平差数学模型与最小二乘原理
第一章(近代平差理论简介)
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
第3章最小二乘平差
几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。 （测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型） 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常 用的有： 1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；
3、附有限制条件的条件平差法。
例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立 观测了三角形三个内角，观测值方差为 2 。 则平差的数学模型可表达为：
L1 L1 L1 1800 0 或： E ( L1 ) E ( L1 ) E ( L1 ) 1800 0
函数模型：
随机模型：
2 0 0 Q11 0 2 DL 0 2 0 0 0 Q22 2 0 0 0 0
1、条件平差法
条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0 h1 h2 h4 h6 0 .......
X1
X2
L3 X 1 X 2 180
0
t=2，选2个参数，函数模型：
选：X 1 L1 X 2 L2
1 0 0 , B0 0 B 0 1 0 1 1 180
3,1
L B XB
3,2 2,1
0
3,1
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
第二章 平差数学模型与最小二
3-2中
表3-3
近似坐标(m)
近似方位角
2 (187966.645 , 29506889.655)
3 (186847.276 , 29507771.035)
4 (186760.011 , 29509518.179)
5 (184817.621 , 29509341.465)
T1 = 67˚ 14′ 28.3″ T2= 141˚ 47′ 00.5″ T3 = 92˚ 51′ 33.8″ T4= 185˚ 11′ 54.0″ T5 = 249˚ 30′ 24.0″
0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
W= [ 3.9 -1.6 1.7 ]T
第3点平差后坐标函数式
xˆ3 x1 xˆ1 xˆ2 x1 sˆ1 cosTˆ1 sˆ2 cosTˆ2
yˆ3 y1 yˆ1 yˆ 2 y1 sˆ1 sin Tˆ1 sˆ2 sin Tˆ2
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点 的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点 的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求 定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个 几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只 需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过 它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量 与已知量之间的关系式称为函数模型。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
测绘技术中的平差计算方法详解
测绘技术中的平差计算方法详解测绘技术是一个复杂而多样化的领域，涉及到测量和计算等多个方面。
其中，平差计算是测绘技术中的一个重要环节，用于处理测量数据的误差，并确定准确的测量结果。
本文将详细介绍测绘技术中的平差计算方法，包括主要的几种方法以及其原理和应用。
一、最小二乘法平差最小二乘法平差是测绘技术中常用的一种平差方法，其原理是通过最小化测量数据的残差平方和，找到最优的平差结果。
具体而言，最小二乘法平差可以分为两个步骤，即观测方程的建立和最小二乘平差计算。
观测方程的建立是最小二乘法平差的首要步骤。
观测方程是通过观测数据和控制点坐标之间的关系建立的，通常采用线性模型，分为多余观测方程和未知数观测方程。
多余观测方程用于约束未知数之间的关系，而未知数观测方程用于计算未知数的值。
最小二乘平差计算是基于观测方程的误差理论和最小二乘法原理进行的。
具体而言，最小二乘平差计算首先确定观测方程的权阵，即观测误差的方差-协方差矩阵的逆阵。
然后，通过迭代计算的方式，不断更新未知数的值，直到满足平差条件为止。
最终，得到的平差结果可以用于控制点坐标的计算和精度评定等。
最小二乘法平差在测绘技术中有广泛的应用。
例如，地理信息系统（GIS）中的空间数据处理和地图制图，常常需要进行最小二乘法平差来获得准确的空间坐标。
