九年级数学：用频率估计概率
用频率估计概率(含答案)
一、基础知识： 用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某一个常数p 的附近，那么事件A 发生的概率P (A )=p .其中0≤p ≤1条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。
关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。
二、重难点分析本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。
通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。
培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。
典型例题分析例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率=nm 0.9600.9400.9550.9500.9480.956 0.950则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）A ．0.96 B ．0.95 C ．0.94D ．0.90率=频数与总情况数之比．例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大1，求：（1）取出白球的概率是多少？量的实验，得到取出红球的频率是4（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？三、感悟中考1、（2014•河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4（2014•贵阳）“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是个．四、专项训练（一）基础练习1、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是个．姚明在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数10 100 10000投中次数9 89 9012试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是（精确到0.1）【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．3、在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，搞清频率与概率的关系是解题关键．（二）提升练习1、（2014•东海县模拟）一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A．袋子一定有三个白球B．袋子中白球占小球总数的十分之三C．再摸三次球，一定有一次是白球D．再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次【答案】D2、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）500 1000 2000 6500（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．。
人教版数学九年级上册25.3《用频率估计概率(第1课时)》教学设计
3.的意识，提高学生的实践能力。
4.培养学生的团队合作精神，让学生在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，提高人际交往能力。
5.培养学生勇于探索、不断进取的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极向上的态度，增强克服困难的信心。
3.学生在合作交流中，如何有效地倾听、表达、沟通，提高团队合作效率。
教学设想：
1.创设情境，引入新课：通过生活中的实例，如彩票中奖概率、投篮命中率等，引出频率的概念，激发学生的兴趣。
2.自主探究，理解概念：让学生自主进行实验，收集数据，计算频率，进而引导学生发现频率与概率之间的关系。
3.合作交流，解决问题：分组讨论，让学生在小组内分享实验过程和结果，互相借鉴，提高解决问题的能力。
2.解释频率与概率的关系：通过实际例子，如抛硬币实验，引导学生发现频率在大量实验中趋于稳定，且稳定值接近于概率。
3.操作演示：教师进行实验演示，如抛硬币、掷骰子等，让学生观察并记录实验数据，计算频率。
4.方法讲解：教师详细讲解如何利用频率来估计概率，以及在实际操作中需要注意的问题。
（三）学生小组讨论，500字
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，教师引导学生进行以下思考：
1.回顾频率的定义，总结频率与概率之间的关系。
2.梳理用频率估计概率的方法，强调实验数据的重要性。
3.反思本节课的学习过程，分享学习心得和收获。
4.提醒学生课后继续思考频率与概率的关系，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的用频率估计概率的知识，检验学生对课堂内容的掌握情况，特布置以下作业：
3.实践性：作业要注重实践，引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
人教版九年级数学上册25.3用频率估计概率优秀教学案例
1.教师可以布置相关的作业，让学生巩固所学的内容，并提高学生的应用能力。例如，教师可以让学生设计一个实验，用频率来估计某个事件的概率，并将实验结果写成报告。
2.教师可以鼓励学生在课后进行自主学习，进一步深入研究频率与概率的相关知识。例如，教师可以推荐一些相关的数学文章和书籍，让学生进行阅读和思考。
（四）反思与评价
1.教师可以引导学生进行自我反思，让学生思考自己在实验和解决问题中的优点和不足。例如，教师可以提问：“你在实验中发现了什么规律？你在解决问题时遇到了哪些困难？你是如何解决的？”
2.教师可以进行课堂评价，对学生的学习情况进行反馈，鼓励学生的优点，并提出改进的建议。例如，教师可以对学生的实验报告进行评价，对学生的团队合作和问题解决能力进行肯定，并提出进一步改进的建议。
4.培养情感态度与价值观：教师在教学过程中关注学生的情感态度与价值观，引导学生积极参与课堂活动，体验数学学习的乐趣，培养学生的自信心和坚持、勤奋的优良品质。
5.反馈与评价：教师在教学过程中注重学生的反馈与评价，通过课堂评价、自我反思等方式，对学生的学习情况进行及时反馈，鼓励学生的优点，并提出改进的建议，有助于学生的持续发展。
（四）总结归纳
1.教师可以引导学生进行自我反思，让学生思考自己在实验和解决问题中的优点和不足。例如，教师可以提问：“你在实验中发现了什么规律？你在解决问题时遇到了哪些困难？你是如何解决的？”
2.教师可以进行课堂评价，对学生的学习情况进行反馈，鼓励学生的优点，并提出改进的建议。例如，教师可以对学生的实验报告进行评价，对学生的团队合作和问题解决能力进行肯定，并提出进一步改进的建议。
（三）小组合作
1.教师可以将学生分成小组，让学生在小组内进行合作实验，共同探究频率与概率之间的关系。例如，教师可以让学生小组合作设计实验，收集数据，分析频率与概率之间的关系。
九年级数学上册(人教版)25.3用频率估计概率说课稿
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.作业批改：观察学生的作业完成情况，了解学生对知识点的掌握程度。
2.学生访谈：了解学生对课堂教学的意见和建议，及时调整教学方法。
3.同行听课：邀请同事听课，听取意见和建议，提高教学质量。
反思和改进措施：
九年级数学上册（人教版）25.3用频率估计概率说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自人教版九年级数学上册第25章第3节“用频率估计概率”。该章节在整个课程体系中起到了承上启下的作用，前面学习了概率的基本概念、计算方法等，为本节课奠定了基础；而本节课的内容又将为进一步学习概率统计打下基础。本节课的主要知识点包括：频率的概念、频率与概率的关系、如何利用频率估计概率等。
2.生生互动：组织学生进行小组讨论、合作实验，鼓励学生相互交流、分享观点。设置小组竞赛，激发学生的团队精神，提高学生的参与度。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：向学生展示一个简单的游戏，如抛硬币、掷骰子等，让学生猜测游戏结果，引发学生对概率问题的思考。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经掌握了概率的基本概念、计算方法等前置知识。但在学习本节课时，可能存在的学习障碍有：
1.频率的定义较为抽象，学生理解起来可能存在困难。
2.学生在将频率与概率联系起来时，可能会感到困惑，难以区分两者的关系。
3.学生在运用频率估计概率时，可能会受到直观感觉的影响，导致估计不准确。
2.频率与概率的关系：引导学生观察实验数据，发现频率与概率之间的联系，理解在大量反复试验中，频率的稳定值可以作为概率的估计值。
人教版九年级数学上册253用频率估计概率(教案)
5.通过实例，让学生感受概率在生活中的重要性，培养学生的数据分析能力。
二、核心素养目标
1.数据分析：培养学生通过收集、整理、描述和分析数据，发现数据背后的规律，运用频率估计概率，提高解决实际问题的能力；
