解析几何初步

解析几何初步复习提纲一、直线方程1、 倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角，叫直线l 的倾斜角；当直线l 与x 轴平行或重合时，倾斜角等于00 。

倾斜角的取值范围是____[)π,0________。

2、 直线的斜率 （1）．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）．斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=； （3）．应用：证明三点共线： AB BC k k =。

注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.注：1、直线Ax+By+C=0(B ≠0)的斜率k=___。

2、几种特殊的直线方程平行与x 轴的直线___ _; x 轴___________ y b ；0y平行与y 轴的直线___ __；y 轴_______ _____ x a ；0x经过原点(不包括坐标轴)的直线________________ ykx4．设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；2．知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =； 3．与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 4．与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.5、过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ）注：该线系不含l 2.注：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5、三种距离：（1）A （x 1,y 1），B (x 2,y 2)，则|AB|=________________________。

（2）A （x 0,y 0）,直线 l ：Ax+By+C=0,则A 到直线l 的距离d=_________________。

（3）两平行线l 1: Ax+By+C 1=0,l 2：Ax+By+C 2=0，则l 1与l 2 之间的距离d=__________________。

七、点关于特殊直线的对称 1)点（00,y x ）关于x 轴对称的点为（00,y x -）；2)点（00,y x ）关于y 轴对称的点为（00,y x -）；3)点（00,y x ）关于原点对称的点为（00,y x --）； 4)点（00,y x ）关于x y =对称的点为（00,x y ）；5)点（00,y x ）关于x y -=对称的点为（00,x y --）。

（一）中心对称 (中点坐标公式的应用)1.点点对称：点（00,y x ）关于（b a ,）对称的点为（002,2y b x a --）；2.线点对称： （转化为点点对称） 在待求直线上任取一点（y x ,），它关于点（b a ,）对称点（y b x a --2,2）在已知直线上，代入已知直线化简即得所求直线方程。

（二） 轴对称1.点线对称：由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 0x x y y -'-'·k =－1， 2y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）.2.线线对称（转化为点线对称） 设a 关于l 对称直线为b（1）若a 与l 平行，则b 与l 也平行，且b a ,到l 的距离相等，利用平行线间距离公式求得。

（2）若a 与l 相交，先求出l a ,交点P ，再在上任取一点Q （异于交点），利用点线对称求出对称点Q'，则Q'在b 上，可求出x ′、y ′.由P 、Q'求出b 的方程。

二、直线与圆1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2. 圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ， 若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+注：特殊圆的方程：①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心3．圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； 4.()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 5．圆的参数方程：（1）圆心为原点半径为r 的圆的参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x θ为参数（2）圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a xθ为参数6．点与圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()(r b y a x =-+-⇔③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔7.直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r-+-=()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：（1）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。

（2）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；8．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切； （3）当121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切； （5）当12120|O O |r r ≤|<|-时，两圆内含。

9、圆的切线方程和切线长 （一）切线方程①若点(x 0 ,y 0)在圆上，利用半径与切线的垂直关系求解特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出⇒k 切线方程. 提醒：若求出一条，那么的考虑（斜率不存在的情况）注意：从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求； （二）切线长1、过圆222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y2、过圆022=++++F Ey Dx y x 外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为 10、弦长问题 Rt △ 2221()2r d a =+ 11、,圆系方程 （1）相交圆系：1、圆与圆相交过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1= 0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2= 0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2) = 0，注：公共弦方程：设圆C1∶011122=++++F y E x D y x 和圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .特别的，如果两圆相切，则为公切线方程2、直线与圆相交过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F = 0与直线l ：Ax ＋By ＋C = 0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ( Ax ＋By ＋C) = 0 (λ∈R)．（2）同心圆系12、三角形的有关知识点（注意与直线问题的联系）垂心———三角形垂心是三角形三边中线的交点 三、线性规划1、确定二元一次不等式00AxBy C 表示的区域的步骤若下：①在平面平面直角坐标系中作出直线0AxByC②在该直线的一侧，任取一点00P x y ，；当0C ≠,常把原点作为特殊点; ③将00P x y ，代人Ax ByC 求值： 00Ax By C④如000Ax By C ,则包含点P 的区域为不等式0Ax By C 所表示的平面区域；不包含点P 的区域为不等式0AxBy C 所表示的平面区域。

