北京市人大附中高三数学基础练习题一
2022-2023学年北京市海淀区中国人民大学附属中学高三下学期开学摸底练习数学试卷含逐题详解
人大附中2023届高三再入境摸底练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“2002,4x x ∃<<”C.“22,4x x ∀≥<”D.“20024x x ∃≥<,”2.若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A.2iB.2C.1D.i3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A.6B.7C.8D.94.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12SS =（）A.5B.6C.7D.85.现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A.①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB.①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC.①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD.①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 6.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.为了得到函数2cos3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移3π10个单位长度 B.向右平移3π10个单位长度C.向左平移π10个单位长度 D.向右平移π10个单位长度8.已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A.5B.3C.4D.89.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A.267B.277C.287D.29710.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线//MN 平面11CB D B.三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C.在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D.若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -= __________.12.已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．13.若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长3AB =，则直线l 的方程为______.14.已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.15.设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.（1）证明：1AC C E ⊥；（2）求二面角1A EC B --的余弦值；（3）求点B 到平面1AEC 的距离.18.根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生物111111111（1）从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；（2）从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．19.设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .（1）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．21.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.人大附中2023届高三再入境摸底练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）1.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“2002,4x x ∃<<”C.“22,4x x ∀≥<” D.“20024x x ∃≥<,”【答案】D【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知:22,4x x ∀≥≥的否定为20024x x ∃≥<,故选：D2.若复数z 满足i 2i z =-+，则z 的虚部为（）A.2i B.2C.1D.i【答案】B【分析】根据复数的除法运算求得z ，即得答案.【详解】复数z 满足i 2i z =-+,故22i (2i)i12i i i z -+-+===+，故z 的虚部为2，故选：B3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若11a =，35a =，64n S =，则n =（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【分析】根据11a =，35a =，求得公差d ，再代入等差数列的前n 项和公式,计算即可.【详解】∵11a =，35a =，∴31512312a a d --===-，∵1(1)(1)26422n n n n n S a n d n ⋅-⋅-=⋅+⋅=+=，解得：8n =.故选：C .4.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.5B.6C.7D.8【答案】D【分析】由条件可得3OA OB=，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设BOC α∠=，则123OA l l OB αα⋅==⋅，所以3OA OB =，所以2222221222211922812OA OB OA OB OB OB S S OB OB OB ααα⋅-⋅--====⋅，故选：D5.现有四个函数：()()()()21213453;log ;e e ;log x xf x x f x x f x f x x -===-=.如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）A.①()1f x ，②()3f x ，③()2f x ，④()4f xB.①()1f x ，②()3f x ，③()4f x ，④()2f xC.①()3f x ，②()2f x ，③()4f x ，④()1f xD.①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x 【答案】D【分析】根据函数恒过定点及其函数的单调性与奇偶性逐一进行判断即可【详解】已知()21f x x =，其为偶函数，所以关于y 轴对称，所以满足条件的为②图像；已知()3e e x x f x -=-，由于()()33e e x x f x f x --=-=-，所以()3f x 为奇函数，故其关于原点对称，因为e x y =是R 上的增函数，e x y -=是R 上的减函数，所以()3f x 是R 上的增函数，所以满足条件的为①图像；()45log f x x =过点()1,0，且在定义域内单调递增，所以满足条件的为③图像；()213log f x x=过点()1,0，且在定义域内单调递减，所以满足条件的为④图像；综上所述①()3f x ，②()1f x ，③()4f x ，④()2f x .故选：D6.若0,0a b >>，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.7.为了得到函数2cos3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移3π10个单位长度 B.向右平移3π10个单位长度C.向左平移π10个单位长度 D.向右平移π10个单位长度【答案】C【分析】通过诱导公式得ππ2sin 3105y x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，根据平移规律即可得结果.【详解】因为ππ3πππ2cos32sin 32sin 32sin 32510105y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移π10个单位长度即可得到函数2cos3y x =的图象，故选：C.8.已知双曲线221:18x C y -=的左焦点与抛物线22:C y ax =的焦点F 重合，Q 为抛物线2C 上一动点，定点()5,2A -，则QA QF +的最小值为（）A.5B.3C.4D.8【答案】D【分析】求出点F 的坐标，可得出抛物线2C 的方程，写出抛物线2C 的准线l 的方程，过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，可得出QA QF QA QB +=+，利用图形可知当AB l ⊥时，QA QF+取最小值.【详解】对于双曲线1C ，a =1b =，则3c ==，故点()3,0F -，所以，抛物线2C 的方程为212y x =-，抛物线2C 的准线为:3l x =，如下图所示：过点Q 作QB l ⊥，垂足为点B ，由抛物线的定义可得QF QB =，所以，QA QF QA QB +=+，当且仅当AB l ⊥时，QA QB +取最小值为358+=.故选：D.9.冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量Q 呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式0.00250etQ Q -=，其中0Q 是臭氧的初始量，e 是自然对数的底数，e 2.71828= .试估计（）年以后将会有一半的臭氧消失.()ln20.693≈A.267 B.277C.287D.297【答案】B 【分析】由0.0025001e2tQ Q -=可得，0.00251e 2t -=，求解整理可得ln 20.0025t =，代入数值，即可解出.【详解】令012Q Q =可得，0.0025001e 2t Q Q -=，即0.00251e 2t -=，则有10.0025lnln 22t -==-，解得ln 20.693277.20.00250.0025t =≈=.所以，估计277年以后将会有一半的臭氧消失.故选：B.10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点.则下列选项中错误的是（）A.直线//MN 平面11CB D B.三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影图的面积为4C.在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB D.若F 为棱AB 的中点，三棱锥M NFB -的外接球表面积为6π【答案】B【分析】连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，即可证明四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，即可证明A ；连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，求出四边形ABND 的面积，即可判断B ；取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，可证⊥AE 平面MNB ，可判断C ；若F 为棱AB 的中点，MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，求出表面积，可判断D ．【详解】解：对于A ：连接1DC ，交1D C 于点O ，连接1B O 、ON ，显然O 为1DC 的中点，又M ，N 分别为1BB ，CD 的中点所以1//ON CC 且11=2ON CC ，11//B M CC 且1112B M CC =，所以1//ON B M 且1ON B M =，所以四边形1ONMB 为平行四边形，所以1//OB MN ，又MN ⊄平面11CB D ，1OB ⊂平面11CB D ，所以//MN 平面11CB D ，故A 正确；对于B ：如图，连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥11A MND -在平面ABCD 上的正投影，因为()112232ABND S =+⨯=，故B 错误；对于C ：取BC 中点E ，连接AE ，1EB ，1AB ，显然ABE BCN ≌，所以AEB BNC ∠=∠，又90NBC BNC ∠+∠=︒，所以90NBC AEB ∠+∠=︒所以AE BN ⊥，由正方体1111ABCD A B C D -，可得1BB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，1BB AE ∴⊥，又1BB ，BN ⊂平面MNB ，1BB BN B = ，AE ∴⊥平面MNB ，又AE ⊂平面1AEB ，∴平面1AEB ⊥平面MNB ，故C 正确；对于D ：若F 为棱AB 的中点，MN ==2FN =，FM ==，所以222MN FN FM =+，即90MFN ∠=︒即FMN ，MNB 均为直角三角形，且MN 是公共斜边，由直角三角形的性质，可知MN 为三棱锥M NFB -的外接球的直径，故外接球的半径为116222R MN ==⨯，所以三棱锥M NFB -的外接球表面积24π6πS R ==，故D 正确.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.）11.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则43a b -= __________.【答案】10【分析】由图知||1,||2,,45a b a b ==<>=︒ ，应用向量数量积的运算律求得24310a b -= ，即可得结果.【详解】由图知：||1,||2,,45a b a b ==<>=︒ ，则12cos 451a b ⋅=︒=，又222431624916241810a b b b a a ⋅-=-=-++= ，则4310a b -= .1012.已知()()565432643210511x x a x a x a x a x a x a x a +-=++++++，则5a 的值为______．【答案】4-【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.【详解】()51x -的展开式通项为515C (1)r rr r T x-+=-，所以115551C (1)1C (1)514a =⨯⨯-+⨯⨯-=-+=-，故答案为：4-13.若过点()2,1-的直线l 和圆222220x y x y +++-=交于,A B 两点，若弦长3AB =，则直线l 的方程为______.【答案】3420x y ++=或2x =-【分析】根据题意结合垂径定理求得1d =，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】由题意可知：圆222220x y x y +++-=的圆心()1,1C --，半径2r =，设圆心()1,1C --到直线l 的距离为d ，若弦长23AB =22222423AB r d d =-=-=1d =，当直线l 的斜率不存在时，即直线l 为2x =-，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为1d =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，故圆心()1,1C --到直线l 的距离为()2221122111k k k d k k -++++===++-，解得34k =-此时直线l 为3420x y ++=；综上所述：直线l 为3420x y ++=或2x =-.故答案为：3420x y ++=或2x =-.14.已知数列{}n a 为等差数列，其公差0d ≠，若数列{}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中11k =，25k =，317k =，则12n k k k +++= ______.【答案】31n n --【分析】根据等比中项的性质化简可得12a d =，进而求得12,...n k k k a a a 的公比，再根据等差数列与等比数列的通项公式列等式化简求解即可得出n k 表达式，然后根据分组求和即可得出结果.【详解】由题意有2132k k k a a a =，即25117a a a =，所以2111(4)(16)a d a a d +=+，由0d ≠化简可得12a d =，所以5146a a d d =+=，所以等比数列的公比2151632k k a a dq a a d====，由于n k a 是等差数列{}n a 的第n k 项，且是等比数列的第n 项，故()111111n n n k n k a a k d a q a q--=+-==，所以111(1)1231n n n a q k d---=+=⋅-．