此外，最小二乘法平差还在大地测量、工程测量和海洋测绘等领域中得到广泛的应用。
二、权值平差除了最小二乘法平差外，权值平差也是测绘技术中常用的一种平差方法。
它通过给予不同观测量不同的权值，来提高平差结果的准确性。
具体而言，权值平差可以分为权值设计和平差计算两个步骤。
权值设计是权值平差的首要步骤。
权值设计是通过评定每个观测量的精度，为观测方程赋予权值。
通常情况下，权值可以根据观测量的可靠性、测量仪器的准确性和操作员的经验等因素来确定。
平差计算是基于观测方程的权值进行的。
权值平差首先通过测量原始数据的残差和权阵，确定观测方程的权阵。
测量平差复习资料
PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念 权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L
( L1 ,
L2
)T
,
QLL
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q
2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：
A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小
法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何 种平差模型，并写出函数模型和法方程。
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j （ j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个 边长条件线性化。
最小二乘模糊度降相关平差法
最小二乘模糊度降相关平差法最小二乘模糊度降相关平差法（Least Squares Ambiguity Resolution Method, LSAR）是GNSS（全球导航卫星系统）精密定位中常用的一种方法，用于解决载波相位观测中的模糊度问题。
本文将详细介绍最小二乘模糊度降相关平差法的原理、步骤以及在GNSS精密定位中的应用。
一、原理在GNSS定位中，观测到的载波相位是包含了模糊度和测量噪声的结果，而模糊度是导致定位精度降低的主要原因。
最小二乘模糊度降相关平差法通过将载波相位观测值进行线性组合，并将模糊度作为参数引入到平差过程中，通过最小化残差和协方差矩阵来估计出最优的模糊度解，并提高定位精度。
具体来说，最小二乘模糊度降相关平差法的思想是通过构建一个适当的模糊度模型，将载波相位观测值与模糊度之间的关系建立起来。
通过对观测方程进行线性化，可以得到一个待估计参数为模糊度的线性方程组。
然后应用最小二乘法，通过最小化残差的平方和，将模糊度解与其他相关参数一起估计出来。
二、步骤最小二乘模糊度降相关平差法的具体步骤如下：1.构建模糊度模型：根据载波相位观测值的性质和预先设置的条件，构建模糊度模型。
常用的模型包括单差模型、双差模型和三差模型等。
2.线性化观测方程：将模糊度模型引入到载波相位观测方程中，并对观测方程进行线性化处理。
线性化的目的是为了将非线性观测方程转化为线性方程，以便于进行最小二乘平差。
3.构建设计矩阵：根据线性化后的观测方程，构建设计矩阵，其中每一行对应一个观测方程，每一列对应一个参数。
4.建立权阵：根据观测方程的精度信息，建立相应的权阵。
权阵可以用来加权处理观测方程，提高最小二乘平差的精度。
5.最小二乘平差：应用最小二乘法，通过最小化残差的平方和，估计模糊度解和其他相关参数。
同时，可以计算出参数的最佳估计值以及其协方差矩阵。
6.模糊度固定：根据最小二乘估计得到的模糊度解，进行模糊度固定。
模糊度固定是指将模糊度取整为最接近的整数值，以恢复精密定位。
平差计算的基本原理和方法
平差计算的基本原理和方法平差计算是一种广泛应用于测量和工程领域的数学方法，用于解决数据观测值中的误差和偏差问题。
平差计算的基本原理是通过最小二乘法，以最小化观测值与计算值之间的残差平方和来确定最优解。
本文将介绍平差计算的基本原理和常用方法。
一、平差的概念和意义平差是指将不准确或不完整的观测数据进行修正和处理，使其达到最优解或近似最优解的过程。
在测量和工程领域中，由于各种误差和偏差的存在，观测数据往往具有一定的不确定性，因此需要进行平差计算来提高数据的精度和可靠性。
平差计算的结果可以用来进行工程设计、地图测绘、导航定位等各种应用。
二、平差计算的基本原理平差计算的基本原理是基于最小二乘法。
最小二乘法的核心思想是将观测值与计算值之间的残差平方和最小化，通过调整未知量的值来逼近最优解。
残差是指观测值与计算值之间的差异，而平差计算的目标就是使这些差异最小化。
平差计算的基本模型可以表示为以下方程组：A * x = L其中，A为系数矩阵，x为未知量向量，L为观测值向量。
通过解这个方程组，可以求得最优的未知量估计值x。
最小二乘法的优点是可以利用观测数据中的权重信息，将准确性较高的观测数据给予更大的权重，进一步提高计算结果的准确性。
此外，最小二乘法还具有数学上的良好性质，可以通过数学推导和求解得到闭式解，而不需要采用迭代方法。
