江门数学 二次函数中考真题汇编[解析版]
专题04 二次函数(广东专版)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)
专题04 二次函数1．（2019•深圳）已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y=ax+b和ycx=的图象为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a<0，b>0，c<0，∴y=ax+b过第一、二、四象限，双曲线ycx=在第二、四象限，∴选项C是正确的．故选C．【名师点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．2．（2019·广东初三中考模拟）抛物线y=（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A．（4，-5），开口向上B．（4，-5），开口向下C．（-4，-5），开口向上D．（-4，-5），开口向下【答案】A【解析】由y=（x-4）2-5，得开口方向向上，顶点坐标（4，-5）．故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y=a（x-h）2+k，a>0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a<0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3．（2019·广东初三中考模拟）将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是A ．()22y x =-B ．()226y x =-+C ．2y x =D ．26y x =+ 【答案】C【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y =（x -1+1）2+3-3．故得到的抛物线的函数关系式为：y =x 2．故选C ．【名师点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（2019·广州大学附属中学初三中考模拟）在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随着x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >-1【答案】A【解析】∵a =-1<0，∴二次函数图象开口向下，∵对称轴是直线x =1，∴当x <1时，函数图象在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．故选A ．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据a 的取值判断图象的开口方向，并计算出二次函数的对称轴，根据图象性质判定x 的取值范围．5．（2019·广东初三中考模拟）二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx -t =0（t 为实数）在-1<x <4的范围内有解，则t 的取值范围是A ．0<t <5B ．-4≤t <5C ．-4≤t <0D ．t ≥-4【答案】B【解析】∵对称轴为直线x =2，∴b =-4，∴y=x2-4x，关于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=t的交点，∵-1<x<4，∴二次函数y的取值为-4≤y<5，∴-4≤t<5，故选B．【名师点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．6．（2019·广东初三中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-b和二次函数y=-ax2-b的大致图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标-b大于零，故A正确；B、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标-b大于零，故B错误；C、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时抛物线y=-ax2-b的顶点的纵坐标大于零，故D错误，故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7．（2019·广东初三中考模拟）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x =－1；②c =3：③ab >0；④当x <1时，y >0；⑤方程20ax bx c ++=的根是13x =-和21x =，正确的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】由图象可知对称轴为直线x =-1，故①正确，∵抛物线与y 轴的交点为（0，3），∴c =3，故②正确，∵对称轴x =-2b a=-1， ∴ab >0，故③正确，∵对称轴为x =-1，抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），∴当-3<x <1时，y >0，故④错误，∴方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1=-3和x 2=1，故⑤正确，综上所述：正确的结论有①②③⑤共4个，故选C ．【名师点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．8．（2019·广东初三中考模拟）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线x =1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是A ．（0，12-） B ．（12-，0） C ．（0，-1）D ．（-1，0）【答案】D 【解析】∵点A 的坐标为（3，0），∴点A 关于x =1的对称点的坐标为（-1，0）．故选D ．【名师点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A 的对称点的坐标是解题的关键．9．（广东省广州市天河区2019届九年级第一次诊断性检测数学试题）下列关于函数y =x 2-6x +10的四个命题：①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3-n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n -4）个；④若函数图象过点（x 0，m ）和（x 0-1，n ），则m <n ，其中真命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】①y =（x -3）2+1，所以函数的最小值是当x =3时，y 有最小值1，故①错误；②n 为任意实数，x =3+n 与x =3-n 关于对称轴x =3对称，所以函数值相等，故②错误；③若n >3，且n 是整数，当x =n 时，y =（n -3）2+1，当x =n +1时，y =（n -2）2+1，相减得2n -5，所以整数值有（2n -4）个，故③正确；④函数开口向上，所以距离对称轴越近函数值越小，若m <n ，所以（x 0，m ）更靠近对称轴x =3，在不能确定x 0的值时，该项错误，故只有一个正确的真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题真假的判断，二次函数的性质，属于简单题，熟悉二次函数的性质是解题关键．10．（2019·广东初三中考模拟）已知抛物线y =ax 2-3ax -4a （a ≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【解析】（1）该抛物线的对称轴为x =-32a a -=32． （2）234y ax ax a =--可化为()()14y a x x =+-，当()()140x x +-=，即1x =-或4时，0y =，∴抛物线一定经过点()1,0-，()4,0．【名师点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大．11．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校初三中考模拟）某纪念品专卖店上周批发买进100件A 纪念品和300件B 纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A 纪念品和100件B 纪念品，花费6200元． （1）求每件A 纪念品和B 纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A 纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a 为多少时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大？并求出最大利润．【解析】（1）设每件A 纪念品的批发价为x 元，B 纪念品的批发价的为y 元，依题意10030096002001006200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得1826x y =⎧⎨=⎩， 即每件A 纪念品的批发价为18元，B 纪念品的批发价的为26元．（2）由（1）知每件A 纪念品的批发价为18元，依题意得W =（a -18+a -30）[200-10（a -30）]=（2a -48）（500-10a ）=-20a 2+1480a -24000整理得W =-20（a -37）2+3380∵-20<0∴W 有最大值，即当a =27时，有最大值3380，即当每件的销售价a 为37元时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大为3380元．【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出方程组或解析式是解题的关键．12．（2019·广东初三中考模拟）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y套．[参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）]． （1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）y =240-60205x -⨯， ∴y =-4x +480（x ≥60）．（2）根据题意可得，x （-4x +480）=14000，解得，x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意，得w =（x -40）（-4x +480），=-4x 2+640x -19200，=-4（x -80）2+6400，∵-4<0，∴当x =80时，w 的最大值为6400，∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值，弄清题意，找准各量间的关系并熟练相关的公式是解题的关键．。
2020年广东省江门市中考数学压轴题二次函数题库及答案解析(共100题)
2020年广东省江门市中考数学压轴题题库及答案解析（二次函数综合共100题）1．如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出B、C两点坐标即可解决问题；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），构建二次函数，利用二次函数的性质求出点F坐标，因为点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，求出直线AF的解析式即可解决问题；（3）如图2中，分三种情形①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q（0，m），构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B （4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存。
【中考真题汇编】：二次函数综合专题(含答案)
真题汇编姓名：二次函数综合专题26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分 (2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时， 依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-，∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上．（3）m 的取值范围是m ≤m26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26．解：抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a =，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.① 1m b ==，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线243y ax ax a=-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1 + x2的值．)22a-，∴对称轴为x= 2．………………………………………1分∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a= -2．………………………………………2分∴抛物线的表达式为2286y x x=-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b=或-6≤b<0. ………………6分由图象的对称性可得：x1+x2=2．………………7分x y26．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠个单位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．解:（1）()A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+，如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =.∴抛物线2G的表达式为23y x =-+，即223y x x =+ ………………… 5分②m <<-. ………………… 7分 26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分24．如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ．（1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l :y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′ 26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)；②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”， 平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a =……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-6分 ∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．26.（1） 解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是错误！未找到引用源。
中考数学 二次函数综合试题含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2；【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x2+32x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，-2）．设直线BD的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12．∴直线BD的解析式为y=12x-2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x2+32x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），①当A1、C1在抛物线上时，∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】【分析】 （1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF 2EH EF ==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4），∵B （3，0），∴直线BC ：4 y 43x =-+ ∵DA ＝DB ， △DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ，连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小，∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长，当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ，∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF 2EH EF==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125，∴PH＝BH＝125，BP＝245，∴OP＝BP﹣OB＝249355-=，∴P3（﹣95，0）；③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，∴PB BKBN OB=∴PB＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键3．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，92），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，∴P （2+t ，92﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=92﹣t ， 整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴线段CD 的长为2； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，92）移到原点O 的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位， 而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ， ∴E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ）， 当m ＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，72）； 当m ＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣72）； 综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.4．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
