1.2数集和确界原理

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【VIP专享】1-02-数集与确界原理

M2
同样，有下界数集S最大的一个下界称为数
集S的下确界(infimum)，记作 infS .
下界
m2 m1 m
下确界
确界的精确定义
定义 1 设 S 为 R 中的一个数集.若数满足： (1)对一切 x S ,有 x ,即是 S 的上界； (2)对任何，存在 x0 S ，使得x0 ，
命题 2 =infS 的充要条件为 1）是 S 的下界， 2）＞0, yS,使得 y< .
例2
1
S1
1
(1 n
)n
,
2 S2 y : y sin x, x (0, ) ,
3 S3 x : x (0,1) I Q .
问：sup S ?, inf S ?
max S ?,min S ?
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
5. 确界原理定理1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S 有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S 必有下确界。
定理1刻划了实数集是完备的。
例3 证明实数具有阿基米德性: ba0,要证存在自然数n,使na>b.
证明假设结论不成立,即nZ+, 总有na≤b, 那么nZ+, 就有n≤b/a ,而b/a是一个有限的定值,但nZ+, n的取值可以永无止境,所以假设不成立. ba0,所以总存在自然数n,使na>b.

1.1实数,1.2数集.确界原理

例2
证明数集
S

n2 1 2n3
n

N
+

有界.

证
n N+ ,
n2 1 2n3

n2 2n3

1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界.
2. 有限小数 x a0 .a1a2 ak (其中ak 0), 又可表示为 x a0 .a1a2 ak1(ak 1)99 a0 .a1a2 ak1(ak 1)9 .
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
八、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|

a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.

高等数学第1章第2节数集·确界原理

§２数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）：设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个)．三确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）；２（1）；４（２）、（４）；５；。

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院数学与应用数学专业班级指导老师 XXX摘要在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …）由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*）由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ）取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ）与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋金福临朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。

关于实数完备性的研究

关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。

下面我们介绍一下六大定理。

1.1 确界原理1.1.1确界原理的定义x∈，都有定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切Sx∈，有ηx，即η是S的上界；≤（ii）对任何ηα<存在S>x即η又是S的最小上界x o∈，使得αoη则称数η为数集S的上确界，记作S=sup定义3 设S是R中的一个数集．若数ξ满足：（i）对一切Sx∈，有ξ≥x，即ξ是S的下界（ii）对任何ξβ>，存在Sx即ξ又是S的最大下界，则称x o∈，使得,β<o数ξ为数集S的下确界，记作Sξ=i n f上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．12 证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ; )2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥．再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ）对一切S x ∈有η≤x ；（ii ）对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ，使=>k k x η+k n n n n 21.k101，从而得kk n n n n x 101.21+> ，3但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ，即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．1.2单调有界原理1.2.1 极限以及数列定义定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2 单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .4 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3 区间套定理1.3.1区间套定义定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ；（ii ）()0lim =-∞→n n n a b ，则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.1. 3. 2区间套定理及其证明区间套定理若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.注区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的.推论若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂. 证由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim .5由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在正整数N , 当N n ≥时，有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ，这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;，那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃；..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃；..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim6 定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.1. 4. 2聚点定理及其证明聚点定理实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记[][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且 2)(212233Ma b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n Ma b n n n ，即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ. 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列. ]2[证设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.71.5 开覆盖定理1.5.1开覆盖定义定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.1.5.2有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证（论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ，即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .8 这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.1.6柯西收敛准则及其证明1.6.1柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ，取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα.令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a ,取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα.显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a .........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα.........Na ε-N a ε+N a x9这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ；（ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛.二、引出问题----六大定理如何等价有限覆盖定理→聚点定理→柯西收敛准则→确界原理→单调有界定理→区间套定理→有限覆盖定理2.1用有限覆盖定理证明聚点定理证设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.2.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些10 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） 2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .2. 3 用柯西收敛准则证明确界原理证设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ；同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .2 .4 用确界原理证明单调有界定理证不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 .5用单调有界定理证明区间套定理证由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.2. 6用区间套定理证明有限覆盖定理证假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ，即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.三、实数完备性的理论基础实数完备性理论是在实数的基本性质的基础上衍生出来的，如不足近似、过剩近似，四则运算的封闭性，绝对值与不等式等等。

