虚功原理
虚功原理ppt
i 1
i 1
i 1
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
n
r Fi
rri
0
i 1
-
虚功原理的另一种表述
受有理想约束的力学体系平衡的充要 条件是：力学体系的诸主动力在任意虚位 移中所做的元功之和等于零，也叫虚位移 原理。
-
虚功原理的分量表达式
nu u ru r n W F i.r i(F ixx i F iy y i F iz z i) 0
-
1 基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 rr。
-
关于虚位移的说明 • rr 称为 rr 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
-
• 虚位移与可能位移
✓ 稳定约束下实位移是许多虚位移中一个 ✓ 不稳定约束下实位移一般不是虚位移中一个
q r r ti
s
t
r ri
1 q
q
i1, 2, L , n
-
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何 虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
3n
Rixi 0
i1
n R rirri 0
i1
-
几种典型的理想约束
• 质点沿光滑的曲面运动； • 质量可忽略的刚性杆所连接的两个质点； • 两个刚体以光滑的表面接触； • 两个物体以完全粗糙的表面接触（无滑动）； • 两个质点以柔软的且不可伸长的绳子相连接。
P 1 ( l 2 1 c o ) P 2 s ( l 1 c o l 2 2 s c o ) F s ( l 1 s i n l 2 s i) n 0
虚功原理
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
∑
n
i =1
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri =
1
基本概念
（1）虚位移 ）
想象中可能发生的无限小的位移， 想象中可能发生的无限小的位移，而 不是实际发生的。 不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束， 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有
r 改变（δt =0）， 表示为 δ r ） 。
关于虚位移的说明 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统， 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 则该体系静力平衡条件为： 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
∑
n
i=1
uu r u r F i .δ r i = 0
虚功原理的证明
充分性
设作用于质点系所有主动力中所做虚功之和为 0， ， 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 证明该质点系处于静力平衡。用反证法。 设质点系在所有力作用下不平衡，则其中某些质点 设质点系在所有力作用下不平衡， 将从静止进入运动状态，于是对质点系内任意质点上有 将从静止进入运动状态，
10δr1 − RDδrD + 8δr2 = 0
如何求虚位移间的关系 由几何关系
虚功原理的内容及应用条件
虚功原理的内容及应用条件1. 虚功原理的概念虚功原理是力学中的基本原理之一，它根据体系处于平衡状态时的平衡条件，从而推导出力学中的一些重要定理。
根据虚功原理，一个约束系统在平衡位置上的任意虚位移所做的虚功等于零。
虚功原理是可以应用在各个领域的一个重要原理，包括物理学、工程学等。
2. 虚功原理的条件虚功原理适用于满足以下条件的体系： - 约束体系：虚功原理主要应用于约束体系，即约束在某些条件下运动的物体体系。
- 平衡位置：虚功原理适用于约束体系处于某个平衡位置的情况。
- 虚位移：虚功原理建立在虚位移的基础上，即物体在平衡位置上的任意虚位移。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：3.1 静力学应用在静力学中，虚功原理可以应用于分析力的平衡和支持结构的设计等问题。
通过建立平衡方程和应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件和约束反力等。
3.2 动力学应用在动力学中，虚功原理可以用于分析非平衡状态下的物体运动。
通过应用虚功原理，可以推导出物体受力和加速度之间的关系，并得到物体的运动方程。
3.3 物体变形分析虚功原理还可以应用于物体的变形分析。
通过对物体进行虚位移，利用虚功原理和弹性力学理论，可以计算物体在受力作用下的变形情况。
3.4 热力学应用在热力学中，虚功原理可以应用于分析热力学平衡和传热等问题。
通过应用虚功原理，可以推导出热平衡条件和传热方程等。
3.5 其他应用领域除了上述应用领域外，虚功原理还可以应用于弹性体的弹性力学分析、流体力学中的动量守恒和能量守恒等问题。