中考数学二次函数综合题汇编含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论2．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．考点：二次函数综合题．3．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）223）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x =2±，∴ S =12222⨯=12x x ；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．4．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数（）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）；（2）E 的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）先求得直线BC 的解析式为，则可设E （m ，），然后分三种情况讨论即可求得； （3）利用△PBD 的面积即可求得．试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、C（8，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，∵△PBD的面积===，∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．考点：二次函数综合题．5．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ， 将（40，140），（60，120）代入得4014060120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，将（90，30），（60，120）代入得903060120m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：3300m n =-⎧⎨=⎩，∴y ＝﹣3x +300；综上所述，y ＝180(4060)3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩；（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，综上所述，W ＝222105400(4060)33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，∵﹣1＜0，对称轴x ＝2102--＝105，∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，∵﹣3＜0，对称轴x ＝3906--＝65，∵60＜x ≤90，∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，∴当x ＝65时，W 最大＝3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．6．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =++-；（2）存在，点(12)P ，；（3）存在，点M 坐标为(14)， 【解析】 【分析】（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，），故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把1x ＝代入即求得点P 纵坐标．（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）∴可设交点式13y a x x +＝（）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝1a ∴＝﹣21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣∴抛物线解析式为223y x x ++＝-（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称PA PB ∴＝PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小103003A B C （﹣，）、（，）、（，）AC BC ∴===PAC C AC CB ∆∴+＝设直线BC 解析式为3y kx +＝把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣ ∴直线BC ：3y x +＝﹣132P y ∴+＝﹣＝∴点12P （，）使PAC ∆．（3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝．∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC ∴当以PA 为底时，两三角形等高 ∴点C 和点M 到直线PA 距离相等 ∵M 在x 轴上方//CM PA ∴1012A P （﹣，），（，），设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1d 1=⎧⎨=⎩∴直线1AP y x +：＝∴直线CM 解析式为：3y x +＝2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩ 解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），2214x y =⎧⎨=⎩∴点M 坐标为14（，）【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．7．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m . (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能. 【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．8．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)． (1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】 【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案. 【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值； (2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点， ∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点， ∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点， 画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象， 可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时，a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.9．如图，直线y=﹣x+分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想10．已知抛物线27y x3x4=--的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（34，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点．①点G是否在直线l上，请说明理由；②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1） D（32，﹣4）（2） P（0，74）或（0，17）（3）详见解析【解析】【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D的坐标．（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，再分OA和OA是对应边，OA和OC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解．（3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可．②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点．再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．【详解】解：（1）在27y x 3x 4=--中，令y=0，则27x 3x 04--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0， 解得x 1=12-，x 2=72．∴A （12-，0），B （72，0）． 在27y x 3x 4=--中，令x=0，则y=74-．∴C （0，74-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41⎛⎫⨯⨯--- ⎪--⎝⎭-=-===-⨯⨯，，∴顶点D （32，﹣4）． （2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ． 设点P 的坐标为（0，y ），∵A （12-，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=74，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴OP OA OC OA =．∴y=OC=74，此时点P （0，74）． ②若OA 和OC 是对应边，则△POA ∽△AOC ，∴OP OAOA OC=，即1y 21724=．解得y=17，此时点P （0，17）．综上所述，符合条件的点P 有两个，P （0，74）或（0，17）． （3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），∵直线l 经过点E （32-，0）和点F （0，34-）， ∴3k b 023b 4⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1k 23b 4⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线l 的解析式为13y x 24=--． ∵B （72，0），D （32，﹣4）， ∴[]1735104222222+=+-=-（），（），∴线段BD 的中点G 的坐标为（52，﹣2）．当x=52时，153y 2224=-⨯-=-，∴点G 在直线l 上． ②在抛物线上存在符合条件的点M ．设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，则点H 的坐标为（32，0）， ∵E （32-，0）、F （0，34-），B （72，0）、D （32，﹣4）， ∴OE=32，OF=72，HD=4，HB=72﹣32=2． ∵，∠OEF=∠HDB ，∴△OEF ∽△HDB ．∴∠OFE=∠HBD ． ∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°． ∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD ） =180°﹣90°=90°，∴直线l 是线段BD 的垂直平分线． ∴点D 关于直线l 的对称点就是点B ． ∴点M 就是直线DE 与抛物线的交点． 设直线DE 的解析式为y=mx+n ， ∵D （32，﹣4），E （32-，0）， ∴，解得．∴直线DE 的解析式为．联立，解得，．∴符合条件的点M有两个，是（3，﹣4）或（，）．2。
2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =−≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，12AB =，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为()012x x <<，正方形EFGH 和等腰Rt ABC △重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P 处）的高度OP 是7m 4，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM = m ．5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =−++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB CD ⊥于点O （如图），其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得 6.6AE =m ， 1.4OE =m ，6OB =m ，5OC =m ，3OD =m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 2cm ．三、解答题7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF '为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100m OC =，17m AO BC ==，缆索1L 的最低点P 到FF '的距离2m PD =（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索2L 上，EF FF '⊥，且 2.6m EF =，FO OD <，求FO 的长．8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．9．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ． ①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A B、两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．营业额为7200元；若A B(1)求A B、两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A 类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：(1)①m =______，n =______； ②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =−+． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v 的值．19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A −，()6,0C ，反比例函数()0,0ky k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值； (2)点P 为反比例函数()0,0ky k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA ，从点O 处抛出一个小球，落到点33,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx =−+的一部分．(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B 处有一棵树，点B 是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C ，求这棵树的高度． 21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =−≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3令0=解方程即可判断【详解】解：令0=，则30，解得：10t =，∴小球从抛出到落地需要6∵()230553t t x =−−−∴最大高度为45m ，∴小球运动中的高度可以是2t =时，302=⨯−时，305=⨯−∴小球运动2s 时的高度大于运动时的高度，故③错误；2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，12AB =，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为()012x x <<，正方形EFGH 和等腰Rt ABC △重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．∴2EF x =，12BE x =−，∵45AEF B ∠=∠=︒，A ∠∴FAE EOB ∽V V ， ∴AE EO=，3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．∴HFG是等边三角形，EF=23cm∠=30OEF=EG EO2S=时，重合部分为MNG，依题意，MNG为等边三角形，运动时间为t，则NG⨯⨯NG NG6时，如图所示，12EKJ S =EKJ S S S =菱形 (3333t −−二、填空题4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P 处）的高度OP 是7m 4，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM = m ．5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =−++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当2x =时，y 的值，若此时y 的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵4m CD =，()62.68B ，， ∴642−=，在20.020.3 1.6y x x =−++中，当2x =时，20.0220.32 1.6 2.12y =−⨯+⨯+=，∵2.12 1.8>，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙OE=m，6AE=m， 1.4AB CD⊥于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得 6.6OB=m，OD=m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该OC=m，35菜地最大面积是2cm．三、解答题7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF '为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100m OC =，17m AO BC ==，缆索1L 的最低点P 到FF '的距离2m PD =（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索2L 上，EF FF '⊥，且 2.6m EF =，FO OD <，求FO 的长．8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为2cmS．(1)求y与,x s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．∵1940x ≤<，∴25x =；（3）解：()22280220800s x x x =−+=−−+∵20,-<∴s 有最大值，又1940x ≤<，∴当20x =时，s 取得最大值，此时800s =，即当20x =时，s 的最大值为8009．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．∴当60x =时，y 取得最大值为1000元．12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y （盒）与销售单价x （元）是一次函数关系，下表是y 与x 的几组对应值．(1)求y 与x 的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 的值． 【答案】(1)280y x =−+(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可；（2）设日销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量求出w 关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）设日销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量-m ×销售量求出w 关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解∶设y 与x 的函数表达式为y kx b =+， 把12x =，56y =；20x =，40y =代入，得12562040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得280k b =−⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数表达式为280y x =−+； （2）解：设日销售利润为w 元， 根据题意，得()10w x y =−⋅()()10280x x =−−+22100800x x =−+−13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A B、两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．营业额为7200元；若A B(1)求A B、两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A 类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B 类特产需540元．(1)求A 类特产和B 类特产每件的售价各是多少元？