如何正确理解函数的概念

如何正确理解函数的概念
1．为学生概括和领悟函数概念搭建“脚手架”
函数概念是中学阶段最难理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表达方式所带来的高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；有许多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性……），是派生数学概念的强大“固着点”；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关；等．其中最根本的还是其高度抽象性．
众所周知，越是基础性的概念，其包摄性就越强，应用范围就越广，学生从这些概念的学习中所领悟到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展将具有根本性的影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事情都有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度很大，需要较长的时间，需要较多的经验积累．“是非经过故知难”，亲身经历过的事情感觉才会深刻．这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织学习内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．为此，教材特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟到函数概念的“本来面目”．其中特别注重典型实例、表格和图象直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导．
（1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生通过模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生用集合与对应语言概括实例的本质而形成“对应说”．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊“对应关系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材希望通过这样的概括路线，引领学生逐步领悟函数的本质．
（2）实例的作用．在实例的选择中，我们特别在意它们的典型性和丰富性，因为我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的“参照物”作用．教材在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段，都借助实例为学生提供思考、探究、交流的机会，以便使学生在具体例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑．
（3）表格、图象的作用．表格、函数图象不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会．例如图象的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y=a x的特性的，看到
y=sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图象是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图象分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．
（4）思想方法的明确和具体指导．从知识分类角度看，“内容所反映的数学思想方法”属“隐性知识”，是人类在认识客观世界中的“数量关系”“空间形式”和“随机性中的规律性”的过程中产生的，
1．为学生概括和领悟函数概念搭建“脚手架”
函数概念是中学阶段最难理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表达方式所带来的高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；有许多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性……），是派生数学概念的强大“固着点”；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关；等．其中最根本的还是其高度抽象性．
众所周知，越是基础性的概念，其包摄性就越强，应用范围就越广，学生从这些概念的学习中所领悟到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展将具有根本性的影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事情都有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度很大，需要较长的时间，需要较多的经验积累．“是非经过故知难”，亲身经历过的事情感觉才会深刻．这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织学习内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．为此，教材特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟到函数概念的“本来面目”．其中特别注重典型实例、表格和图象直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导．
（1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生通过模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生用集合与对应语言概括实例的本质而形成“对应说”．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊“对应关系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材希望通过这样的概括路线，引领学生逐步领悟函数的本质．
（2）实例的作用．在实例的选择中，我们特别在意它们的典型性和丰富性，因为我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的“参照物”作用．教材在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段，都借助实例为学生提供思考、探究、交流的机会，以便使学生在具体例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑．
（3）表格、图象的作用．表格、函数图象不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会．例如图象的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y=a x的特性的，看到
y=sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图象是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图象分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．
（4）思想方法的明确和具体指导．从知识分类角度看，“内容所反映的数学思想方法”属“隐性知识”，是人类在认识客观世界中的“数量关系”“空间形式”和“随机性中的规律性”的过程中产生的，是指导人们研究数、形规律时需要遵循的规则和程序，与人的世界观有紧密联系．因为数学思想方法的这种“隐蔽性”“默会性”及其高层次性，但中学生的认识能力、智慧水平正在发展中，因此数学思想方法
的学习，一方面要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，另一方面还要依靠明确具体的语言指引，这也是加速学生领悟过程的需要．
变化之中保持的“不变性”“规律性”就是性质．函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型．现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到函数中，就是函数值随自变量的增加而增加或减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质，知道了函数性质也就把握了事物的变化规律．
2．加强建立函数模型的活动，深化函数概念理解
前面已经谈到，为了有利于学生理解函数概念，教材采用“归纳式”安排学习内容，使学生在分析、归纳、概括实例共同本质属性的基础上，感悟函数概念及其蕴含的思想方法．在学生初步领悟函数概念，知道了函数是对客观现实数量关系的抽象以后，教材安排了建立实际问题的函数模型的内容，给学生提供建立模型、求解模型，再用模型描述、解释实际问题的学习机会．古人云，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”．在用函数建模的过程中，不但可以使学生更深入地感悟函数，而且还可以使学生形成用函数解决问题的真实体验．对于函数这样抽象程度极高的概念，只有设法使学生卷入其中，强化他们的亲身体验，注重他们的内心感悟，引起他们的心灵共鸣，才能真正转化为学生认识客观规律、解决实际问题的强大武器．。