变化率问题导学案
《111变更率与导数》导学案.doc
第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题学习目标1.庖受平扬变化率广泛存在于日常牛活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的廨人精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程—、课前准备(预习教材，找出疑惑之处)二、新课导学学习探究探究任务一:问题1:气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象？问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：/<X2)-/U.)= V试试：设y = f(x) , X］是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点勺，乃与x2的差记为Ax , 即~ ~Ar = ____________ 或者x2 = __________ , Ar就表示从禹到x2的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为3,即少u _________________ ；如果它们的比值型，则上式就表示为________________ ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是_____________ 的增量与__________________ 的增量的比值.典型例题例1过曲线y = f(x) = x\k两点P(l,l)和e(l + Ax,l + Ay)作曲线的割线,求出当Ar = 0.1时割线的斜率.变式：已知函数f(x) = -x2 +x的图象上一点(-1,-2)及邻近一点(-1 +Ar,-2 +Ay),则绥=Av例2已知函数/(%) = X2 ,分别计算/(力在下列区间上的平均变化率:(1)[1, 3]；(2)[1, 2]；(3)[1, 1.11；(4)[1, 1.001]小结：动手试试练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分別计算从出生到第3个月与第6个刀到第12个刀该婴儿体重的平均变化率.练2.已知函数/(x) = 2x + l, g(x) = -2x,分别计算在区间［-3, -1］, ［0, 5］上/⑴及g⑴的平均变化率.(发现：y = kx + b在区间［m, n］上的平均变化率有什么特点？)三、总结提升学习小结1 •函数.f(x)的平均变化率是_______________________2.求函数于(兀)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增最 ________________________(2)计算平均变化率 ________________________知识拓展平均变化率是曲线陡們程度的“数量化"，曲线陡嵋程度是平均变化率“视觉化”.学习评价当堂检测(吋量：5分钟满分：10分)计分：1.y = 2x4-1在(1,2)内的平均变化率为( )A. 3B. 2C. 1D. 02.设函数y = f(x),当口变量兀由兀。
人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题
1. 1.1变化率问题课前预习学案。
知道平均变化率的定义。
，课本中的问题1,2预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水h与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案1.学习目标理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;.会求函数在某点处附近的平均变化率3.学习重点： .平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点： .平均变化率的概念学习过程一：问题提出率问题：1气球膨胀问题dmrVL__________. 之间的函数关系是)(气球的体积单位(单位::)与半径 ___________.,那么r表示为体积V的函数如果将半径___________. 气球半径增加了增加到1时,⑴当V从0___________.气球的平均膨胀率为___________. 气球半径增加了增加到2时,⑵当V从1___________.气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．VV? 气球的平均膨胀率是多少时,思考：当空气容量从增加到h 21___________.问题2 高台跳水问题：）与起跳后的h（单位：m在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：s）存在怎样的函数关系？时间t mh与起跳后的时)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度单位：(st___________.间）存在函数关系（单位：1.82，.5，1≤t≤）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０ot.≤2≤t2.2，时间段里的平均速度≤t≤2，v2?.51?t0?t?0的平均速度思考计算：和5.?00?t在__________.；这段时间里，_2t?1?___________. 这段时间里，在65?t0?：计算运动员在探究这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65)0?hh(()2thtt+10+6.5，探究过程：如图是函数(的图像，结合图形可知，)= -4.94965??t0)/m0(s但实际情况是___________.所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为，49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 1）计算和思考，展开讨论；（.）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上（2）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运3（②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；动状态.:二平均变化率概念)xf)?(xf(12xxxf的平均变化．1上述问题中的变化率可用式子)从到, 表示称为函数 (21x?x12．率?x?x?x?f?f(x)?f(x)?x x的一个“增量”可用 (．若设这里看作是对于, 211122?f??y?f(x)?f(x)x?xx) ,代替+同样2112?y?f??___________. 则平均变化率为3．?x?xfx)的图象( 思考：观察函数?f)f(xf(x)?12?? 表示什么平均变化率x?xx?12（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x-x；②求函数的增量Δf=f(x)-f(x)；③求平1122f(x)?f(x)?f12?. 均变化率?xx?x12注意：①Δx是一个整体符，而不是Δ与x相乘；②x= x+Δx；12③Δf=Δy=y-y；12三．典例分析2xx??)?2?1,A(xf点)=近一及象的(图上的一点1例．已知函数临?y?)?y?x,?2?B(?1?． ,则?x解：2x?xx?y附近的平均变化率。
变化率问题导学案
§1.1.1 变化率问题 使用时间： 2012-11-19编制人：文吉洪 审核人： 审批人：[使用说明及学法指导]1、先精神读一遍教材P 2～P 6，，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过20分钟；2、限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 完成所有题目，对于选做部分，BC 层可以不做；3找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4、必须记注的内容：平均变化率[学习目标]1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义， 函数在某点处附近的平均变化率2. 过程与方法 理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率3．能利用平均变化率解决生活中的实际问题.[课前预习]一、预习导学：问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是=)(r V 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么=)(V r分析: 343)(πV V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,=v在21≤≤t 这段时间里,=v探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.问题3：观察函数()y f x =的图像，平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-二、预习检测1、1．在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆=2．已知2()3f x x =-，当x 从1变化到1.1 时，f ∆等于( ）A ．0.021B ．0.21C ．0.12D ．0.13．已知函数25y x =+，则当1x =时，y x ∆=∆ 4．国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.右图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理的效率比效较高？为什么？[我的疑惑][课内探究]探究点一：[例1] 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy .)x[拓展提升] 已知函数2()35f x x x =-+，求函数()f x 从1到2的平均变化率.[小结]探究点二：[例2] 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.[C 层选做] 在自行车比赛中，运动员的位移s （单位：m ）与比赛的时间t （单位：s ）存在函数关系2105s t t =+.求20t =，0.1t ∆=，0.01t ∆=时的s ∆与s t∆∆.[BC 层选做] .过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线,求出当1.0=∆x 时割线的斜率.[ 小结 ][巩固练习]1、已知函数21y x =+，当x 从1变化到1x +∆时，则y x ∆∆等于（ ） A ．2 B ．2x C ．2x +∆ D ．22()x +∆2.函数225y x =+在区间[2,2]x +∆内的平均变化率是 .3.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .4.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.5.求函数2y x =从0x 到0x x +∆的平均变化率，并计算当01x =，12x ∆=时平均变化率的值.[我的收获]1、 知识方面2、 数学思想方法 我的感悟。
