一元二次方程的复习PPT课件
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一元二次方程复习课件
32 x X 2
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
一元二次方程复习课件
初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
一元二次方程复习 PPT课件 1 人教版
（1） (x10)2 3 ——直接开平方法 （2） 2x26x30 ——配方法
（3） 9x21 0x40 ——公式法 （4） 2x25x0 ——因式分解法
（1）(x10)2 3——直接开平方法
解：(x10)2 3 两边开平方
x10 3
x10 3 或 x103 x1103， x2103
分析：根据方程的解的定义, 如果m是
方程 ax2bxc0(a0)的根就有
am 2bm c0
解：因为a是方程 x23x10的根，
所以 a 2 3 a 1 0 即 a 2 1 3 a
a2 0
a2 1 0
3a 0
即a0
2 a 2 5 a 2 3 2 ( a 2 3 a 1 ) a 4 3
分析：从图中可以看出，四块小试验田的面
积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形
田地的面积。这是本题的相等关系。关键是
如何把两条道路所占的面积表示出来。设道 路的宽为xm，则横向道路面积为32xm 2，纵 向道路面积为20xm 2 ，但两条道路的 面积和并不等于阴影
部分的面积，而是多
了一个宽为xm的小正 方形的面积。所以，
3
3
12＞0
模仿上述方法解答下面问题。
求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x24x3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式 3x2 5x1的
值总大于 2x24x7的值。
解：
（1）2x2+4x+3=2 (x+1)2+1 ∵x不论为何实数，(x+1)2总是非负数 ∴2x2+4x+3>0
（2）(3x2-5x-1) – (2x2-4x-7)
（3） 9x21 0x40 ——公式法 （4） 2x25x0 ——因式分解法
（1）(x10)2 3——直接开平方法
解：(x10)2 3 两边开平方
x10 3
x10 3 或 x103 x1103， x2103
分析：根据方程的解的定义, 如果m是
方程 ax2bxc0(a0)的根就有
am 2bm c0
解：因为a是方程 x23x10的根，
所以 a 2 3 a 1 0 即 a 2 1 3 a
a2 0
a2 1 0
3a 0
即a0
2 a 2 5 a 2 3 2 ( a 2 3 a 1 ) a 4 3
分析：从图中可以看出，四块小试验田的面
积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形
田地的面积。这是本题的相等关系。关键是
如何把两条道路所占的面积表示出来。设道 路的宽为xm，则横向道路面积为32xm 2，纵 向道路面积为20xm 2 ，但两条道路的 面积和并不等于阴影
部分的面积，而是多
了一个宽为xm的小正 方形的面积。所以，
3
3
12＞0
模仿上述方法解答下面问题。
求证：
（1）对于任何实数x，均有：2x24x3＞0；
（2）不论x为何实数，多项式 3x2 5x1的
值总大于 2x24x7的值。
解：
（1）2x2+4x+3=2 (x+1)2+1 ∵x不论为何实数，(x+1)2总是非负数 ∴2x2+4x+3>0
（2）(3x2-5x-1) – (2x2-4x-7)
《一元二次方程》数学PPT课件(10篇)
4-7x2=0
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
一元二次方程 复习课件
1.变形:化已知
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.
方程为一般形式; 2.确定系数:
x b b2 4ac 2a
4 256 4 16 .
25
10
用a,b,c写出各 项系数;
3.计算: b24ac的值;
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+5=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
知识点1：配方
1．已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k＝__6_4_；若x2－2kx＋ 9是完全平方式，则k＝_____±__3____．
2．用适当的数填空： (1)x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2； (2)m2＋__7__m＋449＝(m＋__72__)2； (3)x2－12x＋_1_16__＝(x－__14__)2.
根据平方根的定义，要特别注意： 由于负数没有平方根，
所以，当p<0时，原方程无解。
（1）形如的 x2 p p 0 方程
的解为
x p
（2）形如的 mx n2 p p 0 方
程的解为
pn x
m
因式分解法 (十字相乘法)
因式分解法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
[解析] 每千克盈利与售出千克数的乘积＝每天盈利6000元， 若每千克水果应涨价x元，则可根据题意列出方程求解。
解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得(500－20x)(10 ＋x)＝6000。整理，得 x2－15x＋50＝0。解这个方程，得 x1＝5， x2＝10。要使顾客得到实惠，应取 x＝5。
实际情况. 6.答——完整地写出答案,注意单位.
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解一元二次方程PPT课件
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程：
x 3 2 3x
2
2
解： 原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
x1 x2 0
结论：当 相等的实数根.
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 2 4ac 0
2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
当 b 4ac >0 时，方程有两个不同的根 2 当 b 4ac =0 时，方程有两个相同的根 当 b 2 4ac <0 时，方程无实数根
2
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 . b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 . 4 24 4 2 6 x= = 2 1 = 2. 即 x1 = 2 6 , x2 = 2 6 .
