力学课件1-2、质点运动学(2).

见课本 P9 例3
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P9 例3 有一球体在某一液体中竖直下落,球体的初速为 vo =(10m.s-1)j , 它在液体中的加速度为a =(-1.0s-1)v j . 问： (1) 经多少时间后可以认为小球已停止运动，
(2)此球体在停止前经历的路程有多长?
解 由题意知 , 球体作变加速运动，加速度的方向与
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径，
方向沿轨道的法线指向。
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a

a

an

dv dt


v2

n
a a a 2 an 2
a an
a


dv dt
2


v2

2

tg a
an
a

dv dt
an
an

lim
t 0

vn t
切向加速度
法向加速度
由于速度大小变化而
由于速度方向变化而
产生的，沿切线方向
产生的，沿法线方向
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t
a
0
lim t 0
v
v t
v
v
lim
t0 t


dv dt


O
切向加速度大小等于速度的大小(或速率)对
s P s Q
自 然 坐

O
n
n
标 系
自然坐标系：在轨道曲线上任取一点为坐标原点，
以“弯曲轨道”作为坐标轴。
P处的坐标即为轨道的长度s (自然坐标)
方n运向动描方述切 法程向 向s单 单作 位位相s(矢矢互t )量量垂e直ent的指单向位轨矢道量的凹侧n
方向都 变化
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曲 线 运 动
A
v1
n

B
C

v2

O


v1vn
F
v
v2 D v E
A
取
DE FD
vO1由D由于于速tv速1度度方B大向小v2改D不E变同速而而v度引引2 增起起量的v的1 速速v度度变变v2化化 v1vvn
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v v vn
v1vnF
v2

Dv
v
E
时间的导数，方向沿轨道的切线方向。
t

an

lim
t 0
0

vn
t
vn vn
d
lim v n v
t0 t
dt
n
d d ds v d dt ds dt ds
ds d
v2
an n
r
积分
dr

t
vdt
t
t
r0
0
x x0 0 vxdt , y y0 0 vydt , x x(t)
Leabharlann Baidu
t
z z0 0 vzdt .
移项可得： y y(t) z z(t)
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若用不定积分，则：
x vxdt f (t) cx
运动学的两类问题是：
求导 求导
r (t)
v (t )
a(t)
积分 积分
只要知道了质点的运动方程，它的速度和
加速度也就知道了。关键是要找出运动方程。
知道了加速度求速度，知道了速度求运动
方程，还要知道初始速度和初始位矢，才能积
分求出定解。
（下面讲新课）
★切向加速度和法向加速度
从P10 表中可看出 t=9.2s, y ≈10m
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注 意
位矢 r
位移 r
速度 v
加速度
a
矢量性： 四个量都是矢量，有大小和方向
代数运算遵循平行四边形法则
瞬时性：r、v、a
某一时刻的瞬时量，
不同时刻的量不同。
r
过程量
相对性：不同参照系中，同一质点运动描述不同 不同坐标系中，具体表达形式不同
总加速度总是竖直向下的重力加速度 g
法向
an
g2 at2
v0 g v02 g2t
2
与切向加速度垂直
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2.一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速度是时间的 函数。已知ax=2, ay=36t2。设质点t＝0 r0=0,v0=0。
求：(1)此质点的运动方程；(2)此质点的轨道方程， (3)此质点的切向加速度。
et2
a

dv dt
et

v2

en
（下面例题）
例 1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 题 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发
射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速
度。
解：(1) x v0t
求导 求导 积分 积分
已知运动方程，求质点的速度和加速度
求导数
已知质点的速度(或加速度)和初始条件， 求质点运动方程及其它未知量
运用积分方法
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例5.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0， ====以后加速度均匀增加，每经过τ 秒增加a0 ， 求：经过t秒后质点的速度和运动的距离。
回顾：
位矢 运动方程
r re0 xi yj zk

r (t) x(t)i y(t) j z(t)k

位移 r r2 r1


平均速度
v
(x2 x1)i r x
(y2 i
yy1) j
j
(zz2 k
= 球体的速度方向相反。(不是匀变速运动)
由加速度的定义 , 有 a dv v
v dv
t
dt
v vo
0
dt
有 v voet (1)
又由速度 的定义 , 有
v
dy dt
voet
得
y
o dy vo
t et dt
o
有 y 10[1 et ](m) (2)
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3、螺旋线运动 : 平面两维的圆运动，与第三维的匀速直线
运动的叠加，如：
x Acost y Asin t
z vzt
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特别 讨论问题一定要选取坐标系
指出
注意矢量的书写
dr, ds, dv, dt
与
r,
s,
v,
t
的物理含义
r v a 运动学问题类型：

t
a

0vvn
0,OFD 2
沿A点的切线方向(平行
沿 A点的法线方向(平行
) n)
lim v lim v lim vn
O
v1vnFv
v2

Dv
E
t0 t t0 t t0 t
a

lim v t 0 t
解：(1)
ax

dvx dt
ay

dv y dt
dvx 2dt dv y 36t 2dt
vx 0
dv x

t
2dt
0
vy 0
dv y

t 36t 2dt
0
vx 2t
v y 12t 3
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
a

a0

a0

t
a dv dv adt dt
(直线运动中可用标量代替矢量）
v
adt
(a0

a0

t)dt

a0t

a0
2
t2

c1
t 0时v 0c1 0
v

a0t

a0
2
t2
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v dx , dx vdt dt
====内通过的路程。 v(m/s)
解： x vdt 2
1
实际上可以 0
用求面积的方法。
-1
2.5
4.5




