巧添辅助线——倍长中线
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巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】例:
ABC 中,AD 是BAC 的平分线,且BD=CD ,求证AB=AC
方法1:作DE ⊥AB 于E ,作DF ⊥AC 于F ,证明二次全等方法2:辅助线同上,利用面积方法3:倍长中线
AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法
——倍长中线
△ABC 中方式1:延长AD 到E ,
AD 是BC 边中线
使DE=AD ,连接BE
方式2:间接倍长
作CF ⊥AD 于F ,延长MD
到N ,
作BE ⊥AD 的延长线于 E
使
DN=MD ,
连接BE
连接CD
【经典例题】
例1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值范围
例2:已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE
例3:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE
交AC 于F ,求证:AF=EF
提示:倍长AD 至G ,连接BG ,证明ΔBDG ≌ΔCDA
三角形BEG 是等腰三角形
C
D
A
B
D
A
B
C
E
D
A
B
C
F
E
D
C
B
A
N
D
C
B A
M
F
E
D
A
B
C
F
E
C A
B
D
例4:已知:如图,在ABC 中,AC AB ,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA
DF //交AE 于点F ,DF=AC.
求证:AE 平分BAC
提示:
方法1:倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ,连结CH
例5:已知CD=AB ,∠BDA=∠BAD ,AE 是△ABD 的中线,求证:∠C=∠BAE
提示:倍长AE 至F ,连结DF
证明ΔABE ≌ΔFDE (SAS )进而证明ΔADF ≌ΔADC (SAS )
【融会贯通】
1、在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段
AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论
提示:延长AE 、DF 交于G
证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC
2、如图,AD 为ABC 的中线,DE 平分
BDA 交AB 于E ,DF 平分ADC 交AC 于F.
求证:EF
CF
BE
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
E D
A
B
C
F
E
A
B
C
D
第 14 题图
D
F C
B
E
A
3、已知:如图,ABC 中,C=90,CM AB 于M ,AT 平分BAC 交CM 于D ,交BC
于T ,过D 作DE//AB 交BC 于E ,求证:CT=BE. 提示:过T 作TN ⊥AB 于N
证明ΔBTN ≌ΔECD
D
A
B
C
M
T
E