(2)A 类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A 类特产降价x 元，每天的销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B 类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出每件A 类特产降价多少元时总利润w 最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）【答案】(1)A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件 (2)1060y x =+（010x ≤≤）(3)A 类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，()1根据题意设每件A 类特产的售价为x 元，则每件B 类特产的售价为()132x −元，进一步得到关于x 的一元一次方程求解即可；()2根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；()3结合（2）中A 类特产降价x 元与每天的销售量y 件，得到A 类特产的利润，同时求得B 类特产的利润，整理得到关于x 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件A 类特产的售价为x 元，则每件B 类特产的售价为()132x −元． 根据题意得()35132540x x +−=． 解得60x =．则每件B 类特产的售价1326072−=（元）．答：A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件． （2）由题意得1060y x =+∵A 类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴010x ≤≤．答：1060y x =+（010x ≤≤）．（3）(6050)(1060)100(7260)w x x =−−++⨯−22=−++=−−+．x x x1040180010(2)1840Q−<100,∴当2x=时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：(1)①m =______，n =______； ②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =−+． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v 的值．19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A −，()6,0C ，反比例函数()0,0k y k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数()0,0k y k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标． PMN S =()2,0A −)6,0，又AC BC =8BC =．ACB ∠=∴点(6,8B 设直线AB 将(2,0A −AC BC=PN x∥轴，BLN∴∠=PM AB∥MPL∴∠=QMP∴∠QM QP∴=设点P的坐标为PMNS=当3t=20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点33,2A⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx=−+的一部分．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．∵BOD AOE ∠=∠，BDO ∠∴OBD OAE ∽△△， ∴OD BD OB OE AE OA==， 又∵点B 是OA 的三等分点，∴1OB =，21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．，再证明EO A'是等边三角形，运用线段的和差关系重合时，和当C'与点，再分别以2 3分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．60，(A∴EO A'是等边三角形=AE AO'=−BE AB=−BE AB=−+2BE t∵由①得出EO A '是等边三角形，(122AO t ='3EAO '=，32t ⎛⎫− ⎪⎝⎭3124。
中考数学综合题专题复习【二次函数】专题解析含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QDq 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94.3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：3 4 3 2 6abc⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y=233642x x--+；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=122x--，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，设D（m，233642m m--+），则点F（m，122m--），∴DF=233642m m--+﹣（122m--）=2384m m--+，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=12×DF×AG+12DF×EH=12×DF×AG+12×DF×EH=12×4×DF=2×（2384m m--+）=23250233m-++（），∴当m=23-时，△ADE的面积取得最大值为503．（3）y=233642x x--+的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA29n+PE212n++（）AE16425+=，分三种情况讨论：当PA =PE 时，29n +=212n ++（），解得：n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 时，29n +=16425+=，解得：n =11±，此时点P 坐标为（﹣1，11±）；当PE =AE 时，212n ++（）=16425+=，解得：n =﹣219±，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣219±）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，11±），（﹣1，﹣219±）．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．4．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．5．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣32，154） （3）存在，P （﹣2，3）或P （5172-+，53172-+） 【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2E P x x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3∴A （0，3）∴直线AB 解析式为y ＝x +3∵点P 在线段AB 上方抛物线上∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）∴F （t ，t +3）∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278∴点P 运动到坐标为（﹣32，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3） ∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4 ∴对称轴为直线x ＝﹣1 ∵PE ∥x 轴交抛物线于点E∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称∴2E Px x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90° ∴PD ＝PE①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t 解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2 ∴P （﹣2，3）②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t ∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t 解得：t 1＝5172-+，t 2＝5172--（舍去） ∴P （5172-+，53172-+）综上所述，点P 坐标为（﹣2，3）或（5172-+，53172-+）时使△PDE 为等腰直角三角形．【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.6．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
最新中考数学真题汇编13二次函数(含答案解析)
二次函数一、选择题1. （•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误地是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x地增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数地性质．分析：根据抛物线地开口方向，利用二次函数地性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数地增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴地下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线地开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x地增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数地图象和性质，解题地关键是利用数形结合思想解题．2. （•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）地图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内地大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数地图象；一次函数地图象；反比例函数地图象．分析：先根据二次函数地图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数地关系和反比例函数图象与系数地关系判断它们地位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线地对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴地交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +地图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．故选B．点评：本题考查了二次函数地图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）地图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴地交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数地图象．3．(年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论地个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数地关系．分析：利用二次函数图象地相关知识与函数系数地联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴地一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴地另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线地对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c地值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确地有3个，故选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数地关系，在解题时要注意二次函数地系数与其图象地形状，对称轴，特殊点地关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0地解地方法．同时注意特殊点地运用．4．(年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象如图，且关于x地一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论地个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数地关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线地开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴地交点判断c与0地关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0地关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m地取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线地开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m =0没有实数根，∴y =ax 2+bx +c 和y =m 没有交点，由图可得，m ＞2，故③正确．故选D ．点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间地关系，会利用对称轴地范围求2a 与b 地关系，以及二次函数与方程之间地转换，根地判别式地熟练运用．5．（•新疆，第6题5分）对于二次函数y =（x ﹣1）2+2地图象，下列说法正确地是（ ） A ． 开口向下 B ． 对称轴是x =﹣1 C ． 顶点坐标是（1，2） D ． 与x 轴有两个交点考点：二次函数地性质．专题：常规题型．分析： 根据抛物线地性质由a =1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x =1，从而可判断抛物线与x 轴没有公共点．解答： 解：二次函数y =（x ﹣1）2+2地图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴没有公共点．故选C ．点评： 本题考查了二次函数地性质：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）地顶点式为y =a（x ﹣）2+，地顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x =﹣b 2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地开口向下．6．（•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m地值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或考点：二次函数地最值专题：分类讨论．分析：根据对称轴地位置，分三种情况讨论求解即可．解答：解：二次函数地对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，[来源:] 解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m地值为2或﹣．故选C．本题考查了二次函数地最值问题，难点在于分情况讨论．点评：7.（•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有地性质是（）A．开口向下B ．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x地增大而减小考点：二次函数地性质分析：根据二次函数地性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．故选B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k地性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地开口向上，x＜﹣时，y随x地增大而减小；x＞﹣时，y随x地增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线地最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地开口向下，x＜﹣时，y随x地增大而增大；x＞﹣时，y随x地增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线地最高点．8.（•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c地顶点为D（﹣1，2），与x轴地一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等地实数根．其中正确结论地个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数地关系；抛物线与x轴地交点专题：数形结合．分由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物析：线地对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线地对称性得抛物线与x轴地另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线地顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线地对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数地最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c ﹣2=0有两个相等地实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线地对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴地一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴地另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线地顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线地对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等地实数根，所以④正确．故选C．点评：本题考查了二次函数地图象与系数地关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴地交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x 轴没有交点．9．（·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上地图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？( ) A．1 B．3 C．5 D．7分析：先画出抛物线地大致图象，根据顶点式得到抛物线地对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴地距离大于点(10，8)到对称轴地距离，所以h﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线地对称轴为直线x＝h，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数地关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线地开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴地位置，当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于(0，c )；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．（·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2y x 2x 4=-++地图象，使y 1≤成立地x 地取值范围是【 】A ．1x 3-≤≤B ．x 1≤-C ．x 1≥D ．x 1≤-或x 3≥【答案】D ．【解析】试题分析：由图象可知，当y 1≤时，x 1≤-或x 3≥. 