《1.3.1二项式定理(第一课时)》学案
二项式定理第1课时精品教案
1.3二项式定理【课题】：1.3.1二项式定理【教学目标】：（1）知识与技能：：1、能用计数原理证明二项式定理；2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式（2）过程与方法：在推导证明的过程中培养类比、归纳能力及科学的思维方式；（3）情感态度与价值观：、培养勇于探索、勇于创新的个性品质，体验数学美，激发爱国主义热情【教学重点】：掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式【教学难点】：用计数原理推导二项式定理的过程中各项系数的规律.并求指定项【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入：二、讲解新课：一、复习引入：⑴；22202122222()2a b a ab b C a C ab C b+=++=++⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b+=+++=+++⑶的各项都是次式，4()()()()()a b a b a b a b a b+=++++4即展开式应有下面形式的各项：，，，，，4a3a b22a b3ab4b展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即4b104C种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，4a04C1b14C3a b14C恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况2b24C22a b24C3b有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是34C3ab34C4b44C4b，44C∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b+=++++二、讲解新课：1、二项式定理：01()()n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N-*+=+++++∈引入课题对二项式定理（基础题）1.的展开式中，不含a 的项是第（ D ）项153)a1a (-A .7B .8C .9D .62．由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有 （B ）1003)23(+x x 50项17项 16项 15项()A ()B ()C ()D 3．若展开式中存在常数项,则n 的值可以是 （ C ）n xx )2(3+A ．8B ．9C ．10 D ．12（中等题）4.展开式中的系数为_________288)1(xx -5x .5.展开式中含的项为_______________．9)23(z y x +-432z y x 43290720z y x -（难题）6.在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，7)1(+ax 3x 2x 4x 1>a 那么______________．=a 5101+7．的展开式中，的系数为__________．179(用数字作答))1()2(210-+x x 10x 8．设展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求项的系nxx )32(-2x 数．解：第项，1r +32213()2(3)n r r n r r r n r r r n n T C C xx---+-=⋅⋅=⋅⋅-∴，即，∴，113332(3)42(3)45n n n n C C --⋅⋅-=⋅⋅-4649(1)(2)45n n n n ⋅=⋅--23280n n --=∴或（舍负）．7n =4n =-令，即，∴．3222n r -=73222r -=1r =∴项的系数2x 17172(3)1344C -⋅⋅-=-。
二项式定理(第一课时)优秀教学设计
1.3.1 二项式定理课前预习学案预习目标：通过分析(a+b)2 、（a+b ）3的展开式，猜测归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征。
问题1：利用多项式乘以多项式运算法则，展开下列三个式子：（要求：按a 的次幂从高到低排列各项）（a+b ）2=（a+b ）3 =问题2：观察（a+b ）2，（a+b ）3 三个展开式各自的特点,试写出：（a+b ）n 展开有 项相加，每一项都是 次单项式。
每一项中字母a 的指数由 递 到 。
每一项中字母b 的指数由 递 到 。
那每一项前的系数有什么规律呢？问题3：猜想:（a+b ）n 的展开式中的每一项有哪些？（a+b ）n 展开式中的项有：问题4：在（a+b ）2的展开式中22,,b ab a 是怎么来的？问题5：再次猜想:（a+b ）n 的展开式又是什么呢？（a+b ）n =(利用2-3分钟小组交流上面问题，展示3分钟)课内探究学案一、学习目标：知识：1.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项。
过程：2.通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力。
情感：3.激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识。
二、学习重难点：教学重点：（1）二项式定理及通项公式的运用（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别教学难点：二项定理的推导及运用三、学习过程：1.新课讲授：(5分钟)二项式定理证明二项式定理。
归纳小结：二项式定理的公式特征（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；（4）通项:T k+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。
《1.3.1 二项式定理》学历案
《1.3.1 二项式定理》学历案姓名：班级：学号：【主题与课时】人民教育出版社高中选修2 3第一章计数原理1.3.1二项式定理【课标要求】1、理解二项式定理，能用计数原理证明二项式定理。
2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
【学习目标】1、同学们在学完这节课后，能准确说出二项式定理的表达式。
比如说，像$（a ＋ b)＾n$展开后是什么样的式子，要能说得出来。
2、能够理解二项式定理推导过程中所用到的计数原理，就是知道这个式子是怎么来的，而不是死记硬背。
3、可以熟练运用二项式定理去求二项展开式中的特定项，例如求第k项是啥样的。
4、能解决一些简单的二项式相关的实际问题，就像在生活里遇到的一些类似情况，也能把这个知识用上。
【评价任务】1、通过课堂提问和小组讨论的表现，来检测目标1和2是否达成。
如果在课堂上能积极回答关于二项式定理表达式和推导原理的问题，那就说明掌握得还不错。
2、做一些专门设计的练习题，要是能顺利求出二项展开式中的特定项，就达到目标3啦。
3、布置一个实际的小问题，要是能运用二项式定理解决，那目标4就达成了。
【学习过程】一、情境导入同学们，咱们来想象一下这样一个场景啊。
学校要组织一场趣味数学竞赛，其中有一个挑战环节是关于数字组合的。
给你一个像$（a ＋b)＾n$这样的式子，让你快速算出它展开后的结果。
这可不像咱们平常简单的加法或者乘法运算哦。
