全等三角形模型(教案设计)

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全等三角形教案

全等三角形教案

全等三角形教案关键信息1、教学目标理解全等三角形的概念和性质。

掌握全等三角形的判定方法。

能够运用全等三角形的知识解决实际问题。

2、教学重难点重点:全等三角形的判定方法及其应用。

难点:灵活运用全等三角形的判定方法进行推理和证明。

3、教学方法讲授法讨论法练习法4、教学资源教材多媒体课件几何模型5、教学评价课堂提问作业完成情况考试成绩1、教学目标阐述11 知识与技能目标通过本课程的学习,学生能够清晰地理解全等三角形的定义、性质和判定方法。

能够准确识别全等三角形,并能运用所学知识解决与全等三角形相关的几何问题。

111 学生应熟知全等三角形的对应边相等、对应角相等这一基本性质,并能熟练运用这些性质进行简单的几何计算和推理。

112 熟练掌握全等三角形的判定定理,如“边边边”(SSS)、“边角边”(SAS)、“角边角”(ASA)、“角角边”(AAS)以及“斜边、直角边”(HL)定理,能够根据已知条件准确判断两个三角形是否全等。

12 过程与方法目标在教学过程中,注重培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。

通过引导学生进行观察、比较、分析和推理,让学生逐步掌握解决几何问题的方法和技巧。

121 学生能够通过观察几何图形,发现其中的全等三角形,并能准确地指出全等三角形的对应元素。

122 在解决全等三角形相关问题时,学生能够运用所学的判定定理进行有条理的推理和证明,提高逻辑思维能力。

13 情感态度与价值观目标通过全等三角形的学习,激发学生对几何学科的兴趣,培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

131 让学生在解决问题的过程中体验成功的喜悦,增强学习的自信心和积极性。

132 培养学生的合作意识和团队精神,通过小组讨论和合作学习,共同解决问题,提高学生的交流与合作能力。

2、教学重难点分析21 教学重点211 全等三角形的判定方法是本课程的重点内容。

学生需要熟练掌握各种判定定理的条件和应用场景,能够准确地运用定理判断两个三角形是否全等。

全等三角形数学教案

全等三角形数学教案

全等三角形数学教案标题:全等三角形数学教案一、教学目标:1. 知识与技能:学生能理解并掌握全等三角形的定义和性质,能够识别和判断两个三角形是否全等。

2. 过程与方法:通过观察、分析、讨论和实践,培养学生的逻辑思维能力和空间观念。

3. 情感态度价值观:培养学生严谨的科学态度和积极的学习热情。

二、教学重点难点:1. 教学重点:理解和掌握全等三角形的定义和性质。

2. 教学难点:准确判断两个三角形是否全等。

三、教学过程:(一)导入新课教师可以先展示一些生活中的实例,如门框、窗户等,引导学生思考这些形状为什么都是三角形。

然后提出问题:“如果有两个三角形,它们看起来完全一样,那它们就一定是一样的吗?”从而引入全等三角形的概念。

(二)讲解新课1. 全等三角形的定义:大小和形状都相同的两个三角形叫做全等三角形。

2. 全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等,对应边相等。

(三)实践操作让学生用纸片或几何工具制作出一些三角形,然后尝试将它们拼接在一起,看哪些可以完全重合,哪些不能。

以此来帮助他们理解和掌握全等三角形的定义和性质。

(四)巩固练习设计一些习题,让学生判断给出的两个三角形是否全等,或者找出需要满足什么条件才能使两个三角形全等。

(五)总结提升让学生自己总结本节课所学的内容,并鼓励他们在日常生活中寻找全等三角形的例子,以提高他们的观察能力和应用能力。

四、教学反思:在教学过程中,教师应注重引导学生主动参与学习,激发他们的学习兴趣。

同时,也要注意对学生的反馈进行及时的调整和改进,确保每一个学生都能理解和掌握全等三角形的相关知识。

全等三角形模型(教案)

全等三角形模型(教案)

教学过程一、课堂导入【问题】如图,你能感觉到哪两个三角形全等吗?【思考】△ABD≌△ACE二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角,作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON.移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合.则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线,为什么?请你说明理由.【解答】OP平分∠AOB理由如下:∵OM=ON,PM=PN,OP=OP∴△MOP≌△NOP(SSS)∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠MON(即OP是∠AOB的角平分线)三、知识讲解考点1全等三角形性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等,对应边上的高、中线相等,对应角的平分线相等。

