蝴蝶定理的证明及推广

由于 的系数为 ,则两根 和 之和为 ,即 ，故 。[5]
证法 7如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为
直线 、 的方程可写为 , 。
又设 的坐标为 ，则 分别是二次方程
的一根。 在 轴上的截距为
。
同理, 在 轴上的截距为 。注意到 是方程 的两根, 是方程 的两根，所以 ,从而易得 ,即 。
证法 8如图８,以 为极点， 为极轴建立极坐标系。因 三点共线,令 ,则
[1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州,现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。
[2]指导老师简介:刘东南，祖籍湖南邵阳,现任湖南工业大学讲师。
在2０世纪20年代时,蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆,甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外,如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即Ｍ点不再是中点,能得到坎迪定理、若M、N点是ＡＢ的三等分点,两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
证明;设ＡM =BＭ ＝ ａ, PM = x，QM = y ；∠PM E = ∠QM Ｆ =α，∠PCM = ∠DFM ＝β ；
∠ＣM E ＝ ∠DM F ＝γ,∠QDM ＝ ∠CEM =δ ;
记 △ＰM E， △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 Ｓ１ , S2 , S３ , S4.
则由恒等式S２·S3·S４·S１= 1知M Ｐ·M Esin αMQ·M Fsinα · ＦＱ·FM siｎ (π － β)CP·CM ｓiｎ β ··MCｓin (α+γ）·MＤ sin (α＋γ)·DＱ·DM sｉn δEＰ·ＥＭ sｉn （π － δ )=·DＱ·M P2·EP·MQ２ = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2． ②
(二)猜想 ２ 在蝴蝶定理中， 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) ， 那么, 我们可以猜想,如果在保持 ＯM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2已知直线 AＢ与 ⊙Ｏ相离． OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 ＭC, Ｍ Ｅ分别交 ⊙Ｏ于 C, D和 E, F. 连结ＤE,FＣ并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证： ＰＭ = QM.
得
化简上式后得 。[2]
２ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
证法 ４（Steveｎ给出)如图5,并令
由 ,即
化简得
即 ,从而 。
证法 5令 ,以点 为视点,对 和 分别应用张角定理,有
上述两式相减,得
设 分别为 的中点,由 ，有
于是 ,而 ，知 ,故 。
(二）运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
二蝴蝶定理的证明
（一)运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现,于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
1带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线,同时诞生了各种美妙的思想,蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1如图2,作 ，则垂足 分别为 的中点，且由于
得 共圆； 共圆。
则
又 ， 为 的中点，从而 ,
则 ,于是 。［1]
证法2过 作关于直线 的对称点 ,如图3所示，则
联结 交圆 于 ，则 与 关于 对称，即
。又
故 四点共圆,即
而
由 、 知, ,故 。
证法3如图4,设直线 与 交于点 。对 及截线 ， 及截线 分别应用梅涅劳斯定理，有
，
由上述两式相乘，并注意到
关键词：蝴蝶定理;证明；推广；
一 摘要
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容:圆O中的弦ＰＱ的中点M，过点Ｍ任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PＱ于Ｅ，F,则M为EF之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法,并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在18１5年所给出的证法。至于初等数学的证法,在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它使用的是面积证法。１９８5年，在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
又由割线定理知PC·PＥ = PA·PB = ( x - ａ) ( ｘ ＋ a) = ｘ２－ a２,QＦ·QD = QＢ·QA = ( y - a) ( y ＋ ａ) = y2－ a2.代入 ②式, 得 ( y2－ a２) ｘ2= （ ｘ2- ａ2) y２.即 ａ2x2= a2y2.
由于 a ≠０， x, y > 0,所以 ｘ = ｙ .即 ＰM = ＱM.［3]
即
作 于 ,作 于 。注意到
由 与 可得
将 代入 可得 ,即 。
二 蝴蝶定理的推广和猜想
(一)猜想 1 在蝴蝶定理中， P、 Q分别是 ED、 CＦ和AＢ的交点． 如果 Ｐ、 Ｑ分别是 CＥ、 ＤF和AB延长线的交点，我们猜想， 仍
可能会有 ＰM = ＱM .
推论 １过圆的弦 ＡB的中点M引任意两条弦 ＣＤ与 EＦ, 连结 CE、 ＤF并延长交 ＡB的延长线于 Ｐ、 Q. 求证： PＭ = QM．
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法,以下列出几个例子以供参考。
证法 6(单墫教授给出)如图6,建立直角坐标系，则圆的方程可设为
。直线 的方程为 ，直线 的方程为 。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系,其方程为
令 ，知点 和点 的横坐标满足二次方程 ，
蝴蝶定理的证明及推广
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摘 要
蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻,近两百年来,关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有6０多种,其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。