中心对称图形讲义

知识点一：旋转

1.

旋转的概念

将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置。

2.旋转的性质

一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

3.画旋转后的图形

利用图形的旋转的性质，可以画出一个图形绕某点按照一定的方向旋转一定角度后的图形。

基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。

考点一：生活中的旋转

例1：下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；

④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

例2：在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了知道原来图形的位置和旋转方向外，还需要知道_______和_______．

例3：小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上（如图所示），则左手手印_______（填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．

考点二：确定图形的旋转角度

例1：如图所示，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△

AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）

A.30°

B.45°

C.90°

D.135°

考点三：确定图形的旋转中心

例1：如图，O为正方形ABCD的边CD的中点，如果正方形CDEF旋转

后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的

点共个。

例2：如图，线段A'B'是线段AB绕着某一点O旋转得到的，点A'与点A为一

对对应点，请找出旋转中心O．

.O

考点四：生活中的数学问题

例1：如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）

A. B. C. D.

考点五：推理说明题

例1：将两块大小相同的含30°角的直角三角尺（∠BAC=∠B′A′C′=30°）按如图①所示的方式放置，固定三角尺A′B′C′，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．

（1）求证：△BCE≌△B′CF；

（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．

考点六：有关旋转的做图题

例1：在方格纸上按下列要求作图（如图①），不用写作法：

（1）做出“小旗子”向右平移6格后的图案；

（2）做出“小旗子”绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案。

考点七：探究性问题

例1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC

绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BD。（1）如图1，直接写

出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加

以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

例2：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；

②AE＝AD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2．其中正确的是( )

A．②④B．①④C．②③D．①③

【误区警示】

误点1 不能抓住图形旋转的基本要素，导致错误

例1：如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图形的阴影部分）绕中心O至少经过次旋转而得到，每一次旋转°

误点2 不能灵活运用图形旋转的性质，导致错误

例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC饶点C按顺时针旋转后得到Δ

EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．

知识点二：中心对称与中心对称图形

1、中心对称的概念

一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对

称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2、中心对称的性质

一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一

切性质。

成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

3、中心对称图形的定义及其性质

把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段

都被对称中心平分。

轴对称图形中心对称图形

图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合图形绕对称中心旋转180°重合

对称点的连线被对称轴垂直平分对称点的连线经过对称中心，且别对称中心平分5、成中心对称图形的画法

例2图

考点一：概念与性质

例1：下列说法中，不正确的是( )

A．关于某一点中心对称的两个图形全等

B．全等的两个图形一定关于某一点成中心对称

C．圆是中心对称图形

D．任何一条线段的两个端点关于这条线段的中点成中心对称

考点二：识别中心对称图形

例1：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B．C．D．

考点三：游戏中的数学问题

例1：已知如图①所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的图②，则旋转的牌是（）

A．B．C．D．

考点四：方案设计题

例1：如图，两个三角形成中心对称，请确定其对称中心．

例2：如图，将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1，请你画出旋转后的△A1B1C1．

例3：如图①，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请你在网

格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图

案，使其满足：

①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；

②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．