所以1121112231231231n n k k k ---+++=⋅-+⋅-++⋅- ()()11113213323113nn nn n n -⨯-=⨯+++-=⨯-=--- .故答案为：31n n --.15.设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在1x 、2x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的“保2区间”.（1）给出下面3个命题：①(),-∞+∞是函数31x y =+的“保2区间”；②ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的“保2区间”；③1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数 1.5log y x =的“保2区间”.其中正确命题的序号为______.（2）若[]π,2π是函数()()cos 0f x x ωω=>的“保2区间”，则ω的取值范围为______.【答案】①.③②.{}[)23,⋃+∞【分析】（1）利用“保2区间”的定义判断①②③，可得出结果；（2）根据定义和余弦函数的性质可知存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，分4ω≥、04ω<<两种情况讨论，可得出关于ω的不等式（组），综合可得出正实数ω的取值范围.【详解】（1）对于①，对任意的x ∈R ，310x y =+>，对任意的1x 、2x ∈R ，则121231312xxy y +=+++>，①错；对于②，当,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]sin 1,1y x =∈-，不妨设1x 、2ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x <，即12ππ22x x -≤<≤，所以，121sin sin 1x x -≤<≤，则1212sin sin 2y y x x +=+<，②错；对于③，假设存在1x 、21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且12x x ≠，使得()12 1.51 1.52 1.512log log log 2y y x x x x +=+==，可得1294x x =，可取198x =，22x =满足条件，③对；（2）当π2πx ≤≤且0ω>，则π2πx ωωω≤≤，若存在1x 、[]2π,2πx ∈且12x x ≠使得()()122f x f x +=，则12cos cos 1x x ωω==，所以，存在1k 、2k ∈Z 使得11222π2πx k x k ωω=⎧⎨=⎩，不妨设12x x <，即12π2πx x ≤<≤，因为0ω>，所以，12π2πx x ωωωω≤<≤，所以，12222k k ωω≤<≤，即在区间[],2ωω上存在两个不同的整数.①当24ωω-≥时，即当4ω≥时，区间[],2ωω上必存在两个相邻的整数，合乎题意；②当04ω<<时，028ω<<，而12k 、22k 为偶数，则12k 、{}222,4,6k ∈，当122224k k =⎧⎨=⎩时，则022404ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得2ω=，当122426k k =⎧⎨=⎩时，则042604ωωω<≤⎧⎪≥⎨⎪<<⎩，解得34ω≤<.综上所述，实数ω的取值范围是{}[)23,⋃+∞.故答案为：（1）③；（2）{}[)23,⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问根据新定义求ω的取值范围，在讨论04ω<<时，要确定12k 、22k 的取值，进而可得出关于ω的不等式组，进而求解.三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16.设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）a =（2）87218+-【分析】(1)根据已知条件2A B =，转化为sin sin 22sin cos A B B B ==，再结合正弦定理与余弦定理求边a.(2)用第一问计算得结果，求得sin 2,cos 2A A ，正弦的和角公式展开代入即可.【小问1详解】由2A B =，得sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得2cos a b B =，又222219cos 22a c b a B ac a +-+-==，则21926a aa +-=，解得212a =，即a =.【小问2详解】(222222311cos 22313b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由()0,A π∈，则22sin 3=A ，则sin 22sin cos 9A A A ==-，27cos22cos 19A A =-=-，78sin 2(sin 2cos 2)4229918A A A π⎛⎫+⎛⎫+=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，E 为1BB 的中点，122AB CC BC ===.（1）证明：1AC C E ⊥；（2）求二面角1A EC B --的余弦值；（3）求点B 到平面1AEC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）105（3）10【分析】（1）根据面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BCC B ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可.【小问1详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，AC ⊂平面11ACC A ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又1C E ⊂平面11BCC B ，所以1AC C E ⊥；【小问2详解】因为AC ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以ACBC ⊥，如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，因为122AB CC BC ===，所以AC =，则)()()()()1,0,1,0,0,0,0,0,0,2,0,1,1AB C C E ，因为AC ⊥平面11BCC B ，所以)CA = 即为平面11BCC B的一个法向量，)()112,0,1,1C A C E =-=-，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，则有11200n C A z n C E y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则z y ==所以(n =，则cos ,5n CA ==，由图可知二面角1A EC B --为锐二面角，所以二面角1A EC B --的余弦值为105；【小问3详解】()AB =，则1cos ,2n AB n AB n AB ⋅==，所以点B 到平面1AEC的距离为cos ,10n AB AB n AB AB n AB⋅⋅=⋅=.18.根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为i a ，1i =，2，⋯⋯，19，20其中110~a a 是男生，1120~a a 是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 16a 17a 18a 19a 20a 政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生111111111物（1）从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；（2）从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记X 为“偏文”女生的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记随机变量0,1,ξ""⎧=⎨""⎩选择科目偏理选择科目偏文，样本中男生的期望为1()E ξ，方差为1()D ξ；女生的期望为2()E ξ，方差为2()D ξ，试比较1()E ξ与2()E ξ；1()D ξ与2()D ξ的大小（只需写出结论）．【答案】（1）3376（2）分布列见解析，3()5E X =（3）12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为310，X 的所有可能取值为0，1，2，结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到X 的分布列，进而求出()E X 即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．【小问1详解】由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件A ，则P （A ）21119320C C 55933C 2019376⨯===⨯⨯．【小问2详解】由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为632010=，则X 0=，1，2，2349(0)(1)10100P X ==-=，()123342211C 1101010050P X ⎛⎫==⨯⨯-== ⎪⎝⎭，239(2)(10100P X ===，所以X 的分布列为：X012P4910021509100492193()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则12()=30.3=0.9()=60.6=3.6E E ξξ⨯⨯，，12()=30.30.7=0.63()=60.60.4=1.44D D ξξ⨯⨯⨯⨯，，故12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ<．19.设函数()()2ln f x x ax x a =+-∈R .（1）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1a ≤-（3）证明见解析，切点的横坐标为1【分析】（1）求出()f x '，由()0f x '<可得函数的减区间，由()0f x ¢>可得函数的增区间；（2）转化成()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立求解，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立，求出12x x -的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标，即可得出结论．【小问1详解】1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，∴()()()211121(0)x x f x x x x x-++-'==>，∵当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，()f x 为单调减函数．当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，()f x 为单调增函数．∴()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】∵()12fx x a x'=+-，()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即120x a x+-≤对任意(]0,1x ∈恒成立，令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，因为函数1,2y y x x==-在(]0,1上都是减函数，所以函数()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x g ==-，∴1a ≤-；【小问3详解】设切点为()()(),0M t f t t >，由题意得()12fx x a x'=+-，∴()12f t t a t'=+-,∴曲线在点切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，即()()21ln 2y t at t t a x t t ⎛⎫-+-=+-- ⎪⎝⎭．又切线过原点，∴()210ln 20t at t t a t t ⎛⎫--+=+-- ⎪⎝⎭，整理得2ln 10t t +-=，设()()2ln 10t t t t ϕ=+->，则()()1200t t t tϕ'=+>>恒成立，()t ϕ在()0,∞+上单调递增，又()10ϕ=，∴()t ϕ在()0,∞+上只有一个零点，即1t =，∴切点的横坐标为1，∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为1.【点睛】方法点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P 处的切线”和“曲线过点P 的切线”两种说法的区别.（1）“曲线在点P 处的切线”表示点P 为切点，且点P 在曲线上，过点P 的切线只有一条；（2）“曲线过点P 的切线”表示点P 不一定在曲线上，即使点P 在曲线上时也不一定为切点，此时过点P 的切线不一定只有一条．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)，点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ，直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点，记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2 S ，求12 S S +的取值范围．【答案】（1）22163x y +=；（2）()1,3.【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为)，得关于,a b 的方程，解出,a b 即可；（2）联立方程组，0∆>得1t >，将面积之和表示为关于t 的式子，表示出直线PM 、PN ，求出点A 、B 的坐标，得到112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，即可表示出PAT 、PBT 的面积，再求面积中12122211x x y y --+--的范围，结合韦达定理()224(1)24441655t t t t t +-=->+++，利用反比例函数得出范围.【详解】（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b +=.22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，得2263a b ⎧=∴⎨=⎩故椭圆的方程为：22163x y +=；（2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0，所以可设直线方程为3x ty =+，设()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()222630t y ty +++=0∆>，即()22361220t t -+>，21t >，由于斜率大于0，1t ∴>12262t y y t -+=+，12232y y t =+直线PM 的斜率：1112y x --，PM 的方程：()111122y y x x --=--，令0y =，则11221A x x y -=+-直线PN 的斜率：2212y x --，PN 的方程：()221122y y x x --=--，令0y =，则22221B x x y -=+-112311A x TA x y -=-=+-，222311B x TB x y -=-=+-，()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++，所以12123(1)5S S t t +=->+，函数为递增，()121,3S S +∈.【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于t 的形式，利用1t >以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性.21.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，分当2x y xy +=-和2x y xy +≠-时，对x ，y 分类讨论即可举出反例，进而证明命题．（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”同理，*P N ⊆ ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，当2x y xy +≠-时，则1x y xy +=-或()2x y xy m m +=->，若1x y xy +=-，M 为除1以外的最小元素，则1x M =-，1y =时，23xy M -=-小于M ，若要符合题意则4M =，此时取2,2x y ==时，22xy -=不属于A ，故不符合题意；m>2时，(1)(1)1x y m --=+，同样得出矛盾，综上所述，故不存在“减2集”.（3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈，所以满足条件A 的集合：{1，3}，{1，3，5}，{}|21,x x n n N *=-∈【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。
