人教版高中数学高二选修2-2第二章《推理与证明》章末复习同步练习
最新人教版选修2-2高中数学第二章 推理与证明2.3数学归纳法习题课 同步习题及答案
习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案
4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析： 按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射 的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上 ，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3
高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③+；④-2中，与等价的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161-二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。
高中数学选修2-2(人教B版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推理和演绎推理的联系和区别．
二、课后作业
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1. 下面说法正确的有 (
)
①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理一般模式是"三段论"形式； ④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． A．1 个
答案： D
B．2 个
答案： B
)
B．4 或 6 或 7 或 8 个部分D．6 或 7 或 8 个部分
C．4 或 7 或 8 个部分
4. 已知 √2 +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − 2 2 3 3 4 4 = 2 ⋅ √ ，√3 + = 3 ⋅ √ ，√4 + = 4 ⋅ √ ，…．若 3 3 8 8 15 15 − − − − − − − a a √8 + = 8 ⋅ √ （a, t 均为正实数），类比以上等式，可推测 a, t 的值，则 a + t = t t
答案： 解析： 根据已知归纳推理有根号下的分子和根号前面的数字一样，即
．
71
数相乘减一，所以 t = 64 − 1 = 63 ．
a = 8，分母等于分子与根式外的
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C．3 个
D．4 个
2. "因为对数函数 y = loga x 是增函数，而 y = log 1 x 是对数函数，所以 y = log 1 x 是增函数"．这个推 理是错误的，是因为 ( A．大前提错误
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.3知识点总结含同步练习及答案
) 个．
C．4 D．5
B．3
2. 设 a ，b ，c 均为正实数，则三个数 a + A．都大于 2
答案： D
1 1 1 ，b + ，c + b a a
(
)
C．至少有一个不大于 2
B．都不大于 2
D．至少有一个不小于 2
3. 设 x ∈ (0, 1) ， a = 1 + x ， b = 2√x ， c =
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务 了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点． 二、课后作业
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1. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证 法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
答案： 解析： 作差比较即可．
1 ，则 a 、 b 、 c 中最大的是 1−x
．
c
4. " x > 1 ，且 y > 1 "的充要条件是" x + y > 2 ，且
答案：
"．
(x − 1) (y − 1) > 0
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高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第二章 推理与证明 章末复习 Word版含答案
章末复习1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n ＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．5．归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.跟踪演练1自然数按下表的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为()A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007 D．2 007×2 008答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.题型二 直接证明由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用． 例2 已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，故只需证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只需证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．跟踪演练2如图，在四面体B －ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证： (1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD .证明 (1)要证直线EF ∥平面ACD ， 只需证EF ∥AD 且EF ⊄平面ACD . 因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，所以直线EF ∥平面ACD .(2)要证平面EFC ⊥平面BCD ， 只需证BD ⊥平面EFC ， 只需证⎩⎪⎨⎪⎧EF ⊥BD ，CF ⊥BD ，CF ∩EF ＝F .因为⎩⎪⎨⎪⎧EF ∥AD ，AD ⊥BD ，所以EF ⊥BD .又因为CB ＝CD ，F 为BD 的中点， 所以CF ⊥BD .所以平面EFC ⊥平面BCD . 题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．例3 如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB 、DF 的中点．(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线． (1)解 法一图(1)如图(1)所示，取CD 的中点G ，连接MG ，NG ，设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2， 则MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝2， ∵平面ABCD ⊥平面DCEF ，∴MG ⊥平面DCEF ，∴∠MNG 是MN 与平面DCEF 所成的角． ∵MN ＝6，∴sin ∠MNG ＝63， ∴直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为63.图(2)法二 设正方形ABCD ，DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ，DA 为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示． 则M (1,0,2)，N (0,1,0)， ∴MN →＝(－1,1，－2)．又DA →＝(0,0,2)为平面DCEF 的法向量， ∴cos 〈MN →，DA →〉＝MN →·DA →|MN →||DA →|＝－63，∴MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为 |cos 〈MN →，DA →〉|＝63.(2)证明 假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN ，∵两正方形不共面， ∴AB ⊄平面DCEF .又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线， ∴AB ∥EN .又AB ∥CD ∥EF ，∴EN ∥EF ，这与EN ∩EF ＝E 矛盾，故假设不成立． ∴ME 与BN 不共面，即它们是异面直线．跟踪演练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.∵π－3＞0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， ∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，因此假设不成立，∴a ，b ，c 中至少有一个大于0. 题型四 数学归纳法1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换．2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证明．例4 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式＞右式，所以结论成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1＞k ＋2成立，只需证：4k 2＋12k ＋9＞4k 2＋12k ＋8成立，显然成立， ∴当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞(k ＋1)＋1成立，综合①②可知不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立． 跟踪演练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32，a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74，a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)法一 猜想a n ＝2n －12n －1，下面用数学归纳法证明．证明 (1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n －12n －1.法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n＝b1·q n－1＝－12n－1，所以a n＝b n＋2＝2n－12n－1.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：∀d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用一次或几次．高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