4. 总结虚功原理是力学中的一个重要原理，它可以应用于各个领域的问题。
虚功原理适用于约束体系处于平衡位置的情况，并建立在虚位移的基础上。
通过应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件、力学关系和变形情况等。
虚功原理的应用广泛，包括静力学、动力学、热力学等领域。
了解虚功原理的内容及应用条件，对于深入理解力学和应用力学原理具有重要意义。
虚功原理(微分形式的变分原理)
代入虚功原理中, 代入虚功原理中,有
∂V ∑ ∂q δqα = 0 α =1 α
s
即, δV = 0
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）
三、虚功原理的应用
例题3 如图所示, 匀质杆OA, 质量为 1, 长为 1, 能在 质量为m 长为l 例题 如图所示 匀质杆 转动, 竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动 此杆的 A端 转动 端 用光滑铰链与另一根质量为m 长为 长为l 用光滑铰链与另一根质量为 2,长为 2的匀质杆 AB r 相连. 求处于静平衡时, 相连 在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时 两 端有一水平作用力 求处于静平衡时 F 杆与铅垂线的夹角ϕ1和 ϕ2. 1、判断约束类型 、 x O 是否完整约束?是否理想约束 是否理想约束? 是否完整约束 是否理想约束 ϕ 1 l1 2、判断自由度 、 l2 A A 、 B 两点的位置，4个变量 两点的位置，
q1 = ϕ1 , q2 = ϕ 2
r r r r ∂r3 r ∂r1 r ∂r2 +F⋅ Q1 = m1 g ⋅ + m2 g ⋅ l1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y1 = 2 cos ϕ1 ∂x ∂y ∂y = m1 g 1 + m2 g 2 + F 3 l2 ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1 y 2 = l1 cos ϕ1 + cos ϕ 2 2 1 = − m1 gl1 sin ϕ1 − m2 gl1 sin ϕ1 + Fl1 cos ϕ1 x3 = l1 sin ϕ1 + l 2 sin ϕ 2 2 =0
广义平衡方程
虚功原理（微分形式的变分原理） §7-3 虚功原理（微分形式的变分原理） 所满足的方程: 可求出系统处于静平衡时ϕ1，ϕ2所满足的方程
虚功原理资料
虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。
虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。
1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。
这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。
2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。
通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。
3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。
在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。
4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。
类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。
5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。
通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。
在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。
结构力学-虚功原理
G
H
20kN
FQC
1
R
1 FQC .1 + −10 × = 0 2 10kN
FQC
20kN
L FQF
R
FQF
10kN
L
运动前后两杆平行
1 1 FQF .1 + 10 × = 0 2 professor Pan. All rights reserved. 广西工学院《结构力学》 课件. 广西工学院《结构力学》 课件 Copyright (c) 2012 by
M
FQC
1 a+b
机构如何 运动？
1
b a+b
a a+b
虚位移放大说明
1 a+b
1
b a+b
a a+b
运动前后，截面左右杆段无相对转动——需平行
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M 例2 求C截 面弯矩 和剪力 A a M M FQC C b
b a+b
B
1 a+b
1
a a+b
