九年级数学一元二次方程知识树
初中数学九年级上册《一元二次方程》知识点
九上数学第21章《一元二次方程》知识点1.一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数式2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，∴x a =-。
注意：若b<0，方程无解(2)因式分解法：一般步骤如下：①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
(3)配方法：用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。
注意：当0n <时，方程无解(4)公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根：2b x a-±=(240b ac -≥)0∆=⇔方程有两个相等的实根0∆<⇔方程无实根3.韦达定理(根与系数关系)我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a4.一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
一元二次方程知识树于凤俊
运用一元二次方程对市场趋势进行 拟合和预测，为企业制定营销策略 提供参考。
05 一元二次方程与其他知识 点的联系
与一次方程的联系
一元二次方程和一次方程的解法都涉及到方程的根， 即方程的解。对于一元二次方程，根的求解需要用到 配方法、公式法或分解因式法等方法，而这些方法也 适用于一次方程的求解。
示例：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$， 可以寻找两个数 $-2$ 和 $-3$，使它 们的和等于 $-5$，它们的积等于 $6$， 所以可以将方程因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = 3$。
03 一元二次方程根的性质
根与系数的关系
一元二次方程和一次方程都是代数方程，它们都是研 究未知数（变量）与已知数（常数）之间关系的数学 工具。
一元二次方程和一次方程在实际问题中都有广泛的应 用，如物理、化学、经济等领域的问题常常可以转化 为一元二次方程或一次方程进行求解。
与二次函数的联系
一元二次方程与二次函数密切相关，一元二次方程的解就是对应 二次函数与x轴交点的横坐标。
03
一元二次方程和分式方程在实际问题中都有广泛的应用，如物理中的电路问题 、化学中的反应速率问题等都可以转化为一元二次方程或分式方程进行求解。
06 一元二次方程常见误区及 注意事项
忽略判别式导致错误解
忽略判别式 $Delta = b^2 4ac$ 的计算，直接求解方程，
可能导致错误解或无解。
判别式 $Delta < 0$ 时，方程 无实数解，但有些同学可能忽略
没有理解到一元二次方程的根可能是复数，当 $Delta < 0$ 时，方程的解为复数。
忽视题目条件导致无解或多解
九年级上册数学第21章《一元二次方程》知识点梳理完整版
【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式， 通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1） 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2） 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3） 当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根， （1）求 t 的取值范围； （2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ， 从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1） 求 m 的取值范围；（2） 设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值 （1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0， 即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1） 方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0； （2） 方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0； （3） 方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1） 逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2） 若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。
九年级一元二次方程知识点总结
九年级一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识。
它是由一个未知数的二次多项式等于零所构成的方程。
在九年级学习一元二次方程时，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
我们要了解一元二次方程的一般形式，即ax^2+bx+c=0。
其中，a、b、c是已知的实数，且a不等于零。
a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
我们需要学会如何解一元二次方程。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式法等。
其中，因式分解法适用于特殊的二次方程，即当二次项系数a等于1时；配方法适用于一般的二次方程，通过变形将一元二次方程化为完全平方形式；求根公式法则适用于任意的一元二次方程，可以直接求得方程的根。