3.1变化率与导学案卢
3.1.1变化率问题学习目标：理解平均变化率，会求函数平均变化率. 预习：1.如何求球体的体积？2.如何计算物体运动的平均速度？ 探究（一）平均变化率问题1：有关气球膨胀率思考1.当气球的体积增加1L 时，气球半径半径的变化情.思考2.当气球的容量V 1增加到V 2时，气球的半径增大的幅度是如何变化的？气球的平均膨胀率是多少?问题2：有关高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.思考1：计算运动员在5.00≤≤t 和21≤≤t 时的平均速度v ，并粗略地描述其运动状态?思考2：计算49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？一、平均变化率1.定义：把上述问题进行推广，对于函数()y f x =式子 来表示对于函数()y f x =，我们把 称为()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.若设2121-, ()-()x x x y f x f x == ，平均变化率表示为()()2121f x f x y x x x -=- . 2.思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?探究二：计算平均变化率例1． 质点运动规律为32+=t s ，则在时间3s 到5s 中相应的平均速度.计算平均变化率的步骤：【当堂检测】1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy．2.求2x y =在0x x =附近的平均变化率.3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.4.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.3.1.2导数的概念学习目标：1.通过实例的分析经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程2. 2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； 探究：问题：第一课时的学习我们认识到：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；动手尝试：求高台跳水运动员在2秒时的瞬时速度思考1：跳水运动员在2秒时的瞬时速度与其平均速度之间有何关系？如何用符号表示？跳水运动员在0t t =的瞬时速度如何表示？思考2：瞬时变化率与平均变化率的关系是怎样的？函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？二、导数的概念1.函数()x f y =在0x x =处的瞬时变率是 ；我们称它为函数()x f y =在0x x =处的 ，记作即()0'x f =xx f x x f x fx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念
1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念（结合配套课件、作业使用，效果更佳）周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. `3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ (1)物体在 的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【合作探究】类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．跟踪训练1 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．类型二 求平均速度与瞬时速度例2 若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数例3 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝a ，则f ′(x 0)＝________.(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41D ．32．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝li m Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)24．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.【小结作业】小结：作业：对应限时练。
§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案
§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案第一篇：§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案sx-14-(2-2)-015§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案编写：袁再华审核：沈瑞斌编写时间:2014.4.25班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿【学习目标】1.通过实例，了解变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想方法；3.在了解瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率，建立导数的概念,掌握用导数的定义求导数的一般方法.【学习重难点】重点：导数的概念。
难点：平均变化率、瞬时变化率的理解。
【知识链接】：请阅读本章导言【学习过程】：一、知识点一.变化率阅读教材 P2-3页内容，回答下列问题：问题1：在气球膨胀率问题中，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.(1)当V从0增加到1时,气球半径r增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.由以上可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系为h(t)=-4.9t+6.5t+10, 计算运动员在下列各时间段的平均速度v 2（1）在0≤t≤0.5这段时间里，=_______________________________（2）在1≤t≤2这段时间里，v=__________________二、知识点二.平均变化率概念问题1：函数f(x)从x1到x2的平均变化率用式子表示为。
1.1 变化率与导数 导学案(教师版)
§1.1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念内容要求 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．知识点1 函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率 若一质点的运动方程为s ＝t 2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是________． 解析 v －＝（22＋1）－（12＋1）2－1＝3.答案 3知识点2 函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→Δy Δx ＝ 0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .【预习评价】设f (x )＝2x ＋1，则f ′(1)＝________． 解析 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝0lim x ∆→ [2（1＋Δx ）＋1]－（2×1＋1）Δx ＝2.答案 2题型一 平均变化率【例1】 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当Δx 越来越小时，函数h (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3.①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1； ②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.【训练1】 求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）（x 0＋Δx ）－x 0＝[3（x 0＋Δx ）2＋2]－（3x 20＋2）Δx＝6x 0·Δx ＋3（Δx ）2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二 物体运动的瞬时速度【例2】 一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3(时间单位：s ，位移单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度．解 设在t ＝2 s 附近的时间增量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2.因为Δs Δt ＝8＋2Δt ，0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(8＋2Δt )＝8，所以这辆汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s.规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v －＝ΔsΔt ，(3)求0lim t ∆→ΔsΔt 的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度．【训练2】 一质点按规律s (t )＝at 2＋2t ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为4 m/s ，求常数a 的值． 解 ∵Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[a (1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋1]－(a ＋3) ＝a ·(Δt )2＋(2a ＋2)·Δt ， ∴ΔsΔt ＝a ·Δt ＋2a ＋2. 在t ＝1 s 时，瞬时速度为0limt ∆→ΔsΔt＝2a ＋2，即2a ＋2＝4，∴a ＝1.方向1 求函数在某点处的导数【例3－1】 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3（Δx ）2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x =1＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(3Δx ＋4)＝4.