1-02-数集与确界原理

o a
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.
3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. .邻域:
数集{ x x − a < δ }称为点a的δ邻域 ,
中的一个数集，满足：定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数ξ 满足：的下界）（1）对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ （即ξ 是 S 的下界））；存在（2））对任何β>ξ ,存在 x0 ∈ S , 使得 x0 < β （即ξ 是 S 的下界中最大的一个）则称数 ξ 为数集 S 的下的下界中最大的一个），确界，确界，记作 ξ = inf S .
∴sup S ≤ max{sup A,sup B} ; 同理又有sup B ≤ sup S. ∴sup S ≥ max{sup A,sup B} ; ∴sup S = max{sup A,sup B} . 从而有x ≤ max{sup A,sup B} , 又: ∀x ∈ A, x ∈ S ⇒ x ≤ sup S ⇒sup A ≤ sup S,
数集S有上界数集有上界 ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ S有x ≤ M. 数集S无上界数集无上界 ⇔ ∀M ∈ R, ∃x0 ∈ S有x0 > M. 数集S有下界数集有下界数集S无下界数集无下界
[ a , b ] , ( a , b ),(a , b 为有限数）是有界数集为有限数）是有界数集;
+
Β为非空数集满足: 为非空数集, 例4 设 Α, Β为非空数集,满足: ∀x ∈ A, ∀y ∈ B有 ≤ y x 证明: 有上确界, 有下确界,且证明:数集 A有上确界数集有下确界且sup A ≤ inf B 有上确界数集B有下确界由假设,数集数集B中任一数都是数集A的上界的上界, 证: 由假设数集中任一数 y 都是数集的上界 A中任一数 x 都是的下界中任一数都是B的下界的下界, 故由确界原理知,数集A有上确界数集有下确界有上确界,数集有下确界. 故由确界原理知数集有上确界数集B有下确界确界原理是数集A的一个上界的一个上界,而由上确界的定义知 ∀y∈B, y是数集的一个上界而由上确界的定义知是数集A的最小上界, supA 是数集的最小上界, 故有 supA ≤ y 是数集Β的一个下界, 而此式又表明数 supA 是数集Β的一个下界, 故由下确界的定义证得

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§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容一区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间． b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),( 有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U )(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与 }0|{);(δδ<-<=a x x a U a 此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞ 邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞§1.2 数集.确界定理二有界集.确界原理定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S 例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N 为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界． +∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS S sup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ （i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS （ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S S inf =ξ 上确界与下确界统称为确界．例2 设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0( .0inf ,1sup ==S S 解先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证 0inf =S 注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤ 注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S 例设数集有上确界．证明:3S S S S max sup =⇔∈=ηη 证设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，． S max =η ，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η （i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义． ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得对于任何有;)1S x ∈1+<n x 存在,使.)2S a ∈0n a ≥0 对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n 对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x 存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥ 再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n 对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥ 继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理对于任何有)1S x ∈k k n n n n x 101.21+< 存在，使 )2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明：（i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α 倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k 101从而得，k k n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1( 现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4 设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且B B A inf sup ≤()2 证由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B 现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得． B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =§1.2 数集.确界定理（ii ）.}inf min{inf,inf B S =证由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤ 另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥ 综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup =(ii)可类似地证明．若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。