故选D ．考点：1.曲线上点地坐标与方程地关系；2.数形结合思想地应用11．（•浙江宁波，第12题4分）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴地对称点坐标为（ ） A ． （﹣3，7） B ． （﹣1，7） C ． （﹣4，10） D ． （0，10）考点： 二次函数图象上点地坐标特征；坐标与图形变化－对称．分析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数地性质列式求出a、b，再求出点A地坐标，然后求出抛物线地对称轴，再根据对称性求解即可．解答：解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A地坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴地对称点地坐标为（0，10）．故选D．点评：本题考查了二次函数图象上点地坐标特征，二次函数地对称性，坐标与图形地变化﹣对称，把点地坐标代入抛物线解析式并整理成非负数地形式是解题地关键．12.（•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF地顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD地长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分地面积为y，则下列图象中能表示y与x之间地函数关系地是（）A．B．C．D．考点：动点问题地函数图象．专题：数形结合．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形地面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠地面积等于正方形地面积减去等腰直角三角形MNE地面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数地性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，故选A．13.（•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c地图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等地实数根．”请根据你对这句话地理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x地方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0地两根，且a＜b，则a、b、m、n地大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b考点：抛物线与x轴地交点．分析：依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数地增减性求解．解答：解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）地图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点地横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程地两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1地两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选A．点评：本题考查了二次函数与一元二次方程地关系，考查了数形结合地数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂地计算．14．（年山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）地图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y =地图象可能是（）A ．BCD ．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象地性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=地图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n地取值是解题地关键．15.（年山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中地x与y地部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y地值随x值地增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0地一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确地个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：根据表格数据求出二次函数地对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数地性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y地值随x 值地增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b ﹣1）x+c=0地一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选B．点评：本题考查了二次函数地性质，二次函数图象与系数地关系，抛物线与x轴地交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象地性质是解题地关键．16.（•滨州，第9题3分）下列函数中，图象经过原点地是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y=D．y=x2﹣1考点：二次函数图象上点地坐标特征；一次函数图象上点地坐标特征；反比例函数图象上点地坐标特征分析：将点（0，0）依次代入下列选项地函数解析式进行一一验证即可．解答：解：∵函数地图象经过原点，∴点（0，0）满足函数地关系式；A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数地关系式y=3x；故本选项正确；B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数地关系式y=1﹣2x；故本选项错误；C、y=地图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数地关系式y=x2﹣1；故本选项错误；故选A．点评：本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上地点地坐标特征．经过函数图象上地某点，该点一定满足该函数地解析式．二.填空题1. （•安徽省，第12题5分）某厂今年一月份新产品地研发资金为a元，以后每月新产品地研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品地研发资金y（元）关于x地函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品地研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份地基础上又增长了x，那么三月份地研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品地研发资金为a元，2月份起，每月新产品地研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份地研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率地问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(年云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3地顶点坐标是．考点：二次函数地性质．专题：计算题．分析：已知抛物线地解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式地坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3地顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数地性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k地顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应地函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形地三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m地取值范围是．分析：根据三角形地任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数地增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形地三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：本题考查了二次函数图象上点地坐标特征，三角形地三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴地位置是解题地关键．4. （•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x +地图象经过平面直角坐标系地四个象限，那么a地取值范围是a＜﹣5 ．考点：抛物线与x轴地交点分析：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数；（II）二次函数与x轴有两个交点；（III）二次函数与y轴地正半轴相交．解答：解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①（II）二次函数与x轴有两个交点．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②（III）二次函数与y轴地正半轴相交．因此＞0，解得a＞1或a＜﹣5③综合①②③式，可得：a＜﹣5．故答案为：a＜﹣5．点评：本题考查二次函数地图象与性质、二次函数与x轴地交点、二次函数与y 轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足地条件．5. （年江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x地部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x地取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数地对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x地取值范围即可．解答：由表可知，二次函数地对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x地取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5地另一个x地值是解题地关键．6. （•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）地对称轴是过点（1，0）且平行于y轴地直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c地值为0 ．（第3题图）考点：抛物线与x轴地交点分析：依据抛物线地对称性求得与x轴地另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x轴地另一个交点是Q，∵抛物线地对称轴是过点（1，0），与x轴地一个交点是P（4，0），∴与x轴地另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．点评：本题考查了抛物线地对称性，知道与x轴地一个交点和对称轴，能够表示出与x轴地另一个交点，求得另一个交点坐标是本题地关键．7．（•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴地直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y 2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴地平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则= _______．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C地坐标，然后求出AB地长度，再根据CD∥y轴，利用y1地解析式求出D点地坐标，然后利用y2求出点E地坐标，从而得到DE地长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D地横坐标与点C地横坐标相同，为，∴y1=2=3a，∴点D地坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E地纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E地坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案为：3﹣．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点地坐标特征，根据平行与x轴地点地纵坐标相同，平行于y轴地点地横坐标相同，求出用点A地纵坐标表示出各点地坐标是解题地关键．8. （•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴地抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它地对称轴为直线x=2 ．考点：二次函数地性质分析：点（1，0），（3，0）地纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点地横坐标可求对称轴．解答：解：∵点（1，0），（3，0）地纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x==2．故答案为：直线x=2．点评：本题主要考查了抛物线地对称性，图象上两点地纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．三.解答题1. （•安徽省，第22题12分）若两个二次函数图象地顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”地函数；（2）已知关于x地二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1地图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2地表达式，并求出当0≤x≤3时，y2地最大值．考点：二次函数地性质；二次函数地最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项地系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”地函数表达式即可．（2）由y1地图象经过点A（1，1）可以求出m地值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2地表达式，然后将函数y2地表达式转化为顶点式，在利用二次函数地性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）地二次函数地关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数地关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象地开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数地关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象地开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求地两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1地图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2地表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2地图象地对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2地图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2地图象开口向上，∴y2随x地增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2地图象开口向上，∴y2随x地增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2地最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数地性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论地思想，考查了阅读理解能力．而对新定义地正确理解和分类讨论是解决第二小题地关键．2. （•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+地图象经过原点O （0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象地对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象地顶点？考点：二次函数地性质；坐标与图形变化－旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线地对称性得到抛物线地对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转地性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度地直角三角形三边地关系得OB =OA′=1，A′B =OB =，则A′点地坐标为（1，），根据抛物线地顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+地顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+地图象经过原点O（0，0），A（2，0）．∴抛物线地对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象地顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB =OA′=1，∴A′B =OB =，∴A′点地坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+地顶点．点评：本题考查了二次函数地性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地开口向上，x ＜﹣时，y随x地增大而减小；x ＞﹣时，y随x地增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线地最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地开口向下，x＜﹣时，y随x地增大而增大；x＞﹣时，y随x地增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线地最高点．也考查了旋转地性质．3. （•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F 分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它地面积最大，并证明你地结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形地顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你地折法和理由．考四边形综合题点：分析：（1）①根据有两组对边互相平行地四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边地相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间地函数关系式，根据平行四边形地面积公式，很容易得出面积S关于h地二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h地值．（2）第一步，沿∠ABC地对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答：[来源:Z &xx& k.Co m]解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG ==12，设DF=EC=x，平行四边形地高为h，则AH =12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x =×20，∵S=xh=x •×20=20h ﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH =12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它地面积最大．（2）第一步，沿∠ABC地对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分地四边形是菱形．点评：本题考查了相似三角形地判定及性质、菱形地判定、二次函数地最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段地表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．4. （•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm地速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD地直线m从底边BC出发，以每秒2cm地速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成地△PEF地面积存在最大值，当△PEF地面积最大时，求线段BP地长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t地值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形地定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF地面积地表达式，然后利用二次函数地性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD地中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD地垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．。