方向2 已知函数在某点处的导数求参数【例3－2】 已知函数y ＝ax －1x 在x ＝1处的导数为2，求a 的值．解∵Δy＝a(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫a－11＝aΔx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝aΔx＋Δx1＋ΔxΔx＝a＋11＋Δx，∴limx∆→ΔyΔx＝limx∆→⎝⎛⎭⎪⎫a＋11＋Δx＝a＋1＝2，从而a＝1.规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limx∆→ΔyΔx.【训练3】利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limx∆→f（2＋Δx）－f（2）Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－3(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limx∆→－（Δx）2－ΔxΔx＝limx∆→(－Δx－1)＝－1.课堂达标1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2，2.1]中相应的平均速度是()A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析v－＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 B2．函数f (x )在x 0处可导，则0lim h ∆→f （x 0＋h ）－f （x 0）h ( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关 答案 B3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81解析 因为Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18Δt ＋3（Δt ）2Δt ＝18＋3Δt ，所以lim t ∆→ΔsΔt ＝18.答案 B4．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析 Δs Δt ＝7（t ＋Δt ）2＋8－（7t 2＋8）Δt＝7Δt ＋14t ，当0lim t ∆→ (7Δt ＋14t )＝14t ＝1时，t ＝114.答案 1145．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝________． 解析 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0lim x ∆→1＋Δx －1Δx＝0limx ∆→11＋Δx ＋1＝12.答案 12课堂小结利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx .简记为一差、二比、三极限.基础过关1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析 Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2Δx＝4＋2Δx . 答案 C2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2解析 Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/sD ．4.8 m/s解析 物体在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于________． 解析 因为f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0lim x ∆→a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx ＝a ，所以f ′(1)＝a ＝2. 答案 25．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．解析 v 初＝s ′|t ＝0＝0lim t ∆→s （0＋Δt ）－s （0）Δt＝0lim t ∆→ (3－Δt )＝3.答案 36．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.∴y ′|x =3＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (2Δx ＋16)＝16.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝3x 2.∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2， 即3x 2－2x －2＝0， 解得x ＝1－73或x ＝1＋73.能力提升8．设f (x )为可导函数，且满足0lim x →f （1）－f （1－2x ）2x ＝－1，则f ′(1)为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 令x →0，则Δx ＝1－(1－2x )＝2x →0，所以 0lim x → f （1）－f （1－2x ）2x ＝0lim x ∆→f （1）－f （1－Δx ）Δx＝f ′(1)＝－1. 答案 B9．设函数f (x )可导，则0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1)D ．f ′(3)解析 根据导数的定义，得 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx ，所以0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）3Δx ＝13f ′(1)，故选C. 答案 C10．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1，2)和Q (1＋Δx ，2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________．解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx ＝2＋Δx ， ∴割线斜率为2＋Δx .当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001. 答案 2.1 2.00111．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f （1）f ′（0）的最小值为________． 解析 由导数的定义，得f ′(0)＝0lim x ∆→f （Δx ）－f （0）Δx＝0lim x ∆→a （Δx ）2＋b （Δx ）＋c －cΔx ＝0lim x ∆→[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0.又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f （1）f ′（0）＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.当且仅当a ＝c ＝|b |2时等号成立． 答案 212．一质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt .所以当t ＝2时，质点M 的瞬时速度为0lim t ∆→Δs Δt ＝4a ， 即4a ＝8，所以a ＝2.创新突破13．用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·（1＋1＋Δx ）， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·（1＋1＋Δx ）， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ·（1＋1＋Δx ） ＝－11＋0×（1＋1＋0）＝－12，∴y ′|x =1＝f ′(1)＝－12.。
变化率问题1导学案
编号：gswhsxxx2-2-0101文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》§1.1.1 变化率与导数（1）导学案编制人:刘君杰 审核人:戴道亮 编制时间:2015年4月26日学习目标1． 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.3.通过对导数的认识，感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。
重点、难点形成导数的概念，了解导数的内涵。
学习方法经历由平均速度到瞬时速度的推导过程，了解并掌握导数的概念及求法。
学习过程一、自主学习（预习教材P 2~ P 4，找出疑惑之处）问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度设运动员于水面的高度h 起跳后的时间t 存在的函数关系 h(t)= -4.9t 2+6.5t+10新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.思考：函数f(x) 在区间［x 1 ,x 2］上的平均变化率的几何意义是什么？二、典型例题例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=课堂随练例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1 ， 3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]变式：. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.展示提升思考：y kx b=+在区间[m，n]上的平均变化率有什么特三、课堂小结：f x的平均变化率是1.函数()f x的平均变化率的步骤：2.求函数()（1）求函数值的增量（2）求自变量的增量（3）计算平均变化率本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《变化率与导数1》节节过关达标检测班级 组名 学生姓名1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-3.在区间[m ，n]上，下列函数的平均变化率为定值的是 （ ）A.y=x 2 B .y=x 3 C .y= D.y=3x+44. 质点运动动规律 23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆5.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______6. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____7.一运动物体的位移s 与时间t 的关系式s=3t-t 2（1）求此物体在[0，2]这一段的平均速度。
高中数学《变化率问题 导数的概念》导学案