三、平差计算的常用方法1. 三角形平差法三角形平差法是一种常用的平差计算方法，适用于测量角度和距离的观测数据。
该方法基于三角形的相似性原理，通过解析几何和三角函数等方法，将观测数据转化为方程组，并利用最小二乘法求解未知量。
2. 存储器平差法存储器平差法是一种适用于大规模观测数据的平差计算方法。
该方法通过将观测值按照一定规律存储在存储器中，然后通过循环迭代的方式逐步修正观测值和未知量的估计值，直到最终收敛。
3. 参数平差法参数平差法是一种广泛应用于工程测量领域的平差计算方法。
该方法将未知量表示为参数的形式，并利用最小二乘法求解最优的参数估计值。
测绘技术中的最小二乘平差原理解析
测绘技术中的最小二乘平差原理解析测绘技术作为一门重要的测量科学，广泛应用于土地规划、建筑设计、地质勘探等领域。
而在测绘技术中，最小二乘平差原理是一种重要的数据处理方法。
本文将对最小二乘平差原理进行解析，揭示其在测绘技术中的应用和意义。
1. 最小二乘平差原理的概念和基本思想最小二乘平差原理是指通过对多组观测数据进行加权求和，使得加权残差的平方和最小。
最小二乘平差原理的基本思想是利用观测数据建立数学模型，通过最小化残差来获得最优解。
最小二乘平差原理的核心是建立目标函数，即将观测值与预测值之间的差异最小化。
通过构建目标函数，可以建立数学模型，得到一组准确的测量结果。
最小二乘平差原理在测绘技术中具有重要的应用价值。
2. 最小二乘平差原理在测绘技术中的应用最小二乘平差原理在测绘技术中应用广泛，主要包括以下几个方面：（1）测量数据处理最小二乘平差原理在测量数据处理中起到关键作用。
通过对一系列测量数据进行加权平差，可以得到更加准确的测量结果。
最小二乘平差原理可以根据观测值的精度进行加权处理，避免了测量误差的累积。
（2）测量误差分析最小二乘平差原理可用于对测量误差进行分析。
通过对观测数据进行平差处理，可以得到残差，进而分析测量数据中的误差来源。
这对于测绘工作者改进测量方法、提高测量精度具有重要意义。
（3）控制点协调计算最小二乘平差原理被广泛应用于控制点协调计算。
在测绘工程中，控制点的坐标是基础，直接关系到整个测绘工程的质量。
通过最小二乘平差原理进行控制点协调计算，可以提高测量结果的精度，保证工程的准确性。
（4）测图数据处理最小二乘平差原理在测图数据处理中也有着重要应用。
在进行地形图绘制和地图生成过程中，需要对大量观测数据进行处理和分析。
通过最小二乘平差原理，可以实现地图数据精度的提高，并且能够有效地解决地图表达的问题。
3. 最小二乘平差原理的意义和展望最小二乘平差原理在测绘技术中有着重要的意义。
它不仅可以提高测量数据的准确性，还可以对测量误差进行分析，为工程建设提供可靠的数据支持。
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法是一种在测量数据处理中广泛应用的方法，其基本思想是通过最小化误差平方和来估计未知参数。
在实际测量中，由于各种因素的影响，测量数据往往存在一定的误差。
为了得到更准确的结果，我们需要对这些数据进行处理，而最小二乘法就是一种非常有效的处理方法。
最小二乘法的核心思想是最小化误差平方和，即使得所有测量值与估计值之差的平方和最小。
这种方法可以应用于各种类型的数据处理，包括线性回归、曲线拟合、滤波等。
在线性回归中，最小二乘法可以用来估计回归系数，从而得到一条最佳拟合直线。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来估计曲线的参数，从而得到一条最佳拟合曲线。
测量平差最小二乘法的优点在于其简单性和通用性。
这种方法不需要对误差分布做出任何假设，只需要最小化误差平方和即可得到估计结果。
此外，最小二乘法还可以通过各种优化算法来实现，如梯度下降法、牛顿法等，从而提高了计算效率。
然而，测量平差最小二乘法也存在一些局限性。
首先，它对异常值非常敏感，因为异常值会对误差平方和产生很大的影响。
其次，当测量数据的误差分布不满足正态分布假设时，最小二乘法的估计结果可能会产生偏差。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的数据处理方法。
总之，测量平差最小二乘法是一种广泛应用的测量数据处理方法，其优点在于简单性和通用性。
然而，在实际应用中，我们需要注意其局限性，并根据具体情况选择合适的数据处理方法。
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
大地四边形 t 2*44 4
中心多边形 t 2*7 4 10
扇形 t 2*5 4 6
r 84 4
r 18 10 8
r 11 6 5
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量 平差得以实现 由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一
（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。
L2
L1
L3
③测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位，