2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷(理科)(一)(3月份)-含详细解析
2019年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（3月份）副标题一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.已知全集U=R，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. 0，B.C. D. 0，2.若复数z=，则|z|=（）A. 8B.C. 2D.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B.C. 2D.4.已知a=，b=，c=，则（）A. B. C. D.5.已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n，且a1=1，则S5=（）A. 27B.C.D. 316.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面7.函数f（x）=a x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数中图象不经过点A的是（）A. B. C. D.8.已知函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）A. B.C. D.9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A. B. C. D.10.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为（）A. 2B. 4C. 6D. 811.已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.12.函数，方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0有4个不相等实根，则m的取值范围是（）A. B. C. D.13.设集合A={x∈Z|x2-2x-3＜0}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1， C. 0， D.14.已知i为虚数单位，复数z=，则z3=（）A. iB.C. 1D.15.命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是（）A. ∀ ∈，B. ∈，C. ∀ ，D. ∈，16.f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=（）A. B. C. 1 D.17.已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.18.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A. B. C. D.19.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n为4，则程序框图中的中应填（）A.B.C.D.20.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）21.已知向量=（2，-4），=（-3，-4），则向量与夹角的余弦值为______．22.设x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．23.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．24.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．25.双曲线-y2=1的焦距是______，渐近线方程是______．26.若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是______．27.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是______．28.已知函数，，＜，若关于x的方程f（x）=k有两个不同零点，则k的取值范围是______．29.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为______．30.设W是由一平面内的n（n≥3）个向量组成的集合．若∈，且的模不小于W中除外的所有向量和的模．则称是W的极大向量．有下列命题：①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得，，中的每个元素都是极大向量；③若，，，，，中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是______．三、解答题（本大题共13小题，共162.0分）31.在△ABC，，BC=2．（1）若AC=3，求AB的长；（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．32.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：（记为ω）的关系式为：S=，，＜，＞，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：k2=33.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．34.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+-1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l 与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．35.已知函数f（x）=ln x-kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：＜∈，＞36.已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．37.设a，b，c＞0，且ab+bc+ca=1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）38.已知．（I）求的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．39.某车险的基本保费为a（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记为事件：一续保人本年度的保费不高于基本保费，求（）的估计值；（Ⅱ）某公司有三辆汽车，基本保费均为a，根据随机调查表的出险情况，记X为三辆车中一年内出险的车辆个数，写出X的分布列；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．40.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PAC都是正三角形，AC=2，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）证明：EF⊥ED；（Ⅱ）求点F到平面PAB的距离．41.已知函数f（x）=e x-a（x+1）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当a=0时，曲线y=f（x）（x＞0）总在曲线y=2+ln x的上方．42.已知⊙O：x2+y2=4和椭圆C：x2+2y2=4，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交⊙O于点Q（P，Q不重合），l 是过点Q的⊙O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与⊙F 的位置关系，并证明你的结论．43.数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足：a k＜1（k=1，2，…，n）．记A n的前k项和为S k，并规定S0=0．定义集合E n={k∈N*，k≤n|S k＞S j，j=0，1，…，k-1}．（Ⅰ）对数列A5：-0.3，0.7，-0.1，0.9，0.1，求集合E5；（Ⅱ）若集合E n={k1，k2，…，k m}（m＞1，k1＜k2＜…＜k m），证明：＜1（i=1，2，…，m-1）；（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足S n＞C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}，∴∁U B={x|-2＜x＜2}，即A∩（∁U B）={-1，0，1}故选：D．由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），然后根据集合的基本运算求解即可本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】D【解析】解：复数z=，则|z|===．故选：D．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，复数的基本运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h=2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC=1，AB=2，AB⊥BC，∴三棱锥的体积V==，故选：A．根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：由a==b==根据指数函数的单调性，∴a＞b．a==，c=，∴a＜c，可得：b＜a＜c．故选：A．利用指数函数的单调性即可比较大小．本题考查了指数函数的单调性的运用和化简能力．属于基础题．5.【答案】C【解析】解：S n=2+λa n，且a1=1，∴1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1．∴n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，∴S n-2=-，即S n=2-，则S5=2-=，故选：C．S n=2+λa n，且a1=1，可得1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1．n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．7.【答案】A【解析】解：函数f（x）=y=a x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，即x-1=0，可得x=1，那么：y=1．∴恒过点A（1，1）．把x=1，y=1带入各选项，经考查各选项，只有A没有经过A点．故选：A．根据指数函数的性质求出A的坐标，将A的坐标带入考查各选项即可．本题考查了指数函数的性质，恒过定点的求法．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数y=sin（ωx+φ）的最小正周期为，故：，解得：ω=4，直线是其图象的一条对称轴，故：，（k∈Z）解得：φ=k（k∈Z），当k=1时，φ=，故选：A．直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下：s=0，n=1；满足条件，执行循环体，s=，n=2；满足条件，执行循环体，s=0，n=3；满足条件，执行循环体，s=0，n=4；满足条件，执行循环体，s=，n=5；满足条件，执行循环体，s=0，n=6…观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s 的值为，由于：2014=671×3+1所以：判断条件为n≤2014？时，s=符合题意．故选：A．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s=符号题意．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设渐近线为，∵右焦点F2到渐近线的距离为4，∴，即b=4．∵双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，这个点是右顶点，∴c-a=2．∴（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），∴c+a=（c-a）3=8．则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，故选：D．设渐近线为，可得，即b=4．又c-a=2．即（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），c+a=（c-a）3=8．即可得到这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，本题考查了双曲线的性质，转化思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有x+y=a+c=2b，则b=，c===，则这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，又由x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα）=sin（α+φ）≤，即这个等差数列后三项和的最大值为；故选：D．根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，进而设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα），利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用12.【答案】C【解析】解：函数是连续函数，x=0时，y=0．x＞0时，函数的导数为f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，f（x）∈（0，]x＜0时，f′（x）=-＜0，函数是减函数，作出y=f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0即为t2-（m+1）t+1-m=0，有1个大于实根，一个根在（0，）；由题意可得：解得m∈．故选：C．利用函数的导数，求出函数的极值，利用函数的图象以及极值，判断m的范围即可．求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，作出f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0，解得t，再由图象可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：A={x∈Z|-1＜x＜3}={0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．先求出集合A={0，1，2}，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算．14.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z3=i3=-i．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15.【答案】D【解析】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈[0，2]，x2-2x≤0”的否定是“x0∈[1，2]，x02-2x0＞0”．故选：D．运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定．本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：f（x）是R上的奇函数，且f（x）=，则f（-）=-f（）=-f（）=-log2=1．故选：C．利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．17.【答案】D【解析】解：由题意可设此双曲线的标准方程为：（a＞0，b＞0）．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，取焦点F（c，0），∵焦点到渐近线的距离为3，∴，解得b=2，a=2，因此该双曲线的方程为：-=1．故选：D．利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识的考查．18.