3．1.1～3.1.2 变化率问题 导数的概念1．自变量的改变量，因变量的改变量对于函数y ＝f (x )，从其图象上的点A (x 1，y 1)到点B (x 2，y 2)，自变量的改变量是□01x 2－x 1，记作Δx ；因变量的改变量是y 2－y 1，记作□02Δy . 即Δx ＝□03x 2－x 1，Δy ＝□04y 2－y 1＝□05f (x 2)－f (x 1)． 2．平均变化率函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy Δx ＝□06f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy Δx ＝□07f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□08f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 如果当Δx 趋近于0时，平均变化率ΔyΔx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□09lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝L .4．导数一般地，函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝□10lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□11y ′|x ＝x，即f ′(x 0)＝□12lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.简言之：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的□13瞬时变化率．导数概念的理解(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会等于0.(2)若f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值．(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝limΔx→0f(x)－f(x0)x－x0与概念中的f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx意义相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．(3)函数y＝f(x)＝1x在x＝－1处的导数可表示为________．答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x＝－1探究1求函数的平均变化率例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)Δx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.[结论探究]在例1中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取12时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．解由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝12时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝12时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5.所以k1<k2<k3.拓展提升求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)得平均变化率ΔyΔx＝f(x1)－f(x0)x1－x0.【跟踪训练1】(1)若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则ΔyΔx＝()A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx答案 C解析∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，∴Δy Δx ＝4Δx＋(Δx)2Δx＝4＋Δx.(2)y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．答案1x0＋Δx＋x0解析∵Δy＝x0＋Δx－x0，∴y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为Δy Δx ＝x0＋Δx－x0Δx＝1x0＋Δx＋x0.探究2求平均速度与瞬时速度例2 若一物体运动的位移s 与时间t 关系如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎨⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]上的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]上的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24 (m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18， 所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为 lim Δx →0ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt－12，所以物体在t＝1处瞬时变化率为lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.拓展提升求物体的初速度，即求物体在t＝0时刻的速度，很容易误认为v0＝0，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是从静止开始的直线运动．【跟踪训练2】已知质点M做直线运动，且位移随时间变化的函数为s＝2t2＋3(位移单位：cm，时间单位：s)．(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求Δs Δt；(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求Δs Δt；(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．解ΔsΔt＝s(t＋Δt)－s(t)Δt＝2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3)Δt＝4t＋2Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，ΔsΔt＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)当t＝2，Δt＝0.001时，ΔsΔt＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．探究3求函数f(x)在某点处的导数例3求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解]Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx∴Δy Δx ＝2(Δx)2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.拓展提升(1)求函数在某点处的导数可以分为以下三步：①计算Δy；②计算ΔyΔx；③计算limΔx→0ΔyΔx.(2)求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再代入变量求导数值．【跟踪训练3】(1)函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.52C．1 D．0答案 D解析因为y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0x＋Δx＋1x＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫x＋1xΔx＝limΔx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x(x＋Δx)＝1－1x2，所以y′|x＝1＝1－1＝0.故选D.(2)若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.答案2m解析∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴lim Δx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.1.函数在一点处的导数就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量.2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值.1．函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为() A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)答案 D解析分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．故选D.2．若函数f(x)＝2x2的图象上有点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy Δx的值为()A．4 B．4xC．4＋2(Δx)2D．4＋2Δx 答案 D解析ΔyΔx＝2(1＋Δx)2－2×12Δx＝4＋2Δx.故选D.3．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.答案 2解析因为Δy＝f(5＋Δx)－f(5)＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，所以Δy Δx ＝2，所以f′(5)＝limΔx→0ΔyΔx＝2.4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的单位：m；时间的单位：s，则t＝2 s时，汽车的瞬时速度是________．答案 4 m/s解析s′(2)＝limΔt→02(2＋Δt)3－5(2＋Δt)2－(2×23－5×22)Δt＝limΔt→0(4＋7Δt＋2Δt2)＝4.5．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．解(1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt.(2)由(1)知ΔsΔt＝－6－3Δt，当Δt无限趋近于0时，limΔt→0ΔsΔt＝－6，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6.A级：基础巩固练一、选择题1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1 B．－1C．2 D．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.2．某个沿直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt ，物体的位移为Δs ，则ΔsΔt 为( ) A ．