考点2全等三角形的判定:所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS;直角三角形HL四、例题精析【例题1】【题干】如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.求证:AE=BF.【答案】证明:∵正方形ABCD,∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.∵AE⊥BF,∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°,∵∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAG=∠CBF.在△ABE和△BCF中,BAE CBF AB CBABE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.【解析】根据正方形的性质,可得∠ABC与∠C的关系,AB与BC的关系,根据两直线垂直,可得∠AGB的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得∠ABG与∠BAG的关系,根据同角的余角相等,可得∠BAG与∠CBF的关系,根据ASA,可得△ABE≌△BCF,根据全等三角形的性质,可得答案.【例题2】【题干】如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证:AE=CF;(2)求证:AE⊥CF.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC,∵BE⊥BF,∴∠FBE=90°,∵∠ABE+∠EBC=90°,∠CBF+∠EBC=90°,∴∠ABE=∠CBF,在△AEB和△CFB中,AB BCABE CBF BE BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB≌△CFB(SAS),∴AE=CF.(2)延长AE交BC于O,交CF于H,∵△AEB≌△CFB,∴∠BAE=∠BCF,∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AOB=90°,∵∠AOB=∠COH,∴∠BCF+∠COH=90°,∴∠CHO=90°,∴AE⊥CF【解析】(1)利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF.(2)利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明.【例题3】【题干】(2014•顺义区一模)已知:如图1,△MNQ中,MQ≠NQ.(1)请你以MN为一边,在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题:如图2,在四边形ABCD中,∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D.求证:CD=AB.【答案】:(1)如图1,以N 为圆心,以MQ 为半径画圆弧;以M 为圆心,以NQ 为半径画圆弧;两圆弧的交点即为所求.主要根据“SSS”判定三角形的全等.(2)如图3,延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.∵∠ACB+∠CAD=180°,∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC在△EAC和△BAC中,AE CEAC CAEAC BCN=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AECEAC≌△BCA (SAS),∴∠B=∠E,AB=CE∵∠B=∠D,∴∠D=∠E,∴CD=CE,∴CD=AB.【解析】(1)以点N为圆心,以MQ长度为半径画弧,以点M为圆心,以NQ长度为半径画弧,两弧交于一点F,则△MNF为所画三角形.(2)延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.证明△EAC≌△BCA,得:∠B =∠E,AB=CE,根据等量代换可以求得答案.【例题4】实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连DE,BH,两线交于M.求证:(1)BH=DE.(2)BH⊥DE.【答案】证明:(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH,即∠BCH=∠DCE,在△BCH和△DCE中,BC CDBCH DCECE CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCH≌△DCE(SAS),∴BH=DE;(2)∵△BCH≌△DCE,∴∠CBH=∠CDE,又∵∠CGB=∠MGD,∴∠DMB=∠BCD=90°,∴BH⊥DE.【解析】(1)根据正方形的性质可得BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,然后求出∠BCH=∠DCE,再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE,然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°,再根据垂直的定义证明即可.2.(1)操作发现如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系?并证明你的结论;(2)类比探究如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.【答案】(1)∵在等边△ABC中,AB=AC,∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°在等边△AMN中,AM=AN,∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC,在△ABM和△ACN中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠ABC=∠ACN.(2)∵在等边△ABC中,AB=AC,∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC在等边△AMN中,AM=AN,∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC,∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC,在△ABM和△ACN中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠ABC=∠ACN.【解析】(1)由全等三角形可以判定AB=AC,AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN,即可求得∠ABC=∠ACN;(2)和(1)同理,由全等三角形可以判定AB=AC,AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN,即可求得∠ABC=∠CAN.【巩固】1.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:BD=CE.【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AD=AE,AB=AC,又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,∴∠DAB=∠EAC,∵在△ADB和△AEC中AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE.【解析】求出AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠EAC,根据SAS证出△ADB≌△AEC即可.2.如图,△ABC与△BEF都是等边三角形,D是BC上一点,且CD=BE,求证:∠EDB=∠CAD.【答案】如图,过点D作DG∥AB交AC于G,∵△ABC是等边三角形,∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°,AC=BC,∴△CDG是等边三角形,∴DG=CD=CG,∠AGD=120°,∴BD=AG,∵CD=BE,∴BE=DG,又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=60°,∴∠EBD=∠DGA=120°,在△EBD和△DGA中.BD AGEBD AGDEB DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△EBD≌△DGA(SAS),∴∠EDB=∠CAD.【解析】过点D作DG∥AB交AC于G,求出∠EBD=∠AGD=120°,BD=AG,根据SAS证△EBD≌△DGA,根据全等三角形的性质推出即可.【拔高】正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB的中点,连接EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点,连接FG,则EF与FG关系为:;(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FQ,连接EQ,请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,在图3中补全图形,并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系:.【答案】(1)∵点E、F分别是边AD、AB的中点,G是BC的中点,∴AE=AF=BF=BG,在△AEF和△BFG中,AE BGA BAF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF≌△BFG(SAS),∴EF=FG,∠AFE=∠BFG=45°,∴EF⊥FG,EF=FG;(2)BF+EQ=BP.理由:如图2,取BC的中点G,连接FG,则EF⊥FG,EF=FG,∴∠1+∠2=90°,又∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,在△FQE 和△FPG 中,13FQ FP EF FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△FQE ≌△FPG (SAS ), ∴QE=PG 且BF=BG ,∵BG+GP=BP ,∴BF+EQ=BP ;(3)如图3所示,BF+BP=EQ .【解析】(1)根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG ,然后利用“边角边”证明△AEF 和△BFG 全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=FG ,全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°,再求出∠EFG=90°,然后根据垂直的定义证明即可;(2)取BC 的中点G ,连接FG ,根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后利用“边角边”证明△FQE 和△FPG 全等,根据全等三角形对应边相等可得QE=FG ,BF=BG ,再根据BG+GP=BP 等量代换即可得证;(3)根据题意作出图形,然后同(2)的思路求解即可.课程小结1.全等三角形的性质2.全等三角形的判定。

