2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷

数 学

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为

A.圆柱

B.圆锥

C.圆台

D.球

2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，则a 的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

3.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为 A.51 B.52 C.53 D.

54 4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是

A.2

B.3

C.4

D.5

5.在△ABC 中，若0=⋅AC AB ，则△ABC 的形状是

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形 6.sin120︒的值为

A.22

B.－1

C.23

D.－2

2 7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BD 与A 1C 1的位置关系是

A.平行

B.相交

C.异面但不垂直

D. 异面且垂直 8.不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集为 A.{x|－1≤x ≤2} B. {x|－1＜x ＜2}

C. {x|x ≥2或x ≤－1}

D. {x|x ＞2或x ＜－1} 9.点P(m,1)不在不等式x ＋y －2＜0表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是

10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿。

12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，sinA ＝31，则sinB ＝＿＿＿＿＿＿。

13.已知a 是函数f(x)＝2－log 2x 的零点，则实数a 的值为＿＿＿＿＿＿。

14.已知函数y ＝sin ωx(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为＿＿＿＿＿＿。 15.如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A －EF －C(如图2)，则在图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角的大小 为＿＿＿＿＿＿。

三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分6分)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=].,(,],

,[,)(42420x x

x x x f (1)画出函数f(x)的大致图像；

(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间。

17.(本小题满分8分)

某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动。

(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数；

(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率。

18.(本小题满分8分)

已知等比数列{a n}的公比q＝2，且a2，a3＋1，a4成等差数列。

(1)求a1及a n；

(2)设b n＝a n＋n，求数列{b n}的前5项和S5。

19.（本小题满分8分）已知向量a ＝(1,sin θ)，b ＝(2,1)。

(1)当θ＝6

π时，求向量2a ＋b 的坐标； (2)若a ∥b ，且θ∈(0，

2π)，，求sin(θ＋4π)的值。

20.(本小题满分10分)

已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0。

(1)求圆的圆心C 的坐标和半径长；

(2)直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，求证：2111x x +为定值；

(3)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大。

2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题4分，满分40分)

CDBBA CDACA

二 、填空题(每小题4分，满分20分)

11.6；12.32；13.4；14.2；15.45︒(或4π) 三 、解答题(满分40分) 16. 解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示(2分)；

(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2(4分)，

其单调递减区间为[2,4](6分)

17. 解: (1)355030=⨯(人)，2550

20=⨯(人)，所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人(4分)； (2)过程略。

18.解：(1)由已知得a 2＝2a 1，a 3＋1＝4a 1＋1，a 4＝8a 1，又2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，

所以2(4a 1＋1)＝2a 1＋8a 1，解得a 1＝1(2分)，故a n ＝a 1q n-1＝2n-1(4分)；

(2)因为b n ＝2n-1＋n ，所以S 5＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝2

551121215⋅++--⋅)()(＝46(8分) 19.解：(1)因为6πθ=，所以a ＝),(211，于是向量2a ＋b ＝),(),(),(24122

112=+(4分) (2)因为a ∥b ，所以21=θsin (5分)，又因为),(2

0πθ∈，所以23=θcos (6分)， 所以4

62444+=+=+π

θπ

θπ

θsin cos cos sin )sin((8分)。 20. 解：(1)配方得(x ＋1)2＋y 2＝4，则圆心C 的坐标为(－1，0)(2分)， 圆的半径长为2(4分)；

(2)设直线l 的方程为y ＝kx ，联立方程组⎩⎨⎧==-++kx

y x y x 03222

消去y 得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0(5分)，则有：2212211312k x x k x x +-=+-

=+,(6分) 所以3

211212121=+=+x x x x x x 为定值(7分)。 (3)解法一 设直线m 的方程为y ＝kx ＋b ，则圆心C 到直线m 的距离21|

|-=b d ，

所以222422d d R DE -=-=||(8分)，