利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法

则S(0，0， 22a)，A( 22a，0，0)，
B( 22a， 3a，0)，C(－ 22a， 3a，0)， D(－ 22a，0，0)．
(1)易知C→D＝(0，－ 3a，0)，S→A＝( 22a，0，－ 22a)， 因为C→D·S→A＝0， 所以CD⊥SA. (2)设n＝(x，y，z)为平面CSA的法向量， 则有nn··SC→→AA＝＝00，
(1)证明C→D·S→A＝0； (2)求两个平面的法向量，利用法向量的夹角求解．
【规范解答】 取BC的中点E，AD的中点P，连接PE. 在 △ SAD 中 ， SA ＝ SD ＝ a ， P 为 AD 的 中 点 ， 所 以 SP⊥AD. 又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD ＝AD， 所以，SP⊥平面ABCD.显然有PE⊥AD. 如图，以P为坐标原点，PA 为x轴，PE为y轴，PS为z轴建 立空间直角坐标系，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图2
为 36，试确定点 M 的位置．
【解】 (1)证明 ∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. ∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE. (2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连接 EO， ∵EA＝ED，∴EO⊥AD， ∴EO⊥平面ABCD， 建立如图所示的空间直角坐 标系，设AB＝2， 则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，设M(x，y， z)，
所以B1C1DB是平行四边形，
故C1D綊B1B，
又A1A綊B1B，所以A1A綊C1D，所以A1ADC1是平行四边 形，
所以A1C1∥ AD，所以AD∥平面A1C1C， 同理，B1D∥平面A1C1C； 又因为B1D∩AD＝D，所以平面ADB1∥平面A1C1C， 所以AB1∥平面A1C1C. (3)由(1)知AB⊥平面AA1C，又二面角A1—AB—C是直二 面角，
即
22ax－
22az＝0，取n＝(
3，
2，
3)．
2ax－ 3ay＝0
显然，EP⊥平面SAD，所以 P→E 为平面SAD的一个法向
可知AA1，AC，AB两两互相垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，设
AB＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)， A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)，
所以A→1C1＝(1，1，0)，A→1C＝ (2，0，－2)． 设平面A1C1C的一个法向量为m ＝(x，y，1)，由AA→→11CC·1m·＝m0＝0， 得m＝(1，－1，1)，又C→B＝(－2，2，0)，
B1C1 綊12BC，二面角 A1—AB—C 是直二面角．
(1)求证：A1B1⊥平面 AA1C；
(2)求证：AB1∥平面 A1C1C；
图1
(3)求 BC 与平面 A1C1C 所成角的正弦值．
【思路点拨】 (1)利用勾股定理证明AB⊥AC；
(2)构造过AB1的平面，并证明其平行于平面A1C1C. (3)证明直线AA1，AC，AB两两垂直，从而以点A为坐 标原点建立空间直角坐标系，求出平面A1C1C的法向量，用 向量法求解．
(2013·济佛山拟)如图 3，在 四棱锥 S—ABCD 中，平面 SAD⊥平 面 ABCD.底面 ABCD 为矩形，AD＝
2a，AB＝ 3a，SA＝SD＝a. (1)求证：CD⊥SA； (2)求二面角 C—SA—D 的大小．
【思路点拨】 取BC的中点E，AD的中点P，连接 PE，SP，证明直线PE，PS，AD两两垂直，从而以点P为坐 标原点建立空间直角坐标系．
【规范解答】 (1)因为AB＝AC，BC＝ 2AB， 所以AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC， 又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB⊥AA1， 又因为AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面AA1C. 易知AB∥A1B1， 所以A1B1⊥平面AA1C. (2)取BC的中点D，连接 AD，B1D，C1D. 因为B1C1綊12BC，
∴B→M＝(x－1，y－2，z)，B→E＝(－1，－2，1)， ∵B，M，E三点共线， ∴B→M＝λB→E，∴M(1－λ，2－2λ，λ)， ∴A→M＝(－λ，2－2λ，λ)． 设AM与平面AED所成的角为θ， ∵平面AED的法向量n＝(0，1，0)，
∴sin θ＝|cos〈A→M，n〉|＝ 6λ|22－－28λλ|＋4＝ 36，
计算上不要失误．
2．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思 想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．
(2013·珠海模拟)如图 2，正方形
ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所
在平面相交于 AD，AE⊥平面 CDE.
(1)求证：AB⊥平面 ADE；
(2)在线段 BE 上存在点 M，使得 直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值
利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转 化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与 平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的 角．
(2013·潮州模拟)如图 1，在 多面体 ABC—A1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形，AB＝AC，BC＝ 2AB，
所以cos〈m，C→B〉＝|mm|··C|→C→BB|＝－ 36，
故BC与平面A1C1C所成角的正弦值为
6 3.
【反思启迪】 1.求直线和平面所成的角也有传统法和
向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找
出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求
解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意
解得λ＝12. 即M为BE的中点.
利用空间向量法求二面角的方法： (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后 通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意 结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足 出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的 大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择 适当的方法解题．