人教版高中数学选修2-2习题第二章推理与证明2.3数学归纳法
第二章推理与 明2.3 数学 法A基 稳固一、1．等式 12＋ 22＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2＝12(5n 2－ 7n ＋ 4)()A ． n 任何正整数都建立B ． 当 n ＝1， 2， 3 建立C ．当 n ＝4 建立， n ＝ 5 不建立D ． 当 n ＝ 4 不建立分析： ，n ＝ 1， 2， 3 建立， n ＝ 4， 5，⋯不建立 .答案： B2．用数学 法 明n 2“2＞ n ＋1 于n ≥n 0 的自然数 n 都建立 ” ，第一步 明中的开端n 0 取 ( )A ．2B ．3C ．5D ．6分析：当 n 取 1、 2、 3、 4 2n ＞ n 2＋ 1 不建立，当n ＝ 5 ， 25＝ 32＞ 52＋ 1＝ 26，第一个能使 2n ＞ n 2＋ 1 的 n5.答案： C13．用数学 法 明某命 ， 左式2＋ cos α＋ cos 3α＋ ⋯ ＋cos (2n － 1)α(α≠k π，k ∈ Z ，n ∈ N * )，在 n ＝ 1 ，左 所得的代数式()A.12B.1＋ cos α2C.12＋ cos α＋ cos 3α1D.2＋ cos α＋ cos 3α＋ cos 5α分析：令n ＝ 1，左式＝ 1＋ cos α.2答案： B4．已知 f(n)＝ 1＋1＋1＋ ⋯＋1(n ∈ N*)， 明不等式f(2n)＞ n， f(2k ＋1 )比 f (2k )多的 数2 3n2是 ()A ． 2k －1B ． 2k ＋1C ． 2 kD ．以上都不分析： 察f(n)的表达式可知，右端分母是 的正整数，f(2k)＝ 1＋ 1＋ ⋯ ＋ 1k ，而 f(2k2 2＋ 11 1111k ＋1kk)＝ 1＋2＋ ⋯ ＋ 2k ＋2k＋ 1＋ 2 k ＋ 2＋ ⋯ ＋ 2 k ＋ 2k ，所以 f(2)比 f(2 )多了 2 ．答案： C5．用数学 法 明(n ＋ 1)(n ＋ 2) ⋯⋯(n ＋ n)＝ 2n · 1×3⋯⋯ (2n ＋ 1)(n ∈N * )，从 “k 到 k ＋ 1”左端需增乘的代数式()A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋ 3C.k ＋ 1D.k ＋ 1分析：当 n ＝ k 左端 (k ＋ 1)(k ＋ 2) ⋯(k ＋ k)，当 n ＝ k ＋ 1 ，左端 (k ＋ 2)(k ＋ 3) ⋯(k ＋ 1＋ k － 1)( k ＋ 1＋ k)(k ＋ 1＋ k ＋ 1)，即 (k ＋ 2)( k ＋（ 2k ＋ 1）（ 2k ＋ 2）3) ⋯⋯(k ＋ k)(2k ＋ 1)(2k ＋ 2)． 察比 它 的 化知增乘了＝ 2(2k ＋ 1)．k ＋ 1答案： B二、填空6． 于不等式n 2＋ 4n ＜ n ＋ 2(n ∈ N * ) ，某学生的 明 程以下：(1)当 n ＝ 1 ，12＋ 4＜ 1＋ 2，不等式建立．(2) 假n ＝ k(k ∈ N * ) ， 不 等 式 成 立 ， 即k 2＋ 4k ＜ k ＋ 2 ，n ＝ k ＋ 1，（ k ＋ 1） 2＋ 4（ k ＋ 1）＝k 2＋ 6k ＋ 5＜ （ k 2＋ 6k ＋ 5）＋ 4＝ （ k ＋ 3） 2＝ (k ＋ 1)＋ 2.所以当 n ＝ k ＋ 1 ，不等式建立．上述 法第 ________步 ．分析：第二步 ， 明 程中没实用到 假 ．答案： (2)7．已知数列 {a n }的前 n 和S n ，且 a 1＝ 1， S n ＝ n 2 a n (n ∈ N * )挨次 算出 S 1、 S 2、S 3、S 4 后，可猜想 S n 的表达式 ________．分析： S ＝1，S ＝4，S ＝ 3＝ 6， S ＝8，12332445猜想 S n ＝ 2n.n ＋1答案：2nn ＋ 18． 随意 n ∈ N * ， 34n ＋ 2＋ a 2n ＋1 都能被14 整除， 最小的自然数 a ＝________．分析：当 n ＝ 1 ， 36＋ a 3 能被 14 整除的数a ＝3 或 5；当 a ＝3 且 n ＝ 2 ， 310＋ 35 不能被 14 整除，故a ＝ 5.答案： 5三、解答9．用数学 法 明：1 ＋1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋1 ＝2×4 4×6 6× 82n （ 2n ＋2）n4（ n ＋ 1） .明：(1)当 n ＝ 1 ，左 ＝1＝1，右 ＝1等式建立．2× 4 88(2)假 n ＝ k ，等式建立，即1 ＋ 1 ＋ 1＋ ⋯＋ 1 ＝ k 建立．2× 4 4×6 6×8 2k （ 2k ＋ 2） 4（ k ＋ 1）当 n ＝ k ＋ 1 ，1＋ 1 ＋1 ＋ ⋯ ＋1＋1＝k＋4× 6 6× 8（ 2k ＋ 2）（ 2k ＋ 4）2× 42k （ 2k ＋ 2）4（ k ＋ 1）1＝k （ k ＋ 2）＋ 1＝（ 2k ＋ 2）（2k ＋ 4）4（ k ＋ 1）（ k ＋ 2）（ k ＋1） 2＝k ＋1 ＝k ＋ 14（ k ＋ 1）（ k ＋ 2） 4（ k ＋ 2） 4[（ k ＋ 1）＋ 1].所以 n ＝ k ＋ 1 ，等式建立．由 (1) 、 (2)可得 全部 n ∈ N * ，等式建立．10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＋1＝2a n(n ∈ N * )．2＋ a n(1) 求： a 2、 a 3、 a 4 的 ，由此猜想数列 {a n }的通 公式 a n ；(2)用数学 法加以 明．2a n*(1)解：由 a 1＝1，an＋1＝2＋ a n (n ∈ N )，可得 a 2＝ 2， a 3＝ 2， a 4＝ 2.3 4 52由此能够猜想数列 {a n }的通 公式 a n ＝.2(2) 明：①当n ＝ 1 ， a 1＝＝ 1，猜想建立．②假 当n ＝ k(k ≥1， k ∈ N * )， ，猜想建立，即 a ＝ 2 ，kk ＋1当 n ＝ k ＋ 1 ， a k ＋ 1＝2a k＝2.2＋a k k ＋ 2明当 n ＝ k ＋1 ，猜想也建立．由①、②可知，猜想 全部的n ∈ N * 都建立．B 能力提高1．用数学 法 明1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋ 1＜ 1(n ∈ N * ， n ≥ 2)，由 “k 到 k ＋ 1” ，不n ＋ 1 n ＋ 2 2nn 等式左端的 化是 ()A ．增添1一2（ k ＋ 1）B ．增添 1和 1 两2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）C ．增添1 和 1 两 ，同 减少 1一2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）kD ．以上都不分析： n ＝ k ，左 ＝1 1 1 1k ＋ ＋ ＋ k ＋ ＋⋯＋2k ，k 1 21 1 11 1 1），比 可知，增添n ＝ k ＋ 1 ，左 ＝＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ⋯ ＋2k ＋ ＋ ＋（ ＋k 1 k 2 k 32k 1 2 k 1 1 和 （ 1 ） 两 ，同 减少 12k ＋ ＋ k 一 ．1 2 k 1答案： C2．用数学 法 明：2＝ n 4＋ n 21＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ n2， n ＝ k ＋ 1 的左端 在 n ＝k的左端加上 ______________________ ．分析： n ＝ k ，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ k 2， n ＝ k ＋ 1，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯＋ k 2＋ (k 2＋1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2 比 可知，左端 加上(k 2＋ 1)＋ (k 2 ＋2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2.答案： (k 2 ＋ 1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯＋ (k ＋ 1)23．已知某数列的第一1，而且 全部的自然数n ≥2，数列的前 n 之 n 2.(1)写出 个数列的前5 ；(2)写出 个数列的通 公式并加以 明．解： (1) 已知 a 1＝ 1，由 意得 a 1· a 2＝ 22，所以 a 2＝ 22.因 a 1· a 2· a 3＝ 3232，所以 a 3＝ 2.2224 5同理，可得 a 4＝ 32， a 5＝ 42. 9 16 25所以 个数列的前5 分1，4， ，，.(2) 察 个数列的前5 ，猜 数列的通 公式 ：1， n ＝ 1，a n ＝n 2（ n － 1） 2， n ≥ 2.下边用数学 法 明当2nn ≥2 ， a n＝（n － 1） 2.①当 n ＝ 2 ， a ＝22 2＝ 22， 建立．2（2－ 1）②假 当n ＝ k(k ≥2， k ∈ N * ) ， 建立，k 2即 a k＝（k － 1） 2.因 a 1· a 2⋯ a k － 1＝ (k － 1)2，a 1· a 2⋯ a k － 1· a k · a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)2，（ k ＋ 1） 2（ k ＋ 1） 2（ k － 1） 2（ k ＋ 1） 2所以 ak ＋1＝（ a－）a＝（ k － 1）2·k2＝ （＋）－2 .1a 2a k 1k[k 11]就是 当n ＝k ＋ 1 ， 也建立．依据①②可知，当n ≥2 ， 个数列的通 公式是2a n ＝ n（ n － 1）2.1， n ＝ 1，所以 个数列的通 公式a n ＝n 2（ n －1） 2， n ≥ 2.。
人教新课标版数学高二-人教选修2-2练习第二章《推理与证明》章末复习
