1.2数集和确界原理

§1.2 数集和确界原理

授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理

教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.

教学要求：(1) 掌握邻域的概念；

(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.

教学难点：确界的定义及其应用.

教学方法：讲授为主.

教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.

一、 区间与邻域

(一) 区间（用来表示变量的变化范围）

设,a b R ∈且a b <.

⎧⎨⎩有限区间区间无限区间

，其中 {}{}{}{}|(,).|[,].

|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧⎪∈<<=⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:

{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.

x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间

(二) 邻域

联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？

1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即

{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.

2、点a 的空心δ邻域

{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .

3、a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域

{}{}00(;)[,)();

(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+

4、点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域

{}{}00(;)(,]();

(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<

5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域

{}()||,U x x M ∞=> （其中M 为充分大的正数）；

{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-

二、有界集与无界集

什么是“界”？

定义1（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.

闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，

集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.

若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.

) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,

集合 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；

2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：

例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.

分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明.

解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.证明如下：假设N +有上

界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.

综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.

例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.

问题：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个).

三、 确界与确界原理

1、定义

定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=

定义'2（上确界的等价定义）设E 是R 中的一个数集，若数M 满足：

1） M 是E 上界，

2） E x ∈'∃>∀,0ε使得ε->'M x .

则称数M 为数集E 的上确界。

定义3（下确界） 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.

定义'3（下确界的等价定义）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：

1）ξ是S 下界；

2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+

则称数ξ为数集S 的下确界。

上确界与下确界统称为确界.

注： 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

命题 设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.