电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析

电磁感应问题中焦耳热求解方法归类例析

教学案例

近年来高考试题、各地模拟试题频频出现电磁感应中求解电热能即焦耳热的题型，其解题途径往往有两条：一是用公式Q=I 2Rt 求解；二是计算克服安培力做的功W 克安，运用W 克安＝Q 来间接计算。学生在解题中常常因为不能很好的理解和应用而陷入迷茫，为了提高学生的甄别能力，避免解题时出错，本文将几种电磁感应问题中焦耳热的求解方法归类总结如下：

一、用公式Q=I 2Rt 计算的三种情形

1、用公式Q=I 2Rt 直接计算

Q=I 2Rt 直接应用的前提是电流恒定或电流I 以方波规律变化，对于动生电动势E ＝BLV 一般指在匀强磁场中导体棒切割磁感线的速度V 不变；而对于感生电动势t

n E ∆∆Φ

=，则要求

t

∆∆Φ

不变。 例1、如图所示，矩形金属线圈的质量为m ，电阻为R ，放在倾角为θ的光滑斜面

上，其中ab 边长度为L ，且与斜面底边平行。MN 、PQ 是斜面上与ab 平行的两水平虚线，间距为D 。在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B 大小随时间t 的变化关系为B=B 0-Kt ，开始方向垂直斜面向上，Kt 1＜B 0＜Kt 2。。在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t 1时刻ab 边进入磁场，t=t 2时刻ab 边穿出磁场，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0。（重力加速度为g ）求：

（1）从t ＝0到t ＝t 1运动过程中线圈产生的热量Q ； （2）在t ＝t 1时刻，线圈中电流大小；

（3）线圈的ab 边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W 。

解析：（1）求解的是均匀变化磁场引起的感生电流产生的焦耳热，在0到t 1时间内：

＝LDK t

B

＝S

E ∆∆感生是恒定不变的，感应电流大小R LDK ＝

R E I ＝感生，所以在0到t 1时间内产生的焦耳热Q ＝I 2

Rt 1＝

12

22t R

K D L ， （2）在0到t 1时间内，矩形线圈做初速度为0加速度a ＝gsin θ的匀加速直线运动，t 1时刻，速度v 1＝gsin θt 1，t 1时刻，线圈中既有感生电动势，又有动生电动势，根据楞次定律和右手定则，两个电动势同向，所以E 2＝（B 0－Kt 1）Lv 1＋LDK ， E 2＝（B 0－Kt 1）L gsin θt 1＋LDK ， 所以 R

＋LDK

t Lg －Kt B ＝

R E ＝

I 11022sin )θ（ （3）t 2时刻，ab 边穿出磁场瞬间的速度为v 2，此时只有动生电动势 E 3＝（Kt 2－B 0）L v 2，

I 3＝

R

E 3

， 由于t 2时刻加速度为0，根据牛顿第二定律：mgsin θ －（Kt 2－B 0）I 3L ＝0， 考虑ab 边进入MN 到ab 边离开PQ 的过程中，利用动能定理： mgDsin θ－W 克安＝

21mv 22－2

1

mv 12 解得：W 克安＝mgDsin θ＋21mg 2sin 2θt 12－4

4022

223(2sin L

－B Kt R g m ）θ 2、用电流I 的有效值计算

当导体棒垂直切割磁感线运动时，产生的动生电动势E ＝BLV ，公式中只要B 、L 、V 任意一个物理量按正弦（余弦）规律变化，回路中都会产生正弦（余弦）交流电，此时就可以用电流的有效值来计算焦耳热。

例2、如图所示，矩形裸导线框

长边的长度为2l ，短边的长度为l ，在两个短边上均接有电阻R ，其余部分电阻不计，导线框一长边与x 轴重合，左边的坐标x=0，线框内有一垂直于线框平面的磁场，磁场的磁感应强度满足关系)2sin(

0l

x

B B π=。一光滑导体棒AB

与短边平行且与长边接触良好，电阻也是R ，开始时导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，

导体棒AB 在沿x 方向的力F 作用下做速度为v 的匀速运动，求：

（1）导体棒AB 从x=0到x=2l 的过程中力F 随时间t 变化的规律； （2）导体棒AB 从x=0到x=2l 的过程中回路产生的热量。 解析：（1）根据题意，在t 时刻AB 棒的坐标为 x ＝vt ； 动生电动势E ＝B l v ＝B 0l v l

vt

2sin

π；而回路总电阻 R 总＝R ＋

21R ＝2

3

R ；所以回路总电流 R

l vt

lv B ＝R E

I ＝

32sin

20π总

因为棒匀速运动，则有F ＝F 安＝BIL

解得 F ＝

R

l vt

v l B 32sin 22

202π （0≤ t ≤v

l 2）

（2）导体棒AB 在切割磁感线过程中产生半个周期的正弦交流电，电流的有效值为 R lv

B ＝

R lv B ＝

I ＝I m 322

1322

00⨯有

根据 Q=t R I 总有2

解得： R

v

l B Q ＝3232

3、用微元法（或基本积分）来计算

现在的高三学生，高中数学已经教授了导数和微积分的基本知识，例如常数的导数为0，幂函数n

x 的导数为1

n －nx

，sinx 的导数为cosx ，cosx 的导数－sinx ，对于电磁感

应问题中，电流I 随时间有规律变化的题型，可以尝试用微元法或积分进行计算。 例3、如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN 、PQ 平行固定在倾角θ=370

的绝缘斜面上，两导轨间距L=1m ，导轨的电阻可忽略。M 、P 两点间接有阻值为R 的电阻。一根质量m=1kg ，电阻r=0.2Ω的均匀直金属杆ab 放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B=0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，自图示位置起，杆ab 受到大小为F=0.5V+2（式中V 为杆ab 运动的速度，力F 的单位为N ）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R 的电流随时间均匀增大。g 取

10m/s 2，sin370

=0.6。