每差1度的实际距离是不相等的））。
计算2个经纬度的距离：坐标点：A点：23.03057,113.75213 B点：23.03102,113.75212计算2点的距离（⽶）1、sqlSELECT CAST(6378137.0*ACOS(SIN(23.03057/180*PI())*SIN(CAST(23.03102000AS DECIMAL(18, 8)) /180*PI()) +COS(23.03057/180*PI())*COS(CAST(23.03102000AS DECIMAL(18, 8)) /180*PI()) *COS(( 113.75213-CAST(113.75212000AS DECIMAL(18,8)) ) /180*PI())) AS INT) AS Distance2、C#public static double EARTH_RADIUS = 6378137d;///<summary>///计算两点位置的距离，返回两点的距离，单位：公⾥或千⽶///该公式为GOOGLE提供，误差⼩于0.2⽶/// var dis = Utils.PointUtil.GetDistance(23.03057, 113.75213, 23.03102000, 113.75212000);///</summary>///<param name="lat1">第⼀点纬度</param>///<param name="lng1">第⼀点经度</param>///<param name="lat2">第⼆点纬度</param>///<param name="lng2">第⼆点经度</param>///<returns>返回两点的距离，单位：公⾥或千⽶</returns>public static double GetDistance(double lat1, double lng1, double lat2, double lng2){//地球半径，单位⽶double radLat1 = Rad(lat1);double radLng1 = Rad(lng1);double radLat2 = Rad(lat2);double radLng2 = Rad(lng2);double a = radLat1 - radLat2;double b = radLng1 - radLng2;double result = 2 * Math.Asin(Math.Sqrt(Math.Pow(Math.Sin(a / 2), 2) + Math.Cos(radLat1) * Math.Cos(radLat2) * Math.Pow(Math.Sin(b / 2), 2))) * EARTH_RADIUS;return result / 1000;}///<summary>///经纬度转化成弧度///</summary>///<param name="d"></param>///<returns></returns>private static double Rad(double d){return (double)d * Math.PI / 180d;}View Code3、JavaScript//计算2个坐标点的距离，返回千⽶function GetDistance(lat1, lng1, lat2, lng2){var radLat1 = lat1 * Math.PI / 180.0;var radLat2 = lat2 * Math.PI / 180.0;var a = radLat1 - radLat2;var b = lng1 * Math.PI / 180.0 - lng2 * Math.PI / 180.0;var s = 2 * Math.asin(Math.sqrt(Math.pow(Math.sin(a / 2), 2) +Math.cos(radLat1) * Math.cos(radLat2) * Math.pow(Math.sin(b / 2), 2)));s = s * 6378.137;// EARTH_RADIUS;s = Math.round(s * 10000) / 10000;return s;}// 调⽤ return的距离单位为km//GetDistance(23.03057,113.75213,23.03102000,113.75212000)View Code扩展⼤量频繁的计算消耗过多的服务器资源。
RTK使用中参数的使用
RTK使用中参数的应用随着RTK的广泛应用，在RTK使用过程中的问题众多，但最多的问题还是参数搞错时岀的，这里就参数问题做简单说明。
—、椭球的影响我们经常碰到的工地坐标椭球无非54和80,即使一些独立坐标大多也是在54和80的椭球基础上做的改变。
但54和80的椭球都是参心系坐标，属二维坐标，即平面和髙程是分开测量得到的，这样的测量大多没有考虑椭球的变形，平面坐标在地球表面都是直线，通过角度和长度应用导线闭合的方法计算出来的，这样的坐标累积误差也大，准确程度也大受影响。
因此，国家需建立一套高精度、三维、动态的坐标系统，也就是2008年7月1日启用的地心坐标系统，由于RTK直接测量可获取到实时三维坐标，属地心系，因此在整体方面而言，RTK精度还是较高的。