这就好比你要把一堆不同颜色的积木按照特定的规则组合起来，而且这个规则还和数学里的计数原理有关系呢。
这时候啊，咱们要是掌握了一个神奇的公式，就能轻松搞定这个挑战啦，这个神奇的公式就是咱们今天要学习的二项式定理。
二、任务一：二项式定理的表达式1、首先呢，咱们来探索一下二项式定理的表达式到底长啥样。
咱们从简单的例子开始看啊。
比如说$（a ＋ b)＾2$，根据咱们学过的乘法分配律，＄（a ＋ b)＾2=（a ＋ b)（a ＋ b)＝a^2+2ab ＋ b^2$。
1.3.1二项式定理(教案)
1． 3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，na 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，na b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有rn C 种，n rr ab -的系数是rn C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ， ∴01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x=-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nmx x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．第四课时例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5.6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n rrr r nn T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C = 5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(2040322328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++； （2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+ 7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010x x C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
1.3.1二项式定理(学案)
1.3.1二项式定理学案广东省信宜市第XX中学高二级数学组陈XX【教学目标】【学情分析】【教学重难点】1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。
2、难点：二项式定理的发现。
【教学过程】1、情景设置问题1:若今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢？预期回答：星期一问题2:如果是15天后的这一天呢？预期回答：星期二，将问题转化为求“15被7除后算余数”是多少。
问题3:如果是8100(N”)天后的这一天呢？预期回答：将问题转化为求“ 8100 =(7 1)100被7除后算余数”是多少，也就是研究(a b)n(N ”)的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
2、新授第一步：让学生展开1(a b)二a b(a b)2 = a2 2ab b2；3 2 3 2 2 3(a b) = (a b) (a b) = a 3a b 3ab b ；(a b)4二？公元1世纪《九章算术》其中提及：(a b)^?尝试二项式定理的发现1(a b)二a b(a b)2 = a2 2ab b2；3 2 32 2 3(a b) = (a b) (a b)二a 3a b 3ab b ；(a b)4=?初步归纳出下式：(a 七广=：［a" •a n 'b • • a n "b ‘ 亠••亠〔b n g练习：展开(a ■ b)7教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作， 称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早 400多年。
你们今天做了与杨辉同样的探索， 以鼓励 学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
第二步：继续设疑如何展开(a - b)100以及(a b)n (n N )呢？(设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的， 激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
)继续新授师：为了寻找规律，我们将 (a - b)4 = (a - b)(a b)(a - b)(a - b)中第一个括号中的 字母分别记成a i ,b i ；第二个括号中的字母分别记成 a 2,b 2 ；依次类推。
1.3.1.二项式定理 学案
§1.3.1 二项式定理（1）学习目标1. 能从特殊到一般理解二项式定理；2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念学习过程一、课前准备（预习教材P 29~ P 31，找出疑惑之处）复习1： 积()()n n b b b a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++2121 展开后，共有 项.复习2：在n=1,2,3时，写出 n b a )(+的展开式.1)(b a += ,2)(b a += ,3)(b a += ，①1)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ；②2)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ，a 的次数规律是 ，b 的次数规律是 .③3)(b a +展开式中项数为 ，每项的次数为 ，a 的次数规律是 ，b 的次数规律是 .复习3：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从每个容器中取一个球，有 不同的结果，其中取到4个红球有 种不同取法，取到3个红球1个黑球有 种不同取法，取到2个红球2个黑球有 种不同取法，取到4个黑球有 种不同取法.二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 二项式定理问题1： 猜测 nb a )(+展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？新知：++⋅⋅⋅++=+--r r n r n n n n n n b a C b a C a C b a 110)(n n n b C +⋅⋅⋅（*∈N n ） 上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n b a )(+的展开式，其中r nC （r ＝0，1，2，…，n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.试试：写出=+6)1(x ， ⑴ 展开式共有 项，⑵ 展开式的通项公式是 ；⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .反思：n b a )(+的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？※ 典型例题例1 用二项式定理展开下列各式：⑴ 4)1(x -； ⑵ 6)12(x x -变式：写出 4)11(x +的展开式.例2 ⑴ 求6)21(x +展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；⑵ 求9)1(x x -展开式中3x 的系数.变式：求9)33(x x+ 展开式中的常数项和中间项.小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.※ 动手试试练1. ⑴ 求()632b a +展开式中的第3项系数和二项式系数.练2. ⑴ 求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项； ⑵ 若()12n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求n 及()12n x +展开式中含3x 的项．三、总结提升※ 学习小结1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.※ 知识拓展问：7)32(c b a ++的展开式中232c b a 项的系数是多少？ 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. ()112a b +的展开式中第3项的二项式系数为第3项系数为 ；2. 10)1(-x 展开式的第6项系数是（ ）(A) 610C (B) 610C - (C) 510C (D)510C - 3. 在()612x -的展开式中，含3x 项的系数是 ；4. 在531a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，其常数项是 ；5. ()12x a +的展开式中倒数第4项是 .课后作业1. 求()102332b a -展开式中第8项；2. 求624x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.3.求15)21(x -展开式的前4项；4.（04年全国卷）81⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 展开式中5x 的系数是 .。
学案5：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理目标导航学习目标重点、难点1.能用计数原理证明二项式定理．2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式．3.能解决与二项式定理有关的简单问题. 重点：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，能求特定项和系数． 难点：解决与二项式定理有关的简单问题.预习引导 1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) (1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项式的展开式，展开式中一共有____项． (3)二项式系数：各项的系数__(k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 2．二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式中第k ＋1项____________(k ∈{0,1,2，…，n })称为二项展开式的通项． 预习交流(1)二项展开式的特点有哪些？(2)(x ＋1)n 的展开式共有11项，则n 等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．12(3)⎝⎛⎭⎫2x －1x 7的展开式中第3项的二项式系数为__________，第6项的系数为__________，x 的次数为5的项为__________．自我感悟在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点课堂合作问题导学一、二项式定理的直接应用 活动探究1求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式． 思路分析：直接利用二项式定理处理是基本的方法．但考虑到处理起来比较复杂，因此可以考虑将原式变形后再展开．迁移与应用化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．名师点津：熟记二项式(a ＋b )n 的展开式，是解决此类问题的关键，我们在解较复杂的二项式问题时，可根据二项式的结构特征进行适当变形，简化展开二项式的过程，使问题的解决更加简便．二、二项展开式中特定项(项的系数)的计算 活动探究21．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．思路分析：利用二项式定理的通项公式求出不含x 的项即可．2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154B ．154C ．－38D ．38思路分析：利用二项展开式的通项公式求． 迁移与应用1． (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )． A ．－20 B ．－15C ．15D ．202． x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)名师点津：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般 需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． 三、二项式定理的应用(整除问题) 活动探究3试判断7777－1能否被19整除．思路分析：由于76是19的倍数，可将7777转化为(76＋1)77用二项式定理展开． 迁移与应用证明：32n ＋2－8n －9是64的倍数．名师点津：用二项式定理解决a n ＋b 整除(或余数)问题时，一般需要将底数a 写成除数m 的整数倍加上或减去r (1≤r ＜m )的形式，利用二项展开式求解．当堂检测1.⎝⎛⎭⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是( )． A ．C 216x 12 B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10 D ．C 416x 82.在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－403.二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 10的展开式中的常数项是( )．A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项4.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 5．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有__________项． 6．(1－x )4·(1－x )3的展开式中x 2的系数是__________．盘点收获用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领参考答案1．(2)n ＋1 (3)C k n2．