一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
L2
L1
L3
三、必要观测
必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质
测量平差与最小二乘法在工程测量中的应用
表 １ 数 据 表格
后尺
测 站 编 号 测 点 编 号 后 视距
视 距差
前尺
前 视 距
ｄ
水 准 尺读 数
方向及 尺 号
黑 面 红 面
Ｋ＋黑 一红 高差中数 备注 （ ｍｍ） （Ｉ Ｉ） Ｔ
●
【 中图分类号】 Ｐ０ ． ２７ ２
５・ ２汶川 地 震 对 四 川 地 区 有 着 明 显 的 地 形 变 形 影 响 。 １
【 文献标识码 】 Ｂ
Ｑｖ ＝Ｂ ： 一曰 舡 一 Ｂ ｖ Ｑ￣Ｂ ｓ Ｑ Ｑｕ ＋Ｑ：Ｑ一 Ⅳ Ｂ‘ 口
为了了解地震对地面的影响 ， 本文 以绵 阳的西 南科技大学地
视距差 视距累计差 基辅较差 高差较差
２０ ． １Ｏ ．
５ １ ０ ３０ ．
视线高度
＝挫 — 一 — 一 能 读 ＝ 旌 — 一 — － 能 读
观测方法
后 前前 后 前后 后 前 后后 前 前 前前 后 后
三 等
３
６
３Ｏ ． １５ ．
５Ｏ ．
四等
单 双 因 瓦
２ ２ 监 测 点布 设 ．
续 表４
监 测 点 布设 在 西 南 科 技 大 学 老校 区 学 生 宿 舍 周 围 ， 其 以
点
中一点作 为基准点 ， 采用闭合环 的形式观测， 将观测路线形成 了两个闭合环 ， 用以监测该校是否有 区域性的不均匀沉降。
号 高程
１ ‘测量 平差 的主要公 式及 方法概 述
本文采用的平差 方法 主要是 间接平 差。在间接平差 中 ，
它 的 函 数 模 型 为 ： ＝ＢＸ —ｆ △ ，随 机 模 型 为 ： ＝ 。 ＝ Ｄ ２ Ｑ
土地测绘中平差计算的原理和方法
土地测绘中平差计算的原理和方法土地测绘是一门通过测量、记录和分析地球表面特征的科学和技术。
在土地测绘中，平差计算是一个重要的步骤，它可以帮助我们准确地确定地图上的地理位置和边界。
本文将讨论土地测绘中平差计算的原理和方法。
平差计算的原理基于一个重要的概念，即误差传递。
在土地测绘中，无论是测量仪器的误差还是人为因素的误差，都会影响测量结果的准确性。
平差计算的目的就是通过对误差进行分析和修正，从而提高测量结果的精度。
平差计算的方法有多种，其中最常用的是最小二乘法。
最小二乘法通过最小化误差平方和的方式，找到最优解。
在土地测绘中，最小二乘法可以用于确定地理位置的坐标和边界的位置。
在进行平差计算之前，首先需要收集和整理测量数据。
这些数据可以包括测量仪器的读数、角度和距离等信息。
然后，对这些数据进行误差分析，找出可能存在的误差来源。
例如，测量仪器的读数可能存在零偏误差，而人为因素可能引入随机误差。
接下来，通过最小二乘法来进行平差计算。
最小二乘法的基本原理是将实测值与理论值之间的差异最小化。
通过建立一个数学模型，可以将测量数据和误差项联系起来。
然后，利用最小二乘法的公式，可以求解出误差的最小二乘估计值，从而得到最优解。
在平差计算中，还需要考虑一些特殊情况和修正因素。
例如，在地球曲率的影响下，地图上的直线实际上是一个弧线。
因此，在计算边界位置时，需要考虑地球曲率修正。
此外，地球表面的不规则性也会对平差计算产生影响，需要进行适当的修正。
除了最小二乘法，还有其他一些常用的平差计算方法。
例如，加权平差方法可以根据不同的误差来源，为每个观测量分配不同的权重。
这样可以更好地反映不同观测量的精确度。
此外，非线性平差方法可以应用于具有非线性关系的测量数据，如形状复杂的地表。
总之，平差计算在土地测绘中起着至关重要的作用。
通过对误差进行分析和修正，可以提高测量结果的精度和准确性。
最小二乘法是最常用的平差计算方法之一，它通过最小化误差平方和的方式，找到最优解。
平差第四章
第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。
•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。
一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。
必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。
n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。
则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。
最小二乘法平差公式
最小二乘法平差公式最小二乘法平差公式呀，这可是个在数学和统计学领域里相当重要的家伙！咱们先来说说啥是最小二乘法平差公式。
简单来讲，它就是用来找到一组数据的最佳拟合直线或者曲线的方法。
比如说，咱们有一堆测量数据，这些数据可能有点杂乱无章，但咱们想找出一个规律来，这时候最小二乘法平差公式就派上用场啦。
我记得有一次，我带着学生们做一个物理实验，测量小车在不同时间内移动的距离。
同学们那叫一个兴奋，认认真真地记录着每一个数据。
可等数据出来一看，哎呀，那叫一个参差不齐。
这可咋办呢？我就跟他们说：“别着急，咱们用最小二乘法平差公式来找出规律。
