推理和证明的教学

15.4 数学推理与数学证明

15.4.1 数学推理

1、推理

推理是从一个或几个已知的判断作出一新判断的思维形式。

例 1 角平分线上任一点到这个角两边的距离相等,因此,到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。

例2 矩形的对角线平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线平分且相等。 以上两例都是数学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识推出新的知识;二是证明的工具。

2、推理的结构

任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程中所依据的已有判断,它告诉人们已知的知识是什么。推理的前提可以是一个,也可以是几个。例1中有一个前提“角平分线上任一点到这个角两边的距离相等”。例2中有两个前提“矩形的对角线平分且相等”、“正方形是矩形”。结论是根据前提所作出的判断,它告诉人们推出的知识是什么。例1中的结论是“到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上”。例2中的结论是“正方形的对角线平分且相等”。

推理有内容方面的问题,也有形式方面的问题,前者就是前提和结论的真假性,后者就是推理的结构问题。形式逻辑不研究、也不能解决推理内容方面的问题,即不能解决推理的前提和结论的真假性,形式逻辑只研究推理形式。指出哪些推理是正确的,哪些推理是不正确的。因此,逻辑思维对推理的要求是:推理要合乎逻辑。所谓推理合乎逻辑,就是指在进行推理时要合乎推理形式,遵守推理规则。

3、推理的形式

由于划分的标准不同,推理可以分成许多种类。数学中常用的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理。

(1) 演绎推理

又叫演绎法,它是由一般到特殊的推理,也就是由一般原理推出特殊场合知识的思维形式。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理合乎逻辑,得到的结论就一定正确。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。

演绎推理的形式多种多样,数学中运用最普遍的有“三段论”推理,还有联言推理、选言推理和关系推理。

第一,三段论推理,在演绎推理中,由两个前提(大前提、小前提)推出一个结论的思维形式称为三段论推理, 又称三段论法。

大前提是指一般性事物,如已知的公理、定理、定义、性质等,它是反映一般原理的判断。小前提是指有一般性事物特征的特殊事物,它是反映个别对象与大前提有关系的判断。结论是由两个前提推出的判断。

三段论的理论根据是逻辑中被称为公理的一个规律。这个规律是:

如果某一集合M 中的所有元素x 都具有性质F,而x 0是集合M 的一个元素,那么x 0也具有性质F 。符号表示为

)(x xF ∀→)(x F 或)

()(0x F x xF ∀ 对于任何一个属性F 都是正确的。其推理规则为:

)()(0x F x xF ∀

例3 如果用M 表示所有无限不循环小数的集合,F 表示无理数的属性,则M 中的每一个元素x 都具有属性F,即)(x xF ∀为真。又无限不循环小数π是M 中的一个元素,则由推规则可知,F(π)为真,即π是无理数,有

是无理数

数无理数所有无限不循环小数是π 用三段论形式表示为: 所有无限不循环小数都是无理数

是无理数

数是无限不循环小数数ππ 中学数学中一般表示为:

∵所有无限不循环小数都是无理数(大前提),

数π是无限不循环小数(小前提),

∴数π是无理数(结论)。

三段论推理规则实际上还隐含着问题的另一面:如果某一集合M 的所有元素x 都不具有某种属性E,而x 0是M 中的一个元素,那么x 0也不具有属性E 。

(2) 归纳推理

归纳推理又叫归纳法,它是由个别、特殊到一般的推理。根据研究的对象所涉及的范围,归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理。

1）完全归纳推理。是通过对某类事物中每一个对象情况或每一个子类的情况的研究,而概括出关于该类事物的一般性结论的推理、完全归纳推理有两种相似的推理形式:

a 1具有性质F ；

a 2具有性质F;

………………

a n 具有性质F;

({a 1,a 2,…,a n }=A)

A 类事物具有性质F 。

A 1具有性质F;

A 2具有性质F;

………………

A n 具有性质F;

(A 1∪A 2∪…∪A n =A)

A 类事物具有性质F 。

以上两种完全归纳推理形式其实质是一样的,前者是后者的特例,后者是前者的推广。 例4 设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。则

在锐角△ABC 中有⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2-cos 2-cos 2-222222222

在直角△ABC 中有⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2-cos 2-cos 2-222222222

在钝角△ABC 中有⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2-cos 2-cos 2-222222222

({锐角△}U{直角△}U{钝角△}={△}

在任意△ABC 中有⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2-cos 2-cos 2-222222222

以上两例都是完全归纳推理,例12是由个别到一般进行归纳推理的,例13是由特殊到一般进行归纳推理的。

完全归纳推理考查了某类事物的每一个对象或每一个子类的情况,因而由正确的前提必然能得到正确的结论。所以完全归纳推理可以作为数学中严格证明的工具,在数学解题中有着广泛的应用。用完全归纳推理时要注意前提的范围不要重复,也不要遗漏,即前提范围的总和等于结论范围的总和。

2）不完全归纳推理 是通过对某类事物中的一部分对象或一部分子类的考查,而概括出该类事物的一般性结论的推理,不完全归纳推理也有两种推理形式。

a 1具有性质F ；

a 2具有性质F ；

………………

a n 具有性质F;

({a 1,a 2,…,a n }⊂A)

A 类事物具有性质F 。

A 1具有性质F;

A 2具有性质F;

A n 具有性质F;

(A 1∪A 2∪…A n ⊂A)

A 类事物具有性质F 。

例如,由a 3·a 5=a 3+5,a 2·a 4=a 2+4推得a m ·a n =a m+n (m 、n 均为任意的自然数),这就是用的不完

全归纳推理。

不完全归纳推理仅对某类事物中的一部分对象进行考查,因此,前提和结论之间未必有必然的联系。由不完全归纳推理得到的结论,只有或然的性质,结论不一定正确。结论的正确

与否,还需要经过严格的逻辑论证和实践的检验。例如,代数式n 2+n+14,当n=1,2,3,…,39

时,代数式的值都是质数。如果用不完全归纳推理,得出结论“当n 为任意自然数时,代数式n 2+n+41的值都是质数”。那么这个结论就不正确。事实上,当n=40时,n 2+n+41=402+40+41=1681=412是一个合数。

有疑问不完全归纳推理的可靠性虽然,但在科学研究和数学教学中,其积极作用还是很大的。通过不完全的归纳推理得到的猜想,可以启发人们更深入的思考,提供研究问题的线索,帮助人们发现问题和提出问题。例如,歌德巴赫猜想是从“4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,…用不完全归纳推理推测:“任何大于2的偶数都可以表为两个素数的和”。