全等三角形模型教案-全整理

全等三角形模型教案-全整理

全等三角形证明目录类型1平移模型 (2)类型2一线三等角模型 (3)类型3一线三垂直模型 (4)类型4对称模型 (6)类型5旋转型模型 (9)类型6半角旋转模型 (12)类型7手拉手模型 (16)类型8倍长中线模型 (21)类型1平移模型解题思路:此模型的特征是有一组边共线或部分重合,另两组边分别平行,需要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线性质找到对应角相等.1.如图,点B ,E ,C ,F 在同一直线上,A D ∠=∠,AB DE ∥,BE CF =.求证:AB DE =.题1图题2图2.如图,点A 、D 、C 、F 在同一条直线上,AD CF =,AB DE =,AB DE ∥.(1)求证:ABC DEF ≌△△;(2)若65A ∠=︒,82B ∠=︒,求F ∠的度数.习题:1.已知:如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,(1)求证:△AED ≌△EBC .(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):O E DCB A1.(1)如图1,直线m 经过等边三角形ABC 的顶点A,在直线m 上取两点D,E,使得∠ADB=60°,∠AEC=60°.求证:BD+CE=DE;(2)将(1)中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置,并使∠ADB=120°,∠AEC=120°.若BD=3,CE=7,求DE 的长.题1图题2图2.如图,在ABC 中,BAC ∠是钝角,AB AC =,,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠,直线m 与CB 的延长线交于点F ,若3BC FB =,ABC 的面积是12,求FBD 与ACE的面积之和.1.如图,在△ACB 中,∠ACB =90°,AC =BC ,点C 的坐标为(-2,0),点A 的坐标为(-6,3),则B 点的坐标为.题1图2.通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:(1)如图1,点A 在直线l 上,90,BAD AB AD ∠=︒=,过点B 作BC l ⊥于点C ,过点D 作DE l ⊥交于点E .得1D ∠=∠.又90BCA AED ∠=∠=︒,可以推理得到()ABC DAE AAS ≌.进而得到结论:AC =_____,BC =_____.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型;(2)如图2,于点C ,于点E ,与直线交于点P ,求证:.ND 90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥DE l ⊥NP DP =l 图题23.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时,求证:①ADC CEB △△≌;②DE AD BE =+;(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时,求证:DE AD BE =-;(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时,试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系,不需要证明..4类型4对称模型所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点,解题时要注意其隐含条件,即公共边、公共角、对顶角相等或角平分线等.1.如图1,已知,BD平分∠ABC和∠ADC,若AB=3,则BC=.图1图2图32.如图2,点D在AB上,点E在AC上,AB AC=,∠C=20°,求∠B.=,BD CE3.如图3,在四边形ABCD中,CB AB⊥于点D,点E,F分别在⊥于点B,CD ADAB,AD上,AE AF=.=,CE CFCD=,求四边形AECF的面积;(1)若8AE=,6(2)猜想∠DAB,∠ECF,∠DFC三者之间的数量关系,并证明你的猜想4.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.5.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE题5图题6图6.P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB,求证:PC-PB<AC-AB习题:1.在四边形ABDC 中,AC =AB ,DC =DB ,∠CAB =60°,∠CDB =120°,E 是AC 上一点,F 是AB 延长线上一点,且CE =BF .(1)试说明:DE =DF :(2)在图中,若G 在AB 上且∠EDG =60°,试猜想CE ,EG ,BG 之间的数量关系并证明所归纳结论.(3)若题中条件“∠CAB =60°,∠CDB =120°改为∠CAB =α,∠CDB =180°﹣α,G 在AB 上,∠EDG 满足什么条件时,(2)中结论仍然成立并证明?题1图题2图2.在四边形ABDE 中,点C 是BD 边的中点.(1)如图①,AC 平分BAE ∠,90ACE ∠=︒,写出线段AE ,AB ,DE 间的数量关系及理由;(2)如图②,AC 平分BAE ∠,EC 平分AED ∠,120ACE ∠=︒,写出线段AB ,BD,P DA CBDE ,AE 间的数量关系及理由.3.已知:AC 平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BEA B C DEF 21题3图题4图4.已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证:∠1=∠25.已知:AD 平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:∠B=2∠CCD B 题5图题6图6.已知:AP 平分∠MAN,AC>AB,PB=PC,求证:∠BAC+∠BPC=180°A类型5旋转型模型解题思路:此模型特征是可以通过旋转一定角度重合,需要找对顶角或找互余互补角,通过角度加减得等角。

数学全等三角形教案8篇

数学全等三角形教案8篇

数学全等三角形教案8篇(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

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全等三角形教学设计优秀4篇

全等三角形教学设计优秀4篇

全等三角形教学设计优秀4篇全等三角形教案篇一一、教学内容分析本节课选自北师大版《七年级数学下册》第五章第四节探索三角形全等的条件第一课时,本节课探索第一种判定方法—边边边,为了使学生更好地掌握这一部分内容,遵循启发式教学原则,用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验,为以后的证明打下基础。

二、学生学习情况分析学生的知识技能基础:学生在前几节中,已经了解了三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),以及三角形三边之间的关系、图形的全等,对本节课要学习的三角形全等条件中的“边边边”和三角形的稳定性来说已经具备了一定的知识技能基础。

学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些探索图形全等的活动,通过拼图、折纸等方式解决了一些简单的现实问题,获得了一些数学活动经验的基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。

三、设计思想我们所在的学校处于市区,教学设备齐全,学生学习基础较好,在这之前他们已了解了图形全等的概念及特征,掌握了全等图形的对应边、对应角的关系,这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。

另外,学生也基本具备了利用已知条件拼出三角形的能力,具备探索的热情和愿望,这使学生能主动参与本节课的操作、探究。

遵循启发式教学原则,采用引探式教学方法。

用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法。

四、教学目标1.知识与技能目标:掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性。

2.过程与方法目标:在探索三角形全等的条件及其运用的过程中,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,初步形成解决问题的基本策略。

