人教版高中数学必修4学案 向量加法运算及其几何意义

2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能根据几何意义作图解释加法运算律的合理性．

[知识链接]

1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？

答 不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．

2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？

答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →

叫做a 与b 的和(或和向

量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →

.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →

＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .

(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．

解决学生疑难点：

要点一 向量的加法运算

例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →

＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →

＝________.

(3)在平行四边形ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O . 则①AD →＋AB →

＝________； ②CD →＋AC →＋DO →

＝________； ③AB →＋AD →＋CD →

＝________； ④AC →＋BA →＋DA →

＝________.

答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →

④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →

＝AC →＋CD →＝AD →.

(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A → ＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →

＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，

②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →

＝0.

规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.

(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．

跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式： ①DG →＋EA →＋CB →； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →.

解 ①DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →

； ②EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →

＝0. 要点二 利用向量证明几何问题

例2 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形．

证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →. 又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，

∴AE →＝FC →

，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．

规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系． 跟踪演练2 下列命题

①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →

＝0；

③若AB →＋BC →＋CA →

＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B

解析 如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，

则a＋b的方向与a相同，若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，若|a|＝|b|，则a＋b＝0，它的方向任意，所以①错误；②正确；若AB→＋BC→＋CA→＝0，则A，B，C可能三点共线；所以③

错误；④错误．

要点三向量加法的实际应用

例3如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B 地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°解设AB

的方向飞行800 km，

则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；

两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.

依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，

又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，

22

所以

=+

AC AB BC

||||||

＝8002＋8002＝8002(km)．

其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.

从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.规律方法解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答．

跟踪演练3已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h，问：

(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？

(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)

解(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，