全等三角形经典模型总结

全等三角形相关模型总结

一、角平分线模型

（一）角平分线的性质模型

辅助线：过点G作GE丄射线

AC

A、例题

1、如图，在△ABC中，Z C=90°,AD平分Z CAB,BC=6cm,BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.

2、如图，已知，Z1=Z2,Z3=Z4,求证：AP平分Z BAC.

B、模型巩固

1、如图，在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分Z ABC，求证：Z A+Z C=180°.

BE=1(AC-AB).

例2、如图，在△ABC 中,Z BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ,且AB =AD ,作CM 丄AD 交 AD 的延长线于M.求证：AM=2（AB+AC ）.

2

（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A 、例题

A

E

♦B

O

B

辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF 〃射线

OB 例1、如图，在A ABC 中，Z ABC =3Z C ,AD 是Z BAC 的平分线，BE 丄AD 于F. 求

A

E C

D

B

三）角分线，分两边，对称全等要记全

c

N

B B

两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC9A OBC.

A、例题

1、如图，在△ABC中，Z BAC=60°,Z C=40°,AP平分Z BAC交BC于P,BQ平分Z ABC交AC 于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ.

2、如图，在△ABC中，AD是Z BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.

B、模型巩固

1、在厶ABC中，AB>AC,AD是Z BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB-AC>PB-PC.

2、如图，A ABC中，AB=AC,Z A=100°,Z B的平分线交AC于D,

求证：AD+BD=BC.

3、如图，A ABC中，BC=AC，Z C=90°，Z A的平分线交BC于D，求证：AC+CD=AB.

二、等腰直角三角形模型

(一)旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等

操作过程：

(1)将厶ABD逆时针旋转90°，得△ACM9△ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形.

(2)辅助线作法：过点C作MC I BC，使CM=BD，连结AM.

(二)旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连结AD.

(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF9△ADE.

(2)使Z EDF+Z BAC=180°，导出△BDF9△ADE.

A、例题

1、如图，在等腰直角△ABC中，Z BAC=90°，点M、N在斜边BC上滑动，且Z MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.

2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接M E、M C.

试判断A EMC的形状，并证明你的结论.

B、模型巩固

1、已知，如图所示，Rt^ABC中，AB=AC，Z BAC=90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移

动，且在移动中保持AN=CM.

(1)试判断A OMN的形状，并证明你的结论.

(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？

2、在正方形ABCD中，BE=3,EF=5,DF=4,求Z BAE+Z DCF为多少度.

三）构造等腰直角三角形

1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）

2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.

四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

A、例题应用

1、如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC,Z ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC，求证：Z BCP=15°.

diAABE^ABCD d 岀 ED=AE-CD

由公ABE^ABCD 悼出EC=AB-CD tilAABE^ABCD 艸出BC=BE+ED=AB+CD

A 、例题

已知：如图所示，在A ABC 中，AB =AC ,Z BAC =90°,D 为AC 中点，AF 丄BD 于点E ,交BC 于F ,连接DF.

变式1、已知：如图所示，在△ABC 中，AB =AC ,AM =CN ,AF 丄BM 于E ,交BC 于F ,连接NF.

求证：（1）Z AMB =Z CNF ；（2）BM =AF +FN.

三、三垂直模型（弦图模型） ①.

②

. ③-

求证：Z ADB =Z CDF.

变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM 和FN 分别延长交于点P ,

求证：（1）PM =PN ；（2）PB =PF +AF.

四、手拉手模型

「△ABE和厶ACF均为等边三角形结论：

(1)A ABF9A AEC.

(2)Z BOE=Z BAE=60°.

(3)OA平分Z EOF.(四点共圆证

拓展：A ABC和A CDE均为等边三角形

结论：(1)AD=BE；

(2)Z ACB=Z AOB；

(3)A PCQ为等边三角形；

(4)PQ〃AE；

(5)AP=BQ；

(6)CO平分Z AOE；(四点共圆证

(7)OA=OB+OC；

(8)OE=OC+OD.

((7),(8)需构造等边三角形证明)