三角形的全等教案

三角形的全等教案

三角形的全等教案教案标题:三角形的全等教案教案目标:1. 理解全等三角形的概念和性质。

2. 能够使用全等三角形的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

教案步骤:引入:1. 引导学生回顾和复习三角形的基本概念,如边、角、顶点等。

2. 提问学生是否知道什么是全等三角形,并引导他们回忆全等的含义。

探究:1. 准备一些三角形的模型或图片,并将它们分成两组。

2. 让学生观察并比较这两组三角形,找出它们之间的相同之处。

3. 引导学生发现全等三角形的性质,即三边对应相等、三角形对应角度相等。

讲解:1. 通过示意图或板书,向学生介绍全等三角形的符号表示方法,如“≌”或“≡”。

2. 解释全等三角形的定义,即两个三角形的对应边和对应角都相等时,它们是全等的。

3. 强调全等三角形的性质,即全等三角形的对应边和对应角都一一对应相等。

练习:1. 给学生提供一些全等三角形的图形,让他们判断哪些三角形是全等的,哪些不是,并解释理由。

2. 设计一些练习题,让学生应用全等三角形的性质解决问题,如计算未知边长或角度。

拓展:1. 引导学生思考全等三角形的应用场景,如在建筑、工程或地图上的应用。

2. 给学生一些拓展性问题,让他们运用全等三角形的概念解决更复杂的问题。

总结:1. 对学生进行全等三角形的知识点总结,并检查他们的理解程度。

2. 引导学生思考全等三角形对于解决实际问题的重要性。

教案评估:1. 观察学生在探究和练习环节的表现,包括他们的观察力、思考能力和解决问题的能力。

2. 设计一些评估题目,考察学生对全等三角形的理解和应用能力。

教案扩展:1. 对于高年级学生,可以引入更复杂的全等三角形的性质和定理,如SAS、ASA、SSS等。

2. 引导学生进行实际测量,通过测量出的边长和角度来判断三角形是否全等。

教案反思:1. 回顾教案的设计和实施过程,评估学生对全等三角形的掌握程度。

2. 根据学生的反馈和表现,对教案进行调整和改进,以提高教学效果。

全等三角形教案

全等三角形教案

全等三角形教案教案内容:一、教学内容:本节课的教学内容选自人教版小学数学四年级下册第三单元《图形的变化》中的全等三角形。

全等三角形是指在平面内,能够完全重合的两个三角形。

本节课的主要内容有:全等三角形的定义、全等三角形的性质、全等三角形的判定方法。

二、教学目标:1. 让学生了解全等三角形的定义,掌握全等三角形的性质和判定方法。

2. 培养学生观察、思考、交流和合作的能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点:重点:全等三角形的定义、性质和判定方法。

难点:全等三角形的判定方法。

四、教具与学具准备:教具:课件、黑板、粉笔。

学具:三角板、量角器、直尺。

五、教学过程:1. 实践情景引入:教师展示一组三角形,让学生观察并说出它们之间的相同和不同。

2. 概念讲解:教师通过课件展示全等三角形的定义,引导学生理解并掌握全等三角形的概念。

3. 性质讲解:教师通过课件展示全等三角形的性质,引导学生观察、思考并证明全等三角形的性质。

4. 判定方法讲解:教师通过课件展示全等三角形的判定方法,引导学生理解并掌握判定方法。

5. 例题讲解:教师通过课件展示全等三角形的判定方法的应用,引导学生思考并解答。

6. 随堂练习:教师出示随堂练习题,让学生独立完成,检查学生对全等三角形的理解和掌握程度。

7. 课堂小结:8. 课后作业:教师布置课后作业,让学生进一步巩固全等三角形的相关知识。

六、板书设计:全等三角形:1. 定义:能够完全重合的两个三角形。

2. 性质:对应边相等,对应角相等。

3. 判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS。

七、作业设计:1. 判断题:(1)全等三角形的对应边相等。

()(2)全等三角形的对应角相等。

()(3)全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS。

()2. 选择题:(1)两个三角形全等,那么它们的()相等。

A. 对应边B. 对应角C. 对应边和对应角(2)下列哪个条件可以判定两个三角形全等?()A. SSB. SASC. ASAD. AAS3. 解答题:(1)已知:如图,△ABC≌△DEF,AB=DE,AC=DF,BC=EF。

12.2三角形全等的判定-一线三等角全等模型(教案)

12.2三角形全等的判定-一线三等角全等模型(教案)
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调“一线三等角”全等模型的识别和应用,以及SSA判定方法的正确使用。对于难点部分,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与“一线三等角”全等模型相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如使用直尺和量角器来构造满足“一线三等角”条件的三角形,并验证它们的全等关系。
3.能够运用“一线三等角”全等模型解决实际问题,如几何图形的拼接、角度的求解等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力:
1.增强空间观念:通过“一线三等角”全等模型的探究,使学生能够把握图形的空间特征,提高空间想象力和直观感知能力。
2.提升逻辑推理能力:在学习SSA判定方法的过程中,培养学生严谨的逻辑思维,让学生学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
- SSA判定方法的应用:重点讲解在已知一边和两个角(其中一个为非夹角)的情况下,如何判定两个三角形全等,并强调在应用时需要注意角的对应关系。
-实际问题的解决:将全等知识应用于解决实际问题,如测量、建筑、艺术等领域的问题。
举例:在讲解“一线三等角”全等模型时,可以给出以下例题进行强调:
问题:在直线MN上,有∠AMN=∠BPN=∠CQO=90°,AB=BC,证明△ABC全等于△PQN。
其次,实践活动中的分组讨论环节,我发现有些学生参与度不高,可能是由于主题难度较大或者他们对讨论的主题不够感兴趣。针对这个问题,我计划在下次的活动中,提供更多元化的讨论主题,或者引入一些竞争机制,以提高学生的参与度和积极性。
在学生小组讨论环节,我发现很多学生能够提出有见地的观点,但他们的表达和逻辑推理能力还有待提高。在接下来的教学中,我将更加注重培养学生的表达能力和逻辑思维,通过提问和引导,帮助他们更好地组织语言和思考。

常考全等三角形模型教案

常考全等三角形模型教案

常考全等三角形模型教案一、教学目标。

1. 知识与技能:(1)掌握全等三角形的定义和性质;(2)能够运用全等三角形的性质解决相关问题;(3)能够灵活运用全等三角形模型进行证明和计算。

2. 过程与方法:(1)培养学生观察问题、提出问题、解决问题的能力;(2)培养学生分析问题、探索问题、解决问题的能力;(3)培养学生合作探究、独立思考、自主学习的能力。