T k ＋1＝C k n an －k b k 预习交流：(1)提示：①项数：n ＋1项；②指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减到0，同时b 的指数由0递增到n ；③通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r指的是第r ＋1项，不是第r 项；④某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念，C r n 叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x )3的二项展开式中第3项的二项式系数为C 23＝3，而该项的系数为C 23·22＝12.(2)提示：B(3)提示：21 －84 －448x 5 活动探究1：解法1：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝⎛⎭⎫1x 0＋C 14(3x )3·⎝⎛⎭⎫1x ＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋ C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法2：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.迁移与应用：解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1.活动探究2：1.【解析】由二项式定理可知T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x 2r ＝C r 6(－a )r x 6－3r ， 令6－3r ＝0，得r ＝2，∴T 3＝C 26(－a )2＝60.∴15a ＝60.∴a ＝4. 【答案】42．【解析】设含x 2的项是二项展开式中第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6⎝⎛⎭⎫126－r (－2)r x 3－r . 令3－r ＝2，得r ＝1.∴x 2的系数为C 16⎝⎛⎭⎫125(－2)＝－38. 【答案】C迁移与应用：1.【解析】设第r ＋1项为常数项，T r ＋1＝C r 622x (6－r )(－2－x )r ＝(－1)r ·C r 6212x－2rx －rx，∴12x －3rx ＝0， ∴r ＝4.∴常数项为T 5＝(－1)4C 46＝15.2．【解析】⎝⎛⎭⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r .令7－2r ＝3得r ＝2. 因而⎝⎛⎭⎫x －2x 7展开式中含x 3项的系数为(－2)2·C 27＝4×7×62＝84.故x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数为84. 【答案】84活动探究3：解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除． 迁移与应用：证明：∵32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋C nn ＋1·8＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝8n ＋1＋C 1n ＋1·8n ＋…＋C n －1n ＋1·82 ＝(8n －1＋C 1n ＋1·8n －2＋…＋C n －1n ＋1)·64， 故32n ＋2－8n －9是64的倍数．当堂检测1．【解析】展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·(x )16－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r ， ∴第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10.【答案】C2．【解析】T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 35＝－40. 【答案】D3．【解析】展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x20－2r⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r 10·x 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r＝8.∴常数项为第9项． 【答案】B 4．【解析】⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的通项为 T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 626－r x 3－r .当3－r ＝0时，r ＝3.故(－1)3C 3626－3＝－C 3623＝－160.5．【解析】∵T r＋1＝3r4C r20x20－r y r(r＝0,1,2，…，20)的系数为有理数，∴r＝0,4,8,12,16,20，共6项．【答案】66．【解析】展开式中的x2项为C14·(－x)1·C23·(－x)2＋C24(－x)2C03＝－6x2.【答案】-6。
（完整版）二项式定理教案.docx
（完整版）二项式定理教案.docx1.3.1二项式定理（第一课时）一、教学目标1、知识与技能（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）能够区分二项式系数与项的系数2、过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3、情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1、教学重点：二项式定理及二项式定理的应用2、教学难点：二项式定理中单项式的系数三、教学设计：教学过程设计意图师生活动一、新课讲授引入：展开 (a b)2、 (a b)3XK]让学生写展开式，回顾学生写展开式多项式乘法法则学生完成：(a b) 2a22ab b2利用排列、组合理知识(a b) 3a33a2 b3ab 2b3分析 (a b)2展开式分析 (a b) 2的展开式：(a b) 2(a b)(a b) a22ab b2教学过程设计意图师生活动恰有 1 个因式选b的情况有C12种，所以ab的系数是C12；2 个因式选b的情况有C22种，所以b2的系数是C22；每个因式都不选 b 的情况有C02种，所以a2的系数是C02；(a b)2C02a2C12 ab C22b2类比展开 ( a b)3(a b)3C03a3C13a2b C32ab2 C 33b3①展开式有几项？思考 3 个问题：②展开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一数和有什么特点？项 a ，b 的指数③各项的系数是什和 3.系数么？如何用排列、组合的知学生完成识解释ab2的系数？按照 a 的降幂排列类比展开 ( a b) 4(a b)4 C 04a4C14 a3b C 24a2 b2C 34ab3C44 a4归纳、类比(a b) n?