1 1 FQC .1 + M . = 0 ⇒ FQC = − M a+b a+b
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虚功原理概念
虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。
该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。
虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。
这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。
因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。
虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。
在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。
在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。
虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。
2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。
3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。
4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。
总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。
通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。
Chap5 5.2
二.理想约束
质点上的所有约束反力的虚功之和为零，
该约束称为理想约束。 条件：
i 1
n
Ri r 0 i
三.虚功原理
W
i
Fi ri 0
(F
i
ix
xi Fiyyi Fizz i ) 0
25
用广义坐标表示的虚功原理：
W
广义力：
Q q0
14
x1
1 2
l1 s in , x 2 l1 s in
1 2
l 2 s in ,
y 3 l1 c o s l 2 c o s
（与广义坐标联系起来）
x1
1 2
l1 co s , 1 2 l 2 co s ,
i 1
1
Q q
1
s
0
Q 0
n r xi yi zi i Q Fi ( Fix Fiy Fiz ) q q q q i 1 i 1
n
12
例. P.206
O
y
( x1 , y 1 )
A
P1
B ( x3 , y3 )
2
W F r mgy D 0
i
(c l / 2) cos 2r sin 0
2
l
4(c 2r )
2 2
c
18
四、拉格朗日未定乘数与约束力 虚功原理:
(F
i
ix
x i Fiy y i Fiz z i ) 0
因为 x i , y i , z i 不完全独立，所以不能由 虚功原理得出诸分力全为零的结论。 假定有k个约束条件：
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理是指在静力学分析中，结构平衡的条件可以通过能量守恒原理来表示。
根据虚功原理，结构在任何形变状态下，受力系统所作的虚功等于外界对结构所做的虚功。
虚功是指由于结构内部力引起的位移所做的功。
根据虚功原理，结构的平衡可以通过计算结构内部力引起的位移所做的功来判断。
具体而言，可以通过计算结构每个构件上的受力与位移的乘积，然后将它们求和，得到结构内部力所作的总虚功。
如果结构处于平衡状态，则结构受力与位移之积的总和为零。
虚功原理的应用非常广泛。
它可以用于计算结构的位移、应力、应变等重要参数。
例如，在弹性力学中，可以利用虚功原理求解结构的位移和应力分布。
在塑性力学中，虚功原理可以用来分析结构在超过弹性极限后的变形情况。
此外，虚功原理还可以用于分析非线性和非弹性结构的行为。
通过应用虚功原理，可以对结构进行静态分析和设计。
静态分析可以确定结构在受力条件下的平衡状态，进而计算各个构件的受力和位移。
静态设计可以根据结构的受力和位移要求，确定结构的尺寸和材料，以满足结构的强度和刚度要求。
总之，结构力学虚功原理为结构分析和设计提供了重要的理论基础。
通过虚功原理，可以建立结构平衡的数学模型，计算结构的位移、应力和应变等关键参数，为工程实践提供了可靠的理论支持和设计方法。
虚功原理 有限元
虚功原理有限元虚功原理是力学中的一个基本原理，它是运用能量守恒原理和虚位移原理进行问题求解的一种方法。
虚功原理的应用十分广泛，特别是在有限元方法中，它是解答复杂结构力学问题的一种常用手段。
虚功原理的基本原理是：在刚体或弹性体的力学问题中，力系对于结构的作用机理可以使用能量方法来描述，即外力对物体所做的功等于内力弹性势能的变化。
在有限元方法中，虚功原理的应用可以被概括为以下几个步骤：1. 确定系统的弹性势能表达式：根据材料力学性质和结构几何形状，建立并表达出结构的弹性势能。