3. 情感态度与价值观:(1)培养学生的数学思维能力和数学解决问题的兴趣;(2)培养学生的合作意识和团队精神;(3)培养学生的耐心和细心的品质。

二、教学重点与难点。

1. 教学重点:(1)全等三角形的定义和性质;(2)全等三角形模型的运用。

2. 教学难点:(1)全等三角形的性质证明;(2)全等三角形模型的灵活运用。

三、教学过程。

1. 导入新知识。

教师可通过提问或举例的方式,引导学生了解全等三角形的定义和性质,激发学生的学习兴趣。

2. 讲解新知识。

(1)讲解全等三角形的定义和性质,包括全等三角形的判定条件、全等三角形的性质等内容;(2)讲解全等三角形模型的运用,包括利用全等三角形模型解决实际问题、利用全等三角形模型进行证明和计算等内容。

3. 案例分析。

教师可选择一些典型的案例,引导学生利用全等三角形模型进行分析和解决,帮助学生加深对全等三角形模型的理解和运用。

4. 练习与训练。

(1)教师布置一些练习题,让学生利用全等三角形模型进行练习和训练;(2)教师组织学生进行小组合作,让学生在合作中相互交流、相互学习,提高解决问题的能力。

5. 总结与拓展。

教师对本节课的内容进行总结,并对全等三角形模型的拓展进行引导,让学生在课后能够继续深入学习和探究。

四、教学反思。

本节课采用了导入新知识、讲解新知识、案例分析、练习与训练、总结与拓展等教学方法,使学生在实际操作中更好地理解和掌握了全等三角形模型的相关知识。

同时,通过小组合作的方式,培养了学生的合作意识和团队精神。

然而,在教学过程中,也存在一些不足之处,如案例分析的数量和质量有待提高,学生的自主学习能力有待培养等。

全等三角形教案6篇

全等三角形教案6篇

全等三角形教案6篇(实用版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改,请根据实际需要进行调整和使用,谢谢!并且,本店铺为大家提供各种类型的实用资料,如工作总结、工作报告、工作计划、心得体会、讲话致辞、教育教学、书信文档、述职报告、作文大全、其他资料等等,想了解不同资料格式和写法,敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of practical materials for everyone, such as work summaries, work reports, work plans, reflections, speeches, education and teaching, letter documents, job reports, essay summaries, and other materials. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!全等三角形教案6篇我们的教案需要定期更新以反映新的教育趋势,教师编写教案不仅促进了自我管理,还增强了他们的教育专业素养,以下是本店铺精心为您推荐的全等三角形教案6篇,供大家参考。

《全等三角形》教案

《全等三角形》教案

《全等三角形》教案关键信息1、教学目标知识与技能目标过程与方法目标情感态度与价值观目标2、教学重难点重点难点3、教学方法讲授法讨论法练习法4、教学过程导入新课讲授课堂练习课堂小结作业布置5、教学资源教材多媒体课件几何模型11 教学目标111 知识与技能目标学生能够理解全等三角形的概念,掌握全等三角形的性质和判定方法,并能熟练运用这些知识解决简单的几何问题。

112 过程与方法目标通过观察、操作、猜想、推理等活动,培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和创新能力,提高学生的数学素养。

113 情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣,培养学生的合作精神和探索精神,让学生在数学学习中体验成功的喜悦,增强自信心。

12 教学重难点121 重点全等三角形的性质和判定方法。

122 难点全等三角形判定方法的灵活运用。

13 教学方法131 讲授法通过教师的讲解,让学生系统地掌握全等三角形的相关知识。

132 讨论法组织学生进行小组讨论,培养学生的合作交流能力和思维能力。

133 练习法通过课堂练习和课后作业,让学生巩固所学知识,提高解题能力。

14 教学过程141 导入通过展示一些形状相同、大小相等的图形,引导学生观察并思考,引出全等三角形的概念。

142 新课讲授讲解全等三角形的定义、表示方法和性质。

详细介绍全等三角形的判定方法,如“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”等,并通过实例进行演示和证明。

143 课堂练习安排一些基础练习题,让学生巩固全等三角形的性质和判定方法。

给出一些综合性的题目,培养学生的应用能力和解题技巧。

144 课堂小结回顾本节课所学的主要内容,包括全等三角形的概念、性质、判定方法等。

强调重点和难点,解答学生的疑问。

145 作业布置布置适量的书面作业,如课本习题、补充练习题等。

要求学生完成一份关于全等三角形的知识总结。

15 教学资源151 教材选用适合学生年龄和学习水平的数学教材。

152 多媒体课件制作生动形象的多媒体课件,辅助教学。

初中三角形全等公开课教案

初中三角形全等公开课教案

初中三角形全等公开课教案教学目标:1. 知识与技能:理解并掌握三角形全等的概念及性质。

2. 过程与方法:经历观察、操作、测量等探究活动,增强动手能力和解决问题的能力。

3. 情感、态度价值观:感受生活中的数学,体会数学的魅力,从而激发学习数学的兴趣,获得成功的情感体验。

教学重难点:1. 教学重点:三角形全等的概念与性质。

2. 教学难点:三角形全等的性质。

教学过程:一、导入新课1. 图片导入:展示一些生活中的全等图形,如全等的三角形、正方形等。

2. 提问:这些图形有什么特点?它们能够完全重合,形状和大小完全相同。

3. 引导学生思考:为什么我们会说这些图形是全等的呢?二、讲解新知1. 操作观察,得出概念a. 给学生分发纸板,请他们将各自的三角尺按在纸板上,画下图形,并裁下。

