2021新高考高三优质数学试题分项汇编《专题8 平面解析几何》(解析版)

专题8 平面解析几何

纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.

预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.

一、单选题

1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物

线C 的焦点的距离是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

【答案】A 【解析】

由点()2,4M 在抛物线2

2y px =上，可得164p =，解得4p =，

即抛物线2

:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-． 所以，点M 到抛物线C 焦点的距离为：()224--=． 故选：A ．

2．（2020·山东高三模拟）已知曲线2

4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切

点分别为,A B ，则直线AB 截圆22

650x y y +-+=所得弦长为（ ）

A

B ．2

C ．4

D ．

【答案】C 【解析】

圆22650x y y +-+=可化为22

(3)4x y +-=.

设22

12

12,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，

则12,l l 的斜率分别为1212,22

x x

k k =

=， 所以12,l l 的方程为()2

1111:24

x x l y x x =-+，即112x y x y =-，

()2

22

22:24

x x l y x x =-+，即222x y x y =-，

由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1

12

232

32

x t y x t y ⎧-=-⎪⎪

⎨

⎪-=-⎪⎩

，

即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32

x

t y -=-上， 所以直线AB 的方程为32

x

t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，

则直线AB 截圆22

650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C.

3．（2020届山东省济宁市高三3

月月考）过点(的直线将圆()2

2325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( ) A

． B

C

．-

D

【答案】D 【解析】

点(为圆内定点，圆心到直线的距离越长，则劣弧所对的圆心角越大，

∴

只有当过点(

的直线与过点(和圆心的直线垂直时，

可以使两段圆弧中的劣弧所对的圆心角最小， 过点()2,3和圆心()3,0的直线斜率为30

3k -=

=- ∴过点(

)

2,3的直线斜率为133

k -=

故选：D

4．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）过点()1,2P 的直线与圆2

2

1x y +=相切，且与直线

10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）

A ．0

B ．43-

C ．0或43

D ．4

3

【答案】C

【解析】当0a =时，直线10ax y +-=，即直线1y =，此时过点()1,2P 且与直线1y =垂直的直线为1x =，而1x =是与圆相交，不满足题意，所以0a =不成立，当0a ≠时，过点()1,2P 且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为

1a ，可设该直线方程为()1

21y x a

-=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，

22111

a a -=+，解得4

3

a =

.故本题正确答案为C. 5．（2020届山东省高考模拟）已知双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆

222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为( )

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

【答案】D 【解析】

根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，

因为123MF MF ，M 在双曲线上，

所以根据双曲线性质可知，1

2

2MF MF a ，即2

2

32MF MF a ，2MF a =，

因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，

因为2MH

OF ，所以22OF MH OM MF ，ab c

MH

，即M 点纵坐标为ab c ，

将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22

2

2

2a b c x b ，解得2b c

x

，2,b ab c

c

M

， 将M 点坐标带入双曲线中可得4

2

22

2

1b a a c c ，

化简得4

422b a a c ，2

22

4

22c a

a a c ，223c a =，3c a

e

，故选D 。

6．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两顶点为1A ，2A ，

虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B ．

35

2

+ C ．

51

2

+ D ．31+

【答案】C 【解析】

由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,B

b ，()20,B b -， ()1,0F

c -，()2,0F c ，