椭球的基本参数为长半轴。
、短半轴b,扁率e, 54椭球由俄罗斯人克拉索夫斯基建立起的数学模型，建立较早，与后来建立的80 和2000坐标系偏差较大，因此，54的坐标求完参数以后，最容易岀现较大的残差的，如果在山区高程异常也比较明显，因为54的长半轴。
与2000差108米，短半轴b与2000差111米，经度方向间距1度扩大1.88米，纬度方向1度缩小1.94米，高程问题下面再来展开说明，因此，在求参数时，54和80的椭球选择上是很重要的。
在短距离可能显示不岀来，但是超过10km后，差距还是较为明显的。
下面用数据来说明：下图是在中央子午线为111度，84经纬度和Q2个点在54和80椭球的坐标表现和相对位置关系LXV8翩 X Val 3133333333 111. 33333333 J158I97.228 549414.687 4158加 549413册 a2 I3M3333333 111. 39333333415885側 558250.5194158册558249,552Ax二AyAx-57.276 -8835.832-5U76 -8835,685从图上可以看出，在纬度不变时，54和80椭球相对位置关系在大概9公里时，Y 方向就有15cm 左右的差距。
晶体学基础与晶体结构习题与答案
晶体学基础与晶体结构习题与答案1. 由标准的(001)极射赤面投影图指出在立方晶体中属于[110]晶带轴的晶带，除了已在图2-1中标出晶面外，在下列晶面中哪些属于[110]晶带？(1-12)，(0-12)，(-113)，(1-32)，(-221)。
图2-12. 试证明四方晶系中只有简单立方和体心立方两种点阵类型。
3. 为什么密排六方结构不能称作为一种空间点阵？4. 标出面心立方晶胞中（111）面上各点的坐标。
5. 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a)立方晶系(421)，(-123)，(130)，[2-1-1]，[311]；b)六方晶系(2-1-11)，(1-101)，(3-2-12)，[2-1-11]，[1-213]。
6. 在体心立方晶系中画出{111}晶面族的所有晶面。
7. 在立方晶系中画出以[001]为晶带轴的所有晶面。
8. 已知纯钛有两种同素异构体，密排六方结构的低温稳定的α-Ti和体心立方结构的高温稳定的β-Ti，其同素异构转变温度为882.5℃，使计算纯钛在室温(20℃)和900℃时晶体中(112)和(001)的晶面间距(已知aα20℃=0.29506nm，cα20℃=0.46788nm，aα900℃=0.33065nm)。
9. 试计算面心立方晶体的(100)，(110)，(111)，等晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。
10.平面A在极射赤平面投影图中为通过NS及核电0°N，20°E的大圆，平面B的极点在30°N，50°W处，a)求极射投影图上两极点A、B间的夹角；b)求出A绕B顺时针转过40°的位置。
11. a)说明在fcc的(001)标准极射赤面投影图的外圆上，赤道线上和0°经线上的极点的指数各有何特点，b)在上述极图上标出(-110)，(011)，(112)极点。
12. 图2-2为α-Fe的x射线衍射谱，所用x光波长λ=0.1542nm，试计算每个峰线所对应晶面间距，并确定其晶格常数。
平面直角坐标系平面上点的坐标表示
平面直角坐标系平面上点的坐标表示平面直角坐标系是二维几何中的一个基本概念，它由两条相互垂直的轴组成，通常分别称为 x 轴和 y 轴。
在这个坐标系中，每个点都可以用一组数字（坐标）来表示。
本文将介绍平面直角坐标系中点的坐标表示方法。
一、点的坐标表示方法在平面直角坐标系中，每个点都有一个对应的坐标表示。
这个表示方法使用一对有序实数来描述一个点的位置，第一个数是横坐标（x 值），表示点到 y 轴的垂直距离；第二个数是纵坐标（y 值），表示点到 x 轴的垂直距离。
二、坐标系的构建为了方便表示点的位置，我们可以在纸上绘制一个平面直角坐标系。
通常，我们将x 轴绘制在纸的水平方向，将y 轴绘制在纸的垂直方向，并使它们相互垂直。
坐标系的原点通常位于纸的左下角。
三、点的坐标表示举例假设我们需要表示平面直角坐标系上的一个点 P，我们可用一对实数 (x, y) 来表示它的坐标。
下面是几个常见的示例：1. 坐标为 (0, 0) 的点是坐标系的原点，即 x 轴和 y 轴的交点。
2. 坐标为 (3, 4) 的点 P1 的横坐标为 3，纵坐标为 4。
它可以通过从原点沿 x 轴的正方向走 3 个单位，再沿 y 轴的正方向走 4 个单位得到。
3. 坐标为 (-2, -5) 的点 P2 的横坐标为 -2，纵坐标为 -5。
它可以通过从原点沿 x 轴的负方向走 2 个单位，再沿 y 轴的负方向走 5 个单位得到。
四、坐标轴的划分和刻度为了更好地表示点的位置，我们通常在坐标轴上标出一些刻度，以便更准确地确定点的坐标。
划分和刻度的密度可以根据需要进行调整。
在横坐标轴上，我们可以标出从 0 开始的正整数刻度（如 1、2、3…），以及从 0 开始的负整数刻度（如 -1、-2、-3…）。