2.逻辑推理：引导学生运用数学语言和符号，进行逻辑推理，理解频率与概率之间的关系，培养严谨的逻辑思维能力；
c.在培养数据分析能力时，可以让学生分组进行试验，收集数据，然后讨论如何整理和分析这些数据，得出合理的结论。
直接输出：
四、教学流程
1.导入新课：通过提问方式引导学生回顾之前学过的概率知识，为新课学习做好铺垫。
-提问：“我们之前学过如何表示事件发生的可能性？它与今天我们要学习的频率估计概率有什么联系？”
人教版九年级数学上册253用频率估计概率（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册253节“用频率估计概率”：本节课主要内容包括：
1.理解频率和概率的关系，通过大量重复试验，观察频率的稳定值来估计概率；
2.掌握利用频率估计概率的方法，并能运用该方法解决实际问题；
3.分析频率与概率之间的关系，探讨频率随试验次数增加的变化规律；
6.总结回顾：强调频率估计概率的重要性，巩固学生对本节知识点的掌握。
-总结：“通过今天的学习，我们知道了频率可以用来估计概率，这对于解决实际问题具有重要意义。”
7.作业布置：布置与频率估计概率相关的作业，强化学生对知识点的应用。
-布置：“请同学们课后思考，生活中还有哪些情况可以用频பைடு நூலகம்来估计概率？并尝试举例说明。”
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解频率与概率的关系：强调通过大量重复试验，观察频率的稳定值来估计概率，使学生掌握这一核心概念。
人教版数学九年级上册《用频率作为概率的估计值》说课稿2
人教版数学九年级上册《用频率作为概率的估计值》说课稿2一. 教材分析《用频率作为概率的估计值》是人教版数学九年级上册第五章第三节的内容。
这部分教材是在学生已经掌握了概率的基本概念和等可能事件的概率计算的基础上进行讲解的，旨在让学生通过实验和观察，理解并掌握频率与概率之间的关系，从而能够利用频率来估计事件的概率。
本节课的内容对于学生来说是一个重要的转折点，他们将从理论的层面转向实践的层面，通过实验来验证概率的计算结果。
教材通过具体的实例和活动，引导学生发现频率与概率之间的规律，从而培养学生的观察能力、实验能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率的概念和计算方法有一定的了解。
然而，他们对频率与概率之间的关系可能还不是很清楚，需要通过实验和观察来进一步理解和掌握。
此外，九年级的学生正处于青春期的后期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散，需要教师通过有趣的教学活动和实例来吸引他们的注意力。
三. 说教学目标本节课的教学目标有三：1.让学生通过实验和观察，理解频率与概率之间的关系，能够利用频率来估计事件的概率。
2.通过解决实际问题，培养学生的观察能力、实验能力和推理能力。
3.培养学生的合作意识和交流能力，提高他们的数学素养。
四. 说教学重难点教学重点：频率与概率之间的关系，如何利用频率来估计事件的概率。
教学难点：频率与概率之间的关系，如何利用频率来估计事件的概率。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、实验法、讨论法、探究法等教学方法，利用多媒体教学手段，引导学生通过实验和观察，发现频率与概率之间的关系，从而能够利用频率来估计事件的概率。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的抽奖游戏，让学生感受概率的魅力，激发学生的学习兴趣。
2.实验与观察：让学生进行抛硬币实验，观察并记录硬币正面朝上的频率。
3.分析与推理：引导学生发现频率与概率之间的关系，总结出利用频率来估计事件的概率的方法。
初三数学上学期同步讲解：用频率估计概率
用频率估计概率一、知识点1. 用频率可以估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝m n.二、标准例题：例1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）A．概率等于频率B．频率等于12C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于正面朝上的次数总次数，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。
故答案为：D总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。
例2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”【答案】D【解析】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项正确；D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．故选D．总结：本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．例3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．(1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】（1）见解析；（2）0.5.【解析】（1）根据题意得：28÷50=0.56；60÷100=0.60；78÷150=0.52；104÷200=0.52；123÷250≈0.49；152÷300≈0.51；350÷251≈0.50；见下表：(2)由题意得：投篮的总次数是50+100+150+200+250+300+350=1400(次)，投中的总次数是28+60+78+104+123+152+251=796(次)，则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次,投中的概率约为：796 1400≈0.5.故答案为：0.5.总结：本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率.例4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．（1）填空：样本容量为，a＝；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．【答案】（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．解：（1）5415100360÷=，所以样本容量为100；B组的人数为100153515530----=，所以3010030100a=⨯=，则30a=；故答案为100，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于160cm的人数为153045+=，样本中身高低于160cm的频率为450.45 100=，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．总结：本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．三、练习1．以下说法合理的是（）A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是2 3B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是1 2D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是1 2【答案】D解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是12，故选项D正确，故选：D．2．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：下面有四个推断：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确；④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选：C．3．某运动员投篮5次，投中4次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（）A．15B．14C．45D．不能确定【答案】D【解析】因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定.故选：D4．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】B【解析】解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确；∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选：B．5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（）A．朝上的点数是6的概率B．朝上的点数是偶数的概率C．朝上的点数是小于4的概率D．朝上的点数是3的倍数的概率【答案】D【解析】A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率为16，故此选项错误；B. 掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为12，故此选项错误；C．掷一枚正六面体的骰子，点数小于4的概率为12，故此选项错误；D．