【答案】B【解析】解：两名同学分3本不同的书，基本事件包含：（0，3），（1a，2），（1b，2），（1c，2），（2，1a），（2，1b），（2，1c），（3，0），共8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为：p=．故选：B．两名同学分3本不同的书，利用列举法求出基本事件包含8种情况，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分得3本书的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1x=，y=4不满足条件，执行循环体，n=2，x=，y=8，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=，y=16，此时，x＞y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=，y=32，此时，x＜y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的中应填x≤y？故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．20.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键．【解答】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为4，高为4，如图：所以三棱锥的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为O，设球的半径为r，则：r2=4+（4-r）2，解得r=，则该几何体的外接球表面积为：4πr2=25π．故选：D．21.【答案】【解析】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，，则||=2，||=5，且•=2×（-3）+（-4）×（-4）=10，cosθ===，故答案为：．根据题意，设向量与夹角为θ，由向量的坐标计算公式可得||、||以及•的值，由向量数量积的坐标计算公式cosθ=，计算可得答案．本题考查向量的夹角的计算，涉及向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．22.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y得y=x-z，平移直线y=x-z，由图象直线当直线y=x-z经过B（2，0）时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大为z=2-0=2，即z=x-y的最大值是2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．23.【答案】C【解析】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品C为一等奖；故答案为：C．根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．验证法的应用．24.【答案】4π【解析】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E 点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．25.【答案】2y=±x【解析】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．26.【答案】10【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，-1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（-1）2=10，故答案为：10．由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．27.【答案】【解析】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y-2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．直线l截圆C所得的弦长=2=．故答案为．利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出．熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．28.【答案】（0，1）【解析】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵f（x）=k有两个不同解，∴0＜k＜1．故答案为：（0，1）．作出f（x）的函数图象，根据图象得出k的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．29.【答案】【解析】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1+2+…+2n-1=1023，∴n=10，∴最小正方形的边长为=．故答案为：．正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．30.【答案】②③【解析】解：在①中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故①不正确；在②中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故②正确；在③中，3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故③正确．故答案为：②③．在①中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在②和③中，关键是：3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0．本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．31.【答案】解：（1）设AB=x，则由余弦定理有：AC2=AB2+BC2-2AB•BC cosB，即32=22+x2-2x•2cos60°，解得：，所以；（2）因为，所以．在△BCD中，由正弦定理可得：，因为∠BDC=2∠A，所以．所以，所以．【解析】（1）设AB=x，通过AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB，求解即可．（2）在△BCD中，由正弦定理可得：，转化求解A即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．32.【答案】22 8 30 63 7 70 85 15【解析】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…（1分）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…（3分）∴P（A）=…．（4分）K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．（10分）所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．（12分）（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．33.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×正方形=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．34.【答案】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，则M（1，0）到直线x-y+-1=0的距离d==1，∴b=d=1，离心率e===，解得：a=，∴椭圆C的标准方程；（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x=1，，不妨设，，，，∵k1+k3=2，∴，∴m，n的关系式为3n=2m．②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x-1），联立椭圆整理得：（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴，=，=．∴，∴m，n的关系式为3n=2m．【解析】（1）由点到直线的距离公式d==1，求得b=1，由e===，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，直线的斜率公式的综合应用，综合性较强，运算量大，极易出错，属于中档题．35.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为，，，当k≤0时，＞，在（0，+∞）上是增函数，当k＞0时，若∈，时，有＞，若∈，时，有＜，则f（x）在，上是增函数，在，上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为，要使f（x）≤0恒成立，则即可，即-ln k≤0，得k≥1．（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即ln x＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n2，则l n n2＜n2-1，即2l n n＜（n-1）（n+1），从而＜，＜得证．【解析】（1）求出函数的定义域，导数，利用导函数的符号，求解函数的单调区间即可．（2）利用（1）的结论，通过函数的最大值，转化求解即可．（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2-1，即2lnn＜（n-1）（n+1），然后化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．36.【答案】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（，），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．37.【答案】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，即证（a+b+c）2≥3，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca=1，。
北京市中国人民大学附属中学2019届高三下学期理科数学练习卷(一)(含答案)
北京市中国人民大学附属中学 2019届高三下学期理科数学练习卷（一）本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。
)1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<，{}1,0,1,2B =-，则A B =A.{}0,1 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1-D.{}1,0-2.已知i 为虚数单位，复数212iz i+=-，则3z = A.iB.i -C.1D.1-3.命题“[]20,2,20x x x ∀∈-≤”的否定是A.[]20,2,20x x x ∀∈-> B.[]20000,2,20x x x ∃∈-≤ C.[]20,2,20x x x ∀∉->D.[]20000,2,20x x x ∃∈->4.()f x 是R 上的奇函数，且2(1),1()log ,01f x x f x x x ->⎧=⎨<≤⎩则3()2f -=A.12 B.12-C.1D.1- 5.已知焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为6p，且其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为A.22132x y -=B.2213x y -= c.22164x y -= D.221124x y -= 6.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为A.12 B.14 C.13 D.167.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。
数学练习-人大附中答案
第Ⅰ部分 客观卷（共40分）本部分共20道选择题，每小题2分，共40分.第Ⅱ部分 主观题（共60分）一．算一算（每小题6分，共18分）1. 解：原式=6221-++-=．2. 解法一： 24,23.x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②由②得，23x y =-. ③将③代入①得，2(23)4y y -+=.解得 2y =. 将2y =代入③得 1x =.所以，原方程的解为1,2.x y =⎧⎨=⎩解法二： 24,2 3.x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2，得 428x y +＝. ③ ②＋③，得 5=5x . 解得 1x =.把1x =代入②，得24y +＝. 解得 2y =.所以这个方程组的解是1,2.x y =⎧⎨=⎩3.解：原不等式组为 42(1)411223x x x x --<⎧⎪-+⎨≤⎪⎩，，由①，得 1x <.①②由②，得 5x ≥-.∴原不等式组的解集为51x -≤<.∴原不等式组的所有整数解为-5, -4, -3, -2, -1,0.二．画一画（本题4分）如图，∠ABC 和∠DEF ，AB ∥EF ，BC ∥DE ，但∠ABC ≠∠DEF (∠ABC 和∠DEF 的数量关系互补) .三．解决实际问题（第1小题9分，第2小题8分，共17分） 1. 解：（1）40个，70个；（2）设每个波比跳消耗热量x 大卡，和每个深蹲消耗热量y 大卡，根据题意，得20401322070156.x y x y+=⎧⎨+=⎩ 解得5,0.8.x y =⎧⎨=⎩答：一个波比跳5大卡，一个深蹲0.8大卡（3）设小明10分钟做z 个波比跳，则做深蹲（120z -）个,根据题意，得 50.8(120)200z z +-≥ 解得 162421z ≥ ∵z 为整数，∴25z ≥.答：小明至少要做波比跳25个．2.（1）50,18. （2）图略. （3）800. （4）是.四．解决几何问题（本题8分） 解：（1）补图如下：D（2）如图，过点M 作IJ ∥DE .∴∠IMN=MNE ∠.∵将OB 平移得到DE , ∴OB ∥DE . ∴IJ ∥OB. ∴∠IMO=AOB α∠=.∵∠IMN=∠IMO +∠OMN=αβ+. ∴=+.MNE αβ∠（3）如图，过点G 作GK ∥DE . ∴∠NGK=∠ENG ∵OC 平分∠AOB , ∴∠BOC=12∠AOB=12α. ∵OB ∥DE , GK ∥DE . ∴GK ∥OB.∴∠OGK=∠BOC=12α.∴∠NGO=∠NGK+∠OGK=∠ENG+12α∵2180NGO OMN ∠+∠=，∠OMN=β,∴2（∠ENG+12α）+β=180°.∴2∠ENG=180αβ︒-- 由（2）得=+.MNE αβ∠ ∴180DNM αβ∠=︒--\ ∴2DNM ENG ∠=∠. ∵ 180ENM DNM ∠+∠=.∴2180ENM ENG ∠+∠=.五．探究新问题（本题8分） 解：（1）2, 3.（2）∵点B (,4)x x -在第一象限，∴0,40.x x >⎧⎨->⎩∴0 4.x <<∵(,)3d B O =分解∴4,3.x x x ≥-⎧⎨=⎩或4,4 3.x x x <-⎧⎨-=⎩解得3x =或1x =，均符合题意. ∴点B 的坐标为（3,1）或（1,3）.（3）①答案不唯一，例如点C 的坐标为（0,3）（1,2）（3,0），描点如图1，它们在一条直线上.②如图2，点E 围成的图形为正方形GHIJ ,点F 围成的图形为正方形KLMN. 两个图形重合部分的面积为18.。
【数学】北京市人大附中高三第一次模拟考试 数学理
人大附中第一次模拟考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·菏泽期末]已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．[2018·武邑中学]设为锐角，，，若与共线，则角（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．[2018·吕梁期末]函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（）A．B．C．D．4．[2018·渭南质检]如图，执行所示的算法框图，则输出的值是（）A．B．C．D．5．[2018·吉林实验中学]函数的部分图像如下图，且，则图中的值为（）A．1 B．C．2D．或26．[2018·赣中联考]李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步，50步B．20步，60步C．30步，70步D．40步，80步7．[2018·常德期末]一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为（）A．B．C．D．8．[2018·濮阳一模]设点是表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为（）A．B．C．D．9．[2018·赣州模拟]如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．40海里10．[2018·衡水金卷]若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”．若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A．0 B．2 C．4 D．611．[2018·渭南质检]已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．[2018·江西联考]已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·淮安一模]已知集合，，则________．14．[2018·孝感八校]将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则。
