七年级数学二元一次方程组

七年级数学二元一次方程组(教师讲义带答案)(总25页)

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第一章二元一次方程组

【知识要点】

1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式)

②二元一次方程必须含有两个未知数；

③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3．二元一次方程组：

①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“”把这些方程联合在一起；

②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；

③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，

4．二元一次方程组的解：

注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解

6．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法（2）加减消元法

三、理解解二元一次方程组的思想

转化消元

一元一次方程

二元一次方程组

四、解二元一次方程组的一般步骤

（一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解

（二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解

二元一次方程组的解法

（1）用代入法解二元一次方程组

例：解方程组

⎩⎨⎧=+=+1

523y x y x

※解题方法：

①编号：将方程组进行编号；

②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有

x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y=ax+b （或

x=ay+b ）的形式；

③代入：将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程（不能代入原变形

方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元

一次方程；

④求x （或y ）：解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；

⑤求y （或x ）：把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；

⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

（2）用加减消元法解二元一次方程组

例：解方程组

⎩

⎨⎧=+=+1523y x y x

※解题方法：

①编号：将方程组进行编号；

②系数相等：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的

数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知

数的系数绝对值相等的形式；

③相加（或相减）：根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得

的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的

两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到

一个一元一次方程；

④求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

⑤求另值：把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程

中，求出另一个未知数的值；

⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

分析我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示．方程(2)中x的系数是1，因此，可以先将方程(2)变形为用含y的代数式表示x，再代入方程(1)求解．这种方法叫“代入消元法”．解：由(2)，得x=83y． (3)

把(3)代入(1)，得： 2(83y)+5y=21，166y+5y=21，

y=37，所以y=37．

点评如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．

分析此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．

解：由(1)，得 2x=8+7y，

(3)

把(3)代入(2)，得

分析本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解．这样，就使问题变得比较简单了．

解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以

x+y=2 (3)

解这个方程组．由(3)，得

x=2y (4)

把(4)代入(1)，得53(2y)+47y=112，10653y+47y=112，

6y=6，所以y=1．

分析经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”．

解：(1)(2)，得12y=36，所以y=3．把y=3代入(2)，得：

6x5×(3)=17，6x=2，

所以：

点评若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元．在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号．

分析方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便消去了y．

解：(1)×3，得9x+12y=48 (3)

(2)×2，得10x-12y=66 (4)

(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得

3×6+4y=16，4y=-2，

点评将x的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y的系数要简便些．一是因为变y的系数乘的数较小，二是因为变y的系数后是做加法，而变x的系数后要做减法．

例6 已知x m n+1y与2x n1y3m2n5是同类项，求m和n的值．

分析根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n．解：因为x m n+1y与2x n1y3m2n5是同类项，所以

解这个方程组．整理，得

(4)(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所