有限元 第2讲 有限元法基本理论

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一 平衡微分方程 平衡
物体整体平衡，内部任何
部分也是平衡的。
对于弹性体，必须讨论一
点的平衡。
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一 平衡微分方程
x yx zx Fbx 0 x y z
xy x y y zy z Fby 0


U 0 dV
单位体积的应变能（应变比能）：
1 1 U 0 ( x x y y z z xy xy yz yz xz xz ) ij ij 2 2
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微元变形能（正应变）
F Δu
1 1 1 dU F u ( x dydz ) ( x dx) x x dV 2 2 2
ij , i Fbj 0
z yz z Fbz 0 x y z
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二 几何方程
正应变示意图
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二 几何方程
空 间 几 何 方 程
由几何方程可知，u,v,w函数已知， 则该点应变分量确定。 但是，应变分量确定，无法求出位移 分量。
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弹性力学的基本假设
4. 完全弹性假设
•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关， 称为完全弹性材料。 •完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线 性的应力与应变关系。 •研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
上分布力的合力。
三
应力的概念
其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面
取截面的一部分，它的面积为ΔA，
ΔQ
作用于其上的内力为ΔQ， 平均集度为ΔQ/ΔA，其极限
ΔA
Q S lim A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
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弹性力学基本概念
三
应力的概念
通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
xz zx
x y z
xy yz zx
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四 应变的概念
外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该
处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位
置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了 最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。
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2.4
边界条件
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边界条件
弹性力学的基本未知量： 位移分量，应力分量和 应变分量。 基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。 要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位 移边界条件。 边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移 边界条件和混合边界条件。 弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十 五个未知量求解十五个基本方程。
内力的计算可以采用截 面法，即利用假想平面 将物体截为两部分，将 希望计算内力的截面暴 露出来，通过平衡关系 计算截面内力F。
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弹性力学基本概念
三
应力的概念
物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出
这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：
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弹性力学基本概念
•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一 些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。
•基本假设是学科的研究基础。 •超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。
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弹性力学的基本假设 1. 连续性假设
•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的 介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。
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τyx
σy
向。如图示的τyx、τyz。
三
应力的概念 符号规定
图示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 y,沿y轴负向为正。
平行于单元体面的应力如图示的τyx、
τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
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三
应力的概念 符号规定
弹性力学
注意弹性力学切应力符号和材料力 学是有区别的，图示中，弹性力学 里，切应力都为正，而材料力学中 相邻两面的的符号是不同的。
E E E 1 x ( y z ) E


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四 物理方程
剪应变： xy
应变和应力关系
xy
G
E 其中，G为剪切弹性模量， G 2(1 )
广义虎克定 律
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四 物理方程 写成矩阵形式：
应变和应力关系
简记为 其中，[Ｄ]为弹性矩阵，它完 全取决于弹性系数Ｅ和μ。
•——变形后仍然保持连续性。 •根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和 应力等均为物体空间的连续函数。 •微观上这个假设不成立——宏观假设。
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弹性力学的基本假设
2. 均匀性假设
•—— 假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。 因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位 置的变化而改变。 •—— 物体的弹性性质处处都是相同的。 •工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视 为均匀材料。 •对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。
第2章 有限元法基本理论
张 洪 伟
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内容提要
1
弹性力学问题基本描述
弹性问题参量原理
2
3 4
有限元分析基本步骤
有限元解的误差分析
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弹性力学问题的基本描述
基本假设的必要性 •工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主 次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将 使得问题无法求解。
材料力学
在画应力圆时，应按材料力学的符 号规定。
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三
其它x、z正面上的应力分量的表示如图所示。
应力的概念
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆 坐标正向为负。
x xy xz yx y yz zx zy z
独立应力分量：
xy yx
yz zy
τ
S
正应力σ
切应力τ
σ
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弹性力学基本概念
三
应力的概念
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的
方位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标平
面的单元体，各面上的应力沿坐标轴
z o x y
的分量来表称为应力分量。
物体内各点的内力平衡，因此相对平面
上的应力分量大小相等，方向相反。
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三
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五 位移的概念
弹性体内部各点位置的变化，称为位移
位移形式

刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相 对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部 各个点的相对位置。


位移u，v，w是单值连续函数
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弹性力学基本方程 平衡微分方程 几何方程 变形协调方程 物理方程
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弹性力学的基本假设
3. 各向同性假设
•——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性 质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变 而变化。 •——宏观假设，材料性能是显示各向同性。
•当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向 异性材料。
•——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。
1、线应变
2、切应变
x
y
z
xy
yz
zx
yx
zy
xz
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五 主平面、应力主方向与主应力
1）切应力为零的微分面称为主微分 平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主轴或者 称为应力主方向。 3）主平面上的正应力称为主应力。 根据主应力和应力主轴的定义，可以 建立其求解方程。
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弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所 引起的尺寸变化。 ——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方 程成为线性的偏微分方程组。
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弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这 种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能， 或弹性应变能。 包括正应变和剪应变变形能
1 U ( x x y y z z xy xy yz yz xz xz )dV 2
1 ij ij dV 2
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三 变形协调方程
不同平面内的正应变与剪应变之间的关系：
zx x )2 ( z x yz x y 2 y xy yz zx )2 ( x y xz y z 2 zx z yz xy z ( x y z ) 2 xy
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弹性问题的能量原理
势 能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力， 称为系统在这一位置的势能。 势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势 位置，又称为势能零点。 保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点 和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。 保守力做功与势能增量的关系：
V= – W
三 变形协调方程 变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。 描述六个应变分量之间所存在的关系式。 同一平面内的正应变与剪应变之间的关系
2 x 2 y 2 xy 2 2 xy x y 2 2 2 y z yz 2 2 yz y 2z 2 2 x z xz z 2 x 2 xz
弹性力学的基本假设
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体 内部没有应力。 弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产 生的。
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弹性力学的基本假设
弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连 续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变 形假设等。 这些假设都是关于材料变形的宏观假设。 弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提 示，均采用基本假设。 这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实 是可行的。
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一 静力（面力）边界条件


静力边界条件：结构在边界上各点所受的面力为坐标的已知函数， 建立起面力分量与应力分量之间的关系 。 由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面 积上的面力分量为 Fsx 、Fsy 和Fsz ，物体外表面法线 n的方向余弦 为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得
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弹性力学基本概念
一 外力
物体外力——分为两类 体力
分布在物体整个体积内的外力如重力， 惯性力，电磁力等 分布在物体表面上的外力，如液体压 力、风力和接触力等
面力
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弹性力学基本概念
二 内力
内力：物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化 等，物体内部各个部分之间将产生相互作用， 这种物体一部分与相邻部分之间的作用力。
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二 位移边界条件 位移边界条件：结构在边界上位移为位置坐标的 已知函数。
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
•混合边界条件：结构在一部分边界上位移为位置坐标的已 知函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边 界上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。
2
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xy
yz
应变和应力关系 四 物理方程 杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则 引起缩短，实验证明，在弹性范围内有
y x
泊松比，也称横向变形系数。
•取一个单元体，在各正应力作用下，沿Ｘ轴方向的正应变：
2 3 x 1 x x x y x z
符号规定：
应力的概念
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力 分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为 y ,沿y轴的正向为正,其下
z x
Hale Waihona Puke Baidu
标表示所沿坐标轴的方向。
o
y
τyz
平行于单元体面的应力称为切应力，用
τyx 、τyz表示，其第一下标y表示所在的平面 法线方向，第二下标x、y分别表示力的方
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