二、二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b C2n a n 2b2L C k n a n k b k LC n n b n(n N* )这个公式叫做二项式定理, 左边的多项式叫做二项式右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式，其中各项的系数 C r n ( k 0,1,2,3,L n) 称为二项式系数，式中的 C k n a n k b k叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第k 1 项，记作：T k 1=C k n a n k b k从以下几方面强调：（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a 的指数由n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；C n k （ 4）通项：第k1项：T k 1C n k a n k b k 让学生类比写展开式，进一步巩固展开式的特点通过前面具体的例子，让学生从项数、项、系数这三个方面来类比(a b) n?（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为 n ，字母 a的指数由 n 递减至0，字母 b 的指数由0递增至n ；（ 3）系数是C n0 ,C n1 ,C n2 ,L ,C n kL ,C n n (k {0,1,2,L , n})生：板演( a b) 4的展开式师：展示通过前面几个例子，类比归纳得到 (a b)n的展开式，学生交流探究以下 3 个问题1.指数：3.系数教学过程设计意图师生活动三、典例分析例例 1、求 (214区别：) 的展开式x展开式中第 2 项的系解：1)4C 40 24 C 41 23( 1) C 41 22( 1) 2 C 432 ( 1)3数，第 2 项二项式系数(2 C 44 ( 1)4xx x xx32 24 8 116 x x 2 x 3 x 4例 2（ 1）求 (12x) 5思考：的展开式中第解：(1 2x)53 项是 T 2 1 C 52 13 (2 x)240 x 3展开式中第 3 项的系的展开式的第，数，第 3 项二项式系数例 3. 求 ( x1)9 的展开式中 x 3 的系数x通过例题让学生更好解：∵ ( x 1)9的展开式的通项是的理解二项式定理xTk 1C 9r x9 k( 1) k C 9k x 9 2k，x强调：通项公式的应用∴ 92k3 ，∴ x 3 的系数 C 9384课堂检测：1. (2 a b)4 的展开式中的第 2 项 . 解： T 2 1 C 41 (2a)3 b 32a 3b ，2. (x 10的展开式的第 6 项的系数（D ）进一步巩固二项式定1)C 106C 106C. C 105C 105理A. B.D.3. (1x)5 的展开式中 x 2 的系数为（ C ）25A.10B. 5C.D. 12四、小结学生应用二项式定理明确通项的作用五、作业：课本 37 页 A 组 2 、 3 题板书设计：1.3.1二项式定理一 .二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n( n N * )1.项数：n1项；2.指数：字母a，b的指数和为n ，a的指数由 n 递减至0，b的指数由 0 递增至n；3.二项式系数：C n0 , C1n , C n2 ,L , C n k L , C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1 项：T k 1C n k a n k b k二.典例三 .作业。
高中数学_二项式定理第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思
§1.3.1 二项式定理（第一课时）教学设计【教学流程和教学活动设计】根据所选择的探究性教学模式、为了更好地落实新课程所倡导的积极探究、自主学习、验证假设【教学过程】)*k n k kn nn n C a b C bn N -+++∈展示） 如何证明二项式定理)011222*n n n n n nn k n k k n n n n C a C a b C a b C a b C b n N ---+++++∈）公式左边叫做二项式，()n a b +的二项展开式 让学生分析等式特点，猜想数学归纳法可以证明，力的学生课下完成，得到二项式定理。
,n,,kn nn C C 。
这里0,1,2,,n ）称为二项总结汇报结果来回答问题，边记录。
分钟）利用二项式定理把(1+2x(k n k kn nn n C a b C b n N -+++∈（关于a 与b 的齐次多项式）b ,n,k n n n C C 。
这里k n C （,k n =）称为二学情分析在知识技能基础上高二的学生已经具备独立思考的能力而且思维较活跃，并且通过前一阶段的学习，学生已经掌握了分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列与组合等相关知识。
但由于知识的前摄效应，又会给本节内容的学习造成一定的困难，比如部分通过观察分析前几个例子，归纳不出来二项式定理展开式。
在学习能力方法上授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。
他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。
在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。
从而需要采用引导发现法，从学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析、归纳。
通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察、分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。
1.3.1二项式定理(学、教案)
课内探究学案 一、学习目标 1.用计数原理分析（a+b）3 的展开式，进而探究（a+b）4 的展开式，从而猜想二项式定理。 2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。 3. 培养学生观察、分析、概括的能力。 二、学习重难点： 教学重点：二项式定理的内容及应用 教学难点：二项式定理的推导过程及内涵 三、学习过程 （一）探究（a+b）3、 （a+b）4 的展开式 问题 1： （a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题 2：将上式中，若令 a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？ 合作探究一：合并同类项后，为什么 a2b 的系数是 3？ 问题 3： （a+b）4 的展开式又是什么呢？ 结论： （a+b）4= C 4 a4+ C 4 a3b+ C 4 a2 b2+ C 4 ab3+ C 4 b4 （二）猜想、证明“二项式定理” 问题 4： （a+b）n 的展开式又是什么呢？ 合作探究二: (1) 将（a+b）n 展开有多少项？
1 的展开式的第 r+1 项； 3 2 x
）
n
4.（x-1）10 的展开式的第 6 项的系数是（ （A） C
6 10
(B)
C
6 10
(C)
C
5 10
(D)
C
5 10
课后练习与提高 1．在 x 3
10
的展开式中， x 的系数为
4 B． 27 C10
6
（
6 C． 9C10
§1.3.1 二项式定理
高中数学1.3.1二项式定理(第一课时)教案新人教A版选修2-3