在纵坐标轴上，同样可以标出从0 开始的正整数刻度和负整数刻度。
五、轴的正向和负向在平面直角坐标系中，轴的正向表现为从原点向右延伸（x 轴）或向上延伸（y 轴），而轴的负向则相反。
中央子午线111 六度带 的坐标系
中央子午线111 六度带的坐标系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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八 上
点
坐标
八 年 级 数 学
如图，两条坐标轴将平面分成的4个区域 称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、 y 三、四象限。
4 3 第二象限 2 1
第一象限
注意：
八 上
坐标轴上 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x -1 的点不属于任 -2 何象限． 第三象限 -3 第四象限
-4
八 年 级 数 学
1
-4 -3 -2 -1 O O -1 1
B(3,4) A(4,3)
2 3
4 x
八 上
-2 -3 -4 注意:平面内点的坐标是一对有序实数 !
八 年 级 数 学
巩固练习 1.分别写出图中点Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标
y
A
4
2
Ａ(4，5) Ｂ(－5，－3)
-5
1 -1 O -1
-2
1
5
x
八 上
Ｃ(3，－4)
B
-4
C
八 年 级 数 学
巩固练习： 2.在直角坐标系中描出下列各点的位置： A(2，4)，B(－2.5，3)， C(－３，－2) D(1.5，－3.5)
y 4
A
B
3 2 1
八 上
-4 -3 -2 -1 O -1
1
2
3
4 x
C
-2 -3
D
八 年 级 数 学
小结与反思
这节课你学到了什么？
1.生活 数学 坐标轴 原点 坐标
八 年 级 数 学
八 上
平面上点的坐标
八 年 级 数 学
-4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4
我们曾经利用数轴上的实数来表示 直线上点． 思考： 类似地，能否找到一种方法来表 示平面内点的位置呢？
八 上
如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应 的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个 点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4， 点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个 点的位置就确定了． C E D B O . . . A . .
八 上
例1 在直角坐标 系中，指出下列各 B 4 y 点的位置 3 A(4,1) B(－1,4) 2 C(－4,－2) D(3, －2) 1 E E(0,1) F(－4,0) F -4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 C -3
A
2 3 4
x
D 请说明例1中的点A、B、C、D分 -4 别在第几象限？点E、F呢？
4 y 3
b1
2
P(a，b)
1 2 3 a4 x
-4 -3 -2 -1 O O -1
八 上
-2
过x轴上表示实数a 的点画 -3 x 轴的垂线，过 y 轴上表示实数b 的点画y轴的垂线，这两条 -4 垂线的交点，即为点P。
八 年 级 数 学
一般地，如果Q是直角坐标பைடு நூலகம்中一点，你 能找到与之对应的一对有序实数（m，n）吗？ y 4 你是怎样找的？
y
八 上
第一象限 点Ａ、Ｅ、Ｃ、 第二象限 Ｆ分别在第一、二、 （－，＋） （＋，＋） 1 三、四象限；点Ｂ、 1 Ｄ分别在y 轴和x 轴 第三象限 -1-1 o 第四象限 x 上． （－，－） （＋，－）
八 年 级 数 学
练一练： 2.判断： 4 y (4，3)和(3，4)表示同 3 一点吗？（ 否 ） 2
八 年 级 数 学
y 不同象限内点 第二象限 第一象限 的坐标有何特点呢？ （－，＋） （＋，＋） 1 坐标轴上的点呢？
-1 o 1 第三象限 -1 第四象限
x
（－，－） （＋，－）
八 上
x 轴上点的纵坐标都为0； y 轴上点的横坐标都为0； 坐标原点为O（0，0）．
八 年 级 数 学
练一练： 1.想一想，下列各点分别在坐标平面的 大致什么位置？ A（ 3， 2 ）； B（ 0，－2 ）； C（－3，－2）； D（－3， 0 ）； E（－1.5，3.5）；F（ 2，－3 ）
3 1
1 2 3 4 x
2
m
Q
-4 -3 -2 -1 O O -1
-2 -3 -4
n
(m，n)
八 上
想一想: 改变点Q的位置，有序实数对（m，n） 中的实数m、n的值会发生变化吗？ 过点Q分别画x 轴和y 轴的垂线，垂足对应的 实数就分别是m、n .