我们还需要掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以得出以下结论：一元二次方程有两个根，当判别式b^2-4ac大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
我们还需要了解一元二次方程的图像特征。
一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负决定。
当二次项系数a大于零时，抛物线开口向上；当二次项系数a小于零时，抛物线开口向下。
同时，抛物线的对称轴是x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
我们需要学会应用一元二次方程解决实际问题。
一元二次方程在物理、经济等领域中有广泛的应用。
例如，通过解一元二次方程可以求解抛物线的最值问题、运动问题、面积问题等。
九年级一元二次方程是初中数学中的重要内容，掌握了一元二次方程的一般形式、解法、根与系数之间的关系、图像特征以及应用，对于提高数学解题能力和理解能力都有很大帮助。
希望同学们在学习一元二次方程时能够认真理解并灵活运用，为以后的学习打下坚实的基础。
九年级一元二次方程知识点总结
九年级一元二次方程知识点总结一元二次方程是九年级数学中的重要内容，它是一种含有未知数的二次方程。
掌握一元二次方程的解法和相关概念对于学习代数和解决实际问题都具有重要意义。
下面就九年级一元二次方程的知识点进行总结。
一、一元二次方程的定义和形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
一元二次方程的解是使得方程成立的未知数值。
二、一元二次方程的解法1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解的方法求解。
具体步骤是将方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求出方程的解。
2. 公式法：当一元二次方程无法因式分解时，可以使用求根公式来求解。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据求根公式，可以计算出方程的解。
3. 完全平方公式：当一元二次方程具有完全平方形式时，可以利用完全平方公式求解。
完全平方公式为：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
根据完全平方公式，可以将一元二次方程转化为完全平方形式，然后求解方程。
三、一元二次方程的性质和应用1. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式可以用来判断一元二次方程的解的情况。
当判别式Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程无实数根。
2. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
当二次项系数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为方程的解。
3. 一元二次方程的应用：一元二次方程可以用来解决各种实际问题。
例如，可以利用一元二次方程来求解物体的抛射运动问题、图形的面积和周长问题等。
初三上册数学一元二次方程知识点公式法
初三上册数学一元二次方程知识点公式法一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为Ax^2 + Bx + C = 0的方程，其中A、B 和C都是已知的实数且A ≠ 0。
其中，A是二次项系数，B是一次项系数，C是常数项。
一元二次方程的解一元二次方程的解可以通过求根公式来求得。
求根公式为：x = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / (2A)。
其中，“±”表示两个解，即正负两个值。
如果根的判别式D = B^2 - 4AC大于0，方程有两个不相等的实数根；如果D = 0，方程有两个相等的实数根；如果D < 0，方程没有实数根。
一元二次方程的性质1.一元二次方程的图像是抛物线。
当A > 0时，抛物线开口朝上；当A < 0时，抛物线开口朝下。
2.一元二次方程的对称轴是x = -B/2A。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3.一元二次方程的顶点坐标为(-B/2A, f(-B/2A))，其中f(x)为方程的解析式。
4.一元二次方程的解的个数与判别式D的大小相关。
当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；当 D = 0时，方程有两个相等的实数根；当D < 0时，方程没有实数根。
5.一元二次方程的解与方程的系数有关。
如果改变A、B、C的大小，方程的解也会相应改变。
公式法解一元二次方程的步骤1.将方程写成标准形式：Ax^2 + Bx + C = 0，其中A ≠ 0。
2.计算判别式D = B^2 - 4AC。
3.根据判别式的大小判断方程的解的个数：–当D > 0时，方程有两个不相等的实数根，可以使用求根公式直接计算。
–当D = 0时，方程有两个相等的实数根，可以使用求根公式直接计算。
–当D < 0时，方程没有实数根，无法使用求根公式计算。
4.如果方程有实数根，使用求根公式计算解：–x1 = (-B + √D) / (2A)–x2 = (-B - √D) / (2A)例题演示例题1：解一元二次方程 2x^2 - 5x + 2 = 0。
九年级上册数学第二十一章 一元二次方程 知识归纳
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）21.2解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．。