物体从时间t 到t ＋Δt 的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．物体从时间t 到t ＋Δt 的加速度 答案 A解析 根据平均变化率的物理意义易知选A.3．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋Δx D ．2＋(Δx )2答案 C解析 自变量的改变量为Δx ，函数改变量为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴平均变化率为ΔyΔx ＝Δx ＋2.4．已知lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝1，则f ′(x 0)＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12 答案 C解析 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝12lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx ＝12.5．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的瞬时速度为( ) A ．4＋4t 0 B ．0 C ．8t 0＋4 D ．4t 0＋4t 20 答案 C解析 Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝4(Δt )2＋4Δt ＋8t 0Δt ，Δs Δt ＝4Δt ＋4＋8t 0，lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(4Δt ＋4＋8t 0)＝4＋8t 0.6．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a等于()A．－1 B.12C．1 D.13答案 C解析∵f′(－1)＝limΔx→0f(－1＋Δx)－f(－1)Δx＝limΔx→0a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2Δx＝a limΔx→0(－1＋Δx)3＋1Δx＝a limΔx→0(Δx2－3Δx＋3)＝3a，∴3a＝3，∴a＝1.二、填空题7．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.答案 1解析∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t20＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，∴lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1.8．若f′(x0)＝2，则limk→0f(x0－k)－f(x0)2k的值为________．答案－1解析limk→0f(x0－k)－f(x0)2k＝－12limk→0f(x0－k)－f(x0)－k＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1.9．已知函数y＝f(x)＝1x，则f′(1)＝________.答案－1 2解析f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx(1＋1＋Δx)＝－12.三、解答题10．若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．解根据导数的定义：∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)]－(2x20＋4x0)＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，∴f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝limΔx→0(2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.∴f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.B级：能力提升练1．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)Δx＝－4Δx＋Δx－(Δx)2Δx＝－3－Δx，∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．2．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)分别表示什么；(2)求第1 s内高度的平均变化率；(3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．解(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度．(2)ΔhΔt＝h(1)－h(0)1－0＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.(3)h′(1)＝limΔt→0ΔhΔt＝limΔt→0h(1＋Δt)－h(1)Δt＝limΔt→0[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加．。
3.1变化率导学案
3.1变化率与导数导学案【学习目标】1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.4.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念，。
【教学重、难点】重点：理解平均变化率及瞬时变化率的概念;会求函数在某点处附近的平均变化率.难点：体会由平均变化率到瞬时变化率的变化过程. 【预习案】1. 函数的平均变化率及其意义 （1）平均变化率__________________________称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率，简记作：y xD D 。
（2）几何意义平均变化率的几何意义是表示函数y=f(x)图象上割线AB 的______（其中A(x 1, f((x 1)),B(x 2, f(x 2))， 即AB k =________=1212)()(x x x f x f --。
（3）物理意义平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s=s(t)在时间段[t 1, t 2]上的______，即1212)()(t t t s t s v --=。
（4）作用平均变化率可以刻画 在 上变化的快慢。
平均速度可以刻画 在 的快慢。
2. 瞬时速度我们把物体在______的速度称为瞬时速度。
3. 瞬时变化率 （1）定义：一般地，函数()y f x =在自变量x 从0x 变到1x 时，设 ， ，则当 时，平均变化率 趋于函数()y f x =在x=x 0处的瞬时变化率。
（2）作用瞬时变化率可以刻画 在 变化的快慢。
【探究案】【例1】自由落体运动过程中，物体走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为221,9.82s gt g g m s ==其中为重力加速度（），计算物体t 从3 s 到3.1 s 时间段内的平均速度.【练1】自由落体运动过程中，物体走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为221,9.82s gt g g m s ==其中为重力加速度（），计算物体t= 3s 时的瞬时速度. 【解】【例2】求y=2x 2＋1在x 0到x 0＋△x 之间的平均变化率。
高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝ΔfΔx ，称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 ΔfΔx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程1.平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 2.瞬时变化率[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．应用变式3求y ＝f(x)＝123++x x 在x ＝1处的导数．[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )Δx的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx)22．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．6B ．18C ．54D ．813．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )A ．Δx －3B ．(Δx)2－3ΔxC ．－3D ．0 二、填空题5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业 一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 25．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52C ．1D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )2h等于( ) A ．f ′(a ) B.12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )二、填空题11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h.17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．3.1.2导数的几何意义 学习目标1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重、难点重点：导数的几何意义．难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ = ②导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程1.求割线的斜率[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．2.用定义求切线方程[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx2D ．63.求切点坐标[例3] 抛物线y ＝2x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．应用变式2 若抛物线y ＝2x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.4.导数几何意义的应用[例4] 若抛物线y ＝42x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．