131柱锥台的表面积与体积

第一章空间几何体

1.3空间几何体的表面积与体积

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

（3）培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

（1）学生经历几何表面积的侧面展开过程，感知几何体的形状。

（2）学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。

3、情感、态度与价值观

通过学习，学生感受几何体表面积与体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式及其应用

难点：表面积和体积计算公式的应用

三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪

四、教学设想

一、课题导入,问题探究

问题1:我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?

分析：正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的表面积就是各个面的面积的和.

问题2:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,如何计算它们的表面积?

分析：棱柱的侧面展开图是平行四边形,其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.

问题3:类比棱柱和棱锥,如何根据圆柱、圆锥的

几何结构特征,求它们的表面积?

分析：由于它们的底面都是圆面,其底面积直接应用圆的面积公式即可,其中圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积,表面积等于侧面积与底面积的和.

如果圆柱的底面半径为r ,母线长为l ,那么圆柱的底面面积为πr 2,侧面面积为2πrl ,因此,圆柱的表面积S=2πr 2+2πrl=2πr (r+l ).如果圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr (r+l ).

(设计意图:将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题常用的方法.) 问题4:联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的

形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r ,母线长为l ,

你能计算出它的表面积吗?

分析:圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上、下两个底

面的面积和加上侧面的面积,即S=π(r 2+r'2+rl+r'l ).

二、类比思考,引起联想

问题5:请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系? 分析：圆柱和圆锥都可以看做是圆台变化而成的几何体,有如下的关系:

)

()(20,2122212121l r r S l r l r r r S l r r S r r r r r r +=−−−→−+++=−−−←+=====πππ圆锥表圆台表圆柱表）（ 问题6:回顾长方体、正方体和圆柱,你能将它们的体积公式统一成一种形式吗,并依次类比出柱体的体积公式.

分析：柱体的体积是V 柱体=Sh (S 为底面积,h 为柱体的高).

问题7:怎么得到锥体和台体的体积公式呢?

分析：锥体的体积公式Sh V 31=圆锥(S 为底面积,h 为锥体的高). 台体的体积公式h S S S S V ）（圆锥++=''

31,

其中S',S 分别为上、下底面面积,h 为圆台(棱台)高.

三、典型例题

【例1】若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( )

A.18

B.15

C.24+8

D.24+16

解析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为2,正三棱柱的高为2,则底面等边三角形的边长为4,所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2××4×2=24+8.

答案:C

【例2】已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体S-ABC ,求它的表面积.

解:先求△SBC 的面积,过点S 作SD ⊥BC ,交BC 于点D.

因为BC=a ,SD=a 2

3,

所以S △SBC =21BC ·SD=21a×23a=43a 2. 因此,四面体S-ABC 的表面积S=4×

43a 2=3a 2. 【例3】(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( )

A.1∶2∶3

B.1∶7∶19

C.3∶4∶5

D.1∶9∶27

(2)三棱锥V-ABC 的中截面是△A 1B 1C 1,则三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A-A 1BC 的体积之比是( )

A.1∶2

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶8

(1)解析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3,于是自上而下三个圆锥的体积之比为(r 2h )∶[(2r )2·2h ]∶[(3r )2·3h ]=1∶8∶27,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶(8-1)∶(27-8)=1∶7∶19.

答案:B

(2)解析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为1∶4,将三棱锥A-A 1BC 转化为三棱锥A 1-ABC ,这样三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A 1-ABC 的高相等,底面积之比为1∶4,于是其体积之比为1∶4.

答案:B

【例4】 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g/cm 3)六角螺帽,共重5.8 kg,已知底面是正六边形,边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π取

3.14)

解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即

V=×122×6×10-3.14×(2

10)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3). 所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).

答:这堆螺帽大约有252个.

四、作业精选,巩固提高

1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( A )

A. B. C.π D.

2.向高为H 的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是( A )

3.一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2,一个平行于底面的截面面积为25 cm 2,则这个截面与上、下底面的距离之比是( A )