领会变形体虚功原理和互等定理

F B MP
(b) FSP
F
(c)
1 B
(d) 1 FS M
R
FNP
"实际状态"
FN
"虚拟状态"
A R
A
图6-8 取分离体分别如图6-8(b)、(d)所示。 M P = -FRsinφ M = Rsinφ, 且ds = Rdφ 3.代入式(6-7)计算ΔBy。
By M M P ds 1 EI EI
KP EI ds
在桁架计算中，因只有轴力一项，且每根杆EA、 N 、 NP 、l均 F F 为常数，故式(6-6)可写为 F N FN P F N FN P F N FN P l (6-8) ds ds
KP

EA
EA

EA
对于组合结构，受弯杆件只计弯曲变形的影响，二力杆只 有轴向变形，则式(6-6)可写为 F N FN P l MM P (6-9) KP ds
6-2中C、D两截面的水平线位移ΔCx、ΔDx之和ΔCD=ΔCx+ΔDx表示
C、D两截面在水平方向上的相对线位移，又如 fAB=fA+fB表示A、B两截面的相对转角。无论是绝对位移或相对 位移，今后统称为广义位移，可用Δ表示。
q B
c
C C'
c c cy
C
cx
Dx
D
F
cx
A
A B
B
A
(a)
(b)
(c)

