圆中常见的辅助线的作法
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O
C
B A
圆中常见辅助线的作法
1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点,
构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用:1、利用垂径定理;
2
、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形;
5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例:如图,AB是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点,弦PN 与AB 相交于点M ,
求证:PM ?PN=2PO 2
. 分析:要证明
PM?PN=2PO 2,即证明PM ?PC =PO 2,过O 点作OC ⊥PN 于C ,根据垂经定理NC=PC ,只需证明PM?PC=PO 2,要证明PM?PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO.
证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ,∴PC= 21
PN
∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ,∴∠MOP=∠OCP=90°.
又∵∠OPC=∠MPO ,∴Rt △POC ∽Rt △PMO.
∴PO PC PM PO
即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM?21
PN ,∴PM ?PN=2PO 2
. 【例1】如图,已知△ABC 内接于⊙O ,∠A=45°,BC=2,求⊙O 的面积。【例2】如图,⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一个动点,
那么OP 的长的取值范围是_________.
【例3】如图,弦AB 的长等于⊙O 的半径,点C 在弧AMB 上,
则∠C 的度数是________.
O
C
B A
O C
B
A 2.遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角。
作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形。
例如图,在△ABC 中,∠C=90°,以BC 上一点O 为圆心,以OB 为半径的圆交AB 于点M ,交BC 于点N .
(1)求证:BA ·BM=BC ·BN ;
(2)如果CM 是⊙O 的切线,N 为OC 的中点,当AC=3时,求AB 的值.
分析:要证BA ·BM=BC ·BN ,需证△ACB ∽△NMB ,而∠C=90°,所以需要△NMB 中有个直角,而BN 是圆O 的直径,所以连结MN 可得∠BMN=90°。
(1)证明:连结MN ,则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB
∴BN AB
BM BC ∴AB ·BM=BC ·BN
(2)解:连结OM ,则∠OMC=90°
∵N 为OC 中点
∴MN=ON=OM ,∴∠MON=60°∵OM=OB ,∴∠B=21
∠MON=30°
∵∠ACB=90°,∴AB=2AC=2×3=6
【例4】如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,弦BC=2,
∠B= 3.遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:利用圆周角的性质,可得到直径。
【例5】如图,AB 、AC 是⊙O 的的两条弦,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,⊙O 的半径是
5.遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)(2)常常添加连结圆上一点和切点
作用:1、可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
B
M
N O
C A
2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。
【例6】如图,AB是⊙O的直径,弦AC与AB成30°角,CD与⊙O切于C,交AB?的延长线
于D,求证:AC=CD
6.遇到证明某一直线是圆的切线时
切线判定分两种:公共点未知作垂线、公共点已知作半径
切线的判定定理是:“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”,就是说,要判定一条直线是否是切线,应同时满足这样的两条:(1)直线经过半径的外端,(2)直线垂直于这条半径,所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
1.无点作垂线
需证明的切线,条件中未告之与圆有交点,则联想切线的定义,过圆心作该直线的垂线,证明垂足到圆心的距离等于
半径.
例7.已知:如图,AB是⊙O的直径,AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,若∠DOC= 90°.
求证:DC是⊙O的切线.
分析:DC与⊙O没有交点,“无点作垂线”,过圆心O作OE⊥DC,只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径,若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中,需证明△DEO≌△DAO
证明:作OE⊥DC于E点,取DC的中点F,连结OF.
又∵∠DOC= 90°. ∴FO=FD ∴∠1=∠3.
∵AD⊥AB,BC⊥AB, ∴BC∥AD, ∴OF为梯形的中位线.
∴OF∥AD . ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠2.
∴DO是∠ADE的角平分线. ∵OA⊥DA,OE⊥DC,
∴OA=OE=圆的半径. ∴DC是⊙O的切线.
2.有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时,联想切线的判定定理,只要将该点与圆心连结,再证明该半径与直线垂直.
例8.已知:如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:CD是⊙O的切线. 分析:D在⊙O上,有点连圆心,连结DO,证明DO⊥DC即可.
证明:连结DO,∵OC∥AD ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB,又OC=OC,DO=BO ∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC,∵BC为⊙O的切线,切点为 B
∴∠OBC=90°,∴∠ODC=90°,又D在⊙O上,
∴CD是⊙O的切线.
【例7】如图所示,已知AB是⊙O的直径,AC⊥L于C,BD⊥L于D,且AC+BD=AB。
求证:直线L与⊙O相切。