包装物流系统优化方法

（二）求解多段图问题的动态规划算法
（1）递推公式法（多段图向前处理的算法） 设P(i, j)是一条从Vi中的节点j到汇点t的最小成本路径，COST(i,j)
表示这条路径的成本，根据向前处理方法有：
边的成本
COST (i, j) min {c( j,l) COST (i 1,l)} lVi1 j,l E
（3）确定决策并写出状态转移方程： 状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。
（4）写出规划方程（包括边界条件）： 动态规划的基本方程是规划方程的通用形式化表达式。
常见的动态规划问题 （1）多段图问题（配送路径优化问题） （2）节约里程问题（配送路径优化问题） （3）背包问题（货物配装、装箱问题） （4）矩阵连乘积问题 （5）数字三角形问题 （6）最长不下降子序列 （7）最长公共子序列 （8）最大子段和 （9）多边形游戏 （10）资源分配问题 ……….
10 2
12 t
4 11 2
11 8 5
5
8
6
5 11
COST(3,6)=min{6+COST(4,9), 5+COST(4,10)}=7 COST(3,7)=min{4+COST(4,9), 3+COST(4,10)}=5 COST(3,8)=min{5+COST(4,10), 6+COST(4,11)}=7
V1 s1
V2
V3
V4
V5
2
4
9
1
3
7
3
6 26 5
2
7
4
7
3
9 4
10 2
12 t
4 11 2
5
11 5
8
8
6
5 11
COST(2,2)=min{4+COST(3,6), 2+COST(3,7), 1+COST(3,8)}=7 COST(2,3)= min{2+COST(3,6), 7+COST(3,7)}= 9 COST(2,4)= min{11+COST(3,8)}= 18 COST(2,5)= min{11+COST(3,7), 8+COST(3,8)}= 15
V1
V2
V3
2
4
9
7
s1
3
2
1 3
4 11 11
5
26 2 7
7
8 8
例子中5段图的实现计算步骤： •COST(4,9)=4 •COST(4,10)=2 •COST(4,11)=5
6 5 4
3
5 6
V4
V5
9 4
10 2
12
5
t
11
V1 s1
V2
V3
V4
V5
2
4
9
1
3
7
3
6 26 5
2
7
4
7
3
9 4
– 图中所有的边<u,v>均具有如下性质：若u∈Vi ，则v ∈Vi+1 ,1≤i≤k, 且每条边<u, v>均附有成本c(u, v)。
– 从s到t的一条路径成本是这条路径上边的成本和。 – 多段图问题(multistage graph problem)是求由s到t的最小成本路径。
（一）多段图问题的最优化原理证明
无后效性：在多段决策过程中，每一段(如第k+1段)的输出状态(xk+1)都 仅仅与该段的决策(uk)及该段的初始状态(xk)有关；而与其前面各段的
决策及状态的转移规律无关。
动态规划算法的基本步骤
（1）划分阶段： 按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
（2）选择状态： 将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。
5.2 多段图问题
V1
9 7 s1 3 2
V2
V3
24
1 3
4 11
26 2 7
7
11 5
8
8
6 5
4 3
5 6
V4
V5
9 4
10 2
5 11
12 t
• 多段图G＝(V, E)是—个有向图。 • 它具有如下特性：
– 图中的结点被划分成k≥2个不相交的集合Vi,1≤i≤k,其中V1和Vk分别 只有一个结点s (源点) 和 t (汇点)。
包装物流技术
专 业：包装工程 E-mail: 来自ygpack@第5章 包装物流系统优化方法
5.1 概述 5.2 多段图问题 5.3 节约里程法 5.4 背包问题（货物配载问题） 5.5 0/1背包问题 5.6 矩阵连乘积问题 5.7 凸多边形最优三角剖分
5.1 概述
• 物流系统规划所关注的问题是如何合理、有效地利用或配置各种资源 （劳动力、材料、设备、资金），使实现预定目标所需的费用最小 （或资源最少），或者所获得的收益最大。
• 物流系统的规划一般都可以用优化模型来表达。其基本思想是在满足 一定的约束条件下，使预定的目标值达到最优。
• 物流系统规划的数学基础主要是运筹学理论，常用的方法包括线性规 划、整数规划、动态规划等。
多阶段决策问题：求解的问题可以划分为一系列相互联系的阶段，在 每个阶段都需要做出决策，且一个阶段决策的选择会影响下一个阶段 的决策，从而影响整个过程的活动路线，求解的目标是选择各个阶段 的决策是整个过程达到最优。
• 证明最优化原理对多段图成立： – 假设s,v2,v3,…,vk-1,t是一条由s到t的最短路径 – 再假设从源点s开始，已作出了到结点v2的决策，因此v2就是初始决 策所产生的状态 – 如果把v2看成是原问题的一个子问题的初始状态，解决这个子问题就 是找出一条由v2到t的最短路径 – 这条最短路径显然是v2,v3,…,vk-1,t – 如果不是，设v2,q3,…,qk-1,t由v2到t的一条更短路径，则 s,v2,q3,…,qk-1,t是一条比路径s,v2,v3,…,vk-1,t更短的由s到t的路 径。这与假设矛盾，因此最优性原理成立。
始决策如何，其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态作为初始状
态而言，必须构成最优策略。
II’
I
B II
C
A
I’
动态规划算法的依据是最优化原理(最优子结构性质)
一个最优化策略具有这样的性质，不论过去的状态和决策如何，余下 的决策必须相对于前一决策所产生的状态构成最优决策序列。简言之，一 个最优化策略的子策略总是最优的，问题的最优解可以通过其子问题的最 优解构成。
u0
u1
x0
1 x1
2 x2
uk
xk
k+1 xk+1
uN-1
xN-1
N
xN
如图所示，对于中间的任意一段，例如第k+1段作出相应的“决 策”(或控制)uk后，才能确定该段输入状态与输出状态间的关系，即从xk 变化到xk+1的状态转移规律。在选择好每一段的“决策”(或控制) uk以后， 那么整个过程的状态转移规律从x0经xk一直到xN也就被完全确定。全部
“决策”的总体，称为“策略”。
动态规划 Dynamic Programming
动态最优的核心是最优性原理。它首先将一个多阶段决策问题转 化为一系列单阶段决策问题，然后从最后一段状态开始逆向递推到初 始段状态为止的一套求解最优策略的完整方法。
最优性原理：
一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论其初始状态及其初