选修2-2 2章末一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”的过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．以上都不是[答案] B[解析]所用方法符合综合法的定义，故应选B.2．已知a1＝1，a n＋1>a n，且(a n＋1－a n)2－2(a n＋1＋a n)＋1＝0计算a2、a3，猜想a n＝()A．nB．n2C．n3D.n＋3－n[答案] B[解析]当n＝1时，有(a2－a1)2－2(a2＋a1)＋1＝0又a1＝1，解之得a2＝4＝22，当n＝2时，有(a3－a2)2－2(a3＋a2)＋1＝0即a23－8a3＋9－2a3－8＋1＝0解之得a 3＝9＝32，可猜想a n ＝n 2，故应选B.3．异面直线在同一平面内的射影不可能是( )A ．两条平行直线B ．两条相交直线C ．一点与一直线D ．同一条直线[答案] D[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D.4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左端需要增加的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] 当n ＝k 时上式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时原式左边为[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)所以由k增加到k＋1时，可两边同乘以2(2k＋1)．故应选B.5．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(x a＋b)·(a－x b)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|[答案] A[解析]∵f(x)＝－ab x2＋(a2－b2)x＋ab且f(x)的图象为一条直线，∴a·b＝0即a⊥b，故选A.二、填空题6．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________________”，这个类比命题是________命题(填“真”或“假”)．[答案]夹在两个平行平面间的平行线段相等；真[解析]类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．7．推理某一三段论，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断：该三段论的另一前提必为________判断．[答案] 否定[解析] 当另一前提为肯定判断时，结论必为肯定判断，这不合题意，故应为否定判断．8．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条，这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________________；f (n )＝______________.(答案用数字或n 的解析式表示)[答案] n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2[解析] 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2.从图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，也可以归纳出一侧棱对应底面三条线成异面，其中四条侧棱应有4×3对异面直线．所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2或一条棱对应C 2n －(n －1)＝(n －1)(n －2)2对异面直线．故共有n ·(n －1)(n －2)2对异面直线． 三、解答题9．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM→为定值b 2－a 2. (2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．[解析] (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )依题意，得A (－a,0)，B (a,0)所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ) 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a同理得y N ＝－ay 0x 0－a所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M) 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．10．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *)．[解析] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1， 左边＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k (k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)－k 2＝(－1)k·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2. ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据(1)、(2)可知，对于任何n ∈N *等式成立．。
选修2-2第二章 推理与证明测试题及答案
〔数学选修2-2〕第二章 推理与证明一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于〔 〕 A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞那么111,,a b c b c a+++〔 〕 A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．正六边形ABCDEF ，在以下表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内〔 〕 A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，那么〔 〕 A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 假设234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，那么x y z ++=〔 〕A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
2．实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，那么a =__________。
3．b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，那么y x ,的大小关系是_________。
4．假设正整数m 满足m m 102105121<<-，那么)3010.02.(lg ______________≈=m5．假设数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++那么10____a =。
高中数学新人教版选修2-2课时作业：第二章 推理与证明章末复习课 Word版含解析
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明章末复习课新人教版选修2-2题型一合情推理与演绎推理1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？(1)答案f(n)＝n3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________． ①A 、B 为定点，若动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则点P 的轨迹是椭圆； ②由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式； ③由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πab ； ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 答案 ② ③④(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n, 则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 题型二 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． 例2 用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明 (分析法)要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立．只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. 只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)． ∵1－cos α>0， ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α·4(1－cos α)＝4，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．(综合法) ∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号)∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α>0. ∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.跟踪训练2 求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.题型三 反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则綈q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则綈q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的．例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾． 故1＋x y <2与1＋yx<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 题型四 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．例4 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)·(n ＋2)．证明 (1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立．(2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1 ＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4. (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74. a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)证明 方法一 猜想a n ＝2n－12n －1.下面用数学归纳法证明，(1)当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；(2)假设当n ＝k 时a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k －12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k满足上式， 即当n ＝k ＋1时猜想也成立，由(1)(2)可知，对于n ∈N *都有a n ＝2n－12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)，设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·qn －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n－12n －1.呈重点、现规律]1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n ＝n 0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n ＝k 时，结论成立，推得n ＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．。