掷一枚正六面体的骰子，点数为3的倍数的概率为10.333，故此选项正确；6．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：当n越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到0.01）【答案】0.82.【解析】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.82附近，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.82，故答案为：0.82.7．有五个面的石块，每个面上分别标记1，2，3，4，5，现随机投掷100次，每个面落在地面上的次数如下表，估计石块标记3的面落在地面上的概率是______.【答案】20【解析】解：石块标记3的面落在地面上的频率是15100=320，于是可以估计石块标记3的面落在地面上的概率是3 20．故答案为：3 20．8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表：投中的频率根据上表，该运动员投中的概率大约是__________（结果精确到0.01）．【答案】0.85【解析】由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在0.85附近，所以该运动员投中的概率大约是0.85. 故答案为：0.85.9．某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为_________________（精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树_________万棵.【答案】0.86 5【解析】（1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率∴这种幼树移植成活率的概率约为0.86．（2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为15000时，成活率为0.861，于是可以估计树苗移植成活率为0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为4.3÷0.86=5万棵． 10．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了60次试验，试验的结果如下：①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为________；②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？（2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．【答案】（1）①110；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）16． 【解析】解：（1）①∵实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60， ∴此次实验中“3点朝上”的频率为6÷60=110； ②小红的说法不正确，∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性，∴小红的说法不正确；（2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况：，，，，， ，∴和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种，两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大， 则最大概率为：6÷36=16．11．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3． （1）试求出纸箱中蓝色球的个数；（2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数． 【答案】（1）50；（2）60 【解析】（1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个） （2）设小明放入红球x 个．根据题意得：200.5100xx+=+解得：x =60（个）．经检验：x =60是所列方程的根． 答：小明放入的红球的个数为60．12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P=；（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只.【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20.【解析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6（2）摸到黑球的概率P=1-0.6=0.4（3）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20．13．“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有1个红球、2个黄球、3个白球、8个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得1次抽奖机会.(1)小明是否一定能中奖___________；(填是、否)(2)求出小明抽到一等奖的概率；(3)在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和没中奖的机会相等？(只写一种即可)【答案】(1)否；(2)小明抽到一等奖的概率是114；(3)见解析.【解析】解：(1)否；(2)球的个数有123814+++=(个)，而红球有1个所以小明抽到一等奖的概率是1 14；(3)因为黑球的个数有8个，所以没有中奖的概率是84 147=，则中奖的概率是43177 -=，因为43 77≠，所以中奖和没中奖的机会不相等，可以减少2个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）.14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球12(个),黑球8 (个)【解析】(1)a=290500=0.58，故答案为：0.58；(2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60；(3)由(2)摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球20−12=8(个).答：黑球8个，白球12个.15．一个袋中装有7个红球，8个黑球，9个白球，每个球除颜色外都相同．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率；（2）若先从袋中拿出7个红球和(5)m m>个黑球，再从剩下的球中摸出一球．①若事件“再摸出的球是白球”为必然事件，求m的值；②若事件“再摸出的球是白球”为随机事件，求m 的值，并求出这个事件概率的最小值． 【答案】（1）724；（2）①8m =；②6m =，911. 【解析】解：（1）从袋中随机摸出一个球是红球的概率7778924==++．（2）①由题意袋中，都是白球，8m =． ②由题意6m =或7或8，当6m =时，这个事件概率的最小，最小值911=． 16．小明在一个不透明的口袋里装若干个白球，要求本学习小组的其他成员在不允许将球倒出来数的情况下，估计白球的个数.小组成员小华应用了统计与概率的思想和方法解决了这个问题.他拿了8个黑球放入口袋里，将球搅匀.然后学习小组进行有放回的摸球实验，下表是活动进行中的一组统计数据.请你根据以上统计数据，帮助小华解答下列问题：（1）补全上表中的有关数据，并估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）估计口袋里白球的个数. 【答案】（1）0.4；（2）12. 【解析】（1）上表中的有关数据是0.399，当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近0.4.（2）设白球的个数为x ，则80.48x =+，解得12x =.。
初中九年级数学上册第3章第2节用频率估计概率
【实验】 分组活动: 在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球. (1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球的
个数. (2)各个小组记录试验次数与试验数据. (3)根据小组收集的数据，估计出口袋里的白球．
(4)打开口袋，数数口袋中白球的个数，你的估计 值和实际一致吗？为什么？ (5)将各组的数据汇总,并根据这个数据估计一个口 袋中的白球数, 看看估计结果又如何. (6)为了使估计结果较为准确,应该注意些什么?
课后探究
1.求6个人中有2个人生肖相同的概率。 先求出“6个人生肖都不相同”的概率P(A)，
要使6个人的生肖都不相同，则第一个人的生肖 有12中可能，第二个人的生肖有11中可能，…… 第六个人的生肖有7中可能。
P(A) 12111098 7 0.22 121212121212
因此，“6个人中有2个人生肖相同”的概率为： P=1-P(A)≈1-0.22=0.78 .