EI
EA
例6-1 试求简支梁在荷载作用下跨中C截面的竖向线位移 ΔCy。EI=常数。见图6-7(a)。 解：1.建立“虚拟状态”。欲求ΔCy则应在C处加一单位集 中力作为虚拟力，见图6-7(b)。 M 2.写出 M 、 P 表达式。 设x坐标如图所示，A为坐标原点。在虚拟状态中，由单 位力引起的内力、反力均在其相应的表示符号上加一横线， AC与CB段内力表达式形式不一样，故“两种状态”中的内力 应分两段写出
§6-2 变形体系的虚功原理
1．虚功和虚功原理 （1）虚功 力在其位移上做功，当力与位移彼此独立无关时，这时的 功称为虚功。 （2）刚体的虚功原理 理论力学中讲过刚体的虚功原理：刚体体系处于平衡的必 要和充分条件是，对于任何虚位移，所有外力所作虚功的总 和为零。 （3）变形体的虚功原理 对于变形体来讲，当给体系一虚位移时，除了外力(荷 载、约束反力等)在虚位移上做虚功外，内力在其相应的变形 上也要做功，这个功称为变形虚功。变形体的虚功原理可表 述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位 移，外力所做虚功总和等于各微段的内力在其变形上所做的 虚功总和。
q 1 (a) A (b) C B
l 2 l 2
A
C B
FA=
ql 2 "实际状态"
FB=
ql 2
FR1= 2
"虚拟状态"
1
FR2= 2
1
图6-7 AC段
M P = ql/2· x/2 x-qx· M = x/2
(0≤x≤l/2) (0≤x≤l/2)
CB段
x-qx· (l/2≤x≤l) M P = ql/2· x/2 (x-l/2) = l/2-x/2 (l/2≤x≤l) M = x/2 -1·
第6章 结构的位移计算
目的要求
1. 领会变形体虚功原理和互等定理。 2. 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 3. 熟练掌握荷载产生的位移计算。 4. 熟练掌握图乘法求位移。 5. 了解温度改变、支座移动引起的位移计算。
§6-1 概 述
1．结构的位移
（1）结构的位移 结构在外因的影响下将产生变形，由于变形使结构上各截面的 位置将发生变化，这种位置的变化称为位移。 （2）位移的分类及表示 位移可分为线位移Δ及角位移f，为计算方便常把线位移分解为
FK K F Ri C i FN du FS ds M d
式中 FR i Ci FR 1C1 FR 2C2 FR 3C3 ; FN 、F S 、M 为单位力
FK 1 引起的内力(在虚拟状态)，上式移项后可得
K F N du F S ds M d F R i C i
B B 1 C 1 C A B 1 1 1 lCB 1 B C 1 lCB
求
求
求
求CB杆转角
图6-6
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
式(6-5)中的du、γds、dφ为“实际状态”中ds微段的变 形，该变形可以由荷载引起或温度变化或支座移动等原因 引起。本节先讨论荷载的影响，其它因素将在后面各节分 述。 当只考虑荷载的影响时，式(6-5)可写为 (a) KP F N du P F S P ds M d P 由材力可知： du FNP ds
0 C
1 2 2 1 2 2
C 1 F
B
N
F (kN)
NP
"虚拟状态"
"虚拟状态"
图6-9
表6-1
杆件 l (m) EA
l 1 ( ) EA m
FNP FN
10 2 2
2 2 2
FNP FN l EA
5ql 4 () 384 EI
计算结果得正值说明ΔCy的方向与虚拟力方向一致， 数据后面一定要注明所求位移的实际方向。 例6-2 求图6-8(a)所示圆弧曲杆B点的竖向线位ΔBy。 EI=常量，不计轴力及曲率的影响。 解：1.建立虚拟状态如图6-8(c)所示。 2.写出M P 、M 表达式。
(a)
(6-5)
由(6-5)式可以看出，欲求“实际状态”的某一位移如 ΔK，则必须在“虚拟状态”加一个相应的单位力，然后利 用虚功原理求出ΔK，故此种计算位移的方法称为单位荷 载法。 F
K K FK=1 K
K'
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C1
C3 C2
FR2 FR3 "实际状态" FR1 "虚拟状态"
图6-5
2. 单位力的作法 具体计算中，欲求的位移可能是角位移、相对线位移、 相对角位移，则对应的虚拟力应分别为一个单位力偶，一对 指向相反的单位力或一对方向相反的力偶(见图6-6)，在桁架 中由于只承受结点集中荷载，当欲求图中BC杆转角时，虚 拟力则是加在BC杆两端结点垂直于杆轴线的一对集中力 1/lBC，它们组成一个单位力偶m = 1/lBC· = 1。 lBC
若用W表示外力虚功，WV表示变形虚功，则上述原理 可写为 W = WV (6-1) 由于力与位移的独立性，为计算方便，常把力状态与位 移状态分开画，在力状态所有的力(荷载与支座反力等)处于 平衡状态，在位移状态中，虚位移可由其它任何原因(如另 一组力系、温度变化、支座移动等)引起，但必须是约束条 件所允许的微小位移。 2．变形虚功的计算 在力状态取微段ds为隔离体，如图6-4(c)所示，在位移状 态对应微段的变形为du、ds、df，当略去二阶微量时，ds 微段的变形虚功为dWV = FNdu+FSγds+Mdf，对于整个 结构则为 WV=Σ∫ dWV=Σ∫ FNdu+Σ∫ FSγds+Σ∫ Mdf (6-2)
3.代入式(6-7)计算ΔCy。
Cy