2. 设定虚位移场：在结构的静力平衡方程中，引入一组满足边界条件的虚位移场，并将结构的位移表示为真实位移与虚位移的叠加。
虚位移场是一个理想化的假设，它用于引导计算的进行。
3. 计算虚功：将虚位移场代入弹性势能表达式中，得到每个单元的虚功。
4. 构造系统的刚度方程：根据虚功原理，对每一个虚位移方向进行变分，得到相应的虚功。
将这些虚功累加起来，并考虑结构边界条件和约束条件，得到整个系统的刚度方程。
5. 解刚度方程：使用适当的数值方法（如矩阵求解方法）求解刚度方程组，得到结构的位移响应。
6. 计算应力和应变分布：利用位移响应，通过一定的插值方法，计算出结构各点的应力和应变分布。
有限元方法利用虚功原理的优点在于，它可以解决复杂结构的力学问题，并且可以处理非线性材料、大变形和大变位等情况。
虚功原理的运用使得有限元方法成为求解工程结构问题的一种强大工具。
需要注意的是，在使用虚功原理时，应注意选择合适的虚位移场，并保证其满足结构的边界条件和约束条件；同时，还需要进行适当的数值技巧处理，如选择合适的数值积分方法和数值求解方法，以提高计算的精确性和效率。
总结来说，虚功原理是有限元方法求解问题的基础，它通过能量守恒原理和虚位移原理，将原问题转化为求解刚度方程的问题，从而得到结构的位移响应和应力应变分布。
虚功原理在结构力学中的应用是十分重要和广泛的，它为工程问题的解答提供了有效的途径。
动力学分析中的虚功原理和实功原理
动力学分析中的虚功原理和实功原理动力学是物理学中研究物体运动规律的一个重要分支。
在动力学分析中，虚功原理和实功原理是两个基本概念，它们在解决力学问题中起着重要的作用。
本文将探讨虚功原理和实功原理的定义、应用以及它们之间的关系。
一、虚功原理虚功原理是指在力学系统中，虚位移所做的功为零。
虚功原理是通过对力学系统的平衡条件进行推导得到的。
在虚功原理中，虚位移是指系统中各个质点发生的微小位移，该位移并不是真实的物体运动，而是为了推导问题方便而引入的。
虚功原理的应用广泛，特别是在静力学和弹性力学问题中。
例如，当我们研究一个物体受力平衡时，可以通过虚功原理来推导出物体所受的各个力的关系。
虚功原理还可以用于分析弹性体的变形和应力分布等问题。
二、实功原理实功原理是指在力学系统中，实位移所做的功等于外力对系统所做的功。
实功原理是基于能量守恒的原理推导出来的。
在实功原理中，实位移是指物体真实的位移，是由外力所引起的。
实功原理的应用也非常广泛。
例如，当我们研究一个物体在重力作用下的运动时，可以通过实功原理来计算物体所做的功。
实功原理还可以用于分析机械能的转化和损失等问题。
三、虚功原理与实功原理的关系虚功原理和实功原理在物理学中是相辅相成的。
虚功原理通过平衡条件来推导力学问题，而实功原理通过能量守恒来解决力学问题。
虚功原理和实功原理之间的关系可以通过以下几个方面来说明：1. 虚功原理是实功原理的基础。
虚功原理是通过对力学系统的平衡条件进行推导得到的，而实功原理是基于能量守恒的原理推导出来的。
虚功原理提供了实功原理所需要的平衡条件。
2. 虚功原理和实功原理可以相互验证。
在解决力学问题时，可以通过虚功原理和实功原理相互验证结果的正确性。
如果虚功原理和实功原理得到的结果相符，那么我们可以认为所得到的结论是正确的。
3. 虚功原理和实功原理可以相互补充。
在一些复杂的力学问题中，虚功原理和实功原理可以相互补充，帮助我们更好地理解和解决问题。
第二节虚功原理
n
m
× a m • ζ cos ϕ t = 0
桁架杆件在轴向荷载作用下虚功原理的推导
qx ( x)
i j
∂N + qx ( x) = 0 ∂x
qx ( x)
N ( x)
N ( x + ∆x )
∆x
x
∂u = ε ( x) ∂x
桁杆的虚位移原理
∂N ∫ δu( x )( ∂x + q x ( x ))dx = 0 0
n n virtul _ work = ∑ P m • δ η + ∑ P m × a m • δ ζ m =1 m =1 virtul _ work = 0
m =1
∑P
n
m
• δ η cos ϕ t +
n
m =1
∑P
n
m
× a m • δ ζ cos ϕ t = 0
n
m =1
∑P
m
=0
m =1
∑P
m
× am = 0
n n virtul _ work = ∑ δ P m • η + ∑ δ P m × a m • ζ = 0 m =1 m =1
m =1
∑δ P
n
m
• η cos ϕ t +
m =1
∑δ P
W = P∆
通常将上述状态图形分画在两个图中，称为力状态和位移状态。 通常将上述状态图形分画在两个图中，称为力状态和位移状态。
三、虚功原理 Ⅰ.虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于符合变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变 形体系上所有外力所做的虚功总和W，等于变形体系各微 段截面上的内力在其虚变形上所做的虚功U。即外力虚功 等于变形虚功（或称虚应变能）。
力学中的虚功原理
力学中的虚功原理力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学的研究中，虚功原理是一个基本概念，它在解决力学问题时起着重要的作用。
本文将介绍力学中的虚功原理，并探讨其应用。