b. 提问:照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗?把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?c. 预设:形状大小完全一样,能完全重合。

d. 多媒体上展示用同一张底片冲洗出来的两张尺寸大小一样的照片,请学生观察,放在一起是否也能完全重合。

e. 教师总结全等形和全等三角形的概念。

2. 平移、翻折、旋转,对应关系a. 小组活动:对一个三角形作出平移、翻折、旋转三种变换,然后动手操作进行探究,看看对于变换前后的两个三角形是否全等。

b. 学生汇报探究结果,教师引导学生总结三角形全等的性质。

三、巩固练习1. 让学生独立完成一些关于三角形全等的练习题,巩固所学知识。

2. 教师选取一些学生的作业进行点评,解答学生的疑问。

四、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学的内容,总结三角形全等的概念和性质。

2. 强调三角形全等在实际生活中的应用价值。

五、课后作业1. 请学生总结三角形全等的性质,并写在日记中。

2. 设计一些关于三角形全等的习题,提高学生的解题能力。

教学反思:本节课通过图片导入、操作观察、小组活动等方式,让学生直观地理解了三角形全等的概念和性质。

全等三角形教案

全等三角形教案

全等三角形教案全等三角形教案协议一、关键信息1、教学目标学生能够理解全等三角形的定义和性质。

学生能够掌握全等三角形的判定方法,并能熟练运用。

培养学生的逻辑推理能力和空间想象力。

2、教学重难点重点:全等三角形的判定方法及应用。

难点:全等三角形判定方法的推导和综合运用。

3、教学方法讲授法讨论法练习法4、教学资源多媒体课件三角形模型练习册5、教学评价课堂提问作业批改考试测验二、教学内容1、导入11 通过展示一些形状相同、大小相等的三角形图片,引导学生观察并思考这些三角形的特点。

111 提问学生对这些三角形的看法,引发学生的兴趣。

112 引出全等三角形的概念。

2、全等三角形的定义和性质21 详细讲解全等三角形的定义,即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

211 强调全等三角形的对应边相等、对应角相等这一重要性质。

212 通过实例和图形,让学生理解并能够识别全等三角形的对应边和对应角。

3、全等三角形的判定方法31 “边边边”(SSS)判定方法311 给出三个边分别相等的两个三角形,引导学生观察并思考它们是否全等。

312 进行逻辑推理和证明,得出“边边边”判定方法。

313 让学生通过实际操作,验证“边边边”判定方法的正确性。

32 “边角边”(SAS)判定方法321 展示两边及其夹角分别相等的两个三角形,引导学生探究它们的全等关系。

322 推导并证明“边角边”判定方法。

323 安排练习,让学生运用“边角边”判定方法解决问题。

33 “角边角”(ASA)和“角角边”(AAS)判定方法331 以类似的方式讲解“角边角”和“角角边”判定方法。

332 组织学生进行小组讨论,比较这两种判定方法的异同。

333 通过实例加深学生对这两种判定方法的理解和应用。

34 “斜边、直角边”(HL)判定方法(针对直角三角形)341 介绍直角三角形全等的特殊判定方法“斜边、直角边”。

342 证明该判定方法,并通过练习加以巩固。

4、全等三角形的应用41 解决几何证明题,如证明线段相等、角相等。

第四章三角形-三角形全等几何模型-手拉手型(教案)

第四章三角形-三角形全等几何模型-手拉手型(教案)
第四章三角形-三角形全等几何模型-手拉手型(教案)
一、教学内容
本节课选自教材第四章“三角形”中的“三角形全等几何模型-手拉手型”。教学内容主要包括:
1.掌握手拉手型全等三角形的定义及性质。
2.学会运用SSS(边边边)和SAS(边角边)判定全等三角形。
3.熟悉手拉手型全等三角形在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了手拉手型全等三角形的基本概念、判定方法以及在实际中的应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
-掌握手拉手型全等三角形在实际问题中的应用,如解决土地测量、建筑绘图等问题。
2.教学难点
-难点一:理解手拉手型全等三角形的“手拉手”概念。学生可能难以形象化理解两个全等三角形如何通过一条线段(手拉手)连接,形成特定的几何关系。教师需要通过动态图示或实物模型,帮助学生形成直观的认识。
-难点二:判定全等三角形的条件选择。学生在面对具体问题时,可能难以判断应该使用SSS还是SAS判定全等。教师应提供多个案例,让学生比较不同情况下的判定条件,明确何时使用SSS,何时使用SAS。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调SSS和SAS这两个判定全等三角形的重点。对于难点部分,如手拉手型全等三角形的构造和实际应用,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与手拉手型全等三角形相关的实际问题。

全等三角形教案六篇

全等三角形教案六篇

全等三角形教案六篇全等三角形教案范文1同学的学问技能基础:同学通过前面的学习已经了解了全等三角形的概念,把握了全等三角形的对应边、对应角的关系,这为探究三角形全等的条件做好了学问上的预备。

同学活动阅历基础:同学也具备了利用直尺、量角器作三角形的基本作图力量,这将使同学能够主动参加本节课的操作、探究成为可能。

二、教学任务分析全等三角形是两个三角形间最简洁,最常见的关系,它不仅是学习后面学问的基础,还是证明线段相等、角相等以及两线相互平行、垂直的重要依据。

因此必需娴熟地把握全等三角形的判定方法,并且能够敏捷应用。

《探究三角形全等的条件》共三课时,本节课探究第一种判定方法―边边边,为了使同学更好地把握这一部分内容,遵循启发式教学原则,用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导同学操作、观看、探究、沟通、发觉、思维,真正把同学放到主置,进展同学的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动阅历,为以后的证明打下基础。