课题1．3． 1 二项式定理（第一课时） 总课时数 53课型 新讲课编定人马克锋审查人马克锋 执教时间2010 年 4 月 29 日学 知识 1．掌握二项式定理及其睁开式的通项公式；习 目标 2．能运用二项式定理睁开某些二项式，会求某些特定项．目 能力 经过研究二项式定理，培育学生察看问题发现问题, 概括推理问题的能力．标目标感情 激发学生学习兴趣、培育学生不停发现，研究新知的精神，并经过数学的对称美，培育学生的目标审盛情识，经过展现、沟通养成优秀的学习质量，加强合作意识． 要点 二项定理的推导及其睁开式的应用．难点 知识的发生过程，用计数原理证明二项式定理．教课方法自主研究、教案导学教课手段彩笔教学 过程师 生 活 动 一、创建情境问题１：今日礼拜五，再过810天的那天是礼拜几？给 学 生 创 造 一 个 问题 2：由于 8=7+1，那么 810=（ 7+1） 10 又怎样睁开呢？更一般的（ a+b ）10、 (a+b) n 如“愤”和“悱”的 何睁开？这将是本节课要研究和学习的问题。
情境，激发学生的 二、新知研究求知欲念 .（一）预习纲要( 依据以下纲要，预习教材第 29-30 页，找出迷惑之处 )2 分钟1．运用多项式乘法法例写出（ a+b ）2、（ a+b ） 3、（a+b ） 4 的睁开式，并研究：①项数； ②各项次数；③字母a 、b 指数的变化规律，按a 降幂b 升幂填写 .（ 1）(a+b) 2= (a+b)(a+b)=，归并同类项后睁开式共 项，各项是的，它们分别为 ,每一项都是 a ____ b ___ (k ________) 的形式 .次学 生 小 组 讨 论 交流，对三个睁开式 的进行商讨 . 5 分钟（ 2） (a+b) 3=(a+b)(a+b) (a+b)=，合 并同类 项后 睁开 式共项 ，各 项 是 次 的 ， 它们 分别 为,每一项都是 a ____ b ___ (k ________) 的形式 .（ 3） (a+b) 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)= ， 合 并同 类 项 后展 开 式 共项 ， 各 项 是 次 的 ， 它 们 分 别 为,每一项都是a ____b ___ (k________) 的形式 .2．怎样利用计数原理获得 (a+b) 2 ，(a+b) 3 ， (a+b)4的睁开式各项的系数呢？（ 1）关于 (a+b) 2 ： a 2 是从 __个（ a+b ）中取 __相乘而获得，相当于从 __个（ a+b ）中取 __个 b 的组合数 C__，所以 a 2 的系数是 C__.ab 是从 __个（ a+b ）中取 __，__个（ a+b ）中取 __相乘而获得，相当于从__个（ a+b ）中鼓舞学生亲自体验怎样解决新问题，培育研究能力和合作精神．学生疏组议论6 分钟取 __个 b 的 合数 C__，所以 ab 的系数是 C__.b 2 是从 __个（a+b ）中取 __相乘而获得， 相当于从 __个（ a+b ）中取 __个 b 的 合数 C__，所以 b 2的系数是 C__． (a+b) 2的睁开式可用 合数表示 ：(a+b) 2=(a+b) (a+b)=（ 2） 于 (a+b)3：利用同 的 法研究获得含 a 3、 a 2b 、 ab 2、b 3 些 的系数分C__， C__， C__，C__，（ a+b ） 3 的睁开式可用 合数表示 ：(a+b) 3=(a+b)(a+b)(a+b)=（ 3） 于 (a+b)4：利用同 的 法研究获得含a 4、 a 3b 、a 2b 2、 ab 3、 b 4些 的系数分 C__、 C__、 C__、 C__、C__，（ a+b ） 4 的睁开式可用 合数表示 ：(a+b) 4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=学生在研究 程中通 察、 ， 比进而是 行必需的 和合理的猜想得出 .３． 依据以上 ，猜想 (a+b) n 的 睁开式合 并同 后睁开 式共 ，各是次的， 它 分,每一 都是 a ____b ___ (k ________) ５分的形式 . a n k b k (k 0,1,2,..., n) 从 __个（ a+b ）中取 __， __个（ a+b ）中取 __相乘而得到，相当于从 __个（ a+b ）中取 __个 b 的 合数 C__，所以 a n k b k ( k0,1,2,..., n) 的系数是 C__. 猜想 (a+b) n由特别到一般，由 的睁开式可用 合数表示 ：感性到理性．(a+b)n=(n∈ N + )（二）二 式定理n(n∈ N )观点。
《131二项式定理》教学设计
《1.3.1二项式定理(第一课时)》教学设计09应数三班姜宏菊1号一、教材分析《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2---3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。
在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。
另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用。
可见二项式定理是一个承上启下的内容，问题类型具有较强的综合性，可以连接不同内容的知识。
二、学情分析认知分析：学生的认知结构中已经有了二项式的平方、立方和数列的有关知识，对于组合已经有了初步的认识。
能力分析：学生能够运用所学知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）、能利用计数原理证明二项式定理（2）、理解掌握二项式定理，并能简单应用（3）、能够区分二项式的系数与二项展开式的系数2、过程与方法目标通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
并经历数学解决问题的一般思路：发现问题，提出假设，证明假设，3、情感与态度目标通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
四、教学重难点（1）、教学重点：归纳二项式定理及二项式定理的应用（2）、教学难点：二项式定理中单项式的系数（3）、教学难点的突破：二项展开式中的系数问题，通过两个问题去考察计数原理在因式分解中的应用，从而提出在猜想中的各因式的特点，降幂排列，或升幂排列，系数是看成取谁的一个组合问题，从而很容易的就突破了难点，使学生不感到突然，或是难以接受。
学案6：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理学习目标1.了解二项式定理与多项式乘法的联系．2.理解二项式定理的证明．3.掌握二项式定理及其展开式的通项公式． 新知提炼 1．二项式定理(a ＋b )n ＝ ． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，它一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项系数C r n (r ＝0，1，…，n )叫做展开式的二项式系数． 2．二项展开式的通项(1)通项：(a ＋b )n 的二项展开式中的 项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第r ＋1项，即T r ＋1＝ (其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)． 上面的公式叫做二项展开式的 ．(2)二项恒等式：在二项式定理中，如果设a ＝1，b ＝x ，那么得到公式(1＋x )n ＝ ． 自我尝试1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)(a ＋b )n 展开式中共有n 项．