1. 虚功的概念和定义虚功是力学中的一个重要概念，它用于描述一个力对物体的作用所做的功，但物体实际上并未发生位移。
虚功可以通过以下公式计算：虚功 = 力 ×虚位移其中，力是作用在物体上的力，虚位移是物体在力的作用下所产生的虚拟位移。
虚位移是一个想象出来的位移，用于计算力对物体的作用所做的功。
虚功是一个标量，它的单位是焦耳（J）。
2. 虚功原理的表述虚功原理是力学中的一个基本原理，它描述了一个力对物体的作用所做的虚功等于零。
换句话说，当物体处于平衡状态时，力对物体的作用所做的虚功总和等于零。
虚功原理可以通过以下公式表述：Σ虚功 = 0其中，Σ虚功表示所有力对物体的作用所做的虚功的总和。
根据虚功原理，当物体处于平衡状态时，所有作用在物体上的力对物体所做的虚功总和为零。
3. 虚功原理的应用虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：3.1 弹簧的伸缩虚功原理可以用于分析弹簧的伸缩问题。
当一个物体施加一个力使弹簧伸长或缩短时，虚功原理可以帮助我们计算弹簧对物体所做的虚功。
根据虚功原理，弹簧对物体所做的虚功等于零，即力与虚位移的乘积为零。
通过这个原理，我们可以求解弹簧的伸长或缩短距离。
3.2 斜面上的物体虚功原理还可以应用于斜面上的物体。
当一个物体沿着斜面上升或下降时，虚功原理可以帮助我们计算斜面对物体所做的虚功。
根据虚功原理，斜面对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在斜面上的运动状态。
3.3 摩擦力的分析虚功原理还可以用于分析摩擦力的作用。
当一个物体在受到摩擦力的作用下运动时，虚功原理可以帮助我们计算摩擦力对物体所做的虚功。
根据虚功原理，摩擦力对物体所做的虚功等于零。
通过这个原理，我们可以求解物体在摩擦力作用下的运动状态。
11.4 变形体的虚功原理[6页]
![11.4 变形体的虚功原理[6页]](https://img.taocdn.com/s3/m/121d3d52bf23482fb4daa58da0116c175f0e1e9f.png)
2. 虚位移原理
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ 1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1 F yA
c1 (
b) a
b a
c1 ( )与单位力方向相同。
注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方 程，可用于求解几何问题。
3. 虚力原理
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所 建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出 位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称 为余虚功原理)。
例：当A支座向上移动一个 A'
c1
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
11.4 变形体的虚功原理
1. 虚功原理：
设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变 形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位 移时，则外力系在位移上做的虚功的总和δWe，等于 变形体的内力在变形上做的虚功的总和δWi，即，
δWe δWi
——此即为虚功方程。
需注意：
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
schapery 虚功原理
虚功原理是弹性力学中的一个重要原理，它描述了弹性体在力的作用下，其内部各部分之间的相互作用关系。
这个原理在工程领域中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计方面。
虚功原理的基本思想是：对于一个弹性体，如果作用在它上面的外力是保守力，那么这个弹性体在某个方向上的变形和相应的外力在该方向上的功是相等的。
也就是说，对于一个弹性体，其内部各部分之间的相互作用力和变形之间的关系可以用虚功原理来描述。
虚功原理的数学表达式为：W = W'其中，W表示外力在某个方向上的功，W'表示相应的变形在该方向上的功。
这个公式表明，对于一个弹性体，其内部各部分之间的相互作用力和变形之间的关系是等价的，可以用虚功原理来描述。
虚功原理的物理意义是：如果一个弹性体受到一组外力的作用，那么这组外力在该弹性体的变形过程中所做的功和相应的变形所做的功是相等的。
也就是说，这组外力和变形之间存在着一种等效关系。
虚功原理的应用非常广泛，特别是在结构分析和设计方面。
例如，在桥梁、建筑、机械等领域中，需要对结构进行静力学分析、动力学分析、稳定性分析等。
在这些分析中，虚功原理可以用来描述结构内部各部分之间的相互作用力和变形之间的关系，从而得到结构在不同条件下的响应和性能。
此外，虚功原理还可以用来解决一些工程问题。
例如，在桥梁设计中，需要考虑桥梁在不同荷载条件下的变形和应力分布。