应用变式3 求抛物线y ＝42x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．[例5] 曲线y ＝3x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．应用变式4已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0B ．4x －y ＋1＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3x ＋1相切的直线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．曲线y ＝－22x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π43．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,1),(－1，－1)C ．(2,8)D ．(－12，－18)二、填空题5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．6．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．三、解答题7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程．课后强化训练 一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－12．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 学习目标1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点重点：常数函数、幂函数的导数难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝nx (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝xa ，则f ′(x)＝．若f(x)＝xe ，则f ′(x)＝ .4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程1.导数公式的直接应用[例1] 求下列函数的导数．(1)y ＝2a (a 为常数)． (2)y ＝12x . (3)y ＝cosx.应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x(4)y ＝log 2x2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．应用变式2 已知f (x )＝n x1，且f ′(1)＝－13，求n .3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．应用变式3 求曲线y ＝32x 的斜率等于12的切线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－144．下列结论中不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3二、填空题5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题7．求抛物线y ＝2x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．课后强化训练 一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )6．已知函数f (x )＝21x ，则'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )7．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 210．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．13．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．14．y ＝10x在(1,10)处切线的斜率为 ． 三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝55x17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,4π且与在这点处的切线垂直的直线方程．3.2.2 导数的运算法则 学习目标能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)·g(x))′＝ ． 2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝ 学习过程1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .应用变式1求下列函数的导数：(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 2·cos x 22.求导法则的灵活运用[例2] 求函数y ＝sin 4x4＋cos 4x4的导数．应用变式2求函数y ＝－sin x2(1－2sin 2x4)的导数．3.利用导数求有关参数[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++234的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．应用变式3已知抛物线y ＝72-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 课堂巩固训练 一、选择题1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( )A ．y ′＝cosxB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin2x －cos2x)D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1(x 3＋2x ＋1)2B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2D.－3x2(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a(a －b)C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·lnx 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x二、填空题5．函数y ＝143223-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题7．函数f(x)＝123+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.课后强化作业 一、选择题1．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 22．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1033．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．124．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x6．函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的导数为( ) A ．－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π B ．cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π C ．－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π D ．－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 49．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)= ．12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .14．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．17．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数知识梳理1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝133+-x x (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)应用变式1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x x x 9323-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)2.利用导数证明不等式[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． 应用变式3已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[例4] 已知函数f(x)＝32x a x-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，1)上是减函数3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2xB ．x xeC ．3x x -3D ．－x ＋ln(1＋x)二、填空题5．函数f(x)＝x x -3的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．课后强化作业 一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0内部C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞02．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞)D ．(－12，0)及(0，12)3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤136．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件你B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2 9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 ．12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．三、解答题 15．