2、。

解线性规划问题的方法①画出可行域（注意边界的虚实线）②对目标函数(),0z ax by b =+≠变形：得到直线:l a z y x b b =-+，画出直线0:a l y x b=-③将直线0l 在可行域中进行平移，平移至可行域的各个边界点 ④根据直线l 的纵截距zb，以及b 的正负，求出z 的最值 练习题： 一、直线的方程1、求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值。

2、直线l 的倾斜角]43,2()2,4[ππππα⋃∈，则斜率∈k ),1[]1,(+∞⋃--∞3、已知)3,3(),2,6(),1,3(--N M P ，直线l 过点P 且与线段MN 相交 （1）求直线l 的倾斜角的取值范围；（2）求直线l 的斜率的取值范围. （答案（1）]65,4[ππ （2）),1()33,(+∞⋃--∞）4、已知θ∈[0,π]，则θθsin 2cos 3-+=y 的取值范围是__________5、直线的倾斜角为α，满足ααcos 3sin 2=，并且在y 轴上的截距为1，求此直线方程（答案 0223=+-y x ）6、若0,0<>b k 时，则直线b kx y +=必不通过（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、直线l 经过P （2，3），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 05=-+y x 或023=-y x 8、已知直线l 在y 轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形面积为8，求此直线方程. （答案：04=++y x 或04=--y x ）9、已知直线l 过点P （-2，1），倾斜角与直线32-=x y 的倾斜角互补，则直线l 的方程是（ C ） A ．)2(21+=-x y B ．)2(211+=-x y C ．)2(21+-=-x y D ．)2(211+-=-x y 10、R m ∈，直线012)1(=++--m y x m 过定点（ D ）A ．)21,1( B ．)0,2(- C ．)3,2( D ．)3,2(- 11、已知三点,2A a ,5,1B ,C4,2a 在同一直线上,a 的值为 . 2a或72a若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b +的值等于1212、（1）直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）； （2）直线120x ky k -+-=，不管k 怎样变化恒过点______二、两直线的位置关系13、求经过点)1,2(-M ，且与点)0,3(),2,1(B A -距离相等的直线方程 （答案：02=+y x 或1=y ）14、直线l 与直线0743=-+y x 平行，并和两坐标轴围成的三角形面积为24，则l 的方程为（ C ） A ．02443=++y x B ．02443=-+y x C ．02443=±+y x D ． 以上都不对 15、平行于直线0753:=+-y x l ，并且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程是 03053=--y x16、已知三角形ABC 的顶点A )7,5(、B )2,4(--、C )2,8(-，则过重心且平行于BC 边的直线方程为 1=y 17、已知两点)4,0(),0,2(B A -，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ C ）A ．02=+y xB ．042=+-y xC ．032=-+x yD ．052=+-y x 18、求过点)10,0(A 且与坐标原点的距离等于5的直线的方程（答案：010=+-y x 或010=-+y x ）19、直线322:01:21=+=-+y x l y x l 与的距离是（ A ）A ．22B ．2C ．22 D ．4220、若点),(y x 在直线012=-+y x 上运动，则y x 42+ 的最小值是21、点)1,3(-P 关于点)2,2(-M 的对称点坐标是 （1，-3） 22、点)3,2(P 关于直线042:=--y x l 对称点（答案)59,522(） 23、直线43-=x y 关于点)1,1(M 对称的直线方程 （答案x y 3=）24、求直线032=+-y x 关于直线0=+y x 对称的直线方程 （答案0107=-+y x ）25、设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合（答：－1；12；3） 26、已知两条直线1l :x +m 2y +6=0, 2l :(m -2)x +3my +2m =0，当m 为何值时, 1l 与2l（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.解:当ｍ＝0时，1l ：x ＋６＝０，2l ：x ＝０，∴1l ∥2l ， 当ｍ＝2时，1l ：x ＋４y ＋６＝０，2l ：３y ＋２＝０ ∴1l 与2l 相交；当m ≠０且m ≠２时，由m m m 3212=-得m ＝－１或m ＝３，由mm 2621=-得m ＝3故（１）当m ≠－１且m ≠３且m ≠０时1l 与2l 相交。