数集确界原理

数集确界原理§1.2数集确界原理本节主要教学内容：区间与邻域确界及确界原理。

教学方法与设计：重点讲授确界的概念并补充例题对确界原理则以讲授其证明方法为主同时说明确界原理在本课程中的地位和作用。

一、区间与邻域 1、区间：开、闭、半开半闭、有限区间、无限区间（几何表示集合表示） 2、邻域点的δ领域去心领域左、右领域无穷大的领域：二、有界集确界原理 1、有界的概念 1o、设R若则称为有上界（下界）的数集M（L）称为的一个上界（下界）。

2 o、若既有上界又有下界则称为有界集否则称为无界集。

说明：（1）S为有界集。

此时称为的一个界。

（2）S为无界集S无上界或S无下界有。

（3）界：只强调存在不强调大小；若M为S的一个界则比M大的正数皆可作为S的界例：S={12}既有上界（）又有下界于是S有界（）。

S=（a、b）既有上界（）又有下界于是S有界（）。

S=N有下界但无上界。

有上界但无下界。

2、确界的概念最小的上界称为上确界最大的下界称为下确界即：（1）设S为R中的非空数集若满足：（i）; （ii）的最小上界. 则称数为S的上确界记为（supremum上确界的简写）（2）设S为R中的非空数集若满足：（i）；（ii）是的最大下界。

则称数为的下确界记为(infimum下确界的简写)。

上下确界统称确界。

说明：（1）若S存在上、下确界则。

（2）S的上（下）确界可能属于S也可能不属于S若属于则相等。

（3）若S存在上（下）确界则唯一。

（4）最大（小）性的表示：（ii）使。

使例：（1）则。

（2）S=则。

证明：（2）只证。

(i)有即1为的上界；(ii)要证只要所以有。

例：设S有上确界证明：证明：必要性。

由上确界定义,有又故充分性：（i）有即是S的上界；（ii）则。

由上确界的定义有：。

同理可证：。

3、确界原理：（i）设S为非空数集若S上界则S必有上确界；且唯一。

（ii）设S为非空数集若S下界则S必有下确界；且唯一。

证明：只证明（i）思路：1o、根据实数的表示法和上界的性质构造一个实数。

数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

数集确界原理

数集确界原理
数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

在数学分析中，确界原理是指有界数集必有上确界和下确界。

下面我们将详细介绍数集确界原理及其应用。

首先，我们来解释一下什么是数集的上确界和下确界。

对于一个有限的数集，
如果存在一个实数M，使得数集中的所有元素都小于等于M，那么M就是这个数
集的上确界。

同理，如果存在一个实数m，使得数集中的所有元素都大于等于m，那么m就是这个数集的下确界。

接下来，我们来讨论数集确界原理的应用。

首先，确界原理常常用于证明数列
的收敛性。

通过找到数列的上确界和下确界，我们可以判断数列是否有极限，从而得出数列的收敛性。

其次，确界原理也常用于解决最优化问题。

在最优化问题中，我们常常需要找到一个数集的上确界或下确界，从而得出最优解。

此外，确界原理还在实数的连续性和完备性证明中有着重要的应用。

在实际问题中，数集确界原理也有着广泛的应用。

比如在金融领域，确界原理
常用于证明利率的收敛性和最优投资组合的选择；在工程领域，确界原理常用于优化设计和资源分配等问题；在物理学中，确界原理也有着重要的应用，比如在能量的最优分配和系统的稳定性分析等方面。

总之，数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中有着
重要的地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

通过深入理解数集确界原理，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且能够更好地应用数学知识解决实际问题。

希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。

数学分析1-2数集、确界原理

是正规小数表示.
4. sup S.
(1) x b0 .b1b2 S,
若 x 0, 则x ; 若 x 0, 则 x S .
由于 a0 .a1 an max{ b0 .b1 bn | x b0 .b1 S }, 则 a0 .a1 an b0 .b1 bn . 由 n 的任意性得 x y.
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.
一、区间与邻域
二、有界集
三、确界四、确界的存在性定理
五、非正常确界
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一、区间与邻域
区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点
a,b , 且 a b
{ x a x b} 称为开区间，记作 (a ,b)
三、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 最小的上界称为上确界.
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
(i) x S, x ;
(是它的上界)
(ii) , x0 S, 使得 x0 , (比小的不是它的上界)
则称是 S 的上确界, 记为 sup S .
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步: 1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最大值 xn , n 1, 2, .
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2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使 n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
S1 { x | x S , x n0 .n1a2 },
则 S1 , x1 S1, x1 n0 .n1; x S, 1