高中数学(人教A版)选修2-2第二章推理与证明测试题(含详解)
第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2ab C.12 D ．a答案 A2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能解析 大前提是：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．答案 A3．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定解析 a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，∵c ＋1＋c >c ＋c －1，∴a <b .答案 B4．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 解析 由类比出的结果应正确知选C. 答案 C5．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18B.14C.12D ．1解析 ∵y ＝ax 2＋1，∴y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝x 0，y 0＝ax 2＋1，⇒a ＝14.答案 B6．已知f (x )＝sin(x ＋1)π3－3cos(x ＋1)π3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．－ 3D ．0解析 f (x )＝2[12sin(x ＋1)π3－32cos(x ＋1)π3]＝2sin π3x ，∴周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝2(32＋32＋0－32－32＋0)＝0，∴f (2011)＝f (6×335＋1)＝f (1)＝2sin π3＝ 3.答案 B7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( )A ．2k －1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k解析 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k＋1－1，所以增加的项数为(2k＋1－1)－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.答案 D8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( )A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．答案 C9．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为：a n＝an＋2，b n＝bn ＋1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析假设存在相同的项是第n项，即an＋2＝bn＋1，∴(a－b)n＝－1(a>b，n∈N*)，矛盾．答案 A10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )A．平行四边形的对角线相等B．正方形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上都不是解析大前提②，小前提③，结论①.答案 B11．观察下表：1 2 3 4……第一行2345……第二行3456……第三行4567……第四行⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( ) A．2n－1 B．2n＋1C．n2－1 D．n2解析观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.答案 A12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q ∈R，若(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( ) A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－4)解析 由(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以(1,2)⊕(p ，q )＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析 ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b 2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案 m >n14．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．解析 等式左边从n 项起共有(2n －1)项相加，右边为(2n －1)2，∴n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 15．若数列{a n }是等差数列，则有数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }为等比数列，且c n >0(n ∈N *)，则d n ＝________时，{d n }也是等比数列．答案nc 1c 2…c n16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________”．答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知0<a <1，求证：1a ＋41－a ≥9.证法1 (分析法) 要证1a ＋41－a ≥9，∵0<a <1，∴1－a >0，∴只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )， 即证1＋3a ≥9a (1－a )， 即证9a 2－6a ＋1≥0， 即证(3a －1)2≥0， 上式显然成立． ∴原命题成立． 证法2 (综合法) ∵(3a －1)2≥0， 即9a 2－6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0<a <1，∴1＋3a a (1－a )≥9， 即1－a ＋4aa (1－a )≥9，即1a ＋41－a ≥9. 证法3 (反证法) 假设1a ＋41－a <9，即1a ＋41－a －9<0， 即1－a ＋4a －9a (1－a )a (1－a )<0，即9a 2－6a ＋1a (1－a )<0，即(3a －1)2a (1－a )<0， 而0<a <1，∴a (1－a )>0，∴(3a －1)2<0，与(3a －1)2≥0相矛盾， ∴原命题成立．18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数． 证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实数．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，解得－2<m <－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14<m 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解 (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．19．(12分)已知数列{a n }和{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .求证：数列{c n }不是等比数列．证明 假设{c n }是等比数列，则c 1，c 2，c 3成等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p 和q ，且p ≠q ，则a 2＝a 1p ，a 3＝a 1p 2，b 2＝b 1q ，b 3＝b 1q 2.∵c 1，c 2，c 3成等比数列， ∴c 22＝c 1·c 3，即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.∴p＝q与已知p≠q矛盾．∴数列{c n}不是等比数列．20．(12分)证明：若a>0，则a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明∵a>0，要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，只需证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋4＋22(a＋1a)，即证a2＋1a2≥22(a＋1a)，即证a2＋1a2≥12(a2＋1a2＋2)，即证a2＋1a2≥2，即证(a－1a)2≥0，该不等式显然成立．∴a2＋1a2－2≥a＋1a－2.21．(12分)如右图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC ＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，∴PQ∥EB，又DC∥EB.∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，∵Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，∴CQ ⊥AB .∵DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，∴EB ⊥平面ABC .∴CQ ⊥EB ，故CQ ⊥平面ABE .由(1)知，PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， ∴四边形CQPD 为平行四边形．∴DP ⊥平面ABE .故∠DAP 为AD 与平面ABE 所成角．在Rt △DAP 中，AD ＝5，DP ＝1，∴sin ∠DAP ＝55. 因此AD 与平面ABE 所成角的正弦值为55. 22．(12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2(x ≠－1a，a >0)，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13<0)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝(1－f (1))(1－f (2))＝34×(1－19)＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×(1－116)＝58，x 4＝58×(1－125)＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋2. 证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·[1－1(k ＋1＋1)2]＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。
人教a版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理 有答案
人教a 版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理有答案2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A 级 基础巩固一、选择题1．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 的值为( ) A ．27 B ．28 C ．32 D ．33解析：观察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 所以x －20＝12，得x ＝32. 答案：C2．用火柴棒摆 “金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.故选C.答案：C3．设n 是自然数，则18(n 2－1)的值( )A ．一定是零B ．不一定是偶数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)的值一定为偶数．答案：C4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1.答案：A5．已知对正数a 和b ，有下列命题： ①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( ) A ． 2 B.92C ．4D ．5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以若a ＋b＝9，则ab ≤92.答案：B 二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1＞a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n＝________．解析：计算得a2＝4，a3＝9，所以猜想a n＝n2.答案： n27．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为_____________________________________________________．解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论．答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3.8．西卷)观察分析下表中的数据：解析：三棱锥：F＝5，V＝6，E＝9，得F＋V－E＝2；五棱锥：F＝6，V＝6，E＝10，得；F＋V－E＝2；立方体：F＝6，V＝8，E＝12，得F＋V－E＝2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2三、解答题9．两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线最多有10个交点，……，试归纳出n条直线最多有多少个交点．解：设直线条数为n，最多交点个数为f(n)，则f(2)＝1，f(3)＝3＝1＋2，f(4)＝6＝1＋2＋3，f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＝5，…由此可以归纳出，n条直线交点个数最多为f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n（n－1）2.10．设f(x)＝13x＋3，先分别求出f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝33.下面证明：f(x1)＋f(x2)＝13x1＋3＋13x2＋3＝13x1＋3＋131－x1＋3＝13x1＋3＋3x13＋3×3x1＝13x1＋3＋3x13（3＋3x1）＝3＋3x13（3＋3x1）＝33.B级能力提升1．图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是( )图①图②图③图④A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1解析：观察题中给出的四个图形，图①共有12个正方形，图②共有12＋22个正方形；图③共有22＋32个正方形；图④共有32＋42个正方形；则第n个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．答案：B2．观察：(1)tan 100tan 200＋tan 200tan 600＋tan 600tan 100＝1；(2)tan 50tan 100＋tan 100tan 750＋tan 750tan 50＝1.由以上两式成立，推广得到的一般结论是_________________________________________________________________________.解析：由已知两个式子可知，三个角之和为90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.3．通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；……(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．解：因为24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n＋1) 4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n.所以13＋23＋33＋…＋n3＝14＝14n2(n＋1)2.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：章末检测：第二章 推理与证明 Word版含答案.docx
章末检测一、选择题1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21，∴n 3＝53，n ＝5，∴m ＋n ＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数 D ．假设2＋3是有理数 答案 D解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数． 5．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A.42x ＋2 B ．2x ＋1C ．1x ＋1D ．22x ＋1答案 B解析 当x ＝1时，f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝24＝23＋1；当x ＝3时，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2x ＋1，故选B.6．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( ) ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能等于0 D ．可正也可负答案 A解析 不妨设x 1－2<0，x 2－2>0， 则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1， ∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)， 从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)， f (x 1)＋f (x 2)<0.10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3答案 A解 法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个， 因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 法二 (特殊值代入排除法)由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案 当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案． 二、填空题11．(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 按此规律，第n 个等式可为________．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 答案 f (2n )>2＋n2(n ≥2)解析 观测f (n )中n 的规律为2k (k ＝1,2，…) 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n )>2＋n2(n ≥2)．13．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________． 答案2(k ＋1)(k ＋2)解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).14．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A －CD －B .∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AEEB ＝S △ACDS △BCD . 三、解答题15．已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0，(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． 16．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)， 因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾， 所以数列{S n }不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列； 当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3， 即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)， 得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．17．请你把不等式“若a 1，a 2是正实数，则有a 21a 2＋a 22a 1≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论． 解 推广的结论：若a 1，a 2，…，a n 都是正实数，则有 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：∵a 1，a 2，…a n 都是正实数， ∴a 21a 2＋a 2≥2a 1；a 22a 3＋a 3≥2a 2；… a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1；a 2na 1＋a 1≥2a n ， a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a n ＋a 2n －1a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 18．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论． 解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]， 得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1⎝⎛⎭⎫1＋12－1＝2， 当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]， 得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1＝3， 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n 等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．。
人教新课标版数学高二人教数学B版选修2-2练习第二章《推理与证明》测试
章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()．A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案 D2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则当n＝2时，f(n)是()．A．1＋12 B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1，分子是1，分母为1,2,3，…，2n＋1，故当n＝2时，f(2)＝1＋12＋…＋12×2＋1＝1＋12＋13＋14＋15.答案 C3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()．A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的．答案 A4．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( )．A.3a ＝3bB.3a <3bC.3a ＝3b ，且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b答案 D5．下面几种推理是合情推理的是( )．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④D ．②④ 解析 ①是类比，②④是归纳推理． 答案 C6．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立． 判断以上评述( )．A ．命题、推理都正确B ．命题正确、推理不正确C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确解析 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没用假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B. 答案 B7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中的白色地面砖有( )．A ．4n －2块B ．4n ＋2块C ．3n ＋3块D ．3n －3块解析 法一 第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n 个图案中有4n ＋2块．法二 验n ＝1时，A 、D 选项不为6，排除．验n ＝2时，C 选项不为10，排除．故选B. 答案 B8．观察下列数表规律则从数2 012到2 013的箭头方向是( )A.2 012↑→ B ．→2 012↑C.2 012↓→ D ．→2 012↓解析 图下行偶数是首项为4，公差为4的等差数列，且2 012＝4×503，故2 012在下行，又因为在下行偶数的箭头为a ↓n →，故选C. 答案 C9．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()．A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2kC．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k解析5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.答案 B10．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①②③D．③解析类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合．答案 B11．设P＝1log211＋1log311＋1log411＋1log511，则()．A．0<P<1 B．1<P<2C．2<P<3 D．3<P<4解析P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120,1＝log1111<log11120<log11121＝2，即1<P<2.答案 B12．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于()A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)B ．f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2 C ．n (n ＋1)D ．n (n ＋1)f (1)解析 由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2知，f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)，…，f (n )＝nf (1)．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)＝n (n ＋1)2×2＝n (n ＋1)．或f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋3＋…＋n )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：当n ≥2时，有________．解析 左边为n 项和：1＋122＋132＋…＋1n 2，右边为分式，易知n ≥2时为2n －1n . 答案 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n14．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.解析 由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)15．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12( AB →＋AC →)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为___________________________．答案 在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →) 16．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为__________，由此猜想S n ＝________. 解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列， 得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， ∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32， 同理分别令n ＝2，n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121， S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32，74，158 2n －12n －1三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤)17．(10分)设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果． 解 当n ＝1,2,3,4时， 计算得原式的值分别为： S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝nn ＋1.证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论． (1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tanπ4＝1＋tan x 1－tan x；(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．