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数知识梳理1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得，并把0x 称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧，右侧，那么f(0x )是极值；(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程1.利用导数求函数的极值[例1] 求函数y ＝133+-x x 的极值．应用变式1函数y ＝x x x 9323--(－2＜x ＜2)有( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值[例2] 求函数f(x)＝1223+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．应用变式2求函数f(x)＝2824+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．3.求函数极值的逆向问题[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+44ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥22c -恒成立，求c 的取值范围．[例5] 已知f(x)＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－17C ．最大值为3，最小值为－17D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3x ＋1 的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在4．y ＝f(x)＝a x x +-2332的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6 B ．0 C ．5D ．1二、填空题5．(2009·辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ .6．函数y ＝x ·ex 的最小值为________． 三、解答题7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．课后强化作业 一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )A ．y 有极小值0，且0也是最小值B ．y 有最小值0，但0不是极小值C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.388．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为09．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( )A ．y 有极小值，但无极大值B ．y 有极小值0，但无极大值C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．16．求下列函数的最值(1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22ππx .17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．3.4生活中的优化问题举例学习过程1.面积、容积最大问题[例1] 在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？应用变式1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．2.利用导数解决几何中的问题[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？应用变式2已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．3.获利最大[例3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．应用变式3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．[例4] 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？课堂巩固训练一、选择题1．三次函数当x ＝1时,有极大值4;当x ＝3时,有极小值0,且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x x x 9623++B ．y ＝x x x 9623+-C ．y ＝x x x 9623--D ．y ＝x x x 9623-+2．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <123．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V二、填空题5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________．6．函数f(x)＝)2(2x x -的单调递减区间是________．三、解答题7．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？课后强化作业一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm 6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．508．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3V B.3V π C.34V D ．23V 2π9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为___．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？。
《111变化率与导数》导学案
第一章 导数及其应用§1.1.1 变化率问题 学习目标 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）二、新课导学学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆=或者2x =，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆=；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.三、典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，1.1]；练习. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？四、总结提升学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 学习评价当堂检测（限时：15分钟）：一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.94．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.15．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx6．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx等于( ) A ．2 B ．2x C ．2＋Δx D ．2＋(Δx )27．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )A ．6.3B ．36.3C ．3.3D ．9.38．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B.Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt D.s (t )t10．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx )2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(1＋Δx )2 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. 12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x的平均变化率为________． 13．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________三、解答题14．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．15．过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率．16．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？17．路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．。
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(导学案)
5.1.1变化率问题 导学案1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ . 某一时刻； lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x－f x0x－x0＝f x0＋Δx－f x0Δx为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y ＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0．(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx．2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f (x0＋Δx)B．f (x0)＋ΔxC．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是()A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1一、学习导引在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。
变化率问题导学案
变化率问题及导数概念 使用时间：2012年3月20日【使用说明与学法指导】1.先精读一遍课本P .2—P .6，用红色笔把重点、难点画出来，再做课前预习案，遇到问题再重点读相关知识。
牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过30分钟。
AA 完成所有题目，BB 完成（**）外的所有题目，CC 完成不带（*）题目。
2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引导作用，控制讨论节奏。