解：设口袋中有x个白球，得
解得x≈24 答:口袋中的白球大约有20个．
方法对比:一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将球 倒出来数,那么你能估计出其中的白球数吗?
①小明：从口袋中随机摸出一球， 记下其颜色，再把它放回口袋中. 不断重复上述过程.我共摸了200次 ,其中有57次摸到黑球,因此我估计 口袋中大约有20个白球. 解：设口袋中有x个白球，得
随机事件(不确定事件)发生的概率介于0到1之 间,即0<P(不确定事件)<1.
如果A为随机事件(不确定事件),那么 0<P(A)<1.
事件A的概率的定义:
一般地，在大量重复试验中，如果
事件A发生的频率 m 会稳定在某个常 n
浙教版数学九年级上册2.3《用频率估计概率》说课稿
浙教版数学九年级上册2.3《用频率估计概率》说课稿一. 教材分析《用频率估计概率》是浙教版数学九年级上册第2.3节的内容，本节课的主要任务是让学生理解频率与概率之间的关系，学会利用频率来估计概率，并通过实际例子体会数学在生活中的应用。
教材通过具体的实验和案例，引导学生探究频率与概率的本质联系，培养学生的实践能力和思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率的概念有一定的了解。
但是，对于如何利用频率来估计概率，以及频率与概率之间的关系，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实验和案例，探究频率与概率之间的关系，提高他们的理解能力和应用能力。
三. 说教学目标1.理解频率与概率的概念，掌握频率与概率之间的关系。
2.学会利用频率来估计概率，能运用频率估计概率解决实际问题。
3.培养学生的实践能力、思维能力和创新能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：频率与概率的概念，频率与概率之间的关系。
2.教学难点：如何利用频率来估计概率，以及频率与概率之间的本质联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、实验器材、案例资料等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的概率实验，引导学生思考频率与概率之间的关系。
2.新课导入：介绍频率与概率的概念，引导学生理解频率与概率之间的关系。
3.案例分析：分析具体案例，让学生学会利用频率来估计概率。
4.实践环节：学生分组进行实验，亲身体验频率与概率的关系。
5.总结提升：引导学生总结频率与概率之间的关系，并能运用频率估计概率解决实际问题。
6.课堂练习：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：频率：实验中某一结果出现的次数与实验总次数的比值。
概率：某一结果出现的可能性。
频率与概率的关系：1.频率是概率的近似值，当实验次数足够多时，频率趋近于概率。
九年级数学利用频率估计概率
置信水平和置信区间的概念
1 2
置信水平
表示估计的概率值在真实概率值周围的可信程度， 通常用百分比表示。
置信区间
表示估计的概率值所在的可能范围，通常用区间 表示。
3
置信水平和置信区间之间的关系
置信水平越高，置信区间越窄，估计的精度越高。
05 总结与展望
总结频率与概率的关系
01
频率是概率的近似值
在大量重复实验中，某一事件发生的频率会趋近于该事件发生的概率。
样本大小对频率稳定性的影响
样本越大，频率越稳定，估计的概率越准确。
样本大小与置信水平的关系
样本越大，置信水平越高，置信区间越窄，估计的精度越高。
随机误差和系统误差的影响
随机误差
由于随机抽样而产生的误差，可以通 过增加样本量来减小。
系统误差
由于抽样方法、测量工具或实验设计 等因素产生的误差，需要改进抽样方 法、提高测量精度或调整实验设计来 减小。
02 利用频率估计概率的方法
长期频率稳定性
定义
应用Leabharlann 长期频率稳定性是指当试验次数趋于 无穷时，某一随机事件的相对频率趋 于该事件的概率。
在现实生活中，许多概率可以通过长 期频率稳定性来估计，例如抛硬币正 面朝上的概率约为0.5。
原理
通过大量重复试验，观察某一随机事 件的相对频率，可以近似估计该事件 的概率。
概率论在金融领域的应用
金融领域涉及大量的不确定性和风险，概率论在金融领域的应用十分广泛。未来，随着金 融市场的不断发展和风险管理需求的增加，概率论在金融领域的应用将更加重要和迫切。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
因此，可以通过实验中事件发生的频率来估计概率。
人教版九年级数学上章节知识点深度解析 用频率估计概率
则捞到鲤鱼的概率约为
1
2
3
.
4
5
5. 有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干
个白球（每个球除颜色外其他相同）的不透明口袋
中，随机摸一个球，记下颜色，放回摇匀，摸到一
个红球就得到一个玩具.已知参加这种游戏活动的有
40000人次，公园游戏场发放的玩具为10000个.
1
2
3
4
5
（1）求参加一次这种游戏活动得到玩具的频率；
第二十五章
25.3
概率初步
用频率估计概率
要点归纳
知识要点
用频率估计概率
内容
1.对 一般的 随机事 件 ，在 做大量 重复试 验
时，随着试验次数的增加，一个事件出现的
频率，总在一个 固定数 的附近摆动，显
用频率
示出一定的稳定性，我们就可以用频率去估
估计
计此事件的概率；
概率
2.一般地，在大量重复试验中，如果事件 A
左右.
3. 在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的
小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率
约为40％，估计袋中白球有
1
2
3
4
4
5
个.
4. 某鱼塘养了1000条鲤鱼、500条鲫鱼和若干条草鱼，
该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频
率稳定在0.5左右.若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，
经检验， x ＝18是方程的解.
∴估计袋中白球接近18个.
1
2
3
4
5
谢谢观看
Thank you for watching!