( )(2)在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( )(3)C r n an －r b r 是(a ＋b )n 展开式中的第r 项．( ) (4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 2．(x －1x )5的展开式中含x 3项的二项式系数为( )A ．－10B ．10C ．－5D ．53．(1＋2x )5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 讲练互动探究点1 二项式定理的正用、逆用[学生用书P12] 例1 (1)求(3x ＋1x)4的展开式； (2)化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． 求解策略运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[注意]逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．跟踪训练1.化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x4－12．设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·C k n·2n－k＋…＋(－1)n·C n n＝________．探究点2求二项展开式中的特定项或其系数[学生用书P13]例2已知在(3x－123x)n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.方法归纳(1)求二项展开式特定项的步骤(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关． 跟踪训练1.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．352．二项式(2x －12x )6的展开式中的常数项为________．探究点3 整除性问题例3 试判断7777－1能否被19整除？ 方法归纳在利用二项式定理求整除问题或余数问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． 跟踪训练 求230－3除以7的余数． 素养提升1．求展开式的特定项主要方法是利用二项展开式的通项公式来确定通项中r 的值或取值范围．处理常数项问题时，抓住此项指数为0是关键．2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 失误防范1．注意区分二项式系数与项的系数的概念．2．要牢记C r n an －r b r 是展开式的第r ＋1项，不要误认为是第r 项．当堂检测1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20D ．102．(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＝( ) A ．x 5 B ．x 5－1 C ．x 5＋1D ．(x －1)5－13．(2－x )8展开式中含x 4项的系数为________．4．设二项式⎝⎛⎭⎫x －ax 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．参考答案新知提炼1．C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N ＋) 2．(1)C r n an －r b r C r n a n －r b r通项公式(2)1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n自我尝试1．【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．【答案】D 3．【答案】40 10 讲练互动探究点1 二项式定理的正用、逆用[学生用书P12] 例1 解：(1)法一：(3x ＋1x )4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x ＋C 24(3x )2·(1x )2＋C 34·3x ·(1x)3＋C 44·⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 法二：(3x ＋1x )4＝（3x ＋1）4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1. 跟踪训练 1.【答案】A【解析】(x ＋1)4－4(x ＋1)3＋6(x ＋1)2－4(x ＋1)＋1＝C 04(x ＋1)4＋C 14(x ＋1)3(－1)1＋C 24(x ＋1)2(－1)2＋C 34(x ＋1)(－1)3＋C 44(x ＋1)0(－1)4＝[(x ＋1)－1]4＝x 4，故选A.2．【答案】1【解析】原式＝C 0n ·2n ·(－1)0＋C 1n 2n －1·(－1)1＋…＋(－1)k ·C k n 2n －k ＋…＋(－1)n ·C n n·20＝(2－1)n ＝1.探究点2 求二项展开式中的特定项或其系数[学生用书P13] 例2 解：T r ＋1＝C r n ·(3x )n －r ·(－123x )r ＝C r n ·(x 13)n －r·(－12·x －13)r ＝(－12)r ·C rn ·x n －2r3.(1)因为第6项为常数项，所以r ＝5时有n －2r3＝0，所以n ＝10.(2)令n －2r 3＝2.得r ＝12(n －6)＝2，所以所求的系数为C 210(－12)2＝454. (3)根据通项公式，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z0≤r ≤10r ∈N ，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝10－3k 2＝5－32k .因为r ∈N ，且k 应为偶数，所以k 可取2，0，－2，所以r ＝2，5，8， 所以第3项、第6项与第9项为有理项．它们分别为C 210·(－12)2·x 2，C 510(－12)5，C 810·(－12)8·x －2. 即454x 2，－638，45256x －2. 跟踪训练 1.【答案】C【解析】(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C. 2．【答案】－20【解析】T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－1)r (12x )r ＝(－1)r C r 626－r (12)r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3， 所以T 4＝(－1)3C 36＝－20. 探究点3 整除性问题例3 解：7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C 177·7676＋C 277·7675＋…＋C 7677·76＋C 7777－1 ＝76(7676＋C 1777675＋C 2777674＋…＋C 7677)．由于76能被19整除， 因此7777－1能被19整除．跟踪训练 解：230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C 010710＋C 11079＋…＋C 9107＋C 1010－3 ＝7×(C 01079＋C 11078＋…＋C 910)－2.又因为余数不能为负数(需转化为正数)， 所以230－3除以7的余数为5. 当堂检测 1．【答案】B【解析】(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5·x r ，令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B. 2．【答案】B【解析】运用二项式定理，得原式＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1. 3．【答案】1【解析】由二项式通项公式得：T r ＋1＝C r 828－r (－x )r ，r ＝8，系数为C r 828－r ·(－1)r ＝1. 4．【答案】 2【解析】T r ＋1＝C r 6x6－r ⎝⎛⎭⎫－a x r＝(－a )r C r 6x 6－32r ，所以6－32r ＝3时，r ＝2，所以A ＝15a 2，6－32r ＝0时，r ＝4，所以B ＝15a 4，所以15a 4＝4×15a 2，所以a 2＝4，又a ＞0，得a ＝2.。
