倍长中线法(经典例题)讲课讲稿
倍长中线法(经典例题)2资料讲解
倍长中线法(经典例题)2倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEAB例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABCF EABCD3、已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．ABFD E C5、如图已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DA BCMTE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
倍长中线法经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E DABFEABC3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
倍长中线法(经典例题)
N作 BE! AD 的延长线于倍长中线法知识网络详解:中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全 等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么 等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模 型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线△ ABC 中式1:延长AD 到E,B --------------- ■ ------------- CDAD 是E BC使 DE=AD接BE方式2:间接倍长 AB 延长MD 到N, CE连接CN 经典例题讲解：例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二AC例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , DE 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于点 F , DF=AC.例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE自检自测:1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE.使 DN=M ,BE延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF求证：AE 平分.BACDEAECCFAC2、在四边形ABCD K AB// DC E 为BC 边的中点，/ BAE K EAF AF与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关 系，并证明你的结论.3、如图，AD 为 MBC 的中线，DE 平分.BDA 交AB 于E,DF 平分.AD 交 AC 于 F.求证：BE CF EF4、已知：如图， ABC 中， C=90，CM AB 于 M AT 平 分 BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T ，过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E ，求证：CT=BE.ADBF。
倍长中线法(经典例题)2
倍长中线法〔加倍法〕知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法〞添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么〔延长的那一条〕，用SAS证全等〔对顶角〕倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法〔加倍法〕知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法〞添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么〔延长的那一条〕，用SAS 证全等〔对顶角〕倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
中线倍长法及截长补短经典讲义
几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
例2、中线一倍辅助线作法△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .DABCM TEABCD图1-1FEDCBA图1-2求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180° 例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .ADB CEF1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCD E 图3-2DCB A12图4-1证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
第一讲 倍长中线法
第一讲 倍长中线法索引1：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC方法1：作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD索引2：△ABC 中 ，AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E， 使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，方式2：延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD例1：如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 为中线，则AD 的取值范围是_________.例2：已知在△ABC 中，AB=AC，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CED C B A例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ， DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE例6.B A B F D EC能力检测 1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD.2.如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G .求证：BF =CG .3、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论4.如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+第 14 题图 D F CB EA5.如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90∘.(1)判断CD与BE有怎样的数量关系；(2)探索DC与BE的夹角的大小；(3)求证：FA平分∠DFE；(4)取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系。
倍长中线法(经典例题)
精品文档倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，接BEDABCEDA BC精品文档方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于 E使DN=MD ，连接BE连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围FE DCBA NDCBAM精品文档例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EFFEAFEC AB D精品文档例4：已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠ABFD E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.E DABC2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+FEABCD4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
2辅助线作法--倍长中线讲义
、倍长中线（线段）造全等典例讲解倍长中线法例：ABC 中，人。
是・BAC 的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACE 方式1涎长AD 到E,使DE=AD ，连接BE【经典例题】 例1：已知在△ ABC 中，AB=AC ，。
在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F,且ADF=EF ，求证：BD=CE 人【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线AD 是BC 边中线D及时练习1 : ZXABC 中，AB=5 , AC=3，求中线AD 的取值范围例3：如图AD 为ABC 的中线DE 平分・BDA 交AB 于E ，DF 平分・ADC 交AC 于 F.求证：BE CF EF例2：已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线, E 是AD ± 一点，且 BE 二AC,延长BE及时练习2、已知：如图，在ABC 中，作 AB 式AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC 过D DF // BA 交 AE 于点 F ，DF=AC.课后作业1.（ “希望杯”试题）已知'如图△ ABC 中，AB=10AC=8贝忡线AD 的取值范围是方式2 :间接倍长（不一定是中线，以中点为端点的线段即可）作CF 丄AD 于F,作BE 丄AD 的延长线于E连接BE 延长MD 到N, 使 DN=MD 连接CD求证：AE 平分・BACA2：如图， △ ABC 中,E 、F 分别在AB AC±^Z®LDF, D 是中点，试比较BE+CF 与EF 过矢训练1：如图， △ ABC 中，BD=DC=ACE 是DC 的中点，求证：AD 平分Z BAE.例 5：已知 CD=AB , ZBDA= /BAD, AE 是 AABD 的中线，求证:Z C= ZBAE 的大小.2. （09崇文二模）以ABC的两边AB AC为腰分别向外作等腰Rt砂和等腰Rt,・BAD二CAE =90旌接DE, M、N分别是BC DE的中点•探究：AMABC与DE的位置矢系及数量矢系.（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置矢系是 _______________ ，线段AM与DE的数量矢系是 __________（2）将图①中的等腰RLABD绕点A沿逆时针方向旋转二（0V二＜90）后，如图②所示, （1 ）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.0 C M £。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围D ABCEDAB C F EDC B AN D C B AM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠FE DA B CFEC ABD AB F D E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABCF EAB C D3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
(完整版)倍长中线法(经典例题)0001
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时， 常常采用 倍长中线法 添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全 等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程： 延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一 条）,用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线方式2:间接倍长作 CF 丄 AD 于 F ,作BE 丄AD 的延长线于E连接BE经典例题讲解：例ABC 中，AB=5, AC=3,求中线 AD 的取值范围△ ABC 中AD 是BC 边中线使 DE=AD, 连接BEA B 方式1 :延长AD 到E , D A DE A连接CNN例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ,且DF=EF , 求证：BD=CE例3:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE=AC 延长 BE 交AC 于F ,求证：AF=EFABC 中，AB AC ，D 、E 在 BC 上，且 DE=EC 过 D 作DF //BA 例4:已知：如图，在 交 AE 于点 F , DF=AC. 求证：AE 平分 BAC D例5:已知CD=AB / BDA=Z BAD, AE是厶ABD的中线，求证：/ C=Z BAE1、如图，△ ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分/ BAE.2、在四边形ABCD中，AB// DC, E为BC边的中点，/ BAE=Z EAF, AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论•E3、如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于F.求证: BE CF EF第14题图4、已知：如图，ABC中，C=90 , CM AB于M , AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证：CT=BE.C。
倍长中线法(经典例题)2
倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
中线倍长法及截长补短经典讲义
几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。
它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。
例2、中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使连接BE方式2：间接倍长方式3：作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE连接CD例3、△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF （二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BDCBCABCD图1-1平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°.例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的. 证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE FE DCBA图1-2ADB CE F1234图2-2ABCDP12N图3-1P12NABCDE 图3-2DCB A 12图4-1∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 ∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法
知识网络详解：
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】
△ABC中延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F，延长MD 到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CN
经典例题讲解：
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
过D作DG//AC
例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF
例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在
BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.
求证：AE 平分BAC ∠
例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE
B
A
B
F
D
E
C
自检自测：
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.
2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.
3、如图，AD为ABC
∆的中线，DE平分BDA
∠交AB于E，DF平分ADC
∠交AC于F. 求证：EF
CF
BE>
+
E
A
B C
4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.
第 14 题图 D
F C
B
E
A
D
A
B
C
M
T
E。