发生的频率稳定于某个常数 p ，那么事件 A
九年级上册数学精品课件：用频率估计概率
联系：
频率与概率的关系
频率
事件发生的 频繁程度
稳定性
概率 大量重复试验
事件发生的
可能性大小
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为 它的估计值.
区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同
样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能 不同，而概率是一个确定数，是客观 存在的，与每次试 验无关.
2048 4040 10000 12000 24000
“正面向上” “正面向上”
次数m
频率(
m n
)
1061
0.518
2048
0.5069
4979
0.4979
6019
0.5016
12012
0.5005
支持
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率 来估计该事件发生的概率.
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于 众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不 尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规 律.这称为大数法则,亦称大数定律.
摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 m 0.65 0.62 0.59 0.604 0.601 0.599 0.601
n
3
摸球的次数n
100 200 300 500 800 1000 3000
答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律 性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重 复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
3.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的 黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子 里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它 放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组 统计数据：
2.3 用频率估计概率九年级上册数学浙教版
抽检产品数
100
150
200
250
300
500
1 000
合格产品数
89
134
179
226
271
451
904
合格率
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）____.
0.9
[解析] 因为随着抽检产品数的增加，产品的合格率稳定在0.9附近，所以在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9.
与试验人、试验时间、试验地点有关.
与试验人、时间、地点无关.
联系
试验次数越多，频率越趋向于概率.
典例1 （教材第55页例题变式）某篮球队教练记录了该队一名主力前锋练习罚球的结果如下表.
练习罚球次数
30
60
90
150
200
300
400
500
罚中次数
27
45
78
118
161
239
322
401
罚中频率
（1） 填表，求该前锋罚球命中的频率 精确到 .
第2章 简单事件的概率
2.3 用频率估计概率
学习目标
1.了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定.
2.通过试验，认识大量重复试验所得的频率可作为概率的估计值.
九年级数学： 25.3 用频率估计概率(同步练习题)( 含答案)
25．3 用频率估计概率1．一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数P 附近，那么事件A 发生的概率P(A)＝__mn___，__0___≤P(A)≤__1___．2．用频率估计概率，其适用范围更广，既可以用于有限的等可能性事件，也可以用于无限的或可能性不相等的事件．只要试验的次数n 足够大，频率mn就可以作为概率P 的__近似值___．知识点1：频率与概率的关系1．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是( B ) A ．频率等于概率B ．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C ．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D ．试验得到的频率与概率不可能相等2．某人做投硬币试验时，投掷m 次，正面朝 n 次(即正面朝上的频率P ＝mn)，则下列说法正确的是( D )A ．P 一定等于12B ．P 一定不等于12C ．多投一次，P 更接近12D ．投掷次数逐渐增加，P 稳定在12附近3．在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近__16___．知识点2：用频率估计概率4．在一所有2000名学生的小学学校中，随机调查了300名学生，其中269人认为月球上有水，那么在这所小学学校里随机问1名学生，认为月球上有水的概率约是( A )A ．0.9B ．0.10C ．0.8D ．0.2__0.8___6．在一个不透明布袋中，红色、黑色、白色乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后，发现其中摸到红色、黑色乒乓球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色乒乓球的个数很可能是__16___．7．一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x.甲，乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，“和为8”出现的频率稳定在它的概率附近，估计“和为8”出现的概率是__0.33___；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x 的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x 的值不可以取7，请写出一个符合要求的x 的值．解：x 不可以取7，画树状图(略)，从图中可知，数字和为9的概率为212＝16.当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是138．为了估计水塘中的鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放回鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数估计为( C)A．3000条B．2200条C．1200条D．600条9．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量的摸球试验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量的摸球试验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中随机摸出一球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是( B)A．①②③B．①②C．①③D．②③10．如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色石子，其余部分铺白色石子．小鹏在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在一、三、五环(阴影)内的频率分别是0.04，0.2，0.36，如果最大圆的半径是1米，那么黑色石子区域的总面积约为__1.88___平方米．(精确到0.01平方米)11．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)这种树苗成活的频率稳定在__0.9___，成活的概率估计值为__0.9___；(2)该地区已经移植这种树苗5万棵．①估计这种树苗成活__4.5___万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？解：18÷0.9－5＝15(万棵)12．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．推测计算：由上述的摸球试验可推算：(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ (2)盒中有红球多少个？解：(1)红球占40%，黄球占60% (2)设总球数为x 个，由题意得8x ＝450，解得x ＝100，100×40%＝40，即盒中红球有40个13．小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2 m 和3 m 的同心圆(如图)，蒙上眼睛，在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．(1)你认为游戏公平吗？为什么？(2)游戏结束，小明边走边想：“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题．(要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式)解：(1)不公平，因为P(阴影)＝9π－4π9π＝59.即小红获胜的概率为59，则小明获胜的概率为49，所以游戏对双方不公平 (2)能用频率估计概率的方法估算非规则图形的面积．设计方案：①如图，设计一个可测量面积的规则图形，将非规则图形围起来(如正方形面积为S)；②往图形中掷点(如蒙上眼睛往图形中随意掷石子，掷在图形外不作记录)；③当掷点数充分大(如1万次)记录并统计结果，设掷入正方形内m 次，其中n 次掷入非规则图形内；④设非规则图形面积为S′，概率P(掷入非规则图形内)＝S′S ，故n m ≈S′S ，∴S ′≈nSm专题训练(九) 概率的求法及应用一、用列举法求概率 (一) 两步概率1．