小学教育(数学方向)专业《线代大纲》 教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

课程编号： 0401302 总学时： 72 总学分： 4 开课学期：第3学期

适用专业小学教育（数学方向）大纲执笔人：大纲审核人：

一、课程性质、目的与任务

线性代数课程是高等学校小学教育（数学方向）专业本科生一门重要的专业必修课。它主要阐述代数学中线性关系的经典理论，具有较强的抽象性和逻辑性。

通过本课程的教学，帮助学生掌握并能运用线性代数这一数学工具，进一步注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力和数学语言及符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法分析问题和解决问题的能力并逐步培养学生科学创新、严谨求实的作风，促进学生全面素质的提高。

二、课程教学的基本要求

本课程授课对象是文科类及其相关专业本科生。

1．理解n阶行列式的定义、性质；掌握n阶行列式的按一行（列）展开定理和难度一般的行列式计算；Cramer法则。

2．理解矩阵、向量的概念。理解矩阵初等变换、矩阵的秩、逆矩阵及其性质。掌握矩阵运算及其运算规律；矩阵求秩、矩阵求逆的方法。了解分块矩阵的运算；一些常见特殊矩阵及其性质。

3．理解向量组线性相关、线性无关、线性表示的定义；掌握向量组线性相关性的重要结论及向量组的极大无关组与秩。了解线性空间的概念，会求向量空间的基与维数。4．理解非齐次（齐次）线性方程组有解（有非零解）的充要条件。掌握齐次线性方程组的基础解系及其求法；非齐次线性方程组解的结构及通解的求法。

5．理解线性变换的定义、性质及运算；方阵特征值、特征向量的概念。了解相似矩阵及其性质；矩阵相似于对角矩阵的充要条件；正交矩阵及其性质；实对称矩阵的性质；实对称矩阵正交相似对角化的方法。

三、课程的主要内容、重点和难点

一行列式

主要内容：

1、行列式的定义、性质

2、行列式的计算

3、行列式的按行（列）展开定理

4、Cramer法则求解线性方程组

基本要求：

掌握行列式的概念和性质，熟练应用行列式的性质计算行列式，并会用行列式求解线性方程组。

二矩阵

主要内容：

1、矩阵的概念、性质及其运算

2、分块矩阵及其运算

3、矩阵的秩

4、可逆矩阵

5、常用的特殊矩阵

6、矩阵的初等变换与初等矩阵

基本要求：

掌握矩阵的概念；能熟练地进行矩阵的各种运算（加、减、数乘、乘、求逆等）包括分块矩阵的相应运算；熟练掌握矩阵的初等变换运算，理解初等变换和初等阵的关系，会用初等变换求逆阵；求逆阵的秩。

三线性方程组

主要内容：

1、高斯消去法

2、n元向量的线性关系

3、线性方程组的解

4、线性方程组解的结构

基本要求：

掌握向量关系、线性关系、矩阵的秩等概念；熟练应用矩阵来求解或讨论线性方程组的解。

四线性空间与欧氏空间

主要内容：

1、线性空间的概念

2、基、维数和坐标

3、欧几里德（Euclid）空间

4、子空间的交、和、直和及正交

基本要求：

掌握线性空间、基和维数、子空间的概念；理解线性空间的基和坐标的关系，基变换和坐标变换的关系；掌握内积空间特别是欧氏空间的概念，掌握正交基和Schmidt 方法

五线性变换

主要内容：

1、线性变换的定义、性质及运算

2、特征值与特征向量

3、不变子空间

4、矩阵的对角化

5、对称变换、正交变换

基本要求：

掌握线性映射和线性变换的概念；理解在给定坐标下线性映射和矩阵的相互关系；线性变换的运算和矩阵运算的关系；掌握核空间、不变子空间等概念；掌握正交变换和对称变换；理解正交变换和正交阵、对称变换和对称阵的关系；掌握特征值和特征向量的概念，矩阵相似于对角阵的条件；掌握凯莱—哈米尔顿定理；能熟练地求特征值和特征向量。

六二次型

主要内容：

1、二次型的基本概念

2、化二次型为标准型

3、惯性定理

4、正定二次型

基本要求：

掌握二次型和矩阵的关系，学会用矩阵方法来处理二次型的问题；掌握惯性定理和正定型的判别法。

本课程为专业基础课程

六、考核方式

闭卷考试，最终成绩按平时成绩和期末成绩3：7进行计算

七、教材与主要参考书

（1）《线性代数》，齐民友等，高等教育出版社

（2）《线性代数》(第三版)，同济大学应用数学系，高等教育出版社

（3）《线性代数》(第四版)，同济大学应用数学系，高等教育出版社

（4）《线性代数与空间解析几何》，俞正光等，清华大学出版社

（5）《线性代数及其应用》(第二版)，同济大学数学系，高等教育出版社

（6）《线性代数导引》，郭聿琦等，科学出版社

（7）《线性代数》，孙兰芬陈一巾编，浙江大学出版社

八、有关说明（教学建议）

以课堂教学为主