2022年九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程知识点总结素材 (新版)新人教版
一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
知识树解读一元二次方程
（六）评价建议
关注学生在学习过程中 的表现，如能否积极的 采用课堂观察、活动 参与活动，能否从不同 运用教师评价、学 记录、课后访谈等方 角度思考问题。 生自我评价、学生 式，鼓励学生大胆质 相互评价、小组间 疑和创新。 学习过程 评价等方式进行考 情感态度 的评价 查。 的评价 评价主体的多元化
2
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有唯一公共点 b -4ac =0 方程有两个相等 的实数根
2
b2-4ac ＞0 方程有两个不相等 的实数根
b b 2 4ac x 2a (b 2 4ac 0)
设计意图：符合学生的心理规律，一方面促进学生对解方程的理解，另一方面 又为解方程做了铺垫。 发现
一元二 次方程 的概念
（2）能够根据具体 问题的实际意义，检 一元二次方程 验结果是否合理 应用题
在《 中一 考元 中二 的次 考方 点程 》
考察角度 常以选择题、填空 题的形式考察一元二次 方程的列法，以列方程应用 题的形式考察解一元二 次方程的基本思想和列方 程解应用题的意识
课标要求 了解一元二次方程 的概念及一般式。
某服装店每天可销售衬衫20件， 每件盈利44元，如果每件降价 （或涨价）1元，每天可多（或 少）销售5件，店主计划每天要 盈利1600元，那么每件应该降价 多少元？
应 用 题
1．关于x的方程（a-1）x2+ a+1x+1=0 是一元二次方程，则a的取值范围是 （ ） A．a≠1 B．a＞-1且a≠1 C．a≥-1且 a≠1 D．a为任意实数
3．关于x的方程 ） (m−3)xm2−8m+17+6x −1＝0是一元二次方程， 则（ ） A．m=2 B．m=3 C．m=5 D．m=3或 m=2 − 4．下列方程中是一元二次方程 的是（ ） A．x2=0 B．x2-5x=（x-2） 2C． 1x2+x-1=0D．（a-1） x2+bx+c=0
九年级一元2次的知识点
九年级一元2次的知识点九年级数学课程中，一元二次方程是一个重要的知识点。
这个主题涵盖了一元二次方程的定义、性质、解法和应用。
在本文中，我们将深入探讨一元二次方程，并解释它在实际生活中的应用。
首先，让我们从一元二次方程的定义开始。
一元二次方程是指一个未知数的平方项系数不为零的二次方程。
它的一般形式可以表达为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c分别是方程的系数。
例如，方程2x^2 + 3x - 4 = 0就是一个一元二次方程。
一元二次方程有一些重要的特性和性质。
首先，我们需要知道一元二次方程的解可能是实数、复数或无解。
当方程有实数解时，我们可以通过求解方程来找到它们。
其次，根据判别式的值，我们可以知道方程的解的性质。
判别式的计算公式是b^2 - 4ac。
如果判别式大于零，方程有两个不相等的实数解；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数解；如果判别式小于零，方程没有实数解。
解一元二次方程可以使用多种方法，包括配方法、求平方根法和因式分解法。
其中，配方法是最常用的方法之一。
通过将方程的左右两边分别配成一个完全平方的公式，并利用等式的性质进行简化，最后得到方程的解。
求平方根法可以应用于当一元二次方程只有一个平方项，并且系数为1时。
通过对方程两边同时开方，并根据等式性质进行计算，我们可以求得方程的解。
因式分解法适用于特定的一元二次方程，例如完全平方差和差的平方这两种形式。
通过将方程进行分解，找到方程的根。
一元二次方程在实际生活中有广泛的应用。
例如，在物理学和工程学中，一元二次方程可以描述自由落体运动和弹性体的变形。
在这些应用中，方程的解可以提供有关物体运动和材料变形的重要信息。
此外，一元二次方程在金融领域的应用也非常重要。
通过使用一元二次方程，我们可以计算利润、成本和营业额之间的关系，从而做出经济决策。
总结起来，九年级的一元二次方程是一个重要的数学知识点。
通过了解一元二次方程的定义、性质、解法和应用，我们能够在数学问题和实际生活中更好地应用这个知识。
初三数学一元二次方程知识点总结.doc
初三数学一元二次方程知识点总结一、一元二次方程1、一元二次方程含有个未知数，而且未知数的次数是 2 的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式: .它的特点是：等式左侧十一个对于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，2ax 叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，此中b 叫做一次项系数；c 叫做。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接2开平方法。
直接开平方法合用于解形如(x a) b的一元二次方程。
x bx ，当b<0 时，方程实数根。
a b2、配方法:配方法的理论依据是完整平方公式 2 2ab b2 (a b)2a ，把公式中的a看做未知数x，并用x 取代，则有 2 2bx b2 (x b)2x 。
配方法的步骤：先把移到方程的右侧，再把的系数化为 1，再同时加前一次项的的平方，最后配成平方公式。
3、公式法公式法是用公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