中考数学试题汇编二次函数试题及答案
中考试题专题之13-二次函数试题及答案一、选择题 1、〔2009年台湾〕向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。
假设此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再以下哪一个时间的高度是最高的？(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。
2、〔2009年泸州〕在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y3、 (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是〔 〕 A ．〔2，3〕 B ．〔－2，3〕 C ．〔2，－3〕 D ．〔－2，－3〕 5、〔2009年桂林市、百色市〕二次函数2(1)2y x =++的最小值是〔 〕． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．236、(2009年上海市)抛物线22()y x m n =++〔m n ，是常数〕的顶点坐标是〔 〕A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴【 】x … －1 012 …y … －1 47-－2 47- … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点8、〔2009威海〕二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是〔 〕A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，9、〔2009湖北省荆门市〕函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1〔a ≠0〕的图象可能是〔 〕解析：此题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1〔a ≠0〕的图象必过〔0，1〕，所以C 是正确的，故选C ． 10、〔2009年贵州黔东南州〕抛物线的图象如下图，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是〔 〕A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x11、〔2009年齐齐哈尔市〕已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则以下结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数〔〕 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12、〔2009年深圳市〕二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，假设点A 〔1，y 1〕、B 〔2，y 2〕是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是〔 〕A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定12、〔2009桂林百色〕二次函数2(1)2y x =++的最小值是〔 〕．xyO 1 A ． B ． C ． D ．1111xo yyo x yo xxoyA ．2B ．1C ．－3D ．2313、〔2009丽水市〕已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如下图，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是〔 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．014、〔2009烟台市〕二次函数2y ax bx c =++的图象如下图，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为〔 〕15、〔2009年甘肃庆阳〕图6〔1〕是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶〔拱桥洞的最高点〕离水面2m ，水面宽4m ．如图6〔2〕建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是〔 〕A ．22y x =-B ．22y x =C ．212y x =-D ．212y x =16、〔2009年甘肃庆阳〕将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是〔 〕 A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =-17、〔2009年广西南宁〕已知二次函数2y ax bx c =++〔0a ≠〕的图象如图4所示，有以下四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有〔 〕 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图6〔1〕 图6〔2〕1-1O xyy xO y xO B ．C ．yxO A ．y xO D ．O18、(2009年鄂州)已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则以下5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为〔 〕 A ．2 B 3 C 、4D 、519、〔2009年孝感〕将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．420、〔2009泰安〕抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 〔A 〕〔-2，7〕 〔B 〕〔-2，-25〕 〔C 〕〔2，7〕 〔D 〕〔2，-9〕21、〔2009年烟台市〕二次函数2y ax bx c =++的图象如下图，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为〔 〕22、〔2009年嘉兴市〕已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是〔 ▲ 〕1图4O y31- 1 O xy yxO y xO B ．yxO A ．y xO Oy x1-1xyO 1-1xyO1-1xyO1-123、〔2009年新疆〕如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，以下关系不正确的．．．．选项是．．．〔 〕 A ．h m = B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，24、〔2009年天津市〕在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为〔 〕A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++25、〔2009年南宁市〕已知二次函数2y ax bx c =++〔0a ≠〕的图象如下图，有以下四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有〔 〕 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26、〔2009年衢州〕二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是A ．(-1，-2)B ．(1，-2)C ．(-1，2)D ．(1，2) 27、〔2009年舟山〕二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是A ．(-1，-2)B ．(1，-2)C ．(-1，2)D ．(1，2) 28、〔2009年广州市〕二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是〔 〕A.2 〔B 〕1 〔C 〕-1 〔D 〕-229、〔2009年济宁市〕小强从如下图的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：〔1〕0a <；〔2〕 1c >；〔3〕0b >；〔4〕 0a b c ++>； 〔5〕0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个30、〔2009年广西钦州〕将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是〔 〕 A ．y ＝2x 2＋3B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2〔x ＋3〕2D ．y ＝2〔x －3〕231、(2009宁夏)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，对称轴是直线1x =，则以下四个结论错误的选项是．．．．．．〔 〕D A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>32、(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线〔 〕A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？〔 〕 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 34、〔2009年兰州〕在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++〔m 是常数，且0m ≠〕的图象可能．．是111-O x y〔8题图〕1211O1xy 〔第12题〕35、〔2009年兰州〕把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++36、〔2009年兰州〕二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则以下关系式不正确的选项是A ．a ＜0 B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞037、〔2009年遂宁〕把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x yB. ()42412+-=x yC.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 39、〔2009年广州市〕二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是〔 〕A.2 〔B 〕1 〔C 〕-1 〔D 〕-2【关键词】二次函数41、〔2009年台湾〕向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。
中考数学二次函数压轴题汇综合79题(含解析)
18．已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D． （1）若∠AOB=60°，AB∥x 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若∠AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点 B 的坐标； （3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO．
（3）连接 PB，若 E 为 PB 的中点，连接 OE，则 OE 的最大值=
．
17．已知点 A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线 y=ax2+bx 上 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 F 的坐标为（0，m）（m＞2），直线 AF 交抛物线于另一点 G， 过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连接 FH、AE，求证：FH∥AE； （3）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点．点 P 从点 C 出发，沿 射线 CD 方向匀速运动，速度为每秒 个单位长度；同时点 Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度．点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到 t 秒时，QM=2PM， 直接写出 t 的值．
初中数学二次函数中考题汇编(含答案)
初中数学二次函数中考题汇编(含答案)初中数学二次函数中汇编第1题将抛物2(1)y x =--向左平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是 ． 第2题下列图形：其中，阴影部分的面积相等的是（ ） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④① 第3题抛物线2y axbx c=++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：容易看出，()20-，是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为_________．第5题如图，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y axc a =+≠的图象过2①③1-④第14题一条抛物线214y xmx n=++经过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，与342⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标； （2）现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，当P与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．友情提示：抛物线()20y axbx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．第17题二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（ ）Ａ．()13-， Ｂ．()13， Ｃ．()13--， Ｄ．()13-， 第18题已知抛物线2y axbx c=++过点312A ⎛⎫⎪⎝⎭，，其顶点E 的横坐标为2，此抛物线与x 轴分别交于()10B x ，，()20C x ，两点()12x x <，且221216x x +=．（1）求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；（2）若D 是y 轴上一点，且CDE △为等腰三角形，求点D 的坐标．第19题抛物线21y x=-的顶点坐标是（ ）A ．(01)，B ．(01)-，C ．(10)，D ．(10)-， 第22题. 二次函数2y ax bx c=++图象上部分点的对应值如下表：x3-2-1- 0 1 2 3 4 y6 04- 6- 6- 4- 06则使0y <的x 的取值范围为 ．第23题. 一位篮球运动员站在罚球线后投篮，球入篮得分．下列图象中，可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内，篮球的高度()h 米与时间()t 秒之间变化关系的是（ ）第24题二次函数2y ax bx =+和反比例函数b y x=在同一坐标系中的图象大致是（ ）第25题已知抛物线24113y x x =--．（I ）求它的对称轴；（II ）求它与x 轴、y 轴的交点坐标．ＡＢＤＣＡxy OＢxy OＣxy OＤxyO第26题抛物线226y x x c=++与x 轴的一个交点为(10)，，则这个抛物线的顶点坐标是 ．第27题若抛物线22y x x a=++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ）Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤第28题二次函数2y axbx c=++的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限第29题、抛物线2(1)3y x =-+的顶点坐标为 ．第30题、已知抛物线2(0)y axbx c a =++>的顶点是(01)C ，，直线:3l y ax =-+与这条抛物线交于P Q ，两点，与x 轴，y 轴分别交于点M 和N ．（1）设点P 到x 轴的距离为2，试求直线l 的函数关系式；（2）若线段MP 与PN 的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式．1答案：2y x =-2答案：Ｃ 3答案：()30， 5答案：2-6答案：15， 7答案：2y x x=-- 答案不唯一8答案：1 9答案：Ｃ12答案：解：221y x x =-- 2212x x =-+-2(1)2x =--.∴二次函数的顶点坐标是(12)-，． 设0y =，则2210xx --=，2(1)20x --=2(1)21x x -=-=，1211x x ==二次函数与x轴的交点坐标为(1+。
中考数学二次函数综合题汇编附答案解析