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练1数学试题
北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练1数学试题一、单选题1．已知集合(){}2log 12A x x =+<，{}22530B x x x =--≤，则A B =U （ ）．A ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭B ．{}13x x -<≤C ．132x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}3x x ≤2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 A ．()ln ||f x x = B ．()2-=x f x C ．3()f x x =D ．2()f x x =-3．已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．为了得到函数2log (22)y x =-的图象，只需把函数2log y x =的图象上的所有点（ ） A ．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C ．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 5．设x R ∈且0x ≠,则“1x >”是“12x x+>”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知22{R |240}A x x mx m =∈++-<，{N |||1}B x x =∈<，且A B B =I ，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)-B ．[1,1]-C ．(2,2)-D ．[2,2]-7．设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,27D ．()27,+∞8．若函数2()()x f x ax bx e =+的图像如图所示，则实数,a b 的值可能为A ．1,2a b ==B ．1,2a b ==-C ．1,2a b =-=D ．1,2a b =-=-9．德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈） A ．2小时B ．0.8小时C ．0.5小时D ．0.2小时10．已知函数2,0,()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩当1324m ≤<时，方程1()8f x x m =-+的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．计算1ln1lg 2lg 3lg54+-+=．12．已知方程221)42(0x m x m -+-=+的两根一个比2大另一个比2小，则实数m 的范围是．13．若不等式20ax bx c --<的解集是{23}xx <<∣，则不等式20cx bx a -->的解集为． 14．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =15．已知函数()e 2x f x =-，()2g x x ax =+（a ∈R ），()21h x kx k =-+（k ∈R ），给出下列四个命题，其中真命题有．（写出所有真命题的序号） ①存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有一个根；②存在实数k ，使得方程()()f x h x =恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数12,x x ，使得()()()()1212f x f x g x g x -=-； ④任意实数a ，存在不相等的实数12,x x ，使得()()()()1221f x f x g x g x -=-．三、解答题16．已知二次函数()2f x ax bx =+(,a b 为常数，且0)a ≠ 满足条件：()()13f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、()n m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由. 17．已知函数2()e x f x ax =-．(1)若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的最大值；(2)若2a =，是否存在1x ，2(0,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点()()11,x f x 和点()()22,x f x 处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：e 2.72≈，ln 20.69≈）18．已知：集合{}12{(,,,,),0,1,1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=L L L ，其中3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈ΩL L ，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质：①S 中元素个数不少于4个．②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,}m n ∈L ,，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈L ，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1．。
北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市人大附中2024-2025高三10月月考数学试卷及答案
2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则A B =（ ） A ．()2,4− B ．[)0,4 C ．[]0,1 D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x =B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()x x f x e e −=− 3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bBC ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ）A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π3 5．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ）A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,+∞D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b >”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12± B．2± C．2± D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1；②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ． （1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−><⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； （2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．（本小题15分）已知函数()()2x f x e x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−．（1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由；（3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N“10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。
人大附中高三数学测试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是无理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $3.1415926$D. $\sqrt[3]{8}$2. 已知函数$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，则$f(2)$的值为（）A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则$a_{10} + a_{15} = a_5 + a_{20}$的值为（）A. 5dB. 10dC. 15dD. 20d4. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线$y=x$的对称点B的坐标为（）A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）5. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b$为实数），且$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的值为（）B. 1C. -1D. 不存在6. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在三角形ABC中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，则$\angle C$的度数为（）A. 45B. 60C. 75D. 908. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n^2 - 1$，则$a_3$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$（$q \neq 1$），且$a_1 + a_2 + a_3 = 6$，$a_2 + a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）A. 2C. 4D. 610. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则$a_9$的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 22二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(2)$的值为________。
人大附中届高三数学摸底考试数学试卷及答案
人大附中届摸底考试数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共40分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么事件A 在n 次重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k .一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,},3|||{},02|{2R B A a x x B x x x A =⋃<-=>--=若集合，则实数a 的取值范围是（A ）[1，2] （B ）（－1，2） （C ）[－1，2] （D ）（－2，1） 2. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l其中正确的两个命题的序号是 （A ）①与② （B ）③与④ （C ）②与④ （D ）①与③3. 下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数x y 2log =的图象重合的函数是（A ）x y 2= （B ）x y 21log =（C ）xy 421⋅=（D ）21log 1y x =+4. 如右图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为5. 函数sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图象是（ ）(A ) (B ) (C ) (D ) 6. 设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （A ）4)11)((≥++ba b a （B ）2332ab b a ≥+（C ）b a b a 22222+≥++ （D ）b a b a -≥-||7. 设a 、b 是方程0cos cot 2=-+θθx x 的两个不相等的实数根，那么过点A（a ,a 2）和B （b ，b 2）的直线与圆122=+y x 的位置关系是 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）随θ的值变化而变化8. 函数()()()sin 0f x M x ωϕω=+>，在区间[],a b 上是增函数，且()(),f a M f b M =-=，则函数()()cos g x M x ωϕ=+在区间[],a b 上 （A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－MxyOxyOxyOxyO人大附中高三数学月考试卷班级____________姓名____________学号_____________第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上.9. 若实数x 、y 满足y x z y x y x y x 2,009382+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+则的最大值为 . 10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0,若存在自然数3≥m ，使得a m =S m ,当n >m 时，S n 与a n 的大小关系为：n S _______n a ．（填“>”；“<”或“＝”）11. 年10月15日，我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空，实现了中华民族千年的飞天梦，飞船进入的是椭圆轨道，已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里，最远距离约350公里（地球半径约为6370公里），则轨道椭圆的标准方程为（精确到公里） .（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点，写出一个方程即可） 12. 某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为______________．13. 设,,a b c 是任意非零的平面向量，且互不共线，给出下面的五个命题：（1）=a b a b ； （2）()()b c a c a b -不与向量c 垂直．；（3）a b a b -<-； （4）若0a b =，则0a =，或者0b =； （5）()()a b c b c a =； （6）()()22323294a b a b a b +-=-其中真命题的序号为_____________________________.14. 某纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a ，说明： ______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A .（1）求A CB 2cos 2sin 2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—E F—A的大小（结果用反三角函数值表示）.17．（本小题满分14分）某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天下午4：00～5：00同时开放健身房和娱乐室，要求所有教工每天必须参加一个活动．据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？18．（本小题满分14分）某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D 算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为1 5，路段CD发生堵车事件的概率为18．（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.ξE北西19．（本小题满分12分）已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当.81)(,]21,41[≥∈x f x 时（1）求a 的值； （2）设.11.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明20．（本小题满分13分）已知抛物线x y 42 的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，（1）求证：直线MN 必过定点，并求出定点坐标．（2）分别以AB 和CD 为直径作圆，求两圆相交弦中点H 的轨迹方程．人大附中届摸底考试数学试卷答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题及答案