”然后我就开始一步一步地给他们讲解。
咱们先设一个线性方程，比如 y = a + bx ，这里的 a 和 b 就是咱们要找的参数。
然后呢，根据测量的数据，咱们列出一堆方程，通过一番计算，就能求出a 和b 的值啦。
在这个过程中，有些同学一开始有点懵，觉得这公式太复杂。
我就跟他们说：“别害怕，就把它当成一个解谜的游戏，咱们一点点来。
”慢慢地，大家都跟上了节奏，最后算出了结果，找到了小车移动距离和时间的关系。
再深入点说，最小二乘法平差公式可不只是能处理线性关系哦，对于一些非线性的问题，咱们也可以通过巧妙的变换，把它转化成线性的，然后再用这个公式。
比如说，要是数据看起来像是符合抛物线的规律，咱们可以设个方程 y = a + bx + cx²，照样能用最小二乘法来搞定。
在实际应用中，像工程测量、经济数据分析、科学研究等等好多领域都离不开它。
比如说，建筑师在设计大楼的时候，要根据测量的地形数据来确定地基的形状和高度，这时候最小二乘法平差公式就能帮助他们找到最合适的设计方案。
还有在市场调研中，分析产品销量和价格之间的关系，也能用到这个公式。
通过对大量的数据进行处理，找到那个最优的拟合曲线，就能为企业的决策提供有力的支持。
总之啊，最小二乘法平差公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它，就能在一堆杂乱的数据中找到有用的信息，发现隐藏的规律。
测量平差方法及误差分析技巧
测量平差方法及误差分析技巧引言：测量平差在各个领域中都起到了至关重要的作用，无论是土地测量、工程测量还是地理测量都离不开精确的测量平差。
本文将介绍测量平差的基本原理、方法以及误差分析技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、测量平差的基本原理1.1 测量平差的定义测量平差是指在测量中，通过对测量数据进行处理和分析，用数学方法将观测值修正为比较可靠的数值，并确定其精度和可靠度的过程。
1.2 测量平差的基本原理测量平差的基本原理是以观测数据为基础，通过适当的计算和修正方法，使测量结果达到满足一定精度要求的条件。
二、测量平差的方法2.1 误差的分类误差是指由于种种原因导致观测值与真值之间的差异。
根据产生误差的原因，可将误差分为系统误差和随机误差两类。
2.2 测量平差的方法2.2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本原理是通过构建误差方程，使误差的平方和最小化，从而得到最优的修正数值。
2.2.2 加权最小二乘法加权最小二乘法是在最小二乘法的基础上，引入权重因子，对观测值进行加权处理，以更好地反映各个观测值的可靠性。
2.2.3 置信椭圆法置信椭圆法是一种通过误差椭圆的几何性质，结合观测弥散矩阵，进行测量平差的方法。
通过确定椭圆的长轴、短轴和倾斜角度，可对误差进行合理的修正和分析。
三、误差分析技巧3.1 误差的传递规律误差在测量过程中具有传递性，即观测结果的误差会随着计算过程的推进而逐渐增大。
因此，在进行误差分析时，需要考虑不同环节中误差的传递规律，以准确评估测量结果的可靠性。
3.2 概略误差与精确误差概略误差是指由于设备精度、人为操作等因素导致的测量误差，通过一些常见的公式和方法可以进行较为粗略的估计。
精确误差是在概略误差的基础上，通过更加精细的计算和分析得到的误差值，更贴近实际测量结果的误差。
3.3 误差理论和误差估计误差理论是关于误差发生的规律的理论体系，包括误差分类、误差分布等。
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平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
测量平差概述
在测量工作中，并不是对模型中的所有量都进 行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个， 当观测值个数小于必要观测个数，即n<t, 无法 确定模型的解；如果观测值个数恰好等于必要 观测个数，即n=t,则可唯一地确定该模型，但 对观测结果中含有的粗差和错误都将无法发现。 为了能及时发现测量中的粗差和错误，提高观 测成果的精度和可靠性，通常使观测值个数大 于 必 要 观 测 个 数 ， 即 使 n>t， 设 ： r=n-t 式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r 称为多余观测个数，在统计学中也叫自由度。
测量平差概述
有了多余观测，观测值之间必然不能满足理论上的条件 方程，即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻 合于几何模型。
为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值（又 叫平差值、最或是值、最或然值）来代替观测值。