4.必须掌握的思想：逼近思想. 【学习目标】1．通过实际问题来体会导数产生的时代背景 2．会用定义求闭区间上的函数的平均变化率. 3．理解导数的定义并会求函数在某点处的导数值.4．自主学习，合作交流，探究并归纳出求函数的平均均变化率及函数在某点处的导数值的规律与方法。
5．激情投入，高效学习，养成扎实严谨的数学思维品质。
重点难点：函数的平均变化率及其几何意义和物理意义； 一、课前预习案1.（C ）函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 ，简记为： ；2. (C)平均变化率的物理意义是运动的路程关于时间t 的函数()S S t =在时间段12[,]t t 的 ，即v = ；3. (B) 平均变化率的几何意义是什么？4.(C) 瞬时速度的定义为：5. (B)如何理解x ∆，y ∆及x ∆的取值情况如何？6. (A)如何理解0lim x ∆→？7.(B) 运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎么表示？8.(B) 函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率怎么表示？9.(B) 函数()y f x =在0x x =的导数怎么表示？练一练1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 22．一质点运动的方程为253S t =-，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为 A ．36t -∆- B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t ∆+ 3．在函数21y x =+的图象上取一点(1,2)A 及附近一点(1,2)B x y +∆+∆，则斜率A B k = A ．12x x∆++∆ B ．12x x∆--∆ C ．2x ∆+D ．12x x+∆-∆4．一物体的运动方程是1()S t t=，当3t =时的瞬时速度为A ．18B ．19C ．18- D ．19-（**）5. 函数()4f x ax =+，若(1)2f '=，则a 的值为 A ．2 B ．2- C ．3D ．3-（*）6. 下列是函数()f x 在点0x x =的导数的是 A ．0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ B ．0000()()()limx f x x f x f x x∆→-∆-'=-∆C ．0000(2)()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ D ．0000(2)()()lim3x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆我的疑惑：。
2018年 选修2-2导学案001§1.1.1变化率问题导学案
高二数学选修2-2 编号:SX--XX2-2--001
第一章导数及其应用
§1.1.1变化率问题导学案
编写人：张维国 审核人： 使用时间：2018-3-1
班级：____________ 组名：____________ 姓名：____________
【学习目标】：理解平均变化率的概念；
了解平均变化率的几何意义；
会求函数在某点处附近的平均变化率
【学习过程】：
1、平均变化率概念:_______________________________________
2、公式： =∆∆=∆∆x f
x y
___________________________________-
3、平均变化率的几何意义:_______________________________________
例1．已知f (x )=x x +-2的点)2,1(--A ，)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x y ．
例2.求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率
【本课小结】：求平均变化率的步骤：
平均变化率的几何意义：
【小试身手】：练习册第3页随堂检测。
变化率问题导学案
龙江一中2014-15学年度( 下)高二 年级 《问题导学、探究发现》导学案 编号 001 编制人: 审核人: 宫长远 使用时间: 班级: 姓名: 教师评价:实验班学生完成所有内容，普通班学生完成带*号以外的内容。
1探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、合作探究1.上述问题中的变化率可用式子_____________表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为:=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f ∆-∆+=)()(________________11 观察函数)(x f 的图象3.平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典型例题例1.已知函数f (x )=2x +1, g (x )=-2x ,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f (x )及g (x ) 的平均变化率.例 2. 求122+=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率并计算当,10=x 21=∆x 时平均变化率的值.例3. 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.四、拓展达标1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线,求出当1.0=∆x 时割线的斜率4．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆ 5．正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？6. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππD ()24R ∆π。
人教A版选修2-2 变化率问题及导数的概念导学案 .docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作变化率问题及导数的概念导学案一、 学习目标：1. 会说出平均变化率的概念和几何意义、物理意义；2. 会求函数在某点处附近的平均变化率；3. 了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念。
二、掌握以下概念和原理： 问题1 气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.（1）当V 从0增加到1时,气球半径增加了__________.气球的平均膨胀率为___________. （2）当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________. 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，________.；在21≤≤t 这段时间里，_________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ______.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=__________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f _________,于是，平均变化率可以表示为_____________思考：观察函数f (x )的图象说出平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? 总结计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y 2-y 1； 问题4 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为________。
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《3.1.1:变化率问题》导学案
总体把握 明确目标
自主阅读：阅读P 71、P 106及查阅相关资料，了解微积分创立的时代背景和历史意义。
全球气候变化问题：我们知道，近百年来全球平均气温呈波动上升趋势，那么我们如何量化平均气温在某时期内变化的快慢程度？
本节课我们先来学习微积分的基础知识——变化率问题，在学习中应达到以下学习目标：
1. 理解平均变化率的概念和意义，掌握求函数平均变化率的基本步骤；
2. 体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法；
3. 感受自主、合作和探究学习的快乐，增强学习信心。
情境探究 寻找联系
问题情境:现有某地某年3月和4月某天日最高气温记
载.
活动1: 带着下面问题，先自主思考后小组讨论，然后小组代表展现合作成果，其它成员补充。
问题1：A 到B 和B 到C 这两段时间里哪一段的温度差较大？请计算出来。
问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”为什么？
问题3：我们如何用温度差和时间差来描述气温变化的快慢程度？你的依据是什么？
意义建构 尝试理解
在小组里面思考与讨论下列问题：
问题4：若把气温C 看作时间t 的函数，即)(t f C =,则1t 至2t 这段时间内气温的平均变化率如何表示？
问题5：若函数关系为)(x f y =,那么当x 从1x 增加到2x 时，其平均变化率如何表示？
概念形成 深度理解
阅读课本P 73关于平均变化率的概念,让学生发言对平均变化率概念的理解，然后由教师进一步总结变化率概念，并且充分利用黑板，列出变化率概念，以及概念中主要注意的关键词是哪些，这样达到学生深刻理解概念。
最后在理解的基础上总结求函数平均变化率的关键步骤。
交流分享 内化知识
例：某位运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 存在函数关系：105.69.4)(2
++-=t t t h ，请完成以下任务。
任务1.思考：在物理学中的平均速度跟我们今天学习的平均变化率有什么联系？
任务2.计算该运动员在以下时间段里的平均速度：
(1)[]2,1 (2)[]21,t t 。
增加让学生举出体现平均变化率的例子，让学生感受数学源于生活，而高于生活，并且养成学生用心观察，体验生活中的数学。
实践反馈 巩固新知
活动7:先自主完成以下练习，然后小组展示与互助，组间互评。
A 题：已知13)(+=x x f ，分别求其在下列区间上的平均变化率,然后总结求平均变化率的关键步骤。
（1）[]2,1 （2）[]n m ,
B 题：已知2)(x x f =,分别求其在下列区间上的平均变化率。
（1）[]1,1- （2）[]x x x ∆+00,
老师讲评时不仅要给予学生肯定，最后也要给出正确的答案。
总结反思 分享收获
请分享你在本节课中的收获与困惑。
1.学到了哪些知识：
2.用到了哪些方法：
2.你还有什么困惑：
老师也要进行结课，学生的发言后，老师应进一步总结，深化知识体系。
课后探究 知识延伸
探究1：以小组为单位，完成课本P 73中的探究活动。
探究2：观察函数)(x f 的图象，讨论：当1x 逼近2x ，即x ∆
逼近于0时，其割线AB斜率的变化趋势是怎样的？。