北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题一、单选题1．已知集合{}[]2,0,3A x x B =≤=，则A B = （）A ．{3}B ．{0}C ．[]0,2D ．{0，3}2．下列函数既是偶函数且又在()0,∞+上是单调递减函数的是（）A ．()cos 2f x x=B ．()exf x =C ．()lg f x x=D ．()23f x x-=3．已知角θ的终边过点()12,5P -，则tan θ=（）A ．512-B ．125-C ．125D ．5124．若0.32131,0.3,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．设,a b ∈R ，且0a b <<，则（）A ．11a b<B ．2b ab>C ．2a bab +>D ．2b a a b+>6．某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为()212s t t t =+，则这个物体在时间段1,2内的平均速度为（）A ．2B ．32C ．3D ．527．已知{}12|2,0,log 1xA y y xB x x ⎧⎫==<=>⎨⎬⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列结论正确的是（）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减9．已知0a >且1a ≠，函数(),1,1x a x f x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 在区间[]0,2上的最大值比最小值大52，则a 的值为（）A ．12或2B ．23或2C ．2或72D ．12或7210．已知函数()11sin cos f x x x=+，在下列结论中：①2π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线π4x =对称；③()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无最大值正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．函数()()22ln 1xf x x x =++-的定义域为．12．已知函数()πsin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的一段图象如图所示，则ω=；ϕ=．13．在ABC V 中，60,2,3A AC BC ︒===则ABC V 的面积等于．14．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100㎡的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备元．15．对函数(),f x 若存在区间[,](),M a b a b =<使得{|(),},y y f x x M M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”,给出下列四个函数:（1）(),x f x e =（2）3(),f x x =（3）π()cos ,2f x x =（4）()ln 1,f x x =+其中存在“稳定区间”的函数有.（把所有可能的函数的序号都填上）三、解答题16．已知函数()321233f x x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值．17．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．18．某同学用“五点法”画函数()()||πsin 0,2f x A x k ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxm π3n 5π6p ()sin A x kωϕ++1614-1(1)求出实数m ，n ，p 的值；(2)求出函数()f x 的解析式；(3)将()y f x =图象向左平移()0t t >个单位，得到()y g x =的图象．若()y g x =为偶函数，求t 的最小值．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin 0A CB AC +-+=(1)求角B 的大小；(2)给出以下三个条件：条件①：22230a b c c -+-=：条件②：3a =；条件③：4ABC S =△从这三个条件中选择两个条件，使得ABC V 存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）点M 为线段AB 中点，点N 为线段BC 中点，点P 为线段MN 上一个动点，记PA PC λ=⋅ ，直接写出λ的最大值．20．已知函数()()32111,e ln 32x f x x x ax g x x x x -=++=+(1)判断函数()y g x =零点的个数，并说明理由；(2)对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x '≤'-求实数a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，证明：0x ∀>，有()()g x f x ≥'．21．如图，T 是3行3列的数表，用(),1,2,3ij a i j =表示位于第i 行第j 列的数，且满足{}0,1ij a ∈．11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33a 数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中11a 的相邻项仅有12a 和21a ．对于数表T ，定义操作ij ϕ为将该数表中的ij a 以及ij a 的相邻项从x 变为1x -，其他项不变，并将操作的结果记为()ij T ϕ．已知数表0T 满足{}0,,1,2,3ij a i j =∈．记变换ψ为n 个连续的上述操作，即1122:,,,n n i j i j i j ϕϕϕψ ，使得()()()112210211,,,n n i j i j n i j n T T T T T T ϕϕϕ-=== ，并记()0n T T =ψ(1)给定变换112233:,,ϕϕϕψ，直接写出()30T T =ψ．(2)若T '满足122122231a a a a ====，其他项均为0．ψ是含n 次操作的变换且有()0T T '=ψ，求n 的最小值．(3)若变换ψ中每个操作ij ϕ至多只出现一次，则称变换ψ是一个“优变换”，证明：任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ．参考答案：题号12345678910答案CDABDBBCDB1．C【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.【详解】因为集合{}[]{}2,0,303A x x B x x =≤==≤≤，所以{}[]020,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：C.2．D【分析】根据余弦函数，指数函数，对数函数及幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π044f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()cos 2f x x =在()0,∞+上不是单调递减函数，A 不符题意；对于B ，函数()e xf x =在()0,∞+上是单调递增函数，故B 不符题意；对于C ，当()0,x ∈+∞时，()lg lg f x x x ==在()0,∞+上单调递增，故C 不符题意；对于D ，()()()()21233,0,,0f x xxx ∞∞--==∈+⋃-，因为203-<，所以函数()23f x x -=在()0,∞+上单调递减，因为()()()123f x x f x --==，所以()23f x x -=是偶函数，故D 符合题意.故选：D.3．A【分析】根据正切函数的定义计算．【详解】由题意，55tan 1212α==--．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于简单题．4．B【分析】由指数函数和对数函数的性质即可得出答案.【详解】因为0.3110122a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，200.30.31b -=>=，1133log 3log 31c -===-，所以b a c >>.故选：B.5．D【分析】ABC 选项，可举出反例；D 选项，利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，当2,1a b =-=-时，111,12a b=-=-，故11a b >，A 错误；B 选项，当2,1a b =-=-时，21,2b ab ==，2b ab <，B 错误；C 选项，当2,1a b =-=-时，322a b +=-=，2a b+<，C 错误；D 选项，当0a b <<时，0,0b a a b >>，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，但a b ≠，故等号取不到，故2b aa b+>，D 正确.故选：D 6．B【分析】根据平均速度的公式计算.【详解】211211322212s v t ⎛⎫⨯+-+ ⎪∆⎝⎭===∆-.故选：B.7．B【分析】根据题意，化简集合,A B ，再由充分条件以及必要条件的定义判断即可.【详解】因为{}()2,00,1x A y y x ==<=，121log 10,2B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则B 是A 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件.故选：B 8．C【分析】根据导函数的正负即可求解()y f x =的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当2x <-时，()()0,f x f x '<单调递减，当2x ≥-时，()()0,f x f x '≥单调递增，故2x =-是函数()y f x =的极小值点，()y f x =无极大值.故选：C 9．D【分析】按照a 与1的大小进行分类讨论，求出函数()f x 在[]0,2上的最值，从而可得a 的值.【详解】①当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上是减函数，在(]1,2上也是减函数.∵()0011f a a ==>-+，∴函数的最大值为()01f =，而()()221f a a f =-+<=，∴函数()f x 的最小值为()22f a =-+，∴5212a -++=，解得()10,12a =∈，符合题意.②当1a >时，函数()f x 在[]0,1上是增函数，在(]1,2上是减函数.∵()11f a a =>-+，∴函数()f x 的最大值为()1f a =，而()22f a =-+，()001f a ==，当()1,3a ∈时，21a -+<，此时函数()f x 的最小值为()22f a =-+，因此有522a a -++=，无解；当[)3,a ∈+∞时，21a -+≥，此时函数()f x 的最小值为()01f =，因此有512a +=，解得()73,2a =∈+∞，符合题意.综上所述，实数a 的值为12或72.故选：D 10．B【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的最值情况.【详解】因为π11π112π07πππ7π44sin cos sin4444f f ⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以2π不是()f x 的一个周期，故①错误；()11π,π11cos sin 2ππ11π2sin cos ,22cos sin 2x x x f x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎛⎫-=+=≠⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪---+< ⎪⎪⎩⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故②错；()()()()222sin cos 11sin cos sin cos 1sin cos 1sin cos 2x x x x f x x x x x x x --=-+==----，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则3,444x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭πππ，)1t ⎡∈-⎣，22211t y t t t ==--，在)1t ⎡∈-⎣上单调递增，所以无最大值，即函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上无最大值，故③正确.故选：B.11．[2,1)-【分析】根据函数特征直接求定义域即可.【详解】由函数()()2ln 1x f x x =+-可知，202,,21101x x x x x +≥≥-⎧⎧∴-≤<⎨⎨-><⎩⎩，所以定义域为[2,1)-.故答案为：[2,1)-12．2π4【分析】由图知7π3ππ2882T =-=，2πT ω=可得ω的值，再由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈以及π02ϕ<≤求得ϕ的值.【详解】由7π3ππ2882T =-=，可得πT =，所以2π2π=2πT ω==，此时解析式为()sin 2y x ϕ=+，由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈，可得()3ππZ 4k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<≤，所以1k =，π4ϕ=，故答案为：2；π4.13【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，C ，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积．【详解】因为60,2,A AC BC ︒===2,,sin sin sin 60sin BC AC A B B︒=∴=sin 1,90,30,B BC ︒︒∴=∴==12sin 302ABC S ︒=⨯⨯=!14．3200【分析】假设正面铁栅和两侧墙长，可构造等式100xy =；列出造价409020z x y xy =++，利用基本不等式求得最小值.【详解】设正面铁栅长为x ，两侧墙长为y ，则100xy =于是造价为409020z x y xy=++则：4090202020120020003200z x y xy xy xy =++≥==+=，当且仅当4090 100x y xy ==，即20153x y ，==时取等号本题正确结果：3200【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解和的最小值的方法.15．