(2014·扬州)商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是__14___；(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．解：画树状图(略)，∵共有12种可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种等可能情况，∴P(他恰好买到雪碧和奶汁)＝212＝162．如图，管中放置着三根同样的绳子AA 1，BB 1，CC 1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA 1的概率是多少？(2)小明先从左端A ，B ，C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A 1，B 1，C 1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．解：(1)P(恰好选中绳子AA 1)＝13(2)画树状图(略)，可知分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有9种等可能情况，其中能连接成一根长绳的有6种，故P(这三根绳子连接成一根长绳)＝69＝233．在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取了不同的摸取方法，分别是：小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机地摸取一个小球，记下标号； 小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机地摸取一个小球，记下标号． (1)用画树状图(或列表法)分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果； (2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率．解：(1)略 (2)由树状图可知：小明摸取小球，可能出现的结果有16个，它们出现的可能性相等，其中满足标号之和为5(记为事件A)的结果有4个，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(A)＝416＝14；小强摸取小球，可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等，其中满足标号之和为5(记为事件B)的结果有4个，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(B)＝412＝134．(2014·黄冈)红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．(1)请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果； (2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率． 解：(1)画树状图(略)，一共有12种选派方案 (2)恰有一男一女参赛，共有8种可能，∴P(一男一女)＝812＝23(二) 三步概率5．如图，用红、蓝两种颜色随机地对A ，B ，C 三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法(画树状图或列表)求A ，C 两个区域所涂颜色不相同的概率．解：画树状图(略)，所有等可能的情况有8种，其中A ，C 两个区域所涂颜色不相同的有4种，则P ＝48＝126．两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？ 解：(1)略 (2)对于乙，共有6种等可能结果，乘上等车的有3种，所以乙乘上等车的可能性为36＝12，而甲乘上等车的可能性为13，故乙乘上等车的可能性大二、概率的应用7．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？解：(1)P(转动一次转盘获得购物券)＝1020＝12(2)200×120＋100×320＋50×620＝40(元)．∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算8．(2014·怀化)甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．(1)求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；(2)从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一个球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏公平吗？请说明理由．解：(1)P(标号是1)＝13 (2)这个游戏不公平，理由如下：列表(略)，P(和为偶数)＝59，P(和为奇数)＝49，二者不相等，说明游戏不公平三、统计与概率9．某校九年级有10个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的阅读情况，准备抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本数为n ，当0≤n ＜5时为一般读者；当5≤n ＜10时为良好读者；当n ≥10时为优秀读者．(1)下列四种抽取方法最具有代表性的是__B ___； A ．随机抽取一个班的学生 B ．随机抽取50名学生 C ．随机抽取50名男生 D ．随机抽取50名女生(2)由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读本数的数据如下： 8 10 6 9 7 16 8 11 0 13 10 5 8 2 6 9 7 5 7 6 4 12 10 11 6 8 14 15 7 12 13 8 9 7 10 12 11 8 13 10 4 6 8 13 6 5 7 11 12 9根据以上数据回答下列问题： ①求样本中优秀读者的频率；②估计该校九年级优秀读者的人数；③在样本为一般读者的学生中随机抽取2人，用树状图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．解：①25 ②200人 ③1610．每年3月12日，是中国的植树节．某街道办事处为进一步改善人居环境，准备在街道两边种植行道树，行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，街道办事处的人员随机调查了部分居民，并将结果绘成如图中扇形统计图，其中∠AOB ＝126°.请根据扇形统计图，完成下列问题：(1)本次调查了多少名居民？其中喜爱“香樟”的居民有多少人？(2)请将条形统计图补全；(在图中完成)(3)某中学的一些同学也参与了投票，喜爱“小叶榕”的有四人，其中一名男生；喜爱“黄葛树”的也有四人，其中三名男生．若街道办事处准备分别从这两组中随机选出一名同学参与到街道植树活动中去，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名同学恰好一名女生和一名男生的概率．解：(1)800人；40人(2)补图略(3)错误!。
人教版数学九年级上册2用频率估计概率
课堂练习
例1：在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，
形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放
回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，……如此大量摸球实验后，
小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，
对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳
方案：抓间、掷硬币等。
为什么要用抓间、掷硬币的方法呢？
理由：这样做公平。能保证小强和小明得到球票的可
能性一样大，即得票概率相同。
情境引入
前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行
的，如果不满足上面二个条件，是否还可以应用以上的方法呢？
不可以。也就是：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能
0.5，连续掷2次，结果不一定是“正面向上”和“反面
向上”各1次；连续抛掷100次，结果也不一定是“正
面向上”和“反面向上”各50次。也就是说，概率是
0.5并不能保证掷2n次硬币一定恰好有n次“正面向
上”，只是当n越来越大时，正面向上的频率会越来越
稳定于0.5。可见，概率是针对大量重复试验而言的，
大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生。
结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概
率。在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频
率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。
探索新知
试验
把全班同学分成10组，每组同学抛掷一枚硬币50次，整理同学们获
得的试验数据，并完成如图所示的表格。
探索新知
根据上页表中的数据，在下图中标出对应的点
九年级数学： 25.3用频率估计概率教案(第2课时)
课题：25.3 用频率估计概率(第2课时)
【教学目标】
1．能根据频率的稳定趋势估计概率．
2．感受频率在问题决策中的作用．
【活动方案】
活动一复旧引新
件？
：
(2)这射手射击1600次，击中靶心的次数是。
活动二：例题讲解
1：阅读课本第144-145页的问题1
2：阅读课本第145-146页的问题2
活动三：课堂练习
⑵思考：科比罚球一次，进球的概率有多大？
⑶计算：科比在接下来的比赛中如果将要罚球30次，试估计他能进多少个球？
(2)从这批西装中任选一套是次品的概率是多少?
(3)若要销售这批西装2000件,为了方便购买次品西装的顾客前来调换,至少应该进多少件西装?