1-2数集确界原理

定义3 是实数集R中的一个数集定义设S是实数集中的一个数集，是实数集中的一个数集， η 满足：若数满足：（1） x ∈ S , 有x ≥ η ，即 η 是S的一）的一 ∀ 个下界，个下界，（2） a >η, ∃x0 ∈S, 使 x0 < a ，即η ） ∀ 是S的最大下界，的最大下界，记作infS. 则称η 是S的下确界记作的下确界,记作
有上（若S有上（下）界，则一定有无限多个有上上（下）界。
任意的数，若对于任意的若对于任意的数M，都存在一个 x 0∈S,使得 x 0 >M, 则称是一个无上则称S是一个无上使得界的数集。界的数集。
如：S1 = { x | x = n!, n ∈ N + } 有下界（可取），无上界。），无上界有下界（可取1），无上界。
定义2 是实数集R中的一个数集定义设S是实数集中的一个数集，是实数集中的一个数集，
若存在数L，使得对一切的x 若存在数，使得对一切的 ∈S, 都有一切的 x ≥ L,则称为有下界的数集，称L为S的一个则称S为有下界的数集则称为有下界的数集，为的一个下界。下界。若S为既有上界、又有下界的数集，则称S 为有上界、有下界的数集，则称为有界集。为有界集。若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。没有上界或没有下界，则称为无界集。没有上界为无界集
1 S2 = { x | x = 1 − n , n ∈ N + } 2
下界可取1/2，上界可取1。下界可取，上界可取。
S 3 = { x | x = sin t , −
π
≤t≤ } 2 2
π
下界可取-1，上界可取。下界可取，上界可取1。

实数系的基本定理

a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛定理
Bolzano—Weierstrass 定理闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理）非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是

2
， xm a

2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。先证明基本数列必定有界，取 0 1，因为 xn 是基本数列，所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n

数学分析课后习题答案1.2

2、设 S 为非空数集,试给出下列概念的定义: ⑴数集 S 没有上界; ⑵数集 S 无界. 解: ⑴设 S 为一非空数集,若对任意的 M > 0 ,总存在 x 0 ∈ S ,使 x 0 > M ,则称数集 S 没有上界 ⑵设 S 为一非空数集,若对任意的 M > 0 ,总存在 x 0 ∈ S ,使 x 0 > M ,则称数集 S 无界
3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证: S = y y = 2 − x x ∈ R} .
2ห้องสมุดไป่ตู้
{
对任意的 x ∈ R , y = 2 − x ≤ 2 所以数集 S 有上界 2
2
而对任意的 M > 0 ,取 x1 =
3 + m ,则 y1 = 2 = x1 = 2 − 3 − M = −1 − M ∈ S ,
sup a r r为有理数 } ，当a > 1 , x 8.设 a > 0 , a ≠ 1 , x 为有理数,证明: a = r < x inf a r r为有理数 } ，当a < 1 , r<x
证: 只证 a > 1 的情况, a < 1 的情况可以类似地予以证明. 设 E = {a r为有理数， r < x} . 因为 a > 1 , a 严格递增 , 故对任意的有理数 r < x , 有
或
x < 0
2 6 x ≤ x + 1 ≤ −6 x
前一不等式组的解为 x ∈ [3 − 2 2 , 3 + 2 2 ] ，后一不等式组解为
x ∈ [−3 − 2 2 ,− 3 + 2 2 ] .