19．(10分)若a 1>0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…，)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ；(3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值．(1)证明 (采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0,1.从而a n ＝a n －1＝……＝a 1＝0,1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， ∴假设错误． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)解 a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)证明 因为a n ＋1＋p a n ＋1＝(2＋p )a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n ·q ，所以(2＋p －2q )a n＋p (1－2q )＝0，因为上式是关于变量a n 的恒等式， 故可解得q ＝12、p ＝－1.20．(10分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a2k(2a k＋1)＝b k1－2a k＝1－2a k1－2a k＝1.∴n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n＋b n＝1，即点P n在直线l上．。
高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法 同步练习(II)卷
高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共1题；共2分)1. （2分）(2018高二下·济宁期中) 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A .B .C .D .二、选择题 (共7题；共14分)2. （2分） (2016高二下·会宁期中) 用数学归纳法证明1+ + +…+ ＜n（n∈N* ， n＞1）时，第一步应验证不等式（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二下·九江期中) 用数学归纳法证明34n+1+52n+1（n∈N）能被8整除时，当n=k+1时34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形（）A . 56×34k+1+25（34k+1+52k+1）B . 34k+1+52k+1C . 34×34k+1+52×52k+1D . 25（34k+1+52k+1）4. （2分） (2018高二下·重庆期中) 用数学归纳证明：时，从到时，左边应添加的式子是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·河南期中) 用数学归纳法证明不等式“ ”时的过程中，由到，不等式的左边增加的项为（）A .B .C .D .6. （2分）用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加（）A . k2+1B . （k+1）2C .D . （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）27. （2分）凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-28. （2分）下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是（）A . 6＋6·7kB . 2＋7k－1C . 2(2＋7k＋1)D . 3(2＋7k）三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为________．10. （1分） (2018高二下·邗江期中) 利用数学归纳法证明“ ，（）”时，在验证成立时，左边应该是 ________．11. （1分）用数学归纳法证明：第一步应验证的等式是________．四、解答题 (共3题；共25分)12. （5分） (2015高二下·和平期中) 用数学归纳法证明：12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2=（﹣1）n﹣1．13. （10分）(2017·南通模拟) 设．有序数组经m次变换后得到数组，其中，（ 1，2，，n），，．例如：有序数组经1次变换后得到数组，即；经第2次变换后得到数组．（1）若，求的值；（2）求证：，其中 1，2，，n．（注：当时，， 1，2，，n，则．）14. （10分） (2017高二下·郑州期中) 设正项数列{an}的前n项和为Sn ，且满足．（1）计算a1，a2，a3的值，并猜想{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．参考答案一、单选题 (共1题；共2分)1-1、二、选择题 (共7题；共14分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、三、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、四、解答题 (共3题；共25分)12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、。
人教版高中数学选修2-2习题第二章推理与证明章末复习课
归纳升华
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，
但两种证明方法思路截然相反，
分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程．分析法与综合法可相互转换，相
互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，可转换解题思路，
增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．
sin α 只要证明 4sin α cos α ≤ 1－ cos α .
因为 a∈(0 ， π ) ，所以 sin α ＞0， 1
只要证明 4cos α ≤1－ cos α .
1 上式可变形为 4≤ 1－ cos α ＋ 4(1 － cos α ) ．
因为 1－ cos α ＞ 0，
1 所以 1－ cos α ＋ 4(1 － cos α ) ≥2
2x
1
1－ 2x＋ 2
( － x3) －
11 2x－1＋ 2
x3
＝ x3－ x3＝ 0，
所以 f ( － x) ＝ f ( x) ，所以 f ( x) 是偶函数．
(2) 证明：因为 x≠0， 所以当 x＞ 0 时， 2x＞ 1， 2x－ 1＞ 0， x3 ＞0，所以 f ( x) ＞0.
当 x＜0 时，－ x＞ 0，f ( － x) ＝ f ( x) ＞ 0，所以 f ( x) ＞ 0.
与球心距离相等的两个截面圆面积相等 球的表面积 S＝ π d2
④圆的面积 S＝ π d2 4
球的体积 V＝ π d3 6
归纳升华
(1) 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列
的通项公式是数列中的常见方法．
(2) 类比推理重在考查观察和比较的能力， 题目一般情况下较为新颖， 也有一定的探索性．
最新人教版选修2-2高中数学第二章 推理与证明2.3数学归纳法 同步习题及答案
【创新设计】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3 数学归纳法课时作业新人教版选修2-2明目标、知重点1．了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2 对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝an1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答a1＝1，a2＝12，a3＝13，a4＝14，猜想a n＝1n(n∈N*)．以下为证明过程：(1)当n＝1时，a1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝1 k ，则当n＝k＋1时a k＋1＝ak1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设)＝1kk＋1k(变形)＝1k＋1(目标)即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有a n＝1n成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考 4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2， 则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式． 探究点二 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． 跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题 例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14； S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1. 于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k3k＋1＋1(3k＋1)(3k＋4)＝3k2＋4k＋1 (3k＋1)(3k＋4)＝(3k＋1)(k＋1) (3k＋1)(3k＋4)＝k＋13(k＋1)＋1，所以，当n＝k＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n}满足S n＝2n－a n(S n为数列{a n}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n，并证明．解由a1＝2－a1，得a1＝1；由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝3 2；由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝7 4；由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝15 8.猜想a n＝2n－1 2n－1.下面证明猜想正确：(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，则有a k＝2k－1 2k－1，当n＝k＋1时，S k＋a k＋1＝2(k＋1)－a k＋1，∴a k＋1＝122(k＋1)－S k]＝k＋1－12(2k－2k－12k－1)＝2k＋1－1 2(k＋1)－1，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n＝2n－12n－1对任意正整数n都成立．