2 bx c a一元二次方程ax 0(0)的求根公式：公式法的步骤：就把一元二次方程的分别代入，二次项的系数为 a，一次项的系数为 b，常数项的系数为 c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这类方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程化为0，而后看看能否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，假如能够，就能够化为的形式三、一元二次方程根的鉴别式根的鉴别式2bx c a一元二次方程ax 0( 0) 中，叫做一元二次方程2bx c a 2ax 0( 0) 的根的鉴别式，往常用“”来表示，即 b 4ac四、一元二次方程根与系数的关系2bx c a如果方程ax 0( 0)的两个实数根是x1，x2，那么b cx1 2，x1 2。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方x xa a程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总
第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的概念1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。
其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零．（2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算24b ac -的值．求根公式：x =2(40)b ac -≥（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或()()20x a b b +=≥或()2ax b +=()2cx d +的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++22222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．三、根的判别式1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=-2、根的判别式用来判别根的个数情况：（1）0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =（2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况．四、根与系数的关系——韦达定理1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ，，则两个根满足：1212b cx x x x a a+=-⋅=，2、韦达定理的重要推论推论1：如果方程20x px q ++=的两个根是12x x ，，那么1212x x p x x q +=-⋅=，． 推论2：以两个数12x x ，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++= 3、利用根与系数的关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要的结论：（1）若两根互为相反数，则0ba -=，得0b =；（2）若两根互为倒数，则1c a =，得a c =；若两根互为负倒数，则1ca =-，得a c =-； （3）若有一个根是零，则0ca=，得0c =； （4）若两根都为零，则0b a -=，0ca =，得0b =，0c =；（5）若有一根为1，则0a b c ++=；若有一根为1-，则0a b c -+=．4、几个常见转化；；或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x1x 2)x 1x (x 1x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221（2）222121212()2x x x x x x +=+-；（3）12121211x x x x x x ++=；（4）22121212()()4x x x x x x -=+-；（5）12||x x -=（6）2212121212()x x x x x x x x +=+；（7）22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==．五、用一元二次方程解决实际问题 1、面积最大化问题 2、利润最大化问题 3、增长率问题 4、传播问题 5、动点问题解题方法技巧1、一元二次方程的整数根问题：对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： （1） 24b ac ∆=-为完全平方数；（2）2b ak -+或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)2、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．3、把一元二次方程根的判别式和根与系数的关系结合起来，判别讨论一元二次方程根的符号常常需要解不等式组．对于方程20(0)ax bx c a ++=≠，则： （1）有两正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪->+>⎪⎩≥（2）有两负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆⎪⎪>⋅>⎨⎪⎪-<+<⎪⎩≥（3）有一个正跟一个负根：121200(0)0(0)c x x a b x x a ⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪->+>⎪⎩正根的绝对值较大 121200(0)0(0)cx x a b x x a⎧⎪∆>⎪⎪<⋅<⎨⎪⎪-<+<⎪⎩负根的绝对值较大（4）有一零根一正根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪->+>⎪⎩（5）有一零根一负根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a ⎧⎪∆>⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-<+<⎪⎩（6）有两个零根的条件是：121200(0)0(0)cx x a bx x a⎧⎪∆=⎪⎪=⋅=⎨⎪⎪-=+=⎪⎩。