②③【详解】因为()x f x e =单调递增，所以若存在“稳定区间”则x e x =至少有两个解，而x e x >恒成立，所以()x f x e =不存在“稳定区间”；因为()3f x x =单调递增，所以若存在“稳定区间”则3x x =至少有两个解，显然成立，所以()3f x x =存在“稳定区间”；（3）因为[0,1],cos [0,1]2x x π∈∈,所以f(x)=π cos 2x 存在“稳定区间”；（4）因为()ln 1f x x =+单调递增，所以若存在“稳定区间”则ln 1x x +=至少有两个解，而ln 1x x +=只有一解x=1，所以()ln 1f x x =+不存在“稳定区间”；点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．16．(1)8100x y --=(2)递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，由导数的几何意义即可得到结果.（2）根据题意，求导得()f x '，令()0f x '=即可得到极值点，从而得到结果.【详解】（1）因为()3212222633f =⨯+-=，且()22f x x x '=+，则()222228f '=+⨯=，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()682y x -=-，即8100x y --=.（2）因为()22f x x x '=+，令()0f x '=，解得2x =-或0x =，当(),2x ∞∈--时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；当()2,0x ∈-时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()2,0-，当2x =-时，()f x 有极大值为()()3122224333f -=⨯-+-=，当0x =时，()f x 有极小值为()203f =-.综上所述，递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.17．(1)()f x 的最小正周期为π.(2)最大值为2，最小值为1.【分析】（1）先化简()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭求出π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后由最小正周期公式求解即可.（2）求()f x 在闭区间上的最大值和最小值即可.【详解】（1）()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)22sin cos cos 2sin 2x x x x x =+--+-，πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为：2ππ2T ==.（2）由（1）可知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,363⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x .所以当ππ232x -=时，max ()2f x =，当ππ236x -=时，min ()1f x =.所以当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的最大值为2，最小值为1.18．(1)π12m =，712n =π，1312p =π(2)()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π(3)π3【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到m ，n ，p ；（2）根据表格得到sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程得到51A k =⎧⎨=⎩，然后结合（1）中结论即可得到()f x 的解析式；（3）根据图象的平移变换得到()g x ，根据()g x 为偶函数得到()0g 为最值，然后解方程求t 即可.【详解】（1）由题意得0ππ32π5π3π622πm n p ωϕωϕωϕωϕωϕ+=⎧⎪⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪+=⎩，解得2π6π127π1213π12m n p ωϕ=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩，所以π12m =，712n =π，1312p =π.（2）由题意得sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得51A k =⎧⎨=⎩，所以()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.（3）由题意得()5sin 2216g x x t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π，因为()g x 为偶函数，所以()05sin 2166g t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭π或()04g =-，即sin 216t ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭π，即2,62t k k -=+∈πππZ ，解得,32k t k =+∈ππZ ，因为0t >，所以当0k =时，t 最小，最小为π3.19．(1)2π3B =(2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6-【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 2B =-，得到2π3B =；（2）（Ⅰ）选择①②和①③求出边长均不合要求，选择②③，得到ABC V 存在且唯一，并求出5c =，7b =，得到sin A （Ⅱ）取AC 的中点H ，推出22PA PC PH CH ⋅=- ，并得到点P 与N 重合时，PH 最大值为52，并求出λ的最大值.【详解】（1）222sin sin sin sin sin 0A C B A C +-+=，由正弦定理得2220a c b ac +-+=，故2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =，（2）（Ⅰ）选择①②，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又3a =，所以60c =，解得0c =，此时ABC V 不存在，选择①③，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又0c >，故3a =-，不合要求，此时ABC V 不存在，选择②③，1sin 2ABC S ac B == 21π3n 23si c ⨯=5c =，又3a =，2220a c b ac +-+=，故2925150b +-+=，解得7b =，由于357+>，故满足ABC V 存在且唯一，由正弦定理得sin sin a b A B =，即372πsin sin 3A =，解得sin A ，（Ⅱ）取AC 的中点H ，连接PH ，则2PA PC PH += ，2PA PC CH -= ，两式平方后相减得22PA PC PH CH ⋅=- ，其中72CH = ，当点P 与M 重合或与N 重合时，PH 最大，当点P 与M 重合时，1322PH a == ，当点P 与N 重合时，1522PH c == ，故PH 最大值为52PH = ，故22PA PC PH CH λ=⋅=- 最大值为2549644-=-.20．(1)1个(2)(],1-∞-(3)证明见解析【分析】（1）先求定义域，转变为求1()e ln x k x x -=+的零点个数，求导，根据单调性与零点的存在性定理即可求；（2）任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，可转化为()()12max max 2f x g x ''≤-，则求出()1max f x '，()2max g x '即可求出实数a 的取值范围；（3）指对缩放不等式可知()1e 11x x x -≥-+=，1ln 1x x≥-(需证明)，则可得12e ln 1x x x x x x -+≥+-，则不等式可证.【详解】（1）由()1e ln x g x x x x -=+，定义域为0+∞(,)，()y g x =的零点等价于1()e ln x k x x -=+的零点，11()e 0x k x x -'=+>，所以()y k x =在(0,)+∞上单调递增，又11e 1(1)10,()e 10ek k -=>=-<，所以()y k x =在1(,1)e上只有一个零点，所以()y k x =的零点个数为1个，则()y g x =的零点个数也为1个.（2）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增，故()()max 12f x f a ''==+．因为()1eln x g x x x x -=+，所以()()111e e ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++，又(]0,1x ∈，所以()0h x '>，故()g x '在区间(]0,1上单调递增，所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，所以()()max max 2f x g x ''≤-，即232a +≤-，解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-．（3）令()1e -=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）．令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=．令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11e ln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）．又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-．因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++，故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．21．(1)100010001(2)n 的最小值为3(3)证明过程见解析【分析】（1）按照题意进行求解即可；（2）先得到T '，分析得到T '的对称性和奇偶性质，当1n =，2n =时，不满足要求，3n =时，取变换111213:,,ϕϕϕψ，得到答案；（3）设A 是所有优变换的集合，B 是所有数表的集合，构造:f A B →，证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，证明出数表中的数据都可通过变换单独被改变，从而证明出结论.【详解】（1）0T 为000000000()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2221T T ϕ=，故2T 为100011010()3332T T ϕ=，故()30T T =ψ为100010001（2）T '为010111000由题意得，1113223133,,,,ϕϕϕϕϕ均改变了表格中的奇数个数据，定义为奇操作，12212332,,,ϕϕϕϕ均改变了表格中的偶数个数据，定义为偶操作，两次同样的操作，表格中数据不变，例如1111:,ϕϕψ不改变表格中数据，故n 的最大值为9，且变换满足交换律，例如1112:,ϕϕψ和1211:,ϕϕψ，结果相同，观察到T '是关于122232,,ϕϕϕ变换所在直线对称的，故变换也要关于这条直线轴对称，T '中有4个1，故相对于0T 改变了4个数，若1n =，通过验证，发现不能得到T '，若2n =，结合对称性和奇偶性，有1113:,ϕϕψ，2123:,ϕϕψ，3133:,ϕϕψ，1232:,ϕϕψ四种变换，经过验证，均不满足，若3n =，结合对称性和奇偶性，不妨取变换111213:,,ϕϕϕψ，()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2121T T ϕ=，故2T 为001110000()3132T T ϕ=，故()30T T =ψ为10111故n 的最小值为3；（3）设A 是所有优变换的集合，则A 中的优变换的个数为92，B 是所有数表的集合，则B 中的数表的个数为92，构造:f A B →，下面证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，由于,A B 中元素个数相同，要证每种变换都能等价变换为唯一的优变换，只需证每个数表都能通过变换得到，由（2）可知，11121322:,,,ϕϕϕϕψ可以得到以下数表，000000010由对称性可知，12212332,,,a a a a 可以单独被改变，又经过11:ϕψ变换得到110100000又1221,a a 可单独被改变，故可得到100000000即11a 可单独被改变，同理经过变换133133,,a a a 可单独被改变，经过22:ϕψ变换得到：111010又经过变换，12212332,,,a a a a 可单独被改变，可得到000010000故任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ.【点睛】新定义问题，要充分发掘题目中信息，将复杂问题抽丝剥茧，化难为简.（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
人大附中高三数学总复习基本练习09
一． 选择题：1．设全集U ＝R ，集合2|{2-==x x x M ，R}∈x ，21|{≤+=x x N ，R}∈x 则N M C U )(等于（ ）A ．{2}B ．}31|{≤≤-x xC ．{x |x ＜2，或2＜x ＜3}D ．21|{<≤-x x 或}32≤<x2．ii ii +---+1)2(1)21(22等于（ ）A ．-3＋4iB ．-3-4iC ．3＋4iD ．3-4i 3．函数y =x+-111的图象大致是（ ）4．设三棱柱ABC -111C B A 的体积为V ，P 为其侧棱1BB 上的任意一点，则四棱锥P -11A ACC 的体积等于（ ） A ．V 32B ．V 31C ．V 43D ．V 215．不等式组⎩⎨⎧>->-ax a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-1，3)B ．(-3，1)C ．(-∞，1) (3，＋∞)D ．(-∞，-3) (1，＋∞) 6．直线1l 、2l 分别过点P （-2，3）、Q （3，-2），它们分别绕点P 、Q 旋转但保持平行，那么它们之间的距离d 的取值范围是（ ）A ．（0，＋∞）B ．（0，25]C ．（25，＋∞）D ．[25，＋∞） 7．已知f （2x ＋1）是偶函数，则函数f （2x ）图像的对称轴为（ ） A ．x ＝1 B ．21=x C ．21-=x D ．1-=x8．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n的最小正值是（ ） A ．6π7 B ．2π C ．6π D ．3π9．各项都是正数的等比数列{n a }的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为（ ） A ．215+ B ．215- C ．251- D ．215+或215-10．如图，正三棱锥A -BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上．并且λ==FDCF EBAE （0＜λ＜＋∞），设α 为异面直线EF 与AC 所成的角，β 为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β 的值是（ ）A ．6π B ．4π C ．2π D ．与λ 有关的变量11．右图中的曲线对应的函数是（ ）A . sin ||y x =-B . |sin |y x =-C . cos ||y x =-D . |cos |y x =12．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：① f (x )的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2]；② f (x )的极值点有且仅有一个；③ f (x )的最大值与最小值之和等于零，其中正确的命题个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二．填空题： 13．已知nnx )1(+展开式中3x 项的系数是161，则正整数n ＝________．14．如图，空间有两个正方形ABCD 和ADEF ，M 、N 分别在BD 、AE 上，有BM ＝AN ，那么①MN AD ⊥；②MN ∥平面CDE ；③MN∥CE ；④MN 、CE 是异面直线．以上四个结论中，不正确的是____ ____．15．设向量a ＝(co s23°，co s67°)，b ＝(co s68°，co s22°)，u ＝a ＋t b （R ∈t ）则|u |的最小值是_ _______． 16．连结双曲线12222=-by ax 与12222=-ax by （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则21S S 的最大值是________．17．若1222133lim→=+++x x ax x ，则a 等于 。