通过应用虚功原理，可以建立桥梁的力学模型，并对其进行数值模拟和分析，从而得到桥梁在不同荷载条件下的响应和性能。
总之，虚功原理是弹性力学中的一个重要原理，它描述了弹性体在力的作用下，其内部各部分之间的相互作用关系。
这个原理在工程领域中有着广泛的应用，特别是在结构分析和设计方面。
通过应用虚功原理，可以建立结构的力学模型，并对其进行数值模拟和分析，从而得到结构在不同条件下的响应和性能。
虚功原理的理解
材料力学虚功原理的理解：
整个体系运用虚位移原理：
::e i e i W W W W +=外力对体系虚位移所作的虚功内力对体系虚位移所作的虚功
e W 即为虚功原理方程左边式
i W 想通过积分获得：
取微段分析，内力转化为所谓的“外力”，对微段运用虚位移原理，微段虚位移可分为刚体虚位移和变形虚位移，“外力”对微段的虚位移所做的虚功仅有对变形虚位移所作的功（另一项可运用刚体的虚位移定理得为0），0e i W W +=，体系整段内力对体系虚位移所作的虚功为~i W blur =-⎰，注意微段对变形虚位移所作的功计算中忽略了高阶微量。
结构力学虚功原理的理解:
思想：虚功的两种不同计算方法，使得等式左右两边相等。
虚功定义：
2W =⨯力（状态一）与力同方向的位移（状态）
计算方法1：
同样取微段分析，通过积分或求和得到最后结果
状态1相邻两微段内力大小相等，方向相反，对应位移相同(位移连续)，做功正好抵消，第二项为0。
计算方法2：
同样取微段分析，通过积分或求和得到最后结果
比较两种不同方法的高阶约去量。
虚功原理应用的条件
虚功原理应用的条件1. 理论基础在讨论虚功原理应用的条件之前，我们先来了解一下虚功原理的基本概念和原理。
虚功原理是力学中的一个重要原理，它指出在平衡状态下，作用在一个物体上的外力所做的虚功为零。
简单来说，如果一个物体在平衡状态下，没有发生位移或转动，那么作用在物体上的外力做的功为零。
虚功原理可以应用于静力学和动力学问题，能够帮助我们分析和解决各种结构和系统的力学问题。
2. 条件一：平衡状态虚功原理的首要条件是物体必须处于平衡状态。
平衡状态意味着物体没有发生任何位移或转动，所有受力和力矩之和为零。
只有在平衡状态下，虚功原理才能有效应用。
平衡状态的判断可以通过分析物体上的各个受力和力矩，如果它们的合力或合力矩为零，则可以认为物体处于平衡状态。
3. 条件二：弹性势能在虚功原理应用的条件中，一般要求物体具有弹性势能。
弹性势能是一种能量形态，是由于物体发生弹性变形而储存的能量。
在应用虚功原理时，我们通常会考虑物体的弹性势能的变化。
通过分析物体内部的力学性质和弹性变形情况，我们可以得到物体的弹性势能变化量，从而在虚功原理的框架下进行分析和计算。
4. 条件三：虚位移虚功原理的另一个重要条件是物体的虚位移。
虚位移是指在虚功原理的应用中引入的一种假想的位移或变形，它并不真实发生在物体上。
通过引入虚位移，我们可以针对一些复杂的力学系统进行简化和分析。
虚位移必须满足以下条件：•虚位移必须与物体的平衡状态保持一致，即虚位移不能引起物体的实际位移或转动。
•虚位移必须满足实际约束条件，即虚位移必须满足物体所受各种限制和约束条件。
在虚功原理的分析过程中，我们会通过引入虚位移来分析物体的受力情况和力的分布情况。
5. 条件四：能量守恒在虚功原理应用的条件中，能量守恒是一个基本原则。
能量守恒指的是系统总能量在任何时刻都保持不变。
通过应用虚功原理，我们可以分析物体的能量转化和能量传递情况。
在应用虚功原理时，我们通常会将物体看作一个能量系统，通过考虑物体的内部和外部能量转化关系，来分析物体的力学性质。
结构力学 虚功原理
实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功 原理中，力是虚拟的，而位移是真实的，所以该原理更确切应称 为虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载） 法。
1 A y C 求位移。 EI
【例7－3】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向 位移△Cy和转角θ C 。
q A l B EI l C
q A l
1 2 ql 2
1 2 ql 8
B EI l
C
MP图
2l l
M图
P 1
Cy
1 l ql 2 5l 2l ql 2 3l ( ) EI 2 2 3 3 8 2 7ql 4 24EI
y
MP
C
A
dx yC
MP图 B
M图
MM
A
B
P
dx
A yC
A — MP图的面积
tg A xC
B
A
xtgM P dx
o
x xC
M
A
B
x
yC — MP图形心所对 M 图的竖距
于是虚功原理 可写作：
1 A yC EI
注意***： ⑴ 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。
h
2h
C1
h/2
3．虚拟力状态 求△Cx
B
求△Cy
P 1
C B C B
[理学]虚功原理
![[理学]虚功原理](https://img.taocdn.com/s3/m/2ac09223763231126edb113c.png)
i 1 , 2 ,
, n
（2）理想约束
如果在任何时刻，对于系统的任何
虚位移，约束力所作的虚功之和等于零， 则系统受到的约束是理想约束。