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.a c x x ab x x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ?a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ?a c = 0且ab -≠0 ?c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ? ac = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ?a c =0 ? c=0；（6）两根异号 ? ac ＜0 ? a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? ac ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且ab -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ? ac ＞0，a b -＞0且Δ≥0 ? a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ? ac ＞0，a b -＜0且Δ≥0 ? a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=???? ??----???? ??-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.7．求一元二次方程的公式：x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（ 10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1?===========------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x 1x 2)x 1x (x 1 x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221=--=-=-?=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；-==?==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或； .0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+?=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
九(上)21章一元二次方程知识总结.doc
7
x 5 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为
知识点 3：一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 例 4. 关于 x 的一元二次方程（a-1)x +x+a -1=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ A.1 B.-1
2 2 2
例 20. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3 株时，平均每株盈利 4 元；若每盆增加 1 株，平均每株盈利减少 0.5 元， 要使每盆的盈利达到 15 元，每盆应多植多少株？ 类型 4：面积问题 例 17. 如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余 部分种花草．要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少 m？
2
2
【注意：用求根公式法解一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）的步骤是：①把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值（注意符号） ；②求出 △=b -4ac 的值并判断符号( 注：若△＜ 0 ，则方程无实数根） ；③将 a、b 及△的值代人求根公式 ． ．．．．． ． ．．．．．．．． ． 若△ =0 则写成 =x = 】 1 2 ．． ． ．． ． ． ．．．x ． ． ． ） ． . ④(a +1)x +bx+c=0
【注意：常用的对称式的变形有: x12 x2 2 x1 x2 2 2x1 x2 例 22. 若 x1=﹣1 是关于 x 的方程 x +mx﹣5=0 的一个根，则 m=
2
】 ,方程的另一个根 x2= )
x2
．
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本 章 内 容 分 析
学习的重难点 重点 难点
用公式法解一元二次方程。 一元二次方程求根公式的推导。
教学设计及意图
师生活动：如何
用二步配次骤方方有法程哪解的些一主？元 要a学x²方生简+b法活单x+求动应c=方：用0程用的配解。利来用 判根断情的方况判程？别根式的
设计意图：复习小组合作完成， 配方法是唤醒学教师巡视指导。
学生叙述、记忆 求根公式。
生的最近发展区设，计意图：经过 设计意图：即使 同时也为解决这学生自己完成解 到了九年级，大 节课的问题作知一元二次方程的 多数学生的符号
识准备。 一般形式，有利 意识仍很弱。此 于公式的掌握。 设计在于加强学 生的符号意识。
引导学用文字语
言小表组述合求作根，公推式导，公式
二、说教材 编写意图
加大学生的思维空间，发展学生的 思维能力
加强与实际的联系
揭示数学内容的本质。
注意数形结合，自然体现数与形 之间的联系
编 写 特 点
体例安排
