虚功原理

三、单位荷载法
P1
t1
P2 t2
K
ΔKH
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向 加上相应的广义单位力P=1. 一个体系，两种状态
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1
实际位移状态 虚拟力状态
W = 1D R1c1 R2c2
虚功
一般可写为： W = D Rc
V = M d FN du FQ dv
例如：
W12=P1· 2 △
§4—２变形体系的虚功原理和单位荷载法
一、虚应变能
当结构的力状态的外力因结构的位移状态 的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以 v表示。
力状态
位移状态
力状态
位移状态
微段上的虚应变能表示为
dV = FN1du2 FQ1dv2 M1d2
作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。 三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。 四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？
§4—1 结构位移和虚功的概念
§4—2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4—3 静定结构由荷载引起的位移 §4—4 图乘法
A
相对位移
△CD= △C+ △D
线位移
角位移
3.
计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打
△ 起拱高度
a）荷载作用； 4、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
2
下基础。

β Δ 不产生内力和变形 产生刚体移动
t t B β ΔB Δ B m P
Δ
B
5）两种情况的功 广义力是等值、反 向的一对力F
W = F D A F DB = F (D A DB )
桁架结构，在C、D上 作用与杆垂直的等值反 向的两个力F
DC D D W = F D C F D D = F (D C D D ) = F d
力所作的变形虚功总和。即：
W=Ｖ
称为虚功方程，式中：
W ——外力虚功 Ｖ ——内力虚功（虚应变能）
对于杆件结构虚功原理
对于直杆构成的结构
杆件的虚功方程
虚功原理的两种用法
1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。
3）若广义力是等值、反向的一对力P P A P W=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ ΔA 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 m 表示AB两点间距的改变，即AB两 m A 点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m W=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ A 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。
虚 应 变 能
P=1
M \ FQ \ FN
虚拟力状态 1
R2
R1
D Rc = Md FN du FQ dv
D = M d FN du FQ dv Rc
P1
t1 t2
P2
K
ΔKH
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1 P=1
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原 理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然 后讨论静定结构的位移计算。
二、功和虚功 （一）、功的概念 定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作 用点沿力作用线方向的分位移的乘积。
Ｗ=F△
△是力作用线方向的分位移
（二）、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F； 与位移相应的因子，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是虚功。即：W=FΔ 1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。
D DD ED ' = C EC ' d
M = Fd
W = M
广义力为力偶M，广义 位移为CD杆的转角φ
（三）、实功与虚功 力在本身引起的位移上作的功。 实功： 例如：一个体系 W=
力在其它 虚功： 因素引起的位移上作的 的两种彼此无关的状态。
位移状态 力状态
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
（1） FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的 原因；虚设单位荷载引起的内力是 M \ FN \ FQ （2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位 移的影响。
荷载作用下的位移计算
（3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
Δ= MM P dx EI
FN FQ M
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
例4—1 ：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP须分段写 MP（x1）=Px/2 0≤x1≤l/2 MP（x2）=P（l－x）/2 l/2 ≤x2≤l
A
P EI
B
x1
l/2
x2 l/2
M (x) =－x l
l
0≤x≤l
m=1
M P dx B = M 0 EI l x Px l x P (l x ) dx =－ 2 dx － l l 2 EI 0 l 2 EI 2 Pl 2 =－ 16 EI
()
例 4—3 求图示桁架下弦 5的挠度。设各杆的截面面 积 A = 0.12m 0.12m = 0.014m2， E = 850 107 P 。 a 解：虚拟状态如图b所示。 实际状态和虚拟状态所产 生的杆件内力均列在表中， 根据公式： 可得所示结点5的挠度为
(125 5 260) KN m D5V = 850 104 KN / m2 0.0144m2 = 0.0044m = 0.44cm()
实际位移状态
虚设力状态
作业： 第77页 4-1（a）、（b）、4-2
休息一下
杆件结构位移计算的一般公式 通过虚设单位广义力作用的力 状态，利用虚功方程求位移的方 法—单位荷载法。 注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。
M FQ FN k = d w 2 d x κγε
不产生内力， 产生变形产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
b =
D l
5.线性变形体系
计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比 σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4） 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。 即：线弹性体系。可用叠加原理。
l 1/l
1/l
求AB两截面 的相对转角
求AB两点 连线的转角
§4—3荷载作用下的位移计算
D = M d FN du FQ dv Rc
FN FQ M
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
MP d = k dx = dx EI F du = dx = NP dx EA kFQP dv = dx = dx GA
k=
（4）桁架
每一杆的内力及 截面都沿杆长不变
MP EI F = NP EA kFQP = GA
真实位 移状态
D =
FN FNP F F l dx = N NP EA EA
在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲 率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计 算则是近似的。
§4—5 互等定理
§4—1 结构位移和虚功的概念
一、结构位移 1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 △Ay △Ax
□
P A
△A
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移： 绝对位移
A
(△A)
△Ay △Ax C A △C C′ P △D D′ D B
注：EI、EA、GA 是杆件截面抗弯、拉、 剪刚度； k是截面形状系 数k矩=1.2， k圆 =10/9。
k=
MP EI F = NP 真实位 EA 移状态 kF = QP GA
k FQ FQP FN FNP MM P 注意到 D = dx dx dx 无支座移动 EI EA GA
例 4—2 求图示刚架A点 的 竖 向位移△Ay。E、A、 I为常数。 1. 解： 设置虚拟状态 选取坐标如图。
则各杆弯矩方程为:
AB段：
x,
BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
M P=
3Hale Waihona Puke Baidu 代入公式得
△Ay=
2 qx2 dx qL dx = (-x)(- 2 ) + (-L)(- 2 ) EI EI
M \ FQ \ FN
虚拟力状态 1
R2
R1
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设 置相应的虚拟力状态。
例如:
广义力与 广义位移
A B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
P=1
求A点的 水平位移
m=1
求A截面 的转角
m=1
m=1 P=1 求AB两点 的相对位移
P=1
V = FN 1du2 FQ1dv2 M 1d 2
对于直杆构成的结构 V = FN 1 2 dx FQ1 2 dx M 1k 2 dx 单个杆 件的应 变能
二、变形体的虚功原理
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚
位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内