为此,本节课的教学目标是:1.学问与技能:经受探究三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,把握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性,在探究的过程中,能够进行有条理的思索并进行简洁的推理。

2.方法与过程:争论、引导教学法。

3.情感、态度、价值观:使同学在自主探究三角形全等的过程中,经受画图、观看、比较、推理、沟通等环节,从而获得正确的学习方式和良好的情感体验,让同学体验数学源于生活,服务于生活的辨证思想。

三、教学设计分析本节课设计了五个教学环节:学问回顾引入新知、创设情境提出问题、建立模型探究发觉、巩固运用及其推广、反思小结布置作业。

第一环节学问回顾引入新知活动内容:回顾全等三角形的定义及其性质。

全等三角形的定义:两个能够重合的三角形称为全等三角形。

全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角相等。

活动目的:回忆前面学习过的学问,为探究新学问作预备。

三角形全等的证明教案

三角形全等的证明教案

三角形全等的证明教案一、教学目标:1. 让学生理解三角形全等的概念,掌握三角形全等的判定条件。

2. 培养学生运用全等三角形的性质解决问题的能力。

3. 通过三角形全等的证明,培养学生的逻辑思维能力和证明能力。

二、教学内容:1. 三角形全等的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2. 三角形全等的判定条件:SSS(三边全等)、SAS(两边及夹角全等)、ASA(两角及夹边全等)、AAS(两角及非夹边全等)。

3. 全等三角形的性质:全等的三角形对应边相等,对应角相等。

三、教学重点与难点:1. 教学重点:三角形全等的判定条件,全等三角形的性质。

2. 教学难点:三角形全等证明方法的灵活运用。

四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究三角形全等的判定条件。

2. 通过实物模型、几何画板等工具,直观展示三角形全等的判定过程。

3. 利用案例分析法,让学生在实际问题中运用全等三角形的性质。

五、教学安排:1. 第1课时:介绍三角形全等的定义及判定条件。

2. 第2课时:讲解全等三角形的性质及应用。

3. 第3课时:三角形全等的证明方法及案例分析。

4. 第4课时:巩固练习,拓展提高。

5. 第5课时:总结全等三角形的证明方法,布置课后作业。

六、教学过程:1. 导入新课:通过复习三角形的基本概念,引入三角形全等的新课。

2. 讲解三角形全等的定义:引导学生理解全等三角形的概念,明确全等三角形的特征。

3. 讲解三角形全等的判定条件:分别讲解SSS、SAS、ASA、AAS 四种判定条件,并通过实例演示判定过程。

4. 讲解全等三角形的性质:引导学生掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。

5. 课堂练习:布置一些简单的三角形全等证明题目,让学生独立完成,巩固所学知识。

七、教学反思:1. 课后总结:教师在课后对自己的教学过程进行反思,总结教学中的优点和不足。

2. 学生反馈:了解学生对三角形全等证明方法的理解程度,收集学生的反馈意见,为下一步教学提供参考。

全等三角形教案

全等三角形教案

全等三角形教案一、教学目标1.知识与技能目标:掌握全等三角形的判定条件、全等三角形的性质和全等三角形的应用。

2.过程与方法目标:培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度目标:培养学生对几何学的兴趣,增强学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点1.掌握全等三角形的判定条件。

2.掌握全等三角形的性质。

三、教学难点1.掌握全等三角形的判定条件的推理过程。

2.掌握全等三角形的性质的推理过程。

四、教学过程设计1.导入(活动1:发现全等条件)教师出示三个等边三角形的剪纸模型,请学生观察并发现其中的规律。

引导学生发现:等边三角形的三边相等。

教师简单地解释:等边三角形的三个边长相等。

确定本课的学习目标:学习全等三角形的判定条件。

2.规范学习(1)概念的引入教师展示两个三角形的剪纸模型,先是发现三角形的一些性质,并将这些性质进行比较。

(2)知识的讲解a.全等三角形的判定条件教师通过例题引导学生总结全等三角形的判定条件:(1)两边和夹角相等;(2)三边相等;(3)两边和对应角相等。

b.全等三角形的性质教师引导学生讨论全等三角形的特点,并总结全等三角形的性质:(1)对应边和对应角相等;(2)对应角的对立面相等;(3)全等三角形的周长和面积相等。

3.拓展学习(1)巩固与提高教师出示一道全等三角形的练习题,请学生自主解答并将解题思路进行讲解。

(2)学以致用教师出示一些应用题,引导学生运用全等三角形的判定条件和性质进行解题,如计算图形的周长、面积等。

5.知识运用与实践(1)巩固练习教师出示几道练习题,请学生分组完成,并进行讲解,加深对全等三角形的理解和巩固所学知识。

(2)拓展练习教师布置一些练习题供学生自主练习,鼓励学生运用全等三角形的知识解决实际问题。

(3)课堂总结教师对本节课的学习内容进行总结,并针对学生提出的问题进行解答。

五、板书设计判定条件:1.两边和夹角相等。

2.三边相等。

3.两边和对应角相等。

性质:1.对应边和对应角相等。

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教学过程一、课堂导入【问题】如图,你能感觉到哪两个三角形全等吗?【思考】△ABD≌△ACE二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角,作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON.移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合.则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线,为什么?请你说明理由.【解答】OP平分∠AOB理由如下:∵OM=ON,PM=PN,OP=OP∴△MOP≌△NOP(SSS)∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠MON(即OP是∠AOB的角平分线)三、知识讲解考点1全等三角形性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等,对应边上的高、中线相等,对应角的平分线相等。