课堂小结：本堂课我们学到了哪些识？能解决哪些问题？小组交流．【检测反馈】
1、有一种麦种，播种一粒种子，发芽的概率是98％，成秧的概率为85％.若要得到10 000株麦苗,则需要粒麦种.(精确到1粒)
(2)任抽一件是次品的概率是多少?
(3)如果销售1 500件西服,那么需要准备多少件正品西装供买到次品西装的顾客调换?
3、某个体商贩从批发市场以4元/千克的价格进了500千克的活鱼，估计运输过程中活鱼的死亡率为0.1，而死鱼的价格为3元/千克，运输价格125元,该商贩希望这些鱼能够获得利润500元，那么在出售活鱼时价格定为多少比较合适？。
九年级数学《用频率估计概率》课件
柑橘损坏的 频率(m/n)
0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.101 0.101 0.098 0.099 0.103
例4
概率伴随着我你他
• 1.在有一个10万人的 小镇,随机调查了 2000人,其中有250人 看中央电视台的早间 新闻.在该镇随便问 一个人,他看早间新 闻的概率大约是多少 ?该镇看中央电视台 早间新闻的大约是多 少人?
(4)古典概型与几何概型的区别:两种模型的基本事件发 生的可能性相等.古典概型要求基本事件发生是有限个, 而几何概型要求基本事件有无限多个.
概率的获取有理论计算和实验估算两种。
数学史话：概率的产生与发展（p112-114）
(1) 概率类型：古典概型与几何概型两类；
(2) 古典概型：随机实验所有可能的结果是有限的， 并且每个基本结果发生的概率是相同的，属于这个模 型叫古典概型（特点：有限性和等可能性）， （3）几何概型:如果某个事件发生的概率只与该事件 的长度(面积或体积)成正例,则称这样的概率模型为几 何概型（特点：无限性与等可能性）.
m/n
(2)这个射手射击一次，击中靶心
的概率是多少？
０.５
(3)这射手射击1600次，击中靶心的次数是 800 。
例3、某水果公司以2元/千 克的成本新进了10000 千克柑橘，销售人员首 先从所有的柑橘中随机 地抽取若干柑橘，进行 了“柑橘损坏率“统计 ，并把获得的数据记录 在下表中了
问题１：完好柑橘的实际 成本为_2_.2_2___元／千克
解：有题意三辆车开来的先后顺序有如下6种可能情况： （上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下） （中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；
假定6种顺序出现的可能性相同．我们来研究在各种可 能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：
人教版数学九年级上册25.3用频率估计概率(教案)
1.培养学生运用数学语言描述随机现象的能力，增强数据分析观念；
2.提升学生通过实验观察、数据分析等方法，发现事件发生的规律，培养推理与论证能力；
3.引导学生运用频率估计概率，形成解决问题的策略，提高解决问题的能力；
4.培养学生合作交流、积极参与课堂讨论的意识，发展数学交流能力；
5.引导学生体会数学与实际生活的联系，增强数学应用意识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“频率估计概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
c.难点：实验设计。在实际问题中，如何设计实验来收集数据，例如在调查某地区居民身高分布时，如何选择样本、确定调查方法等。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用频率估计概率》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要估计某个事件发生概率的情况？”（如抛硬币正面朝上的概率）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索用频率估计概率的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解频率的定义及计算方法，掌握用频率估计概率的基本原理；
-能够运用频率估计实验中随机事件的概率，并通过实例分析频率与概率的关系；
-培养学生通过实验观察、数据分析等方法，发现事件发生规律的能力。
举例：在掷骰子实验中，计算出现某一面的频率，并据此估计出现该面的概率。
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2.22(元千克)
设每千克柑橘的售价为X元,则 (x 2.22)9000 5000
X=2.8
答:每千克大约定价为2.8元比较合适
设计一个方案，估计 某池塘中鱼的总数。
举例说明利用这种方法 还可以解决生活中哪些 问题？
想一想
拓展练习
如果掷中长方形的300 次中，有100次是落在 不规则图形内，你能估 计出掷中不规则图形的 概率吗？
经测量右图中的长方形长为2米，宽为1.5米，你 能由此估算出不规则图形的面积吗？
课堂练习
1、某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球 共72个，小明通过多次摸球试验后，发 现摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为
c 35﹪、25﹪、和40﹪，试估计口袋中三
种玻璃球的数目（ ）
A 35个、25个、12个 B 15个、18个、39 个
成活的频 率m
n
0.80
移植总 成活数 数( n ) ( m )
1500 1335
成活的频率
m
n
0.890
50 47
0.94
3500 3203 0.915
270 235 400 369 750 662
0.871 0.92 0.882
7000 6335 9000 8073 1400 12628
0.905
1.当试验次数很大时,一个事件发生频 率也稳定在相应的概率附近.因此,我 们可以通过多次试验,用一个事件发生 的频率来估计这一事件发生的概率.
用频率估计概率的条件
2.当实验的所有可能结果不是有限个时, 或各种可能结果发生的可能性不相等时,
我们一般利用统计频率来估计概率.
问题2：上述两种方法各有那些
想一想
你能说说第2小组这样做的道理吗?
假设口袋中有x个球,通过多次抽 样调查,求出样本中绿球与总球数 (10)比值的“平均水平”,这个“平 均水平”就接近于8/X,据此,我们可 以估计出总球数x的值.
这又是一种方案,你 能理解并运用到实践 中吗?
： 如果每次抽10个，抽了20次，绿球出现次数统计下
0.897 0.902
(1)完成上表,你可以发现幼树0 移植成活的频率在__0_._9左右摆动,
所以估计幼树移植成活的概率为____0_._9_.