R x
i 1 i
P 1(
l1 l cos ) P2 (l1 cos 2 cos ) F (l1 sin l2 sin ) 0 2 2
(P 1
l1 l cos P2 l1 cos Fl1 sin ) ( P2 2 cos Fl2 sin ) 0 2 2
1
基本概念
（1）虚位移
想象中可能发生的无限小的位移，而
不是实际发生的。它只决定于质点在此时 刻的位置和加在它上面的约束，时间没有 改变（δt =0）， 表示为 r 。
关于虚位移的说明 称为 r 的变分 • 虚位移一般情况不止一个
r
• 虚位移与可能位移
稳定约束下实位移是许多虚位移中一个
(Fi Ri ) ri 0
设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
(F R ) r F r R r
i 1 i i i i 1 i i 1 i
n
n
n
i
0
又因为体系所受约束是理想约束，于是有
F r 0
i 1 i i
n
虚功原理的另一种表述
3
虚功原理
设一个完整的由n 个质点组成的力学 系统，在k 个理想约束条件下处于静平衡 状态。其中第i 个质点受到的主动力为 F 约束力为 R ，则该体系静力平衡条件为：
i i
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力所作的变形虚功总和。即：
W=Ｖ
称为虚功方程，式中：
W ——外力虚功 Ｖ ——内力虚功（虚应变能）
对于杆件结构虚功原理
对于直杆构成的结构
杆件的虚功方程
虚功原理的两种用法
1．虚设位移状态——可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2．虚设力状态——可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。
三、单位荷载法
P1
t1
P2 t2
K
ΔKH
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向 加上相应的广义单位力P=1. 一个体系，两种状态
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1
实际位移状态 虚拟力状态
W = 1D R1c1 R2c2
虚功
一般可写为： W = D Rc
V = M d FN du FQ dv
t t B β ΔB Δ B m P
Δ
B
5）两种情况的功 广义力是等值、反 向的一对力F
W = F D A F DB = F (D A DB )
桁架结构，在C、D上 作用与杆垂直的等值反 向的两个力F
DC D D W = F D C F D D = F (D C D D ) = F d
பைடு நூலகம்作业情况
一、桁架的内力标注在图上。
二、隔离体要画出。 用1-1截面将其断开……完了？？？ 应说明取那边为隔离体，并将隔离体 要画出。 三、桁架的内力+、-号代表 拉、压，仍有同学出错。 四、右面隔离体能计算出 FN1、FN2、FN3、FN4吗？
§4—1 结构位移和虚功的概念
§4—2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4—3 静定结构由荷载引起的位移 §4—4 图乘法
M \ FQ \ FN
虚拟力状态 1
R2
R1
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设 置相应的虚拟力状态。
例如:
广义力与 广义位移
A B 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！
P=1
求A点的 水平位移
m=1
求A截面 的转角
m=1
m=1 P=1 求AB两点 的相对位移
P=1
k=
（4）桁架
每一杆的内力及 截面都沿杆长不变
MP EI F = NP EA kFQP = GA
真实位 移状态
D =
FN FNP F F l dx = N NP EA EA
在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲 率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计 算则是近似的。
()
例 4—3 求图示桁架下弦 5的挠度。设各杆的截面面 积 A = 0.12m 0.12m = 0.014m2， E = 850 107 P 。 a 解：虚拟状态如图b所示。 实际状态和虚拟状态所产 生的杆件内力均列在表中， 根据公式： 可得所示结点5的挠度为
(125 5 260) KN m D5V = 850 104 KN / m2 0.0144m2 = 0.0044m = 0.44cm()
D DD ED ' = C EC ' d
M = Fd
W = M
广义力为力偶M，广义 位移为CD杆的转角φ
（三）、实功与虚功 力在本身引起的位移上作的功。 实功： 例如：一个体系 W=
力在其它 虚功： 因素引起的位移上作的 的两种彼此无关的状态。
位移状态 力状态
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
A
相对位移
△CD= △C+ △D
线位移
角位移
3.
