初中数学最新版《利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题2》精品导学案(2022年版)

第2课时利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题
学习目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题和平均变化率问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的
意识。

学习重点：
学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题和平均变化率问题．
学习难点：
如何找出等量关系。

学习过程：
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，假设每件的售价为a元，那么可卖出〔350
—10a〕件，商场方案要赚450元，那么每件商品的售价为多少元？
二、典型例如：
例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了扩大
销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，在一定范围内，衬衫
的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。

如果商场通过销售这批衬衫每天要盈
利1200元，衬衫的单价应降多少元？
例2 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.这些学生在初一时种了400棵，假设平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.〔精确到0.1%〕分析至今已成活2000棵，指的是连续三年春季上山植树的总和.
解设这个年级每年植树数的平均增长率为x，那么
第二年种了400(1+x)棵；
第三年种了400(1+x)2棵；
三年一共种了400＋400(1+x)＋400(1+x)2棵；
三年一共成活了[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％棵.
根据题意列方程得
[400＋400(1+x)＋400(1+x)2]×95％＝2000
解这个方程得
x1≈0.624=62.4%
x2≈-3.624=-362.4%
但x2=-362.4%不合题意，舍去，所以
x=62.4%．
答这个年级每年植树数的平均增长率为62.4% .
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培
养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
分层训练：
一、根底稳固
1、某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。

设平均每次降价的百分率为x，以下所列方程中正确的选项是〔〕
A、100〔1+x〕2=120
B、100〔1-x〕2=120
C、120〔1+x〕2=100
D、120〔1-x〕2=100
2. 将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个，经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个，为了赚8000元，假设设求涨价x元，根据题意可列方程为〔〕 A．〔x-40〕(500-10x)=5000 B.〔x-40〕[500-10(x-40)]=5000
C.〔10-x〕[500-10(x-40)] =5000
D.〔10-x〕(500-10x)=5000
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取降价措施．经调研发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件. 〔1〕每降价1元，每件盈利元，商场平均每天可售出件，共盈利元.
〔2〕每降价元，每件盈利元，商场平均每天可售出件，共盈利元.
〔3〕每降价x元，每件盈利元，商场平均每天可售出件，共盈利元.
〔4〕设商场每件衬衫降价x元，每天要盈利1200元，列出方程是．
4、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。

为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。

调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。

商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？
5.某服装店花1200元进了一批服装，按40％的利润定价，无人购置，决定打折出售，但仍无人购置，结果又一次打折后才售完，经结算这批服装共盈利280元，假设两次打折相同，问每次打了多少折？
二、拓展延伸：
6、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查说明：这种台灯的售价
每上涨一元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
7、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商
品售价减少销售量的方法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元,其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
三、探究创新：
8、某商场销售某种品牌的纯牛奶，进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元3之间。

市场调查发现：假设每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价
格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。

⑴写出平均每天销售y〔箱〕与每箱售价x〔元〕之间的关系式；
⑵求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W〔元〕与每箱牛奶的售价x〔元〕之间
的关系式〔每箱的利润＝售价－进价〕；
⑶当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为900元？
⑷当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？
第1课时
教学目标
1．知识与技能
会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．
2．过程与方法
经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，开展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观
通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．
重点难点
1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．
2．难点：平方差公式的应用．对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜测，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．
教学方法
采用“情境──探究〞的教学方法，让学生在观察、猜测中总结出平方差公式．
教学过程
一、创设情境，故事引入
【情境设置】
教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事
【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这那么故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？
【学生答复】多项式乘以多项式．
【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．
【问题牵引】计算：
〔1〕〔x+2〕〔x－2〕；〔2〕〔1+3a〕〔1－3a〕；
〔3〕〔x+5y〕〔x－5y〕；〔4〕〔y+3z〕〔y－3z〕．
做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．
【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：
〔1〕〔x+2〕〔x－2〕=x2－4；
〔2〕〔1+3a〕〔1－3a〕=1－9a2；
〔3〕〔x+5y〕〔x－5y〕=x2－25y2；
〔4〕〔y+3z〕〔y－3z〕=y2－9z2．
【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．
【学生活动】讨论
【教师引导】刚刚同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚刚同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？
【学生答复】可以用〔a+b〕〔a－b〕表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即〔a+b〕〔a－b〕=a2－b2．
用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．
二、范例学习，应用所学
【教师讲述】
平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．
【例1】运用平方差公式计算：
〔1〕〔2x+3〕〔2x－3〕；
〔2〕〔b+3a〕〔3a－b〕；
〔3〕〔－m+n〕〔－m－n〕．
填表：
【例2】计算：
〔1〕103×97
〔2〕〔3x－y〕〔3y－x〕－〔x－y〕〔x+y〕
通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．
三、随堂练习，稳固新知
课本P108练习第1、2题．
四、课堂总结，开展潜能
本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．
五、布置作业，专题突破
课本P112第1、2题．。