1 2 3 4 t(s)
x (2.5 1) 2 (1 2)1 2m
2
2
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v(m/s)
OA段为匀加速运动；
2A B
AB段为匀速运动； BC段为匀减速运动，直
任一曲线运动都可以分解成沿 x、y 、z 三个各自
独立的直线运动的叠加
运动的独立性原理
ra v
(运动的叠加原理) 描述质点运动状态的物理量
描述质点运动状态变化的物理量
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运动叠加举例：
1、抛物线运动（抛体）
平抛：水平方向，匀速运动； ======竖直方向，自由落体运动。 斜上抛：水平方向，匀速运动； =======竖直方向，竖直上抛运动。 =====（见课本P12～14，二 斜抛运动） 斜下抛：水平方向，匀速运动； =======竖直方向，竖直下抛运动。 2、圆运动：垂直方向两个谐振动的叠加。
vy

dy dt
16t, ay
16
在x = 2.0m处，由x=4t
∴质点位于x=2.0m 处的速度和加速度
得
v
a
t=x/4=0.5s


vx
i
v
y
j
16 j(m s
, 此时vy=8m.s-1 4i 8 j (m s1 2 )
)
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位矢r描述、质位点移运动r 需、要速四度个v矢量、：加速度a
1
至静止，然后改变方向；
0 -1

1
2.5

2
C

3
F4.5

4 t(s)
CD段为反向 匀加速运动；
DE
DE段为匀速运动；
EF段为匀减速运动，直至静止。
∴质点在这段时间内通过的路程应该为
x (2.5 1) 2 (1 2) 1 5m
2
2
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见P27, T1-6 一质点自原点开始沿抛物线2y=x2运动，
它在Ox轴上的分速度为一恒量，其值为vx=4.0m.s-1, 求质点位于x=2.0m处的速度和加速度。
解：已知 vx为常量，∴ax=0,
t
vx

dx dt
dx vx dt
积分：x 0 0 vxdt vxt vx 0 即 x vxt 4t
代入轨道方程 2y=(4t)2=16t2 , ∴y = 8t2 , 则

z1
)k
速度
v

drt

t
dx
i

t
dy
j
t
dz
k
dt dt dt dt
（下一页）

平均速率
v

s t

r t
,
不改变方向的直线 运动才相等
速率 v ds dr v
而由v dr ,
dt dt
可得dr vdt 积分可得运动方程
dt 若再知道t 0时的初位置
代入t 0时x(0)的值，可得cx的值，这样即 求出了运动方程 x x(t)
同理可求出
y y(t)
z z(t)
加速度?
a

dv

dvx
i

dv
y
j
dvz
k
dt dt dt dt
（下一页）
四、加速度 单位：米/秒2
描述速度变化的快慢(包括大小和方向的变化)
t
A
t t B
质点在某时刻的加速度等于该时刻质点速度矢量对
时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数。
加速度方向：合外力的方向，不一定与速度方向相同。
直角坐标系中
a

dv

dv x
i
dv y
j
dv z
k
dt dt dt
dt
axi ay j azk
加速度大小： a a ax2 a y2 az2
y 1 gt 2 2
o
1 x2g
y 2
v02
y
v0
x
an
a
g
（下一页）
(2) vx v0 , v y gt
o v0
x
v
vx2

v
2 y

v02 g 2t 2
tan 1( gt )
v0
y

an
a
g
切向加速度
dv at dt
g2t v02 g2t 2
与速度同向
v1 v2
z
v1
A
·
B
· v2
t 时间内的平均加速度
a

v2
v1

v
o x
t2 t1 t
v t 时间内速度的增量
y v1
Δv
v2
（下一页）
t 时a刻的lim瞬时v加速d度v(简v称加d速r度d)t
t0 t dt
d 2r a dt 2
x
vdt
(a0t

a0
2
t 2 )dt

a0 2
t2

a0
6
t3

c2
t 0时x 0c2 0 则x a0 t 2 a0 t3
2 6
（下一页）
例6.一质点沿 x 轴作直线运动，其v-t曲线如图所示， ====如t = 0 时，质点位于坐标原点，求：t= 4.5秒 ====时，质点在 x 轴上的位置，及质点在这段时间

v2

加速度总是指向曲线的凹侧，因为正
是加速度的法向分量改变了质点的运动方向。
（下一页）
另一种推导法（课本dP1v6）：dv
v

dddeetvtt的et 大 方dd向小 t ae为为ne1nddtendtveetn
v
det dt
et1

et
（下一页叠加性）
叠加性： x x(t) y y(t) z z(t)
x ( x2 x1), y ( y2 y1), z (z2 z1)
vx

dx dt
,vy

dy dt
, vz

dz dt
d2x
d2y
d 2z
ax dt 2 , a y dt 2 , az dt 2