中考数学二次函数综合题汇编附答案解析一、二次函数1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （1-132，13-12）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-132（m＝1+132＞0，舍），∴P（1-13，13-1）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴1DQADOD DB=，即56=135，∴DQ1＝52，∴OQ1＝72，即Q1（0，-72）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴2OQOBOD OB=，即2363OQ=，∴OQ2＝32，即Q2（0，32）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴33OQOBQ E AE=，即33341OQOQ=-∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y =12x 2-x -32．令y =0，则12x 2-x -32=0，解得：x 1=-1，x 2=3，即B （3，0）；（2）过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ．∵EG ∥PF ，AE ：EP =1：4，∴AE AP =AG AF =EG PF =15．又∵AG =2，∴AF =10，∴F （9，0）．当x =9时，y =30，即P （9，30），PF =30，∴EG =6，∴E （1，6）．（3）由E （1，6）、A （-1，0）可得AP 的函数表达式为y =3x +3，则D （0，3）． ∵原点O 与点C 关于该对称轴成轴对称，∴EG =6，∴C （2，0），∴OC ′＝OC ＝2． 如图，取点M （0，43），连接MC ′、BM ．则OM ＝43，BM ＝2243()3+＝97． ∵423'23OM OC ==，'23OC OD =，且∠DOC ′＝∠C ′OD ，∴△MOC ′∽△C ′OD ．∴'2'3MC C D =，∴MC ′＝23C ′D ，∴C ′B ＋23C ′D ＝C ′B ＋MC ′≥BM ＝4103，∴C ′B ＋23C ′D 的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF 的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，11AM AN+均为定值，并求出该定值．【答案】（1）a =13-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（3）32． 【解析】试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13-．令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =33∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3=1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 3，﹣4）． 综上所述，点P 3034）．（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m -+=，解得：m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1k-，0），∴AN =13k-+=31k -．将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3k -，∴点M 的横坐标为3k -．过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =33k +-．∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323k k --，∴11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(31)2(31)k k --3点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．4．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92，此时点P的坐标为（32，154）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，得10930b cb c-++=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=2232OB OC+=，∴P点到直线BC的距离的最大值为272928832⨯=，此时点P的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．5．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
二次函数真题汇编及解析
二次函数真题汇编及解析一、选择题1．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：()52x 5BF ?x CM 2-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．2．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时， (4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．3．已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（）A．-1 B．1 C．-3 D．-4【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1；若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④【答案】A【解析】【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；③对称轴：直线12b x a=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误；④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．【详解】解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故②错误；③∵对称轴：直线12b x a=-=-， ∴2b a =，∴24a b c a c +-=-，∵0a <，40a <，0c >，0a <，∴240a b c a c +-=-<，故③错误；④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a- =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选:C ．【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．6．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.7．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1-m ，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32 C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D【解析】 分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]；A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．8．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2【答案】B【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意． 则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12． 此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意． 当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意． 综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，∴m ＝12不符合题．∴m＞12．综合①②可得：当12＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.9．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．10．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．12C ．43D ．45【答案】D【解析】【分析】 求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC ＝k ，∵△ABC 的面积＝12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4， ∴k ＝14(4﹣k)， 解得：k ＝45． 故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．11．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cm S ，则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．【详解】解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+，可解得8AB =，6BC =，即6AD =，①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确；②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S △APQ =118422AP AB t t =⨯=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．12．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．13．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，与x 轴另一交点为A ，顶点为B ，若△AOB 为等边三角形，则b 的值为（ ）A 3B ．﹣3C ．﹣3D ．﹣3【答案】B【解析】【分析】 根据已知求出B （﹣2,24b b a a-），由△AOB 为等边三角形，得到2b 4a ＝tan60°×（﹣2b a ），即可求解；【详解】解：抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，∴c ＝0，B （﹣2,24b b a a-）， ∵△AOB 为等边三角形，∴2b4a＝tan60°×（﹣2ba），∴b＝﹣故选B．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．14．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（）A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；故选D．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.15．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．16．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴(或某直线)有交点．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿、点同时停止运动．设P点运动的时间为→方向运动，当P运动到B点时，P QBC CD∆的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）t秒，APQA．B．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变1422APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．18．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）A．①⑤B．②④C．②③④D．②③⑤【答案】D【解析】【分析】①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a =1，故正确；④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确．【详解】解：①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a=1，故正确； ④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确；故选D ．【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y 的值．20．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a 、b 、c 的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0，∴, 故③错误； ∵.∴B（-c，0）∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，∴， ac2-bc+c=0∴，ac-b+1=0，∴，故②正确；∴，b=ac+1∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．。
【5套打包】江门市初三九年级数学上(人教版)第22章二次函数单元测试卷(含答案解析)
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元达标测试题一、选择题1.下列函数中，属于二次函数的是( )A. y=2x-1B. y=x2+C. y=x2(x+3)D. y=x(x+1)2.若函数y＝（3﹣m）﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A. 3B. ﹣3C. ±3D. 93.二次函数的对称轴是A. 直线B. 直线C. y轴D. x 轴4.二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（）A. a＞1B. a＜1C. a＞0D. a＜05.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）6.已知点A(1，y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1>y2B. 2>y2 >y1C. y1>y2>2D. y2 >y1>27.已知抛物线经过和两点，则n的值为（）A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 48.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（）A. B. 当时，顶点的坐标为C. 当时，D. 当时，y随x的增大而增大9.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A. x1＜﹣1＜2＜x2B. ﹣1＜x1＜2＜x2C. ﹣1＜x1＜x2＜2D. x1＜﹣1＜x2＜210.二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）A. x1＝﹣1，x2＝5B. x1＝﹣2，x2＝4C. x1＝﹣1，x2＝2D. x1＝﹣5，x2＝511.国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（）A. B. C.D.12.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD 总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A. 18m2B. m2C. m2D. m2二、填空题13.某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为________.14.已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．15.抛物线y＝3（x+2）2﹣7 的对称轴是________．16.抛物线y=-x2+15有最________值，顶点坐标是________．17.二次函数的图象如图所示，若，.则、的大小关系为________ .(填“ ”、“ ”或“ ”)18.将二次函数y＝x2﹣8x+3化为y＝a(x﹣m)2+k的形式是________.19.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________20.如图，抛物线y=ax2和直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(－2，4),B(1,1), 则关于x的方程ax2=bx+c的解为________.21.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是________．22.为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是________m2.三、解答题23.已知抛物线y＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k+1的顶点在坐标轴上，求k的值.24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.26.某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？27.设二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，求这个函数的关系式．28.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC 以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ 的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．参考答案一、选择题1. D2. B3. C4. B5. A6. A7. B8. D9. A 10. A 11. B 12. C二、填空题13. 14. 增大15. x＝﹣2 16. 大；(0，15) 17. < 18. y＝(x﹣4)2﹣13 19. 或5 20. 21. 100 22. 300三、解答题23. 解：当抛物线y= x2-（2k-1）x+k2-k+1的顶点在y轴上时，=0，解得，k= ；当抛物线y= x2-（2k-1）x+k2-k+1的顶点在x轴上时，=0，解得，k=2或k=-1，由上可得，k的值是，2或-124. （1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C （0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣x+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣+ ，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．25. （1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2). （2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.26. （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得，x1＝10，x2＝20∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；（2）解：设每件童装降价x元，利润为y元，y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．27. 解：设这个函数的关系式为，把点代入得，解得，所以这个函数的关系式为28. 解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，∴S= PB•BQ= PB•（BE+EQ）= （6﹣t）（6+t）=﹣t2+18，∴S=﹣t2+18（0≤t＜6）．人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元综合过关试题（含答案）一．选择题1．抛物线y＝﹣（x﹣）2﹣2的顶点坐标是（）A ．（，2）B ．（﹣，2）C ．（﹣，﹣2）D ．（，﹣2）2．若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax 2+bx +c ＝0的解为（ ） A ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣1 B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣3，x 2＝13．对于抛物线y ＝3x 2﹣1，下列说法不正确的是（ ） A ．向上平移一个单位可得到抛物线y ＝3x 2B ．当x ＝0时，函数有最小值﹣1C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．与抛物线y ＝﹣3x 2+1关于x 轴对称4．已知抛物线y ＝﹣x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A ．（﹣3，﹣6）B ．（﹣3，﹣3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，0）5．若二次函数y ＝4mx 2﹣8x +m 的图象与x 轴有两个交点，满足条件的m 的值是（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．