1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有( )A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确答案 C解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝1－a2n＋21－a(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3D．1＋a＋a2＋a3＋a4答案 C解析将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立． 呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n ＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A．当n＝6时命题不成立B．当n＝6时命题成立C．当n＝4时命题不成立D．当n＝4时命题成立答案 B2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对答案 B解析由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步验证n等于( )A．1 B．2 C．3 D．0答案 C解析因为是证凸n边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则n＝1时f(n)是( )A．1 B.1 3C．1＋12＋13D．以上答案均不正确答案 C5．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案 D解析观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.6．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝an3a n＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为( )A.24n－3B.26n－5C.24n＋3D.22n－1答案 B解析a1＝2，a2＝27，a3＝213，a4＝219，…，可推测a n＝26n－5，故选B.7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2， 当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3) ＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立．二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1 答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1)＋(k －1)]·(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________. 答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________．答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝(－1)1－1×1×22＝1， 结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k·(k ＋1)－k ＋2k ＋22 ＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2. 即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．(1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎨⎧ 5 (n ＝1)5×2n －2， (n ≥2，n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即a k＝5×2k－2，当n＝k＋1时，由已知条件和假设有ak＋1＝S k＝a1＋a2＋a3＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.＝5＋5(1－2k－1)1－2＝5×2k－1.故n＝k＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n∈N*，有a n＝5×2n－2. 所以数列{a n}的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧5 (n＝1)5×2n－2(n≥2，n∈N*).三、探究与拓展13．已知数列{a n}的前n项和S n＝1－na n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．解(1)计算得a1＝12；a2＝16；a3＝112；a4＝120.(2)猜想：a n＝1n(n＋1).下面用数学归纳法证明①当n＝1时，猜想显然成立．②假设n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即a k＝1k(k＋1).那么，当n＝k＋1时S k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，即S k＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1.又S k＝1－ka k＝kk＋1，所以kk＋1＋a k＋1＝1－(k＋1)a k＋1，从而a k＋1＝1(k＋1)(k＋2)＝1(k＋1)[(k＋1)＋1].即n＝k＋1时，猜想也成立．故由①和②，可知猜想成立．。
高二数学第二章推理与证明章末过关检测卷新人教A版选修2-2
B．由 a1＝ 1， an＝ 3n－ 1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式
C．由圆
x2＋
y
2
＝
r
2
的面积
pr
2
，猜想出椭圆
x2 y2 a2＋ b2＝ 1 的面积
S＝ pab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析： 从 S1，S2，S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn，是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳
A． ( k－ 1) 2＋2k2 B ． ( k＋ 1) 2＋ k2
C． ( k＋ 1) 2 D.
1 3( k＋ 1)[2(
k＋ 1) 2＋ 1]
解析： n＝ k 时，左边＝ 12＋ 22＋…＋ ( k－ 1) 2＋k2 ＋( k－ 1) 2…＋ 22＋ 12， n＝k＋ 1 时，左
边＝ 12＋ 22＋…＋ ( k－ 1) 2＋ k2＋ ( k＋ 1) 2 ＋k2＋ ( k－ 1) 2＋…＋ 22＋12，
A．把 a( b＋ c) 与 log a( x＋y) 类比，则有： log a( x＋ y) ＝log ax＋ log ay
B．把 a( b＋ c) 与 sin( x＋y) 类比，则有： sin( x＋ y) ＝ sin x＋ sin y
C．把 ( ab) n 与 ( a＋b) n 类比，则有：
(
x＋
3．下面四个推理不是合情推理的是 ( C)
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是
180°，归纳出所有三角形
的内角和都是 180°
C．某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分
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第二章《推理与证明》章末复习测试
一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件
Ｂ．必要条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．等价条件
2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N
Ｂ．n *∈N 且3n ≥
Ｃ．n 为正奇数
Ｄ．n 为正偶数
3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形
Ｂ．直角三角形
Ｃ．钝角三角形
Ｄ．不确定
4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+
Ｄ．4578b b b b +>+
5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）
Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+<，221151233++<，2221117
12344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．2221111
1(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22
211121(2)2321
n n n n +
+++
<+≥ 7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若
Ｃ．21
k+
Ｄ．
2k
则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）
Ａ．2
2005Ｂ．2
2006Ｃ．20052006
+Ｄ．20052006
⨯
二、填空题
13．写出用三段论证明3
()sin()
f x x x x
=+∈R为奇函数的步骤是．
14．已知
111
()1()
23
f n n
n
*
=++++∈N，用数学归纳法证明(2)
2
n
n
f>时，1
(2)(2)
k k
f f
+-等于．
15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有
n
a个树枝，则
1
n
a
+
与(2)
n
a n≥之间的关系是．
三、解答题
17．如图（1），在三角形ABC中，AB AC
⊥，若AD BC
⊥，则2
AB BD BC
=·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD
-中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．
1 2 5 10 17
4 3 6 11 18
9 8 7 12 19
16 15 14 13 20
25 24 23 22 21
31n +
+
+
1 2k+
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