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学开学复习质量检测试题(含解析)
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（ ）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（ ）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥， 所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形． 本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题． 二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=， 故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______． 【答案】，【解析】 由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析： 设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解 【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===； 故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点； （2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小 【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ， 又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥， 又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，， 可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-． （Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间； （Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--， 令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时， 若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-， 所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①， 又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +， 直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】 【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”． （2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。
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北京市人大附中高三数学基础练习题一一、选择题1．已知集合A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z ,3πsin |n n x x ，且B ⊆A ，则集合B 的个数为 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．8个 D ．16个2．一工人看管5部机器，在1小时内每部机器需要看管的概率是31，则1小时内至少有4部机器需要看管的概率是 （ ）A ．24311 B ．24313 C ．2431 D ．243103．在△ABC 中，条件甲：A ＜B ；条件乙：cos 2A ＞cos 2B ，则甲是乙的 （ ） A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．一个年级有12个班，每一个班有50名学生，随机编号为1~50号，为了了解他们的课外兴趣爱好，要求每班的32号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是 （ ） A ．分层抽样 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．系统抽样法 5．若直线x + 2y + m = 0按向量= (－1，－2) 平移后与圆C ：x 2+ y 2+ 2x －4y = 0相切，则实数m 的值等于 （ ）A ．3或13B ．3或－13C ．－3或13D ．－3或－13 6．若偶函数f （x ）在[0，2]上单调递减，则 （ ）A ．f （－1）＞f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41log 5.0＞f （lg0.5）B ．f （lg0.5）＞ f （－1）＞f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41log 5.0C ．f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41log 5.0＞f （－1）＞f （lg0.5）D ．f （lg0.5）＞f ⎪⎭⎫ ⎝⎛41log 5.0＞ f （－1）7．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD = AD ，则PA 与BD 所成角 的度数为 （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．抛物线y 2= 2px (p ＞0)上有A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点，F 是它的焦 点，若|AF |、|BF |、|CF |成等差数列，则 （ ）A ．x 1、x 2、x 3成等差数列B ．y 1、y 2、y 3成等差数列C ．x 1、x 3、x 2成等差数列D ．y 1、y 3、y 2成等差数列9．已知a ＞0，函数f （x ）= x 3－ax 在[1，+∞ 上是单调增函数，则a 的最大值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．函数f 1（x ）=x -1，f 2（x ）=||1x -，f 3（x ）=x +1，f 4（x ）=||1x +的图像分别是点集C 1，C 2，C 3，C 4，这些图像关于直线x = 0的对称曲线分别是点集D 1，D 2，D 3，D 4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 （ ） ①D 1⊂2D ②D 1∪D 3 = D 2∪D 4 ③D 4⊂D 3 ④D 1∩D 3 = D 2∩D 4）A ．①③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题11．给出平面区域如图所示，使目标函数z = ax + y (a ＞0)取最大值的最优 解有无穷多个，则a 的值为_________________. 12．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则 tan=++2tan 2tan 32tan 2CA C A ______________.13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件___ ___时V P －AOB 恒为定值. （写出你认为正确的一个即可） 14．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即a * b=2ba +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意三个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式是___ ___.15．设n ≥2，若a n 是(1 + x )n 展开式中含x 2项的系数，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n a a a 111lim 32 等于 . 16．设函数f （x ）= sin x ，g （x ）=－9]2 ,0[ ,4392πππ∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x ，则使g （x ）≥f （x ）的x 值的范围是北京市人大附中高三数学基础练习题二一、选择题：1．已知集合22{|1},{(,)|1}M y y x N x y x y ==+=+=，则M ⋂N 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．多个 2．已知复数212,1z a i z a i =+=+，若21z z 是实数，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．一1 C ．一2 D ．23．函数()log x a f x a x =+在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为14-，最大值与最小值之积为38-，则a 等于（ ） A ．2 B ． 2或12 C ．12 D ．234．若函数()sin x f x e x =，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为（ ） A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角 5．已知实数a 、b 满足等式23log log a b =，下列五个关系式：① 0<a <b <1； ② 0<b <a <1； ③ a = b ； ④ l<a <b ； ⑤ 1<b <a 。
其中不可能成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．函数()f x 为奇函数且(31)f x +的周期为3，(1)1f =-，则(2006)f 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2 7．函数2()log (672)x f x x x =-+的定义域是（ ）A ．12(,)(,)23-∞⋃+∞ B ．12(0,)(,1)(1,)23⋃⋃+∞ C ．12(,)23 D ．123(0,)(,1)(1,)232⋃⋃8．若211lim31x ax bx x →++=--，则a 、b 的值为（ ） A ．a =－5，b = 4 B ．a =1．b =－2 C ．a = 4，b =－5 D ．a =－2 , b =1 9．已知函数()1log (0a f x x a =+>且1)a ≠，满足(9)3f =，则19(log 2)f -的值是（ ）A．31log -+．．3D ．1310．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(一1，1)的夹角θ>90的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．712 D ．512二、填空题：11．在平面直角坐标系中，x 轴的正半辅上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有 个。
12．已知函数(21)72(1)()(1)xa x a x f x ax -+-<⎧=⎨≥⎩，在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_ _ 13．若291(1)x x a+-+，则1311(311)a a a ++⋅⋅⋅+-2410(2410)a a a ++⋅⋅⋅+=______________．(用数字作答)14．如图正六边形ABCDEF 中，AC ∥y 轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形如2(0)y ax bx c a =++≠的抛物线的概率是________________．15．已知每生产100克洗衣粉的原料费和加工费共为0.6元，某洗衣粉厂采用两种包装，其包装费及售价如下表所示．则以下说法中正确的是___ ______． ① 买小包装实惠；② 卖小包装盈利多； ③买大包装实惠； ④ 卖l 包大包装比卖3包小包装的盈利还要多．16．已知函数322()f x x ax bx a =+++在x = 1处有极值为10， 则a = ________，b =____________北京市人大附中高三数学基础练习题三一．选择题：1．若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合的一种分拆，并规定当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2， A 1）为集合的同一种分拆，则集合A ={1，2，3}的不同分拆种数为（ ）A ．27B ．26C ．9D ．8 2．已知函数 y =f (x +1)+1 的图象经过点P （m ,n ），则函数y =f (x －1)－1的反函数图象必过点 （ ） A ．（n +2,m － 2） B ．(n －2,m +2) C ．(n ,m ) D ．(n ,m +2) 3．若,x R nN ∈∈，定义()()()121nx M xx x x n =+++- ，例如：()()()3443224M -=---=-，则函数()115sin x f x M x -=的奇偶性是（ ）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4．若1s i n 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象按象量a 平移得到1sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,则向量a 等于( )A ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()f x 的定义域为R ,且1x ≠,已知()1f x +为奇函数,当1x <时,()221f x x x =-+,那么当1x >时, ()f x 的递减区间是( )A ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 在AB 上,且AM =13,点P 是平面ABCD 上的动点,且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1,则动点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 7．下列各式中,对任意实数x 都成立的一个是 ( )A ．2lg(1)lg(2)x x +≥B ．212x x +>C ．2111x ≤+D ．131x x +≥- 8．已知点A ,B 是抛物线22y px =()0p >上原点以外的两动点,若0OA OB =,则直线AB 交抛物线的对称轴于定点N 的坐标为 ( )A ．(),0pB ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0pD ．()4,0p 9．已知()()2cos f x x b ωϕ=++对于任意的实数x 有()4f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭成立,且8f π⎛⎫⎪⎝⎭1=-,则实数b 的值为( ) A ．1± B ．3± C ．1-或3 D ．3-或110．设,l m 两条不同的直线，,αβ是不同的平面.命题P :若l β⊥,αβ⊥,则//l α；命题q :l m ⊥,m α⊥,l α⊄,则//l α.对于下列复命题的真假性判断:①p 且q 为假 ②p 或q 为真 ③p 或非q 为真 ④非p 且q 为真 ⑤非p 或非q 为真，其中所有正确的序号为（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②③④⑤D ．①②④⑤ 二．填空题：11．已知x 为正实数,设1u x x =+，则1u u+的最小值为__________. 12．如图所示:某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足正弦曲()sin y A x ωϕ=+b +的表达式，则y =___________. 13．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则()2f =________.14．给定()()1log 2n n a n +=+()n N +∈,定义乘积12k a a a 为整数的()k k N +∈叫做希望数，则区间[]1,2005内的所有希望数之和为________.15．()f x 是R 上的增函数,A ()0,1-,B (3,1)是其图象上的两个点，那么()|1|1f x +≥的解集为 。