26．抛物线y ＝x 2+x +2的图象上有三个点（﹣3，a ），（﹣2，b ），（3，c ），则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a7．一名跳水运动员从10米台上跳水，他跳下的高度h （单位：米）与所用的时间t （单位：秒）的关系是h ＝﹣5（t ﹣2）（t +1），这名运动员从起跳到入水所用的时间是（ ） A ．﹣5秒B ．1秒C ．﹣1秒D ．2秒8．下列关于抛物线y ＝﹣4x 2﹣2x +1的描述不正确的是（ ） A ．开口向下B ．当x ≤﹣时，y 随x 的增大而增大C ．与y 轴交点是（0，1）D ．当x ＝﹣1时，y ＝09．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法错误的是（）A．abc＜0 B．a﹣b+c＜0C．3a+c＜0 D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：①c＝0；②2a﹣b＝0；③当﹣2＜x＜0时，y＜0；④a﹣b＞0．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8的开口，对称轴，顶点坐标是．14．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为15．已知二次函数＝2+2+2，当＞2时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是．16．已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，则抛物线的解析式为；（2）当抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上平移时，若△OMN与△AOB相似，则点M的坐标为．三．解答题17．抛物线y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）若点B的坐标为（3，0）．①求抛物线的对称轴；②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围为﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，得到新的函数图象，当﹣2≤x≤n时，此函数的值随x的增大而增大，直接写出n的取值范围．18．2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？19．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与y轴交于A（0，4），与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，OB＝2OC且OC＝2．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点P为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点P使S△ABP ＝S△ABC？若存在请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝a2+by+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）与y轴交于点C．（1）填空；a＝；b＝；点C的坐标为（，）；（2）点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．23．6月19日是全国低碳日．低碳生活代表着更健康、更自然、更安全的生活．某低碳家居用品销售商在第一个月成批购进低碳厨房用品A的单价为20元，调查发现：低碳厨房用品A的预计销售单价是30元，则销售量是230件，而实际销售单价比预计销售单价每上涨1元，销售量就减少5件，每件低碳厨房用品A售价不能高于50元．（1）第一个月低碳厨房用品A的实际销售单价定为多少元时，它的销售利润恰好为3600元？（2）第二个月，销售商将继续购进350件低碳厨房用品A，销售单价比第一个月预计销售单价上涨了10%，进价比第一个月的进价上涨了0.2m%同时，销售商将另外购进m 件低碳厨房用品B，且它的单价比第一个月购进低碳厨房用品A的进价低20%，销售单价为28元；低碳厨房用品B的数量不少于第二个月购进低碳厨房用品A的数量的2倍，且不超过800套．第二个月低碳厨房用品A、B的进货全部销售完后，销售商获得的总利润为Q，请问当m取何值时利润最大，并求出最大值．24．如图，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线上的点E的横坐标为3，过点E作直线l∥x轴．1上的（1）点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，点M，N分别为x轴，直线l1动点，且MN⊥x轴，当△APC面积最大时，求PM+MN+EN的最小值；（2）过（1）中的点P作PD⊥AC，垂足为F，且直线PD与y轴交于点D，把△DFC绕顶点F旋转45°，得到△D'FC'，再把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，在平面上是否存在点K，使得以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点K 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：因为y ＝﹣（x ﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．故选：D ．2．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）和（3，0）， ∴方程ax 2+bx +c ＝0的解为x 1＝﹣1，x 2＝3．故选：C ．3．解：A 、向上平移一个单位可得到抛物线y ＝3x 2，故本选项不符合题意． B 、由于a ＝3＞0，该抛物线的开口方向向上，且顶点坐标是（0，﹣1），则当x ＝0时，函数有最小值﹣1，故本选项不符合题意．C 、由于对称轴是y 轴，抛物线的开口方向向上，则当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项符合题意．D 、抛物线y ＝3x 2﹣1与抛物线y ＝﹣3x 2+1关于x 轴对称，故本选项不符合题意． 故选：C ．4．解：已知抛物线y ＝﹣x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1， 则函数与x 轴两个交点坐标为：（3，0）、（﹣1，0），则函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣3）（x +1）＝﹣（x ﹣1）2+4，此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新抛物线表达式为：y ′＝﹣（x +1）2+1，当x ＝﹣3时，y ＝﹣3，故选：B ．5．解：由题意得：m ≠0，且△＝（﹣8）2﹣4×4m ×m ＞0，解得：﹣2＜m ＜2，故选：C ．6．解：抛物线y ＝x 2+x +2的开口向上，对称轴为x ＝﹣＝﹣， （﹣3，a ），（﹣2，b ），（3，c ）三点到对称轴的距离分别为2.5，1.5，3.5， ∴c ＞a ＞b ，故选：C ．7．解：设运动员起跳到入水所用的时间是ts ，根据题意可知：﹣5（t ﹣2）（t +1）＝0，解得：t 1＝﹣1（不合题意舍去），t 2＝2，那么运动员起跳到入水所用的时间是2s ．故选：D ．8．解：﹣4＜0，故抛物线开口向下，故A 不符合题意；函数对称轴为：x ＝﹣＝﹣，函数对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，故B 不符合题意；函数与y 轴的交点是（0，1），故C 不符合题意；当x ＝﹣1时，y ＝﹣4+2+1＝﹣1，故D 符合题意；故选：D ．9．解：A 、∵开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴﹣＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＜0，故不选项不符合题意；B 、∵对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点横坐标在2与3之间， ∴另一个交点的横坐标在0与﹣1之间；∴当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，故不选项不符合题意；C 、∵对称轴x ＝﹣＝1，∴2a +b ＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故不选项不符合题意；D、如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故本选项符合题意；故选：D．10．解：①∵抛物线经过原点，∴c＝0，故正确；②∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于（0，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故正确；④∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵b＝2a，∴a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＜0，故错误；故选：C．11．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t或1＜t＜3，故：﹣1＜t＜，故选：D．12．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8＝﹣2（x+1）2+10，∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，10），故答案为：向下，直线x＝﹣1，（﹣1，10）．14．解：∵函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，∴或（m+3）＝0，解得，m＝﹣1或m＝﹣3，故答案为：m＝﹣1或m＝﹣3．15．解：二次函数＝2+2+2的对称轴是直线y＝﹣＝﹣m，a＝1＞0，抛物线的图象开口向上，当x＞﹣m时，y随x的增大而增大，∵当＞2时，y随x的增大而增大，∴﹣m≤2，解得：m≥﹣2，故答案为：m≥﹣2．16．解：（1）直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，则点A、B的坐标分别为：（，0）、（0，﹣5），设抛物线的顶点为：（m，2m﹣5），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5，当点M与点A重合时，即m＝，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+5x﹣，故答案为：y＝﹣x2+5x﹣；（2）设点M（m，2m﹣5），点N（x，y），将抛物线表达式与直线表达式联立并整理得：x2+（2﹣2m）x+m2+2m＝0，则x+m＝2m﹣2，则x＝m﹣2，故点N（m﹣2，2m﹣9），则MN＝2，则AB＝，①当∠OMN＝90°时，则直线OM表达式中的k值为﹣，即＝﹣，解得：m＝2，故点M、N的坐标分别为：（2，﹣1）、（0，﹣5），则OM＝，ON＝5，经验证：，满足△OMN与△AOB相似，故点M（2，﹣1）；②当∠ONM＝90°时，同理可得：点M（4，3）；③当∠MON＝90°时，过点M、N分别作y轴的垂线交于点G、H，∵∠GMO+∠GOM＝90°，∠GOM+∠HON＝90°，∴∠GMO＝∠HON＝α，则tan∠GMO＝tan∠HON，即：，解得：m＝3，故点M（3，1）（△OMN为等腰直角三角形，故舍去）；综上，点M的坐标为：（2，﹣1）、（4，3），故答案为：（2，﹣1）、（4，3）．三．解答题（共8小题）17．解：（1）①将B代入得，﹣9+6m+4﹣m2＝0，m＝1或5，∵对称轴x＝m＜3，∴m＝1 即对称轴x＝1②当2≤x≤n时，函数单调递减，所以当x＝n时，y＝﹣n2+2n+3＝﹣n﹣1，∴n＝1或4，∵n＞2，∴n＝4（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与x轴交于A，B两点，∴令0═﹣x2+2mx+4﹣m2解得A（m﹣2，0），B（m+2，0）对称轴为：x＝m∵抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，∴此时函数的值随x的增大而增大的为：x＜m﹣2和m＜x＜m+2，∴当x＜m﹣2时，此时n≤m﹣2；当﹣m＜x＜m+2，n≤m+2，m＞﹣2解得n≤0或n≤﹣4∴n≤0﹣4综上所述，n≤﹣4．18．解：（1）由题意得，月销售量y＝100﹣2（x﹣60）＝220﹣2x（60≤x≤110，且x 为正整数）答：y与x之间的函数关系式为y＝220﹣2x．（2）由题意得：（220﹣2x）（x﹣40）＝2250化简得：x2﹣150x+5525＝0解得x 1＝65，x 2＝85答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．（3）设每个月获得利润w 元，由（2）知w ＝（220﹣2x ）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800∴w ＝﹣2（x ﹣75）2+2450∴当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．19．解（1）∵抛物线y ＝ax 2+x +c 与y 轴交于A （0，4）与x 轴交于B 、C ，点C 坐标为（8，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+x +4；（2）△ABC 为直角三角形，理由如下：当y ＝0时，﹣x 2+x +4＝0，解得：x 1＝8，x 2＝﹣2，∴点B 的坐标为（﹣2，0），由已知可得在Rt △ABO 中，AB 2＝BO 2+AO 2＝22+42＝20，在Rt △ACO 中，AC 2＝CO 2+AO 2＝82+42＝80，又∵BC ＝OB +OC ＝2+8＝10，∴在△ABC 中，AB 2+AC 2＝20+80＝102＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形．20．解：（1）∵OC ＝2，OB ＝2OC ＝4，∴B （4，0），C （0，2），根据题意得，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+x +2；∵y ＝﹣（x ﹣）2+， ∴D 点坐标为（，）；（2）存在．当y ＝0时，﹣x 2+x +2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4，则A （﹣1，0），设P （x ，﹣x 2+x +2），∵S △ABP ＝S △ABC ，∴•5•|﹣x 2+x +2|＝••5•2，解方程﹣x 2+x +2＝3得x 1＝1，x 2＝2，则P （1，3）或（2，3），解方程﹣x 2+x +2＝﹣3得x 1＝5，x 2＝﹣2（舍去），则P （5，﹣3），∴当P 点坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）时，点P 使S △ABP ＝S △ABC ．21．解：（1）将A ，B 的坐标代入函数解析式，得， 解得：， 抛物线y 的函数表达式y ＝﹣2x 2﹣4x +6，当x ＝0时，y ＝6，即C （0，6）；故答案为：﹣2，﹣4，0，6；（2）由MA ＝MB ＝MC ，得M 点在AB 的垂直平分线上，M 在AC 的垂直平分线上，设M （﹣1，x ），MA ＝MC ，得（﹣1+3）2+x 2＝（x ﹣6）2+（﹣1﹣0）2，解得x ＝，∴若MA ＝MB ＝MC ，点M 的坐标为（﹣1，）； （3）①如图1，过点A 作DA ⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D ，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠DAO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠AFO＝90°，∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝AFO∴△AOF∽△COA，∴，∴AO2＝OC×OF∵OA＝3，OC＝6∴OF＝，∴F（0，﹣，∵A（﹣6，0），∴直线AF的解析式为：y＝﹣，∵B（1，0），（0，6），∴直线BC的解析式为：y＝﹣6x+6∴，解得：，∴，∴，∴tan∠ACB＝．∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB∴tan∠ABE＝2过点A作AM⊥x轴，连接BM交抛物线于点E∵AB＝4，tan∠ABE＝2∴AM＝8∴M（﹣3，8），∵B（1，0），（﹣3，8）∴直线BM的解析式为：y＝﹣2x+2，联立BM与抛物线，得，解得x＝﹣2或x＝1（舍去）∴y＝6∴E（﹣2，6），②当点E在x轴下方时，如图2，过点E作EG⊥AB，连接BE，设点E（m，﹣2m2﹣4m+6），∴tan∠ABE＝，∴m＝﹣4或m＝1（舍去）可得E（﹣4，﹣10），综上所述：E点坐标为（﹣2，6），（﹣4，﹣10）．22．解：（1）当n＝5时，y＝，①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，∴b＝；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；∴函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝，∴＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝2，将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，∴n＝，∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；综上所述：＜n＜4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；（3）n＞0时，n＞，函数图象如图实线所示．①如图1中，当点A的纵坐标为4时，则有﹣++＝+＝4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去），观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．n＜0时，n＜，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：﹣++n＝4时，解得n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2或n ＝4或n≥8．23．解：（1）设实际销售单价比预计销售单价上涨x元，根据题意得：（30+x ﹣20）（230﹣5x ）＝3600，整理得：x 2﹣36x +260＝0，解得：x 1＝10，x 2＝26，∵每件低碳厨房用品A 售价不能高于50元，26+30＝56（元）＞50元，∴x 2＝26，不合题意舍去，10+30＝40（元），∴第一个月低碳厨房用品A 的实际销售单价定为40元；答：第一个月低碳厨房用品A 的实际销售单价定为40元时，它的销售利润恰好为3600元；（2）根据题意得：Q ＝350[30（1+10%）﹣20（1+0.2m %）]+m [28﹣20（1﹣20%）]＝4550﹣2m ， ∵低碳厨房用品B 的数量不少于第二个月购进低碳厨房用品A 的数量的2倍，且不超过800套，∴700≤m ≤800，当m ＝700时，Q 值最大，Q ＝4550﹣2×700＝3150（元）．答：当m 取700时利润最大，最大值为3150元．24．解：（1）如图1，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点H ，在PG 上截取PP '＝MN ，连接P 'N ，以NE 为斜边在直线NE 上方作等腰Rt △NEQ ，过点P '作P 'R ⊥EQ 于点R∵x ＝0时，y ＝x 2+x ﹣4＝﹣4∴C （0，﹣4）∵y ＝0时， x 2+x ﹣4＝0解得：x 1＝﹣4，x 2＝2∴A （﹣4，0），B （2，0）∴直线AC 解析式为y ＝﹣x ﹣4∵抛物线上的点E 的横坐标为3∴y E ＝×32+3﹣4＝ ∴E （3，），直线l 1：y ＝∵点M 在x 轴上，点N 在直线l 1上，MN ⊥x 轴 ∴PP '＝MN ＝设抛物线上的点P （t ， t 2+t ﹣4）（﹣4＜t ＜0） ∴H （t ，﹣t ﹣4）∴PH ＝﹣t ﹣4﹣（t 2+t ﹣4）＝﹣t 2﹣2t∴S △APC ＝S △APH +S △CPH ＝PH •AG +PH •OG ＝PH •OA ＝2PH ＝﹣t 2﹣4t ∴当t ＝﹣＝﹣2时，S △APC 最大∴y P ＝t 2+t ﹣4＝2﹣2﹣4＝﹣4，y P '＝y P +∴P （﹣2，﹣4），P '（﹣2，﹣） ∵PP '＝MN ，PP '∥MN ∴四边形PMNP '是平行四边形 ∴PM ＝P 'N∵等腰Rt △NEQ 中，NE 为斜边 ∴∠NEQ ＝∠ENQ ＝45°，NQ ⊥EQ ∴NQ ＝EN∴PM +MN +EN ＝P 'N+PP '+NQ ＝+P 'N+NQ∵当点P '、N 、Q 在同一直线上时，P 'N+NQ ＝P 'R 最小 ∴PM +MN +EN ＝+P 'R设直线EQ 解析式为y ＝﹣x +a ∴﹣3+a ＝ 解得：a ＝∴直线EQ ：y ＝﹣x +设直线P 'R 解析式为y ＝x +b∴﹣2+b＝﹣解得：b＝∴直线P'R：y＝x+∵解得：∴R（，4）∴P'R＝∴PM+MN+EN最小值为（2）∵PD⊥AC，P（﹣2，﹣4），∴直线PD解析式为：y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），F（﹣1，﹣3），∴CD＝2，DF＝CF＝，△CDF是等腰直角三角形，如图2，把△DFC绕顶点F逆时针旋转45°，得到△D'FC'，∴C′（，﹣3），D′（﹣1，﹣3）把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，连接D′D″，C′C″则直线C′C″解析式为y＝x﹣2﹣，直线D′D″解析式为y＝x+﹣2，显然OC″≥+1＞2＝C″D″∴以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形，OC″不可能为边，只能以OD″、C″D″为邻边构成菱形∴OD″＝C″D″＝OK＝2，∵OK∥C″D″，PD⊥C″D″∴OK⊥PD（，﹣），∴K1如图3，把△DFC绕顶点F顺时针旋转45°，得到△D'FC'，∴C′（﹣1，﹣3﹣），D′（﹣1，﹣﹣3）把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，连接D′D″，C′C″，显然，C″D″∥PD，OC″≥+1＞C″D″，OD″≥+1＞C″D″，∴以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形，C″D″只能为对角线，∴K 2（2+，﹣2﹣）．