考点2全等三角形的判定:所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS;直角三角形HL四、例题精析【例题1】【题干】如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.求证:AE=BF.【答案】证明:∵正方形ABCD,∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.∵AE⊥BF,∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°,∵∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAG=∠CBF.在△ABE和△BCF中,BAE CBF AB CBABE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.【解析】根据正方形的性质,可得∠ABC与∠C的关系,AB与BC的关系,根据两直线垂直,可得∠AGB的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得∠ABG与∠BAG的关系,根据同角的余角相等,可得∠BAG与∠CBF的关系,根据ASA,可得△ABE≌△BCF,根据全等三角形的性质,可得答案.【例题2】【题干】如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证:AE=CF;(2)求证:AE⊥CF.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC,∵BE⊥BF,∴∠FBE=90°,∵∠ABE+∠EBC=90°,∠CBF+∠EBC=90°,∴∠ABE=∠CBF,在△AEB和△CFB中,AB BCABE CBF BE BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB≌△CFB(SAS),∴AE=CF.(2)延长AE交BC于O,交CF于H,∵△AEB≌△CFB,∴∠BAE=∠BCF,∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AOB=90°,∵∠AOB=∠COH,∴∠BCF+∠COH=90°,∴∠CHO=90°,∴AE⊥CF【解析】(1)利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF.(2)利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明.【例题3】【题干】(2014•顺义区一模)已知:如图1,△MNQ中,MQ≠NQ.(1)请你以MN为一边,在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题:如图2,在四边形ABCD中,∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D.求证:CD=AB.【答案】:(1)如图1,以N 为圆心,以MQ 为半径画圆弧;以M 为圆心,以NQ 为半径画圆弧;两圆弧的交点即为所求.主要根据“SSS”判定三角形的全等.(2)如图3,延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.∵∠ACB+∠CAD=180°,∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC在△EAC和△BAC中,AE CEAC CAEAC BCN=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AECEAC≌△BCA (SAS),∴∠B=∠E,AB=CE∵∠B=∠D,∴∠D=∠E,∴CD=CE,∴CD=AB.【解析】(1)以点N为圆心,以MQ长度为半径画弧,以点M为圆心,以NQ长度为半径画弧,两弧交于一点F,则△MNF为所画三角形.(2)延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.证明△EAC≌△BCA,得:∠B =∠E,AB=CE,根据等量代换可以求得答案.出结论,他的结论应是;∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连DE,BH,两线交于M.求证:(1)BH=DE.(2)BH⊥DE.【答案】证明:(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH,即∠BCH=∠DCE,在△BCH和△DCE中,BC CDBCH DCE CE CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCH≌△DCE(SAS),∴BH=DE;(2)∵△BCH≌△DCE,∴∠CBH=∠CDE,又∵∠CGB=∠MGD,∴∠DMB=∠BCD=90°,∴BH⊥DE.【解析】(1)根据正方形的性质可得BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,然后求出∠BCH=∠DCE,再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE,然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°,再根据垂直的定义证明即可.2.(1)操作发现如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系?并证明你的结论;(2)类比探究如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.【答案】(1)∵在等边△ABC中,AB=AC,∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°在等边△AMN中,AM=AN,∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC,在△ABM和△ACN中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠ABC=∠ACN.(2)∵在等边△ABC中,AB=AC,∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC在等边△AMN中,AM=AN,∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC,∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC,在△ABM和△ACN中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠ABC=∠ACN.【解析】(1)由全等三角形可以判定AB=AC,AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN,即可求得∠ABC=∠ACN;(2)和(1)同理,由全等三角形可以判定AB=AC,AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN,即可求得∠ABC=∠CAN.【巩固】1.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:BD=CE.【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AD=AE,AB=AC,又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,∴∠DAB=∠EAC,∵在△ADB和△AEC中AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE.【解析】求出AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠EAC,根据SAS证出△ADB≌△AEC即可.2.如图,△ABC与△BEF都是等边三角形,D是BC上一点,且CD=BE,求证:∠EDB=∠CAD.【答案】如图,过点D作DG∥AB交AC于G,∵△ABC是等边三角形,∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°,AC=BC,∴△CDG是等边三角形,∴DG=CD=CG,∠AGD=120°,∴BD=AG,∵CD=BE,∴BE=DG,又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=60°,∴∠EBD=∠DGA=120°,【解析】过点D作DG∥AB交AC于G,求出∠EBD=∠AGD=120°,BD=AG,根据SAS证△EBD≌△DGA,根据全等三角形的性质推出即可.【拔高】正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB的中点,连接EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点,连接FG,则EF与FG关系为:;(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FQ,连接EQ,请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,在图3中补全图形,并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系:.【答案】(1)∵点E 、F 分别是边AD 、AB的中点,G 是BC 的中点,∴AE=AF=BF=BG ,在△AEF 和△BFG 中,AE BG A B AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF ≌△BFG (SAS ), ∴EF=FG ,∠AFE=∠BFG=45°,∴EF ⊥FG ,EF=FG ; (2)BF+EQ=BP . 理由:如图2,取BC 的中点G ,连接FG , 则EF ⊥FG ,EF=FG ,∴∠1+∠2=90°,又∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3, 在△FQE 和△FPG 中,13FQ FP EF FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△FQE ≌△FPG (SAS ), ∴QE=PG 且BF=BG ,∵BG+GP=BP ,∴BF+EQ=BP ; (3)如图3所示,BF+BP=EQ .【解析】(1)根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG,然后利用“边角边”证明△AEF和△BFG全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=FG,全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°,再求出∠EFG=90°,然后根据垂直的定义证明即可;(2)取BC的中点G,连接FG,根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等,根据全等三角形对应边相等可得QE=FG,BF=BG,再根据BG+GP=BP等量代换即可得证;(3)根据题意作出图形,然后同(2)的思路求解即可.课程小结1.全等三角形的性质2.全等三角形的判定。

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