任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值， 是由观测值加上改正数而得到，观测值的改正数，它们 必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组 （如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角度讲， 只有一组改正数能得到最优解。为求唯一的一组最优改 正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则 求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。
§2-2 测量平差的数学模型
在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些 几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑 如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。 由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差 的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅 要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型， 还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时， 函数模型和随机模型必须同时予以考虑。
选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一 个观测量表达成所选参数的函数，共列出 r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的 函数模型的平差方法称为间接平差。
3. 间接平差法(参数平差法)
一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，
必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增
选u个独立参数， u=t，则总共应列出c=r+u=n
个函数关系式，其一般形式为
L~ F (X~)
n1
如果这种表达式为线性的，一般为
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
将 L~ L 代入上式，并令 l L d
则
B X~ l
n1
nt t1 n1
上式就是间接平差的函数模型。
4. 附有限制条件的间接平差
如果在某平差问题中，选取u>t个参数， 其中包含t个独立参数，则多选的s=u- t 个参数必定是t个独立参数的函数，即在u 个参数之间存在着s个函数关系式。方程 的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时， 除了列立n个观测方程外，还要增加参数 之间满足的s个条件方程，以此作为平差 函数模型的平差方法称为附有条件的间 接平差。
2. 附有参数的条件平差法
一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n， 必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增 选u个独立参数，0 <u<t，则总共应列出c=r+u 个条件方程，其一般形式为
F (L~, X~) 0
c1
如果条件方程是线性的，其形式为
A L~ B X~
cn n1 cu u1
A0
c1
0
将 L~ L 代入上式，并令 W (AL A0 )
则得
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1
上式为附有参数的条件平差的函数模型。
3. 间接平差法(参数平差法)
一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一 的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作 参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通 过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型， 换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立 参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t 个独立参数的函数。
函数模型
1. 条件平差法 2. 附有参数的条件平差法 3. 间接平差法(参数平差法) 4. 附有限制条件的间接平差 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）
1. 条件平差法
一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t， 则应列出r=n-t个条件方程，即
F (L~) 0
如果条件方程为线性形式，则可以直接写为