大学概率论习题八详解

大学概率论习题八详解

（A ）

1、某厂生产的化纤纤度服从正态分布)04.0,(2

μN 。某天测得25根纤维的纤度的均值39.1=x ，问与原设计的标准值1.40有无显著差异？（取05.0=α）

解 设厂生产的化纤纤度为X ，则总体)04.0,(~2

μN X ，且总体方差2

204.0=σ已知。顾客提出

要检验的假设为

40.1:0=μH ， 40.1:1≠μH

因为已知总体标准差04.0=σ，所以选用U 检验，且在0H 成立的条件下有 )1,0(~25

04.00

N X U μ-=

针对备择假设40.1:1≠μH ，拒绝域的形式可取为

}/{0

c n

X U W >-=

=σμ

为使犯第一类错误的概率不超过05.0=α，就要在40.10=μ时，使临界值c 满足

()05.0=>c U P

成立。由此，在给定显著性水平05.0=α时，得到临界值为

96.1975.02/1===-u u c α

故相应的拒绝域为

{}96.1>=U W

利用来自总体的样本值求得

25.125

/04.040.139.1-=-=

u

即

975.096.125.1u u =<=

成立。显然，样本未落在拒绝域内，因此在05.0=α水平上认为纤维的纤度与原设计的标准值1.40没有显著差异。

2、设某厂生产的洗衣机的使用寿命(单位:小时)X 服从正态分布),(2

σu N 但2

,σu 未知。随机抽取

20台，算得样本均值1832=X ,样本标准差=S 497,检验该厂生产的洗衣机的平均使用时数“2000=μ”是否成立？(取检验水平05.0=α)

解 待检验假设2000:0=μH 2000:1≠μH 0H 的拒绝域：2

1α

-

>t

T =2.093

T 的观测值512.1/2000

-=-=

n

S X T W ∈

不能拒绝0H ,可以认为洗衣机的平均使用时数“2000=u ”.

3、在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）X ～),.(2

554σN （σ未知）。一日测得5炉铁水含碳量如下：

4.48，4.40，4.42，4.45，4.47

在显著水平050.=α下，试问该日铁水含碳量的均值是否有明显变化。 解： （1）:0H 5540.==μμ :1H 5540.=≠μμ

（2）选取检验统计量

)(~/10--=

n t n

S X T μ

给定α，查知776424197502

1.)()(.==--

t n t

α

。

0H 的拒绝域为：W ：)(12

1->-

n t

T α

。

计算|T |=7.054>2.7764，

所以显著水平05.0=α下，拒绝0H 。即该日铁水含碳量的均值有明显变化。

4、某厂产品需要用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不低于65。已知该指标服从正态分布),(2

σμN ,σ一直稳定于5.5。从近期来货抽查了100个样品，得样本均值06.55=x ，试问在050.水平下能否接收这批玻璃纸。

解 65:0≥μH

65.105.0-==u u α

=

*U n

X σμ0

-=-18.07<-1.65

拒绝0H ,在050.水平下不能接收这批玻璃纸。

5、根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm 。该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：1521,,,x x x 。经计算得知

,4815

1

=∑i

x

26.15615

1

2=∑i x 。

试判断该厂是否符合环保法的规定。（该有毒化学物质含量X 服从正态分布） 解（1）H 0 ：,30=≤μμ H 1 ：3>μ （2）H 0 的拒绝域为：)1(/10->-=

-*n t n

S X T αμ

（3）计算

2.34815

1

=⨯=

x ，

19.0)(14

122

2=-=

∑x n x S i ，

436.0=S

=

*T 15

4360323/..-=1.77667>7613.1)14(95.0=t .

所以在显著水平050.=α下，拒绝H 0.

6、某医院用一种中药治疗高血压，记录了50例治疗前与治疗后病人舒张压数据之差，得到其均值为16.28，样本标准差为10.58。假定舒张压之差服从正态分布，试问在05.0=α水平上，该中药对治疗高血压是否有效？

解 设治疗前与治疗后病人舒张压数据之差为X ，则总体),(~2

σμN X ，且2

σ未知。要检验中药

对治疗高血压是否有效？属于单边检验，故此提出假设

0:0≥μH ， 0:1<μH

在假设0:0≥μH 成立的条件下，应该选用t 检验。针对备择假设0:1<μH ，拒绝域的形式可取为

}/{0

c n

X T W <-=

=σμ

为使犯第一类错误的概率不超过α，就要求

()α=

由于在0μμ=时，()1~-n t t ，所以()1-=n t c α。当t 分布的自由度大于45时，可以用标准正态分布的分数来近似t 分布的分位数。现在50=n ，t 分布的自由度为49，该值较大，因此在给定05.0=α时，可利用标准正态分布确定出0.05的分位数为()645.14905.005.0-=≈u t 。根据来自总体的样本值计算出检验统计量的值为85.10-=t 。而在05.0=α水平上的拒绝域为

{}645.1-<=t W

显然，样本落在拒绝域内，因此在05.0=α水平上认为该中药材对治疗高血压有效。

7、某种导线的电阻服从),(2

σμN ,μ未知,其中一个质量指标是电阻标准差不大于Ω0050..现从中抽取了9根导线测其电阻,算得标准差0066.0=s ,试问在05.0水平下能否认为这批导线的电阻波动合格。 解 检验假设005.0:00=≤σσH 005.0:01=>σσH

0H 的拒绝区域212

2

)1(:

αχσ->-S n W