计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打
△ 起拱高度
a）荷载作用； 4、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
2
下基础。
β Δ 不产生内力和变形 产生刚体移动
注：EI、EA、GA 是杆件截面抗弯、拉、 剪刚度； k是截面形状系 数k矩=1.2， k圆 =10/9。
k=
MP EI F = NP 真实位 EA 移状态 kF = QP GA
k FQ FQP FN FNP MM P 注意到 D = dx dx dx 无支座移动 EI EA GA
l 1/l
1/l
求AB两截面 的相对转角
求AB两点 连线的转角
§4—3荷载作用下的位移计算
D = M d FN du FQ dv Rc
FN FQ M
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
MP d = k dx = dx EI F du = dx = NP dx EA kFQP dv = dx = dx GA
V = FN 1du2 FQ1dv2 M 1d 2
对于直杆构成的结构 V = FN 1 2 dx FQ1 2 dx M 1k 2 dx 单个杆 件的应 变能
二、变形体的虚功原理
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚
位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内
例 4—2 求图示刚架A点 的 竖 向位移△Ay。E、A、 I为常数。 1. 解： 设置虚拟状态 选取坐标如图。
则各杆弯矩方程为:
AB段：
x,
BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
AB段： MP=
， BC段：
M P=
3. 代入公式得
△Ay=
2 qx2 dx qL dx = (-x)(- 2 ) + (-L)(- 2 ) EI EI
M FQ FN k = d w 2 d x κγε
不产生内力， 产生变形产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
b =
D l
5.线性变形体系
计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比 σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4） 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。 即：线弹性体系。可用叠加原理。
例如：
W12=P1· 2 △
§4—２变形体系的虚功原理和单位荷载法
一、虚应变能
当结构的力状态的外力因结构的位移状态 的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以 v表示。
力状态
位移状态
力状态
位移状态
微段上的虚应变能表示为
dV = FN1du2 FQ1dv2 M1d2
（1） FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的 原因；虚设单位荷载引起的内力是 M \ FN \ FQ （2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位 移的影响。
荷载作用下的位移计算
（3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
Δ= MM P dx EI
FN FQ M
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
例4—1 ：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 2）MP须分段写 MP（x1）=Px/2 0≤x1≤l/2 MP（x2）=P（l－x）/2 l/2 ≤x2≤l
A
P EI
B
x1
l/2
x2 l/2
M (x) =－x l
l
0≤x≤l
m=1
M P dx B = M 0 EI l x Px l x P (l x ) dx =－ 2 dx － l l 2 EI 0 l 2 EI 2 Pl 2 =－ 16 EI
§4—5 互等定理
§4—1 结构位移和虚功的概念
一、结构位移 1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 △Ay △Ax
□
P A
△A
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移： 绝对位移
A
(△A)
△Ay △Ax C A △C C′ P △D D′ D B
杆件结构位移计算的一般公式 通过虚设单位广义力作用的力 状态，利用虚功方程求位移的方 法—单位荷载法。 注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。
3）若广义力是等值、反向的一对力P P A P W=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ ΔA 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 m 表示AB两点间距的改变，即AB两 m A 点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m W=mA+mB =m（ A+ B）=mΔ A 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。
虚 应 变 能
P=1
M \ FQ \ FN
虚拟力状态 1
R2
R1
D Rc = Md FN du FQ dv
D = M d FN du FQ dv Rc
P1
t1 t2
P2
K
ΔKH
K‘ Ε2γ2κ2 位移状态 2 c2 c1 P=1
实际位移状态
虚设力状态
作业： 第77页 4-1（a）、（b）、4-2
休息一下
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原 理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然 后讨论静定结构的位移计算。