组合数学基础11

第十一讲 Burnside 引理与 Polya 定理

§1 (置换群基本概念) (本页）

§2 (Burnside 引理与循环指标)

§3 (Burnside 引理的应用)

§4 (Polya 定理及其应用)

Redfield-Polya 定理是组合数学理论中最重要的定理之一．自从 1927 年Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了一类具有组合意义的计数的规律性．

抽象地说在一集合内，定义了一个等价关系，人们往往关心由这个等价关系所决定的等价类的数目，Refield-Polya 理论就是为解决这类问题而发展起来的复杂计数理论．

为了帮助读者理解，本章例举了较多的实例．

§1 置换群的基本概念

设有限集合，集合中的元素称为“点”．集合上的一个置

换是从到自身上的对应的映射：

设是集合上的另一个置换，置换与的乘积定义为复合映射：

例 1设上的二个置换：

和，

求乘积

解

从定义出发，

得：

设是集合上的全部置换构成的集合，在复合映射定一的乘义

下，集合构成一个群，称为次对称群．对称群的任意子群称为置换群，因为它们都与集合有关，一般也称为作用在上的置换群．因为集合的

排列有个，而每个排列对应一个置换，反之一个置换也对应一个排列，从

而有

置换的另一种表示方法是循环表示，它可简化置换的表达方式．

设是正整数，且满足，在置换中就有一个循环

我们称它为置换的一个循环．显然这里要求个点互不相同，从而整数是使成立的最小正整数．由循环的定义，不难推出任意一个置换都可以表示成若干个互不相交的循环的积，即

例 2将化为互不相交循环积的形式．

解先从点计算，故有一个 3-循环，

再从点计算，，最后得： . 即有 3-循环一个，2-循

环一个，1-循环两个．有时为了简便，可将 1-循环省略不写，即：

由例 2 可看到与表示的置换是相同的．推广到一般情形，互不相交的循环积是可交换的，即：

这里是的互不相交的循环，

当两个循环的交非空时，两循环的乘积一般是不可交换的．

例如取例 1 中的和，将它们分别化为不相交循环的乘积：

计算，，比较可

知

设置换，它的逆置换为：

这是因为为恒等置换．

设置换为互不相交的循环，则

对置换，使成立的最小正整数称为置换的阶记

为．由定义容易证明

其中表示最小公倍数．

当时，循环总可以写成若干个循环和若干个循环的乘积，

此时若置换中有偶数个循环，称为偶置换；若有奇数个 2-循环，称

为奇置换．这个定义是有意义的，因为对任意的循环，，

有：若是一个偶置换，那么或就一定是奇置换，由此可知，在对称群

中，偶置换的数目与奇置换的数目相等，都等于偶置换与奇置换的乘积仍为

偶置换，在中全部偶置换构成一个子群，称为次交错群，显然

设与是对称群中的两个置换，与称之为共轭，如果存在

使得

易知共轭关系为一个等价关系，从而中的置换划分为若干个共轭类，同一共轭类的所有置换在分解为互不相交循环的乘积下，具有相同的循环长度．这里的循环的长度是指一个循环中点的个数；反之具有相同的循环长度的两个置换

一定共轭．即：在对称群中，两置换共轭的充分必要条件是它们具有相同的循环长度．

在对称群中有多少个共轭类呢？先看一个简单的例子：

在对称群中全部的共轭类为：

一个循环，

一个循环和一个循环

二个循环，

一个循环，二个循环，

四个循环，

在中一共有五个共轭类，而每一个共轭类恰好对应着数 4 的一种划分，

即共轭类的数目等于整数4的划分数．

一般地，任意次对称群中的共轭类的数目等于正整数的划分数

．（的定义见第十一章）

在对称群的每个共轭类中至少有多少个置换呢？我们知道循环长度决定

一个共轭类，若此共轭类中的置换有个循环，个循环，，个

循环，这个共轭类记为，，这里

.若，则被分解为

个互不相交的循环的乘积．

定理 1共轭类中置换的数目为：

证明 (见相关知识注1)

注1

定理 1共轭类中置换的数目为：

证明设，将分解为互不相交的循环的乘积：

将中的个点任意排列而保留各循环之间的括号线变，一共

有个置换，它包括了中的所有置换，但其间有重复的置换，原因

有二个，其一如果中有个循环，而排列后的置换只是将其

循环改变了乘积顺序，即变为，这里

，它们实质上是相同的，于是每个置换在排列下

可产生个相同的置换；其二设有一个循环，它

与，，实质上是相同的循环，若中

有个循环，则有个实质相同的循环，这种情形中每个置换在排列中产

生个相同的置换．从个置换中去掉这些重复，就得到定理 1 的结论．

作为例子，下表给出了对称群的共轭类和分划的情况：

§2 Burnside 引理与置换群的循环指标

设是集上的置换群，点称为“等价”，当且仅当存在置换

使得，记为. 这种等价关系下的等价类称之为的轨道，

它是集的一个子集．

在的作用下，集合为的全部轨道的不交并．事实上，如果存在一点

，它在含有点的轨道内，同时也在含有点的轨道内，即，

对于任意的，则存在，使得，因为，而，故

，这样；同理可证，即．换言之的任意两个

不同的轨道的交是空集，所以置换群的轨道是集合上的一个划分．

例如设是集上的置换群，这里表示恒等置换（中的每个 1-循环省略了），依据轨道的定义，立即可得

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