让学生经历数学 的探究与发现过 程，获得体验与 思考、探究、归感纳受…
介绍与正 文相关的 背景知识
想一想
正文
正文边空
知识结构图
课
有助于理 解正文的
单
元
以实际问题为
目
背景，引出概
标
念。
课时目标 知识与技能
过程与方法 情感态度价值观
能根据方程的各系数，算出求根公式，并根据求根公式 判断出方程根的情况。能正确、熟练的运用公式解一元
二次方程。
经历观察、推导、交流、归纳等活动导出求根公式，培 养学生的合情推理和归纳的能力。
一方面培养学生独立思考的习惯，另一方面培养小组合作 交流的习惯。
九年级数学一元二次方程知识树
公式法解一 元二次方程
说课标 说教材 说建议
总体目标 学段目标 单元目标
编写特点 编写体例 内容解析
一、说目标
2. 体会数学知识之间、数学与其他学科 之间、数学与生活之间的联系，运用数 学的思维方式进行思考，增强发现和提 出问题的能力、分析和解决问题的能力。
1. 获得适应社会生活和进一 步发展所必需的数学的基础 知识、基本技能、基本思想、 基本活动经验。
自主练习
分析中考 分析中考
三、教学建议
学生是学习的主体， 学生获得知识，必须 建立在自己思考的基 础上。教师应当成为 学生学习的组织者、 引导者、合作者。
好的教学活动， 应当是学生主体 地位和教师主导 地位的和谐统一。
教师要选择合适 导的创学教造生学良积方好极在式的思教，课当考学引堂的，中教，学要方选式择适 氛围，形成有效
结语
谢谢大家！
问题
云朵
加深了学生对相关内容 的认识，扩大了学生的 知识面，激发学生学习
数学的兴趣。
阅读材料
随堂练习
小结
章
综课合题性学习 实践性 开放性
节、课题
前言与章前图
设计了许多学
体
生熟悉的或感
例
兴趣的问题，
安
以习激的发 兴学趣引生和入学求新课材料 供学生预习
排
知欲。
复习题
习题
满足不同层次的学生需求
全册内容分析
习二次函数打下基确。
教材分析
一元二次方程是建立在解一元一次 方程的基础之上的，在学习之前学 生已经有了解一元一次方程的基础， 同时在本章的前两节课，学习了直 接开平方法和配方法，对降次解一 元二次方程有了初步的认识。整式 的运算和分式的运算为解字母系数 方程提供了保证。为此本课时的主
要工作可由学生自己完成。
3、了解数学的价值，提高学习数学的兴 趣，增强学好数学的信心，养成良好的 学习习惯，具有初步的创新意识和实事 求是的科学态度。
总 目 标
学段目标
在与他人合作和交流过程 中，能较好地理解他人的
思考方法和结论。
3、了解根
与系数的 4、能根据具体问 关系。 题的实际意义，
2、会用根 的判别式
检验方程的根是 否合理。
反例
关注学生能 否建立不同 知识之间的 联系，把握 知识的结构、
体系
关注学生能
否不断反思
自己的数学
评
学习过程
价
建
议
资源开发与利用
数学教学的主阵地
根本 课本和教科书
练习册和辅 助资料
有效的利用课堂
课 堂 和资 利源 用的 开 发
多媒体教室和网络 资源
肖川教授说过：完美的教学能够唤起沉睡的潜能，激活封存的记忆，开启封闭的心智。 这就要求教师认真钻研教材，充分利用学生这无形的资产，让每一节课都透射出生命的 活力。我相信在不久的将来，我们的教师不再是一般的教书匠，而是具有一定研究能力 的专家型教师，学生也将成为极具思想、创新能力的新一代。
供策二略次。函数：y=ax² ＋bx＋c (a≠0)
一元二次方程： ax²＋bx＋c=0
(a≠0)
本章的地位和作用
3、相互关系： 二次函
数与x轴交点的横坐标就 横是向相联应系的一元二次方程 的根。 如：y=x²－4x＋ 3与x轴的交点是(1，纵0)向、联系
(3，0)，则一元二次方
2、从内容上看： 二
根据图像求方程 的解
课题学习
一元二次方程与函数
图形旋转
中心对称பைடு நூலகம்
二次函数
方 程 的 解 用法 与 实 际 应
二次函数
圆 旋转
九年级上册
一元二次方程及其概念
与圆有关的位置关系
单元内容
公式法
因式分解法
配方法
本章主要内容
直接开方 法
化为一般式的形式
概念
二次函数的根基，同 时为解决1高、次从问形题式提上看：
创设情境，复习 引入
加强数学式子与 数学语言之间的 互化，在几何中
还有与图形语言
的互化。这是学
好数学的前
提。
学生活动： 解方程：
2x²―5x―1=0 3x²-8x+7/3=0
4x²-x+2=0 设计意师图生：合这作三个方 程代表辩了析一公元式二次方 程根的三种情况，有 利于学生全面理解求
和掌握求根利公用式公。式 尝试练习
的教学活动。
学生掌握数学
知识，不能依
教师要认真备
靠死记硬背，
课，充分预设，
而要以理解为
理解和钻研教
基识固础的注基和，应重本深并用学技化在中生能。知巩对握的基理础解知和识掌材要成、。及的利在时资导课把源。堂握因上生势，
处理好预设和生 成的关系
教 学 建 议
评价建议
对学生独立 地进行数学 思考的关注 应成为学习 过程评价的
判断方程 是否有实
知识与技能
根。
、理解配方法， 能用配方法、 公式法、因式 分解法解一元
二次方程。
数学思考
学 段 目 标
问题解决
单元目标
归纳出一元二次 方程的一般形式， 给出一元二次方
程根的概念。
配方 法
一元二次方程的概 念
公式法
因式分解 法
一元二次方程的解 法
传播问题
增长率问 题
一元二次方程解决实际 问题
程x²－4x＋3=0的根是
次函数表示的是一对
x=1或x=3
(x，y)之间的关系， 它有无数对解；一元
二次方程表示的是未
知数x的值，最一多只 有2个值元
实数与代数式的运算， 一元一次方程的学习 都是学习一元二次方
程的基础。
二
次
方
程
ax²+bx+c=0（a≠0）
本课内容分析
用公式法解一元二次方程是九 年级上第22章第2小节的内容。 是求解一元二次方程的通法， 主要体现降次的思想，具有突 出的地位，是数学公理化和公 式化的表现。同时也为后面学
核心之一
引导学生正 确认识数学 的价值，产 生积极的数 学学习动机
关注学生是否 积极主动地参 与活动，是否 愿意与同伴交 流学习体会、 是否与他人合 作探究数学问
题
重视学生理 解并有条理 地表达对数 学内容的思 考和理解的
过程
重视学习过程的评价
关注学生能 否独立举出 一定数量的 用于说明问 题的正例和