2011年北京西城区中考二模数学试题答案

北京市西城区2011年初三二模试卷

数学答案及评分标准 2011.6

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题号

1 2 3 4 5

6 7 8 答案

B A D

C B

C A

A

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题号 9 10 11

12

答案

()()22-+m m m

2≠x

32，

3

4

()2012

2011

,

11

+n n

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=132122

---

……………………………………………………………4分

=3222

-． ……………………………………………………………………5分

14．证明： 如图1．

在△ACE 和△BDE 中，

∵??

?

??=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分

∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，

∴ 16420k ?=-?>． ………………………………………………………1分 解得2k <． ……………………………………………………………………2分 （2）∵2k <，

∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分 ∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-??=．………………………………………………4分 代入求根公式2

42b b ac x a

-±

-=

，得422

222

x -±=

=-±

．…………5分

∴ 122222x x =-+

=--

，．

16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122

=+xy x ①，152

=+y xy ②，

∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分

图1

17．解：（1）∵ 反比例数m y x

=

()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，

（如图2） ∴ 313m =-?=-，3

22

m n =

=-

．

∴ 反比例函数解析式为3y x

=-

．………………………1分

点B 的坐标为3

(2)2B -，．……………………………2分

∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，

3

(2)2

B -，两点，

∴ 31,32.2k b k b -+=???+=-??

解得 1,2

1.2k b ?

=-???

?=-??

∴ 一次函数的解析式为11

22

y x =--．……………………………………3分

（2）设一次函数11

22

y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．

∴ =AOB ACO COB S S S ???+113=11+1222????5

=4

． …………………………5分

18．解：（1）50

；………………………………………………………………………………1分

（2）

………………………………………………………………………………3分 （3）3．………………………………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆．

()62402022800y x x x =+-=

+

．…………………………………………2分

（2）依题意得x -20< x .

解得x >10．……………………………………………………………………3分

∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，

∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分

答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元．

图2

20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3）

∵ AB ∥D C ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ，

∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90?． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4C D =，

∴ MN =CD = 4．

∵ 在梯形ABC D 中，AB ∥D C ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ． 又∵10AB =，

∴ AM =BN =()1

1(104)322

AB M N -=

?-=．

∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分

∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90?，AD =5，AM =3， ∴ 2

2

4D M AD AM

=

-=．

∴ 4tan 7

D M ABD BM

∠=

=

．……………………………………………………3分

（2）∵ EF AB ⊥，

∴ ∠F =90?．

∵∠DMN =90?， ∴ ∠F =∠DMN .

∴ DM ∥EF ．

∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =，

∴

12

BM BD BF

BE

==．

∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分 ∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分

21．（1）证明：如图4．

∵ 点A 是劣弧BC 的中点，

∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分 又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，

∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分

∴

AB

AD

AE AB =．

∴ 2

A B A E A D =?．………………………………………………………3分 （2）解：∵ AE =2，ED =4，

∴()2

2612

AB AE AD AE AE ED =?=+=?=．

∴23AB =（舍负）．………………………………………………………4分

∵ BD 为⊙O 的直径，

∴ ∠A =90?．

图4

E

C

O

F

A

D B

图3

又∵ DF 是⊙O 的切线，

∴ DF ⊥BD.

∴ ∠BDF =90?．

在Rt △ABD 中，233tan 6

3

A B A D B A D

∠==

=

，

∴ ∠ADB =30?．

∴ ∠ABC =∠ADB =30?. ∴∠DEF=∠AEB=60?，

903060ED F BD F AD B ∠=∠-∠=?-?=?．

∴ ∠F =18060D EF ED F ?-∠-∠=?． ∴ △DEF 是等边三角形．

∴ EF = DE =4．………………………………………………………………5分

22．解：（1）

……………………………………………………1分

（2）

……………………………………………………3分

（3）

……………………………………………………5分

23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分

（2）

2c a

．……………………………………………………………………………4分

（3）答：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数．

理由如下：

设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2c a

，B (2,0)

两点．

∵ a ＞0，c ＜0，

∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且

2c a

＜0＜2，即点A 在点B 左侧．

…………………………………………………………………………5分

设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +．

∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，

∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数． ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）

∴ A M B x x x <<，即22c m a

<<． ∴

5572c m a

+<+<，即

572N c x a

+<<．

以下判断

52c a

+与B x 的大小关系：

∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0， ∴ 66(42)

(5)(

5)202222B c c a c a a b a b x a

a

a

a

a

+-+-+-=+-=

=

=

>．

∴

B x a

c >+52．

∴ 52N B c x x a

>

+>．…………………………………………………………6分

∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴B N y y >，即y >0.

∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分

24．解：（1）

52

，

265

．………………………………………………………………………2分

（2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如

图6）……………………………………………………………………………3分 ∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8， ∴ 82PD D F PF t =-=-．

在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD

．

即(

)2228364t t -=+． 解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为

78

时△PDE 为等腰三角形．

（3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE

边上，DP= DG ． 由已知可得93tan 12

4

AC B BC

=

==，63

tan 8

4

EF D D F

=

=

=

．

∴.D B ∠=∠

∴.90?=∠=∠BFH DGH

∴ 3tan 4FH BF B t =?=， 3

8

4

D H D F F H t =-

=-， .5

325354438cos +-=???? ?

?-=?=t t D DH DG ∵ 2D P D F t +=，

∴ 28D P t =-．

由DP=DG 得332285

5

t t -=-+

．

图5

解得 72

13t =

． …………………………………………………………………5分

检验：72

4613<<，此时点P 在DE 边上.

∴ t 的值为

72

13

时，点P 与点G 重合．

（4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），t

a n 2PF

PBF BF

∠=

=．

…………………………………………………………………………………6分 当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则t a n PS PBF BS

∠=

．

可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-． 此时()572

58

2185

4cos cos +

-

=-=

?=∠?=t t D PE EPS PE PS ，

()5

54

5621853

sin sin +-=-=?=∠?=t t D PE EPS PE ES ．

5

24

5115545

66-=

??? ?

?+

-

-+=-+=t t t ES EF BF BS ．

∴ 728tan 1124

PS t

PBF BS

t -∠=

=

-．………………………………………………7分

综上所述，2 (04),tan 728 (46).1124

t PBF t t t <≤??

∠=-?≤≤?

-?

（以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）

25．解：（1）B 点的坐标为(23,6)，………………………………………………………1分 C 点的坐标为(63,2)．………………………………………………………3分 （2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B 点的坐标为(23,2)B k k m +，

C 点的坐标为(233,2)C k m k +．

如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ， 两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．

由三角形中位线的性质可得点D 的坐标为

(3,)D k k m +，点E 的坐标为

3(3,)2

m E k k +

．

由勾股定理得2

2

37()2

2

m D E m

m =

+=

．

∵ DE=27，

∴ m=4． ……………………………4分 ∵ D 恰为抛物线2

123(21)2

3(2)

k y x x m k k +=-+

+++的顶点，它的顶点横坐标为

3(21)

3k +，

∴

3(21)

33

k k +=．

解得k=1．

此时抛物线的解析式2

123433

y x x =-

+

+．

…………………………………5分 此时D ，E 两点的坐标分别为(3,5)D ，(33,1)E ．

∴ 27OD =，27OE =．

∴ OD=OE=DE ．

∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=

12

．……………………6分

（3）E 1，E 3点的坐标分别为13(

3,1)2

m E +

，E 33(

33,3)

2

m

+．

设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．

则 3(

3)1,2

3(33) 3.2

m

a b m a b ?++=????++=??

解得 3

,3.2a m b ?=

????=-??

∴ 直线13E E 的解析式为33

2

m y x =

-

． ……………………………………7分

可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角等于60°.

∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．

∵ D 1，D 3两点的坐标分别为1(3,1)D m +，3(33,3)D m +， 由勾股定理得13D D =4，13E E =4． ∴ 1313D D E E =．

∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．

设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9） 可得点P 的坐标为.2

3

,2,0m AP m P =??? ??

-

∴.4

3360sin sin m AP OPQ AP AQ =??=∠?=

∴ 1

331

13334334

D D

E E m S D D AQ m =?=?

=四边形．…………………………8分