综上所述，点K 的坐标为：K 1（，﹣），K 2（2+，﹣2﹣）．人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元综合过关试题（含答案）一．选择题1．抛物线y ＝﹣（x ﹣）2﹣2的顶点坐标是（ ） A ．（，2）B ．（﹣，2）C ．（﹣，﹣2）D ．（，﹣2）2．若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax 2+bx +c ＝0的解为（ ） A ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣1 B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣3，x 2＝13．对于抛物线y ＝3x 2﹣1，下列说法不正确的是（ ） A ．向上平移一个单位可得到抛物线y ＝3x 2B ．当x ＝0时，函数有最小值﹣1C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．与抛物线y ＝﹣3x 2+1关于x 轴对称4．已知抛物线y ＝﹣x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A ．（﹣3，﹣6）B ．（﹣3，﹣3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，0）5．若二次函数y ＝4mx 2﹣8x +m 的图象与x 轴有两个交点，满足条件的m 的值是（ ） A ．﹣2B ．0C ．1D ．26．抛物线y ＝x 2+x +2的图象上有三个点（﹣3，a ），（﹣2，b ），（3，c ），则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a7．一名跳水运动员从10米台上跳水，他跳下的高度h （单位：米）与所用的时间t （单位：秒）的关系是h ＝﹣5（t ﹣2）（t +1），这名运动员从起跳到入水所用的时间是（ ） A ．﹣5秒B ．1秒C ．﹣1秒D ．2秒8．下列关于抛物线y ＝﹣4x 2﹣2x +1的描述不正确的是（ ） A ．开口向下B ．当x ≤﹣时，y 随x 的增大而增大C ．与y 轴交点是（0，1）D．当x＝﹣1时，y＝09．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法错误的是（）A．abc＜0 B．a﹣b+c＜0C．3a+c＜0 D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：①c＝0；②2a﹣b＝0；③当﹣2＜x＜0时，y＜0；④a﹣b＞0．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8的开口，对称轴，顶点坐标是．14．已知函数y＝（m+3）x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为15．已知二次函数＝2+2+2，当＞2时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是．16．已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，则抛物线的解析式为；（2）当抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上平移时，若△OMN与△AOB相似，则点M的坐标为．三．解答题17．抛物线y＝﹣x2+2mx+4﹣m2与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）若点B的坐标为（3，0）．①求抛物线的对称轴；②当2≤x≤n时，函数值y的取值范围为﹣n﹣1≤y≤3，求n的值；（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，得到新的函数图象，当﹣2≤x≤n时，此函数的值随x的增大而增大，直接写出n的取值范围．18．2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？19．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与y轴交于A（0，4），与x轴交于B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，OB＝2OC且OC＝2．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点P为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点P使S△ABP ＝S△ABC？若存在请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝a2+by+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）与y轴交于点C．（1）填空；a＝；b＝；点C的坐标为（，）；（2）点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．23．6月19日是全国低碳日．低碳生活代表着更健康、更自然、更安全的生活．某低碳家居用品销售商在第一个月成批购进低碳厨房用品A的单价为20元，调查发现：低碳厨房用品A的预计销售单价是30元，则销售量是230件，而实际销售单价比预计销售单价每上涨1元，销售量就减少5件，每件低碳厨房用品A售价不能高于50元．（1）第一个月低碳厨房用品A的实际销售单价定为多少元时，它的销售利润恰好为3600元？（2）第二个月，销售商将继续购进350件低碳厨房用品A，销售单价比第一个月预计销售单价上涨了10%，进价比第一个月的进价上涨了0.2m%同时，销售商将另外购进m 件低碳厨房用品B，且它的单价比第一个月购进低碳厨房用品A的进价低20%，销售单价为28元；低碳厨房用品B的数量不少于第二个月购进低碳厨房用品A的数量的2倍，且不超过800套．第二个月低碳厨房用品A、B的进货全部销售完后，销售商获得的总利润为Q，请问当m取何值时利润最大，并求出最大值．24．如图，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线上的点E的横坐标为3，过点E作直线l∥x轴．1上的（1）点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，点M，N分别为x轴，直线l1动点，且MN⊥x轴，当△APC面积最大时，求PM+MN+EN的最小值；（2）过（1）中的点P作PD⊥AC，垂足为F，且直线PD与y轴交于点D，把△DFC绕顶点F旋转45°，得到△D'FC'，再把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，在平面上是否存在点K，使得以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点K 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一．选择题1．解：因为y ＝﹣（x ﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．故选：D ．2．解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）和（3，0）， ∴方程ax 2+bx +c ＝0的解为x 1＝﹣1，x 2＝3．故选：C ．3．解：A 、向上平移一个单位可得到抛物线y ＝3x 2，故本选项不符合题意． B 、由于a ＝3＞0，该抛物线的开口方向向上，且顶点坐标是（0，﹣1），则当x ＝0时，函数有最小值﹣1，故本选项不符合题意．C 、由于对称轴是y 轴，抛物线的开口方向向上，则当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项符合题意．D 、抛物线y ＝3x 2﹣1与抛物线y ＝﹣3x 2+1关于x 轴对称，故本选项不符合题意． 故选：C ．4．解：已知抛物线y ＝﹣x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1， 则函数与x 轴两个交点坐标为：（3，0）、（﹣1，0），则函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣3）（x +1）＝﹣（x ﹣1）2+4，此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新抛物线表达式为：y ′＝﹣（x +1）2+1，当x ＝﹣3时，y ＝﹣3，故选：B ．5．解：由题意得：m ≠0，且△＝（﹣8）2﹣4×4m ×m ＞0，解得：﹣2＜m ＜2，故选：C ．。
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江门数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53， 当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx +b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc +c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx +b 1中，得11303k b b +=⎧⎨=⎩， ∴113k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3；（2）如图，连接BC ，∵点D 是抛物线与x 轴的交点，∴AD ＝BD ，∴S △ABC ＝2S △ACD ，∵S △ACP ＝2S △ACD ，∴S △ACP ＝S △ABC ，此时，点P 与点B 重合，即：P （﹣1，0），过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣1①，∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3②，联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩， ∴P （4，﹣5），∴即点P 的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q 在x 轴上方时，设AC 与对称轴交点为Q '，由（1）知，直线AC 的解析式为y ＝﹣x +3，当x ＝1时，y ＝2，∴Q '坐标为（1，2），∵Q 'D ＝AD ＝BD ＝2，∴∠Q 'AB ＝∠Q 'BA ＝45°，∴∠AQ 'B ＝90°，∴点Q '为所求，②当点Q 在x 轴下方时，设点Q （1，m ），过点A 1'作A 1'E ⊥DQ 于E ，∴∠A 1'EQ ＝∠QDA ＝90°，∴∠DAQ +∠AQD ＝90°，由旋转知，AQ ＝A 1'Q ，∠AQA 1'＝90°，∴∠AQD +∠A 1'QE ＝90°，∴∠DAQ ＝∠A 1'QE ，∴△ADQ ≌△QEA 1'（AAS ），∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ，∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2），代入y ＝﹣x 2+2x +3中，解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍），∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．3．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()22422maxf t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴22884,NH NQ HQ =+=+=设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+--- ∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --= 解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --= 解得54152m -=<（舍）或5412m += ③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键4．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；（4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >- 【解析】【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =-（2）当0m >时，,(3)F m m -此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++∴0y 的最大值118= 综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0 当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△解得：m=0（舍去）或29m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．5．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1 【解析】【分析】（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m ＜0，②m ＝0，③m ＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m ＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝51+或51-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1，综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞43或23≤m＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3【解析】【分析】（1）将A、B 、C 三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB 是等腰直角三角形，故只需使得PD 越大，则△PDE 的周长越大.联立直线AB 与抛物线的解析式可得交点P 坐标；（3）作点A 关于直线x=-2的对称点D ，利用∠MAC = 2∠MCA 可推导得MD=CD ，进而求得ME 的长度，从而得出M 坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），B （0，3），C （1，0），∴93030a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3；（2）∵A （-3，0），B （0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立223y x my x x =+⎧⎨=--+⎩，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ， ∴3∴点M （-23）或（-2，3【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析7．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围； （3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0），∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤， ∴﹣b 2≥4a ，∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ），∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，∴c （a+b+c ）＞0，∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0，∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0，∵a≠0，则9a 2＞0，∴两边同除以9a 2得， 24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分，以x 轴为对称轴翻折，得到新的函数w 的图象，我们称函数w 是函数l 的对称折函数，函数w 的图象记作1F ，函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ，图象1F 和2F 合起来记作图象F ．例如：如图，函数l 的解析式为1y x =+，当1t =时，它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-<．（1）函数l 的解析式为21y x =-，当2t =-时，它的对称折函数w 的解析式为_______； （2）函数l 的解析式为1²12y x x =--，当42x -≤≤且0t =时，求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠．若1a =，直线1y t =-与图象F 有两个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-；（3）当3t =-，1t <≤，5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点． 【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =， 当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点；b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得1t =2t = c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t =∴当3171t -<≤或3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标 ，C 的坐标 ；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5） 【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C （0，-5）；（2）直线PC 的解析式为y=3x-5，设直线交x 轴于D ，则D （53，0），设直线PQ 交x 轴于E ，当BE=2AD 时，△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC ，∠AOC=90°，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B （-1，0），D （-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ，∴AB AC BP BA =， 即2322BP =， 解得BP=22， 过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则BE=PE=23×22=23， ∴OE=1+23=53，∴点P 的坐标为（-53，-23）； ②AB 和BA 是对应边时，△ABC ∽△BAP ， ∴AB AC BA BP =，即22BP=，解得BP=过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则BE=PE=2=3， ∴OE=1+3=4，∴点P 的坐标为（-4，-3）； 综合上述，当52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．。