练习:
用公式法解下列方程：
1、x2 +2x =5
2
2
即
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (1) b 4ac 0, 这时 0 4a
即
此时，方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x 2a 2a
完全平方公式？
配方法
我们通过配成完全平方式 （x n） a(a 0) ， 然后直接开平方，得到了一元二次方程的根,这种解 一元二次方程的方法称为配方法
一元二次方程(第一课时)课件
一元二次方程(第一课 时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
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二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
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2020年10月2日
1
.1.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法
③公式法
（(
)2=C C≥0 ）
④配方法
(化方程为一般式）
（二次项系数为1，而一次项系为偶数）
2020年10月2日
2
2.引例：给下列方程选择较简便的方 法
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
4
1、填空：
① x2-3x+1=0
② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2-3x+1=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0
⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ 2x2-5x-3=0
适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0
⑥ 5(m+2)2=8
适合运用因式分解法 ③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2-3x+1=0 ⑨ 2x2-5x-3=0
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10
简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并 整理为一般形式再选取合理的方法。
思考：（1）变方程③为： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
2(x-2)2-5(x-2)-3=0 或 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
再变为： 2(x-2)2+5x-13=0 （能不能用整体思想？）
2(x-2)2+5x-10-3=0
若方一法次”项、系“数因和式常分数解项法都”不等为简0单(a方x法2+，bx若+c不=行0），，再先考化虑为公一式般法式，看
一（边适的当整也式可是考否虑容配易方因法式）分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选
用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法
2020也年较10月简2日单。
5
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6 ⑷ 2x2-x-3=0
（运用配方法） （运用因式分解法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
2020年10月2日
3
例1.选择适当的方法解下列方程：
① (x2)2 9
② t24t 5
③ 9(2m 3)24(2m 5)20
2020年10月2日
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0 ② 2x2+7x-4=0 ③ 4(t+2)2=3 ④ x2+2x-9999=0
2020年10月2日
6
例2. 解方程
① (x+1)(x-1)=2x
② 2(x-2)2ư=2(4m+7)
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有
适合运用公式法 ① x2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 适合运用配方法 ④ x2-4x=2
规② 律公式：法①虽一然般是地万，能当的一，元对二任次何方一程元一二次次项方系程数都为适0用时，（但ax不2+一c=定0），
应是选最用简直单接的开，平因方此法在；解若方常程数时项我为们0首（先a考x2+虑bx能=否0）应，用应“选直用接因开式平分解法；
方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为
一2020年般10月形2日 式再选取合理的方法。
9
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，
但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考
虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简
单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方
法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单
====> 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
2020年10月2日
7
巩固练习：
① (y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3)
② 3t(t+2)=2(t+2) ③ (3-t)2+t2=9 ④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
2020年10月2日
8
小结：
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
1
.1.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法
③公式法
（(
)2=C C≥0 ）
④配方法
(化方程为一般式）
（二次项系数为1，而一次项系为偶数）
2020年10月2日
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2.引例：给下列方程选择较简便的方 法
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
4
1、填空：
① x2-3x+1=0
② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2-3x+1=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0
⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ 2x2-5x-3=0
适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0
⑥ 5(m+2)2=8
适合运用因式分解法 ③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2-3x+1=0 ⑨ 2x2-5x-3=0
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并 整理为一般形式再选取合理的方法。
思考：（1）变方程③为： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
2(x-2)2-5(x-2)-3=0 或 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
再变为： 2(x-2)2+5x-13=0 （能不能用整体思想？）
2(x-2)2+5x-10-3=0
若方一法次”项、系“数因和式常分数解项法都”不等为简0单(a方x法2+，bx若+c不=行0），，再先考化虑为公一式般法式，看
一（边适的当整也式可是考否虑容配易方因法式）分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选
用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法
2020也年较10月简2日单。
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⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6 ⑷ 2x2-x-3=0
（运用配方法） （运用因式分解法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
2020年10月2日
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例1.选择适当的方法解下列方程：
① (x2)2 9
② t24t 5
③ 9(2m 3)24(2m 5)20
2020年10月2日
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0 ② 2x2+7x-4=0 ③ 4(t+2)2=3 ④ x2+2x-9999=0
2020年10月2日
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例2. 解方程
① (x+1)(x-1)=2x
② 2(x-2)2ư=2(4m+7)
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有
适合运用公式法 ① x2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 适合运用配方法 ④ x2-4x=2
规② 律公式：法①虽一然般是地万，能当的一，元对二任次何方一程元一二次次项方系程数都为适0用时，（但ax不2+一c=定0），
应是选最用简直单接的开，平因方此法在；解若方常程数时项我为们0首（先a考x2+虑bx能=否0）应，用应“选直用接因开式平分解法；
方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为
一2020年般10月形2日 式再选取合理的方法。
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ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，
但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考
虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简
单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方
法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单
====> 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
2020年10月2日
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巩固练习：
① (y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3)
② 3t(t+2)=2(t+2) ③ (3-t)2+t2=9 ④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
2020年10月2日
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小结：
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法