第17章习题 非线性电路

第十七章 非线性电路简介
17.1 学习要点
含有非线性元件的电路称为非线性电路。

本章简要介绍非线性电阻元件及含有非线性电阻电路的分析方法。

要求理解非线性电阻元件的特性，掌握非线性电路的分析方法—小信号分析法。

17.2 内容提要 17.2.1 非线性电阻
1.定义
含有非线性元件的电路称为非线性电路，实际元件都是非线性的，而当其非线性程度比较薄弱时，即可作为线性元件来处理。

线性电阻元件的伏安关系满足欧姆定律
Ri u =，在i u -平面上是一条通过原点的直线。

非线性电阻元件的伏安特性不满足欧姆定律，在i u -平面上不是直线。

非线性电阻元件的图形符号如图17.1（a ）所示。

（1）若电阻元件两端的电压是其电流的单值函数，这种电阻称为电流控制型的非线性电阻，其伏安关系可表示为
)(i f u = （17-1）
它的典型伏安特性如图17.1（b ）所示。

（2）如果通过电阻的电流是其两端电压的单值函数，这种电阻称为电压控制型的非线性电阻，其伏安关系可表示为
)(u g i = （17-2）
它的典型伏安特性如图17.1（c ）所示。

2.动态电阻
非线性电阻元件在某一工作状况下（如图17.2中P 点）的动态电阻为该点的电
(c)
(a)
(b)
i
图17.1
u
i
u 0
压对电流的导数，即
di
du R d =
图17.2中P 点的动态电阻正比于tan β（区别于其静态电阻R ，R 正比于tan α）。

3.静态工作点
如图17.3（a ）所示电路由线性电阻R 0和直流电压源U 0及一个非线性电阻R 组成（其虚线框也可由复杂网络等效而得）。

设非线性电阻的伏安特性如图17.3（b ）所示，并可表示为式（17.2）。

根据KVL 和KCL ，对此电路列方程有 u i R U +=00
或 i R U u 00-= （17-3） 是虚线方框一侧的伏安特性，如图17.3（b ）中直线AB 所示。

直线AB 与伏安特性)(u g i =的交点（U Q ，I Q ），同时满足式（17-3）和式（17-2），
所以有：
Q Q U I R U +=00 )(Q Q U g I =
交点Q （U Q ，I Q ）称为电路的静态工作点。

由上述分析可知：Q 点可通过图解法（作直线AB 与伏安特性)(u g i =或)(i f u =的交点）或解析法（联立求解i R U u 00-=及非线性电阻的伏安特性式）求出。

+ (b)
1'
B i - (U Q ,I Q )
R U A 1 i =g (u )
-
R 0
Q
+ O
(a) u
U 0 R
u i
U 0 图17.3
u
α i β
O P
图17.2
17.2.2 小信号分析法
1.适用范围
求解非线性电路有多种方法，如小信号分析法、分段线性化法等。

如果电路中有作为偏置电压的直流电源U 0作用，同时还有时变输入电压)(t u S 作用，如图17.3（a ），
并且在任何时刻有)(0t u U S 》
，则把)(t u S 称为小信号电压，分析此类电路即可用小信号分析法。

2.解题步骤
（1）求静态工作点；
（2）求动态电阻）（或动态电导d d
G R ； （3）画出小信号等效电路并由此求出微小偏差量； （4）求出电路的全解（静态工作点的值加微小偏差量）。

17.3 例 题
例17.1 如图17.4 (a)，已知：A 10=S I ，A cos t i S ω=，Ω=10R ， 非线性电阻的伏安特性为 )0( 22>=u u i ，试用小信号分析法求电压u 。

解：（1）求静态工作点 在图17.1（a ）中，0=S i 时，
Q Q S u I I R +=
又因为22 (0)Q Q Q I u u =>，联立二式并代入已知值得
01022=-+Q Q U U ，
解得 V 2=Q U A 4=Q I （2）求d G 动态电导
s 8222=⨯==
==Q U u d u du
di
G +
-
u (b)
R d
-
i s + R 0 (a)
i I s
i s
u 1 i 1 R 0 图17.4
或 Ω=8
1
d R
（3）画出小信号等效电路如图17.4（b ）
（4）由小信号等效电路可得微小偏差量
V cos 9
1
) //R (R d 01t i u S ω=⨯=
电路的解为11
2cos 9
Q u U u t ω=+=+（）
V 例17.2 如图17.5(a)，已知：V 250=U ，V sin t u S =，Ω=20R ， 非线性电阻的伏安特性为 i i u 25
13
-=
(0>i )，试用小信号分析法求电流i 。