l l q 2 2 2 2 (lx x )dx l (lx x )(l x)dx 4 EI 0 2
l l ql M P M ds 1 2 ql qx2 x qx2 l x ( x ) dx l ( x )( )dx EI EI 0 2 2 2 2 2 2 2 2
临时联结杆件
图6-3
（3）为超静定结构的计算打基础 在超静定结构的计算中，除考虑平衡条件外，还必须考虑 变形协调条件，因此计算结构的位移是解超静定结构的一个 重要手段。 （4）结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的移。 3．计算位移时的有关假定 （1） 结构的材料服从虎克定理。即应力与应变呈线性关系。 （2） 结构的变形很小，可以认为结构变形前后的几何尺寸 相同，称为弹性小变形问题。 （3） 受弯杆件不考虑轴向变形的影响。 上述假定可使位移计算得到简化，其计算精度可以满足工 程要求。满足上述假定的体系其位移与荷载呈线性关系，称 为线性变形体。若位移与荷载之间不呈线性关系的体系称为 非线性变形体。本书只考虑线性变形体。 4．引起结构产生位移的原因除荷载外，还有温度变化、支 座移动、制造误差、混凝土收缩等因素。
故虚功方程为： W=Σ∫ dWV=Σ∫ FNdu+Σ∫ FSγds+Σ∫ Mdf
(a)
F1 F2 q
(6-3)
M M+dM
(c) FN
B
FR1
A
ds
FN+dFN FS
ds
FS+dFS
FR2
"力状态"
FR3
(b)
(d)
·2
ds
d 2
d 2
A
ds
B
ds ds 2 ds 2
·2
ds
"位移状态"
图6-4
3. 虚功原理的应用 (1) 虚位移原理 给定力状态，虚设位移状态，利用虚功方程来求解力 状态的未知力，称为虚位移原理。 (2) 虚力原理 给定位移状态,虚设力状态，利用虚功方程求解位移状 态中的位移，称为虚力原理。本章将根据这一原理计算 位移。
水平及竖直两个方向，分别用ΔCx(或ΔCH)、ΔCy(或ΔCV)表示，如图61所示。角位移用fC(或θC)表示如图6-2所示。位移的表示符号右下方 有两个脚标，其物理意义为：第一个脚标表示发生位移的截面，第
二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。
位移又可分为绝对位移（如图6-1所示）及相对位移，如图
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
1. 单位荷载法
在利用虚力原理时，由于力状态是虚设的，故将上节所
述力状态改称为“虚拟状态”，位移状态改称为“实际状
态”。为了计算方便，在“虚拟状态”沿欲求“实际状态” 的指定截面位移方向ΔK加一个对应的单位力 FK 1 ，如图
6-5所示。根据(6-1)、(6-3)式可得
EA kFSP P ds ds GA MP d P ds EI
P
(b)
式中FNP、FSP、MP为“实际状态”中荷载引起的微段内力，
E为材料的弹性模量，I、A分别为杆件截面的惯性矩和面 积，G为剪切弹性模量，k为截面上剪应力分布不均匀系 数，它与截面的形状有关。如矩形截面k = 6/5，圆形截面k = 32/27，工字形截面k≈A/Af，Af是腹板的面积。将(b)式 代入(a)式得 F S FS P F N FN P MM P KP ds k ds ds(6-6) EI GA EA 在计算梁和刚架时，因剪切及轴向变形的影响比弯曲变形 小得多，可以略去不计，故式(6-6)可简化为 (6-7) MM P
图6-1
图6-2
l
2．计算结构位移的目的 （1）验算结构的刚度 结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使 用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要 求。 （2）结构在施工过程中需要计算位移 结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，而 这种变形与结构正常使用时完全不同。如图6-3为悬臂拼装架梁 的示意图。在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施 工时悬臂端B处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控 制因素之一。
(a)
-10 2 A 10 C 2m 2m 2m 2m F
"实际状态"
N
F N FN P l =6.67×10-4rad(下面角度增大) ， CD杆与CE杆 EA
10kN -10 0 E
2m
10kN D
(b)
2 2 A B
D 2 2
-1
E
(c)
0 A
1 2 2
D
1 2 2
1 2
1 2 2
E
1 2
3


2 0
FR 3 R sin FR sin Rd EI



2 0
sin 2 d
FR 1 1 FR3 1 2 sin 2 2 2 EI 2 4 0 EI

FR 3
4 EI

例6-3 计算图6-9(a)所示桁架下弦C结点的竖向线位移 ΔCy、CD及CE两杆的相对角位移φC。各EA=3×104kN。 解: 由于桁架的杆件较多，一般多采用表格形式进行计 算。本题两种状态内力均为正对称，故表6-1中只列出一半 杆件内力。由式(6-8)得 ΔCy = F N FN P l =2×(9.43+6.67)×10-4+13.33×10-4 EA = 45.53×10-4m = 45.53×10-2cm(↓) φC = 夹角减小。