(2)如果移植10000棵这样的幼树,能成活___9_0_0_0_棵.
一.体验中考
2.某水果公司以2元/千克的进价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售 价格，水果公司在出售前要估算出在运输中可能损坏的水果总质量，以便将 损坏的水果成本折算到没有损坏的水果售价中。销售人员首先从所以的柑橘 中随机地抽取若干柑橘进行“柑橘损坏率”统计，获得的数据记录如下表 （单位：千克）
规律。
作业：P161练习 1
感谢领导,老师亲临指导! 感谢三(15)班同学们的积极参与
设鱼塘里有X条鱼.则 5 50 200 x
X=2000 总重量=2000☓2.01=4020千克
下课了?!
结束寄语
列举法:适用于等可能性事件 实验法:适用于复杂事件
通过大量实验利用频率估计概率.
▪ 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都 是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即
可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的
10 3 0.3 10 3 0.3
10 3 0.3 10 4 0.4
10 3 0.3 10 6 0.6
10 4 0.4 10 3 0.3
10 2 0.2 10 5 0.5
实际操作中的情况：
绿球次数 每次摸一个： 总次数
每次摸取一组球：
每次绿球数与总球数 比值的平均数
小结 拓展
回味无穷
频率与概率的关系
摸出一球，记下其颜色再把 它放回口袋中.不断重复上述 过程. 共摸了200次,其中有57 次摸到绿球,因此我估计口袋
中大约有28个球.
想一想 你能说说第1小组这样 做的道理吗?
假设口袋中有x个球,其中8个绿球,那么 绿球的理论概率是8/X,通过200次试验我 们随机摸出了57个绿球,所以摸到绿球的 频率为57/200;另一方面,根据”概率的意 义”中的学习,我们得知这个频率又应该 接近概率8/X,据此可估计出总球数x.
；中位数是0.1031 ；平均数是 0.11438
。
（2）如果公司希望全部售完这些柑橘并获利5000元，则出售这些柑橘时，
每千克大约定价为多少元比较合适？（精确到0.1）
一.体验中考
(1）完成上表“柑橘损坏的频率”一栏中的剩余3个数据，这5个数据中众数Fra bibliotek 0.1031
；中位数是 0.1031
；平均数
抽取总数 绿球数
(n)
(m)
绿球出现
的频率 m
抽取总数
绿球数
n (n)
(m)
绿球出现
的频率 m
n
P=0.28
10 1 0.1 10 1 0.1 10 0 0 10 2 0.2 10 2 0.2 10 2 0.2
0.28 8 x
10 2 0.2 10 2 0.2
x≈29
10 3 0.3 10 3 0.3
是 0.11438
。
（2）如果公司希望全部售完这些柑橘并获利5000元，则出售这些
柑橘时，每千克大约定价为多少元比较合适？（精确到0.1）
从柑橘损坏的频率可以估计柑橘损坏的概率 为0.1左右,柑
橘完好的概率为0. 9.所以完好柑橘的质量为9000千克.
完好柑橘的成本为
2
10000 9000
2 0.9
C 25个、18个、29个 D 29个、25个、 18个
二、请你当回生物学家
2、生物工作者往往要统计某一地区鸟类的
数量，他们在某地区范围内捕获100只作上 标记，然后放回小山中，过一段时间后又进 行一次捕获，结果在捕获的300只鸟中有5只
有标记，则山中大约有多少只鸟？
解:设山中大约有X只鸟.列方程为:
优缺点？
实验的次数越多越准确,越接 近袋中的总球数。 一次抽取多个的方法更具有
实际可操作性。
问题1 某林业部门要考查某种幼树在一定 条件下移植的成活率，应采用什么具体做法？
问题1:某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成 活率,获得的数据记录如下表:
移植总 成活数 数( n ) ( m )
10 8
?
如果每次抽一个抽了200次，绿球出现57 次，那么抽到绿球的频率是57/200,它接近 于8
x 8 57 x 200
X≈28
第2小组是这样做的:
利用抽样调查的方法,先从口袋
中随机摸出8个球，标上绿颜色，
再从口袋中一次随机摸出10个 球，求出其中绿球数与10的比 值,再把它放回口袋中.不断重复 上述过程.我总共摸了20次,绿球 数与10的比值的平均数为0.28, 因此我估计口袋中大约有29个 球.
义务教育课程标准实验教科书
九年级上册
一、创设情景、设疑激思
情景问题
情景问题
全国第三次大熊猫调查:我国野外大 熊猫种群数量为1596只
数学建模
袋中有多少只球?
一个口袋中装有若干个球, 如果不许将球倒出来数,那 么你能估计出口袋中装有多 少球吗?
做一做
袋中有多少年来球
第1小组是这样做的:
从口袋中随机摸出8个球，标 上绿颜色，再从口袋中随机
抽取柑橘的质量（n） 100 200 300 400 500
损坏柑橘的质量（m）10.16 19.96 30.93 41.24 49.95
柑橘损坏的频率 （m/n）
0.101 6
0.1031
0.0998
0.1031
0.0999
（1）完成上表“柑橘损坏的频率”一栏中的剩余3个数据，这5个数据中众
数0是.1031
5 100 300 x
X=6000
三、请你帮帮忙
3. 张大爷想知道自己所承包的池塘的鱼的情
况，第一次随机捞出50条，将这50条鱼作出标记 后又放回池塘，等他们完全融入其他鱼后又随机 捕捞200条，称得总重量为402千克，且带有标记 的鱼有5条，你能帮张大爷估计出与鱼塘里鱼的数 量和总重量吗？
解:先求平均每条鱼的重量:2.01千克