数学分析1.2数集与确界原理

(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。

设a∈R，δ>0。

若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。

若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。

若S不是有界集，则称S为无界集。

例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。

证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。

数集确界定理

§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容一区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间．b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),(有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U)(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与}0|{);(δδ<-<=a x x a Ua此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞连接管口处理高中资料试卷弯扁度固保护进行整核对定值，审核与校对图卷破坏范围，或者对某些异常高中资§1.2 数集.确界定理二有界集.确界原理定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界．+∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS Ssup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ（i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS（ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S Sinf =ξ上确界与下确界统称为确界．例2设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0(.0inf ,1sup ==S S解先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证0inf =S注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S例设数集有上确界．证明:3S SS S max sup =⇔∈=ηη 证设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，．S max =η，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η（i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS（ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义．ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得对于任何有;)1S x ∈1+<n x存在,使.)2S a ∈0n a ≥0对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理对于任何有)1S x ∈kk n n n n x 101.21+< 存在，使)2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明：（i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k101从而得，kk n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1(现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且BB A inf sup ≤()2 证由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得．B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备或者对某些异常高中资料试卷工况进行自§1.2 数集.确界定理（ii ）.}inf min{inf,inf B S =证由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup = (ii)可类似地证明．若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。

§1.2确界

《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
四、非正常确界
1. 规定 (i ) a R, a ; (ii )若 S 无上界, 记 sup S . 若 S 无下界, 记 inf S .
2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.
例1 sup N , inf{2n | n N } .

a
a
x
点a的去心的邻域 :
U (a； ) { x | 0 x a }
o
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2017年11月29日星期三
4
《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
右邻域： U (a; ) [a, a ) 左邻域： U (a; ) (a , a]
• 对下确界有类似的结论.
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17
《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
定理1.1
(确界原理)
设S R, S . 若 S 有上界, 则 S 必有上确界; 若 S 有下界, 则 S 必有下确界.
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18
上确界 M 上界
M1
M2
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为S的下确界.
下界 m2 m1 m
下确界
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11
《数学分析》(1)
§1.2 数集确界原理
1. 是上界；最小上界的定义2. 小一点不再是上界 .
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
14
《数学分析》(1)

数集·确界原理

设 2）不成立，则 0 0, 使得 x E ，均有 x M 0 ，与 M 是上确界矛盾.
充分性，用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 M M 0 ，
x E ，由 2），使得 x M M ，与M 是E
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
(a, b) (a, b 为有限数） a, b 、、邻域等都是有界数集；集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明：对任意的M 0，x M 1 1
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.

确界原理的证明

§2 数集. 确界原理(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难点：上、下确界定义的理解、数集确界的证明二) 教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。

（三）基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合A 的上确界为ξ．即：Ax ∈∀有ξ≤x ，且 ,,00A x ∈∃>∀ε使得 εξ->0x ．(三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．一区间与邻域: 区间邻域设a 与δ是两个实数，且0>δ，称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域，记作)(a U δ称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域记作)(0a U δ.δδa 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a Ua 的右δ空心邻域 }|{)(0δδ+<<=+a x a x a Ua 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδa 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ∞邻域 }|||{)(M x x U >=∞∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞二有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集，若存在一个数M （ L ）, 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤，则称S 为有上界(下界)的数集。

1.2数集和确界原理

【VIP专享】1-02-数集与确界原理

1.1实数,1.2数集.确界原理

高等数学第1章第2节数集·确界原理

六大定理互相证明总结

关于实数完备性的研究

1-02-数集与确界原理

【免费下载】数集确界定理

数集确界原理

数学分析1.2数集与确界原理

数集确界原理

数学分析1-2数集、确界原理

1-2数集 确界原理

实数系的基本定理

数学分析课后习题答案1.2

数学分析1.2数集与确界原理

数集确界定理

§1.2确界

数集·确界原理

确界原理的证明

1-2数集确界原理