高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析
1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除． 故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k n x 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4， 所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数， 即(1＋x )7的展开式中第4项的系数， 即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项． 其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9， 所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2， 令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项， 且T 2＝－192x 2.11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。
1.3.1二项式定理(学、教案)
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
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《1.3.1二项式定理(第一课时)》学案
香河一中 秦淑霞 2012、8
一．创设情境 引入新课
1、问题：今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几呢？若15天后的这一天呢？若100
8 天
后的这一天呢？
2、回顾]： 在初中我们曾学过完全平方公式
如： 2
2
2
2)b ab a b a ++=+（
思考：右边这个展开式当时是怎么得到的，合并同类项之前有多少项，每一项的结构特征如何？
学生：利用多项式乘法依次展开，遇到同类项加以合并得到的。
共有2*2=4项，每一项都是a 2-k *b k (k=0,1，2)形式
二、探究新知（1）对2)(b a +展开式的分析
))(()(2b a b a b a ++=+ 展开后其项的形式为：
考虑b ，每个都不取b 的情况有1种，即 ,则2a 前的系数为 恰有1个取b 的情况有 种，则ab 前的系数为 恰有2个取b 的情况有 种，则2
b 前的系数为 所以(a+b)2=
2、类似地 322332233_______33)(b ab b a a b ab b a a b a +++=+++=+ 思考：))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+=?
3、问题：
1)．4)(b a +展开后各项形式分别是什么？
学生：
2)．各项前的系数代表着什么？
学生：各项前的系数 就是在4个括号中 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
学生：每个都不取b 的情况有 恰有1个取b 的情况有
恰有2个取b 的情况有
恰有3个取b 的情况有
恰有4个取b 的情况有 则 4322344_____________)(b ab b a b a a b a ++++=+
（2）展开（a+b ）5 = ，
由以上具体问题观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想
(a+b)n 的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。
（让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。
）,
学生先观察总结特点：1、项数是指数 ；2、字母a 按 ，字母b 按照---------排列，二者指数之和是 ；3、每一项的系数 （3）写出猜想(a+b)n = a n + a n-1b+…+ a n-r b r +…+ b n (n ∈N +)
我们如何进行证明呢？
学生自己阅读课本上的证明方法
三、学习新课, 1, 观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点。
学生继续总结这三点，以强化已有的认识。
后将上述个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边n
b a )+（这个式子叫
右边多项式叫做n
b a )+（的 。
其中各项的系数r n C (r ＝0，1，2，…n)称为 ----------，式中的r n C a
n-r b r
叫做二项展开的 ，它是第r+1项（此处可以问学生），
用T r +1表示。
（1）二项式定理：--------
（2）二项展开式：n
b a )+（的右边多项式。
（3）二项式系数：
（4）通项公式： （r =0,1,…,n ）
思考： 通项公式有什么结构特点？ ,
, 2, 特殊的（1）、令a=1,b=x. （2）、令a=1,b=1
时试着写出他们的二项展开式,
__________________________________________)1(=+n x
_______
______________________________)11(=+n ?21=+++++n
n r n n n C C C C
四、巩固新知：1, 例题1、展开5)21x +（=
, 思考：若展开5)21x -（呢？展开式中系数在符号上有什么特点？
练习：（1）、求5
)21x -（展开式第三项以及其二项式系数，求x 3项的系数
2、问题：今天是星期五，7天后仍然是星期五，15天后这一天是星期六，那么100
8
天后的这一天究竟是星期几呢？
问：要求星期几，只要求被7除的余数，现在学了新知识后，大家能求吗？
[追问]：右边展开式被7整除吗？余数是多少？由此可知这一天是星期几？ 答：因为余数是 ，所以100
8天后的这一天是星期 。
思考：若将100
8
除以9，则得到的余数是多少？
五、课堂反思： 本节课你学习了什么知识，它是怎么得到的呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？,
六、练习与作业：1、课本31页练习
2、练习
的系数
的展开式中、求（项的系数的展开式第、求（的展开式
、求3774
)1
)3(4)21)2()12()1(x x
x x x
x -+-
思考延续, 52)23(++x x 展开式中x 的系数为_____.。