八 年 级 数 学
通过上面的讨论，你有什么发现？ 在直角坐标系内，点与有序实数对 具有怎样的关系？ 在直角坐标系中，一对有序实数 可以确定一个点的位置；反之，任意 一点都可以用一对有序实数表示. 我们称这样的有序实数对叫做点的 坐标. 下面来认识点的坐标
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
√ ，2.5，3 练习：在上图的数轴上画出坐标分别是-1.5 的点C，D，E。
数轴上的点的位置可以用坐标来确定，那么怎样来 表示平面的点的位置呢？
八 年 级 数 学
八 上
平面上有公共原点且互相垂直的两条数轴 构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系． y 4 如图，水平 3 方向的数轴称为 2 x 轴或横轴，竖 1 直方向的数轴称 为y 轴或纵轴， -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x 它们统称为坐标 -1 轴．公共原点O -2 称为坐标原点．
C
-2
D
八 年 级 数 学
例2 写出图中A、B、C、D、E各点的坐标。 y 4 解：自点Ａ向x 轴引垂线， 得点Ａ的横坐标－４；再 A 3 向y 轴引垂线，得点Ａ纵坐 2 标３，所以点Ａ的坐标为 1 (－４，３) E (4,0) -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1
B (-3,-2) -2 D(0,-2) -3 C (1,-3)
P(a，b)
2 3 a4 x
八 上
Ｃ(3，-2)
八 年 级 数 学
例1 在直角坐标 系中，指出下列各 B 点的位置 A(4,1) B(－1,4) C(－4,－2) D(3, －2) E(0,1) F(－4,0)
4 y 3 2 1 -1
坐标
点 A
E
1 2 3
-4 -3 -2 -1 O F
4
x
八 上
-3 解：分别过x 轴上表示４的点和 y 轴上表示１ -4 的点作x 轴和y 轴的垂线，两条垂线的交点为 点Ａ．
2.平面直角坐标系
八 上
象限
3.点 坐标
八 上
八 年 级 数 学
例如，图中点P的坐标为（a，b），其中 a 称为点P的横坐标，b 称为点P的纵坐标，横
坐标应写在纵坐标的前面． 4 y
3 注意： 2 1.点的坐标 b 通常与表示该点 1 m 的大写字母写在 -4 -3 -2 -1 O O 1 一起，如P (a，b) -1 2.先横后纵； -2 n 逗号隔开；加上 Q(m，n)-3 括号． -4
-3 -4
八 年 级 数 学
平面直角坐标系有什么样的特征呢？
①两条数轴互相垂 直且原点重合； ②通常取向右、向 上为正方向； 一般取相同．
4 y 3 2 1
1 2 3 4 x
-4 -3 -2 -1 O ③两数轴单位长度 -1
八 上
-2 -3 -4
八 年 级 数 学
一般地，有一对有 序实数对(a，b)，在平 面直角坐标系内，你能 否找到它对应的一个点 P的位置？ 说说你是怎样找的?