解：(1) 求静态工作点 在图17.5（a ）中，0=S u 时，
00U U I R Q Q =+ 即 252=+Q Q U I
又因为 Q Q Q I I U 25
13
-= ， 联立二式解得
A 5=Q I （V 15=Q U ）
(2) 求d R 动态电阻
Ω=-==
= 1325
352
i d i di du R (3) 画出小信号等效电路如图17.5（b ） (4) 由小信号等效电路可得微小偏差量
A sin 15
1
) R (R /d 01t u i S =
+= + - u (b)
R d
-
i s + R 0 (a)
i I s
i s
u 1 i 1 R 0 图17.4
+ R d -
(a)
图17.5
u 1 + u s R 0
-
(b)
i 1 -
u + u s
U 0
+ i
R
电路的解为11
5sin 15
Q i I i t =+=+（）
A 17.4 习题选解
17.1 如果通过非线性电阻的电流为A cos ）（t ω，要使该电阻两端的电压中含有
4ω角频率的电压分量，试求该电阻的伏安特性，写出其解析表达式。

解： 由题意知，非线性电阻中的电流为
A cos ）（t i ω=
而 22
2cos
4 2cos (2)12[2cos 1]1t t t ωωω=-=--（）（） )(cos 8)(8cos -1 42t t ωω+=
因此若非线性电阻的伏安关系为
42881i i u +-=
则该电阻两端的电压的角频率为 4ω。

该题表明非线性电阻元件在电路中具有倍频作用。

例题： 设有一非线性电阻，其伏安关系为
32)(i i i f u +==
（1）、分别求出mA 10A 1021==i i 、时对应的电压21u u 、的值； （2）、设)(2112i i f u +=，问12u 是否等于)(21u u +？ 解： （1）A 101=i 时
V 1020
10 10231=+⨯=u mA 102=i 时
0.020001V )10( 1023-222=+⨯=-u
从上述结果看出V 10201=u 远大于20V ，0.020001V 2=u 与0.02V 很接近，这表明如果把这个电阻作为2Ω线性电阻，当电流较小时，引起的误差不大。

（2）假设)(2112i i f u += 则
)
3 )
322))221212121213
223113212112i i i i u u i i i i i i i i i i i i u +++=+++++=+++=（（（（
不等于)(21u u +。

这表明非线性电阻元件不满足叠加定理。

17.2 写出图示电路的结点电压方程，假设电路中各非线性电阻的伏安特性为
2
/333222311,,u i u i u i ===。

解：由KCL 对结点a ,b 列出方程
(2)
4(1) 123221=+-=+i i i i
将各支路电流用结点电压表示
2/32/33322
223
311)(b
b a a
u u i u u u i u u i ==-====。

将上述各支路电流代入到方程式（1）和（2）中，得
322
3/2
()12
()4
a a
b a b b
u u u u u u
+-=--+=
可见，电路的方程为一组非线性的代数方程。

+ 4A
- u 3 + 12A
b - u 1 - 题17.2图
a + i 1
i 2
i 3
u 2
17.10 如题17.10图(a)所示，已知：V 50=U ，cos V S u t ω=（t ）（），Ω=20R ， 非线性电阻的伏安特性为：32i i u += (0>i )，现已知当 0=）（t u S 时，回路中的电流为1A 。

如果) ( cos t t u S ω=）
（V ，试用小信号分析法求回路中的电流i 。

解：(1) 由已知电路的静态工作点为 1=Q I A
(2) 工作点的d R 动态电阻为
Ω=+==
==5321
2
i I i d i di
du R Q
(3) 画出小信号等效电路如题17.10图（b ） (4) 由小信号等效电路可得微小偏差量
10d
1
/(R R )cos( )A 7
S i u t ω=+=（t ） 所以原电路中的总电流为
11
[1cos( )]7
Q i I i t ω=+=+ A
R d
(a)
题17.10图 + u s R 0
-
(b)
i 1 -
u + u s
- + u 0
i
R
17.11 如题17.10图(a)所示，已知：V 90=U ， Ω=20R ， 非线性电阻的伏安特性为
31
2 V 3
u i i =-+，
如果t t u S cos =）
（V ，试求电流i 。

解：(1) 求电路的静态工作点
令0=）
（t u S ，由KVL 得 00U u i R =+
再将非线性电阻的伏安特性31
2 3
u i i =-+，代入到上式中，得
9 3
1
223=+-i i i
解得
A 3=Q I ， V 3=Q U
(2) 工作点的动态电阻为
Ω=-==
== 7232i I i d i di
du R Q
(3) 画出小信号等效电路如题17.10图（b ） (4) 由小信号等效电路可得微小偏差量
10d
1
/(R R )cos A 9
S i u t =-+=-（t ） 所以原电路中的总电流为
11
cos 9
Q i I i t =+=-（3） A
R d
(a)
题17.10图 + u s R 0
-
(b)
i 1 -
u + u s
- + u 0
i
R 0。